Обґрунтування асимптотичних методів для багаточастотних систем з відхиленим аргументом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

01.01.02 - диференціальні рівняння

УДК 517.929

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ОБГРУНТУВАННЯ АСИМПТОТИЧНИХ МЕТОДІВ ДЛЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ СИСТЕМ З ВІДХИЛЕНИМ АРГУМЕНТОМ

Данилюк Іван

Михайлович

Чернівці - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник -- доктор фізико-математичних наук, професор Петришин Роман Іванович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, перший проректор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Бойчук Олександр Андрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань;

доктор фізико-математичних наук, професор Черевко Ігор Михайлович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичного моделювання, декан факультету прикладної математики.

Захист відбудеться << 18 >> червня 2010 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича за адресою: м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23.

Автореферат розіслано << >> травня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Я.Й. Бігун Размещено на http://www.allbest.ru/

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Знаходження точних розв'язків можливе лише для вузьких класів диференціальних рівнянь, тому актуальними є способи побудови наближених розв'язків. Серед них для диференціальних рівнянь з малим параметром виділяють такі асимптотичніметоди, як метод усереднення та метод інтегральних многовидів.

Вивченням методу усереднення для різних класів диференціальних рівнянь займались М.М. Боголюбов, Ю.А. Митропольський, В.І. Арнольд, А.М. Самойленко, М.А. Перестюк, М.М. Хапаєв, Дж. Хейл, В.О. Плотніков, Р.І. Петришин, Є.О. Гребеніков, В.М. Волосов, Б.І. Моргунов, М.М. Моісєєв, А. Найфе, Я.Й. Бігун, V. Burd, J. Grasman, M.H. Holmes, S. Howinson, J.A. Sanders, F. Verhulst, J.A. Murdock.

Однак задача обгрунтування методу усереднення і зараз не до кінця розв'язана, оскільки дослідження багаточастотних систем з повільними та швидкими змінними ускладнюється появою резонансних співвідношень між компонентами вектора частот. Випадок одно- та двочастотних систем вивчений у працях В.І. Арнольда, В.І. Бахтіна, А.І. Нейштадта. Вперше багаточастотні системи зі сталим вектором частот розглянуті Ю.О. Митропольським та А.М. Самойленком. Подальші дослідження багаточастотних систем проведені в працях А.І. Нейштадта, Д.А. Аносова, В.О. Плотнікова, А.М. Самойленка, Р.І. Петришина, М.М. Хапаєва, Я.Й. Бігуна. Новий підхід до обгрунтування методу усереднення запропоновано А.М. Самойленком та Р.І. Петришиним, що базується на оцінках осциляційних інтегралів.

Метод інтегральних многовидів є досить зручним і потужним засобом у теорії диференціальних рівнянь, оскільки при дослідженні систем диференціальних рівнянь високого порядку в багатьох випадках доцільно зі всієї множини розв'язків досліджуваної системи виділяти деякі її підмножини - інтегральні многовиди, які володіють певними властивостями і мають розмірність нижчу, ніж порядок вихідної системи.

Перші дослідження з теорії інтегральних многовидів проведені в роботах А. Пуанкаре і А.М. Ляпунова. Наступний етап пов'язаний з фундаментальними дослідженнями М.М. Боголюбова. М.М. Боголюбов, Ю.А. Митропольський, М.О. Перестюк, А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, Я.С. Барис, О.Б. Ликова, В.О. Пліс, Р.І. Петришин, І.М. Черевко та інші поширили метод інтегральних многовидів на різні класи рівнянь, що містять малий і великий параметри, рівняння у функціональних просторах, системи рівнянь з малим параметром біля похідної, системи із запізненням, системи з імпульною дією.

На даний час багаточастотні системи із запізненням недостатньо вивчені. Це пов'язано як зі специфічними властивостями, які обумовлені запізненням, так і зі складною поведінкою багаточастотних систем через появу резонансних співвідношень вектора частот. Наведені проблеми приводять до якісно нових задач. Зокрема, недостатньо досліджені початкові задачі для багаточастотних систем зі змінним запізненням на відрізку та півосі і крайові задачі з багатоточковими та інтегральними крайовими умовами. Крім того, слабко вивчена побудова та дослідження інтегральних многовидів для таких багаточастотних систем.

Дисертаційна робота присвячена вивченню особливостей поведінки резонансних систем із запізненням. Методом усереднення досліджено початкові та крайові задачі для багаточастотних систем із запізненням, побудовано інтегральний многовид системи з відхиленим аргументом та встановлено його властивості.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках наукової теми кафедри прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича „Конструктивні методи дослідження диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу та імпульсною дією і математичне моделювання в екології, механіці, соціології” (номер державної реєстрації 0106U008367) та в рамках держбюджетної теми Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича „Якісніта конструктивні методи дослідження диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь” (номер державної реєстрації 0199U001909).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження багаточастотних систем із запізненням.

Методи дослідження: метод усереднення і метод інтегральних многовидів.

Об'єкт дослідження: багаточастотні системи диференціальних рівнянь з повільними та швидкими змінними і запізненням, яким притаманне явище резонансу.

Предмет дослідження: обгрунтування асимптотичних методів для коливних систем диференціальних рівнянь із запізненням.

Задачі дослідження: обгрунтування методу усереднення за всіма швидкими змінними для багаточастотних нелінійних систем із запізненням на відрізку та півосі, дослідження багатоточкових та інтегральних крайових задач для багаточастотних коливних систем із запізненням, побудова інтегрального многовиду багаточастотної системи із запізненням.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше одержано такі результати:

- досліджено методом усереднення за всіма швидкими змінними багаточастотну систему з відхиленим аргументом в повільних і швидких змінних на відрізку та півосі;

- доведено нові теореми обгрунтування методу усереднення за всіма швидкими змінними на відрізку та півосі початкової задачі для багаточастотної системи вищого наближення із запізненням в повільних і швидких змінних, одержано оцінки відхилень розв'язків вихідної та усередненої задач;

- встановлено умови існування інтегрального многовиду багаточастотної нелінійної коливної системи із запізненням, досліджено його властивості;

- обгрунтовано метод усереднення за всіма швидкими змінними крайових задач з багатоточковими та інтегральними крайовими умовами для багаточастотної нелінійної системи з відхиленим аргументом і встановлено явно залежні від малого параметра оцінки відхилень розв'язків вихідної та усередненої задач.

Практичне значення одержаних результатів. Проведені дослідження в основному мають теоретичний характер і можуть бути використані при вивченні практичних задач з теорії нелінійних коливань, в нелінійній оптиці, економіці, механіці, хімії, біології. Одержані теореми та твердження можуть бути поширені на нові класи диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником працях [1]-[5] Р.І. Петришину належить постановка задач, визначення схеми дослідження та аналіз отриманих результатів. У статті [1] А.М. Самойленку належить розробка методів дослідження задачі та обговорення можливих шляхів її розв'язання.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідались на: Міжнародній конференції, присвяченій 125 річниці від дня народження Ганса Гана (2004 р., м. Чернівці); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (2007 р., м. Дрогобич); Міжнародній конференції “Боголюбовські читання, 2008” -- Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування (2008 р., м. Мелітополь); Дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (2008 р., м. Київ); Міжнародній конференції до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди (2009 р., м. Чернівці); наукових семінарах кафедри прикладної математики та факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (2008 - 2009 рр., м. Чернівці).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 11 працях, з них 3 - у наукових журналах, 3 - у збірниках наукових праць і 5 - у матеріалах міжнародних конференцій. Серед публікацій - 6 праць у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 140 найменувань та додатку. Повний обсяг роботи становить 143 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Роману Івановичу Петришину за постановку задачі, змістовні консультації та цікаві ідеї.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість одержаних результатів.

У першому розділі зроблено огляд праць за темою дисертації, проаналізовано дослідження багаточастотних систем диференціальних рівнянь, описано методи усереднення та інтегральних многовидів для диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом.

У другому розділі розглядається застосування методу усереднення для розв'язання деяких початкових задач для багаточастотних систем із запізненням, а також побудова інтегрального многовиду однієї багаточастотної системи із запізненням.

У підрозділі 2.1 досліджується система диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом вигляду

де - малий додатний параметр,

- неперервно диференційовна на функція, яка задовольняє умови

- відкрита обмежена область, дійсні функції і задовольняють умову Ліпшиця по в області , обмежені сталою і майже періодичні по .

Задамо для системи рівнянь (1) початкові умови

де функції і - неперервно диференційовні по і

У підрозділі 2.2 система (1) досліджується при .

У підрозділі 2.3 розглянуто багаточастотну систему диференціальних рівнянь із запізненням вигляду

У підрозділі 2.4 розглядається багаточастотна система вищого наближення (13) на півосі зі змінним запізненням як і в (1).

Підрозділи 2.5, 2.6 присвячені побудові інтегрального многовиду багаточастотної коливної системи диференціальних рівнянь із запізненням вигляду. багаточастотний аргумент інтегральний нелінійний

Третій розділ присвячений застосуванню методу усереднення для дослідження деяких крайових задач для багаточастотних систем із запізненням.

У підрозділах 3.1, 3.2 розглядається система (1) з багатоточковими крайовими умовами вигляду

У підрозділах 3.3, 3.4 методом усереднення досліджено багаточастотну систему диференціальних рівнянь

 (41)

з інтегральними крайовими умовами

У підрозділі 3.5 розглянуто систему диференціальних рівнянь з повільними та швидкими змінними

У додатку А засобами мови програмування Сі реалізовано алгоритм неявної схеми Гіра для знаходження наближених розв'язків багаточастотних систем із запізненням.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена дослідженню багаточастотних коливних систем із запізненням методом усереднення та методом інтегральних многовидів.

У дисертації вперше одержано такі результати:

- досліджено методом усереднення за всіма швидкими змінними багаточастотну систему з відхиленим аргументом в повільних і швидких змінних на відрізку та півосі;

- доведено нові теореми обгрунтування методу усереднення за всіма швидкими змінними на відрізку та півосі початкової задачі для багаточастотної системи вищого наближення із запізненням в повільних і швидких змінних, одержано оцінки відхилень розв'язків вихідної та усередненої задач;

- встановлено умови існування інтегрального многовиду багаточастотної нелінійної коливної системи із запізненням, досліджено його властивості;

- обгрунтовано метод усереднення за всіма швидкими змінними крайових задач з багатоточковими та інтегральними крайовими умовами для багаточастотної нелінійної системи з відхиленим аргументом і встановлено явно залежні від малого параметра оцінки відхилень розв'язків вихідної та усередненої задач.

Проведені дослідження в основному мають теоретичний характер і можуть бути використані при вивченні практичних задач з теорії нелінійних коливань, в нелінійній оптиці, механіці. Одержані теореми та твердження можуть бути поширені на нові класи диференціальних рівнянь з відхиленим аргументом.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Самойленко А.М. Усереднення початкової і багатоточкової задач для коливних систем із повільно змінними частотами і відхиленим аргументом / А.М. Самойленко, Р.І. Петришин, І.М. Данилюк // Укр. мат. журн. -- 2007. -- Т.59, №3. -- С.412 - 430.

2. Петришин Р.І. Усереднення крайової задачі для багаточастотної системи з відхиленим аргументом / Р.І. Петришин, І.М. Данилюк // Нелінійні коливання. -- 2007. -- Т.10, №4. -- С.519 - 527.

3. Петришин Р.І. Оцінки похибки методу усереднення в багаточастотних системах зі сталим запізненням / Р.І. Петришин, І.М. Данилюк // Нелінійні коливання. -- 2006. -- Т.9, №2. -- С.233 - 243.

4. Петришин Р.І. Побудова інтегрального многовиду коливної системи із запізненням / Р.І. Петришин, І.М. Данилюк // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. Наук. пр. Вип. 454. Математика. -- Чернівці: Рута, 2009. -- С.75 - 83.

5. Данилюк І.М. Оцінка похибки методу усереднення на півосі початкової задачі для багаточастотної коливної системи вищого наближення із запізненням / І.М. Данилюк, Р.І Петришин // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. Наук. пр. Вип. 421. Математика. --Чернівці: Рута, 2008. -- С.30 - 36.

6. Данилюк І.М. Крайова задача з параметрами для нелінійної коливної системи із загаюваннями / І.М. Данилюк // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. Наук. пр. Вип. 454. Математика. -- Чернівці: Рута, 2009. -- С.19 - 27.

7. Данилюк І. М. Дослідження інтегрального многовиду багаточастотної коливної системи із запізненням / І. М. Данилюк // Міжнар. конф. до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди, 8-13 червня 2009р., Чернівці: тези доп. -- Чернівці: Книги - ХХІ, 2009. -- С.36 - 38.

8. Данилюк І. М. Про інтегральні многовиди багаточастотних нелінійних коливних систем із запізненням / І.М. Данилюк // Матеріали ХІІ-ої міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука, 15-17 травня 2008 р., Київ. -- К.: Задруга, 2008. -- Ч.1. -- С.124.

9. Данилюк І.М. Про одну крайову задачу з параметрами для нелінійної коливної системи із запізненням / І.М. Данилюк //Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування, 16-21 червня 2008 р., Мелітополь: тези доп. -- К.: Інститут математики НАН України, 2008. -- С.40 - 41.

10. Данилюк І.М. Дослідження багаточастотної коливної системи вищого наближення зі сталим запізненням на півосі / І.М. Данилюк // Міжнар. мат. конф. ім. В.Я. Скоробогатька, 24-28 вересня 2007р., Дрогобич: тези доп. -- Львів, 2007. -- С.84.

11. Данилюк І.М. Усереднення крайових задач з параметрами для нелінійних коливних систем із загаюваннями / І.М. Данилюк // Міжнар. конф., присв. 125 річн. від дня народж. Ганса Гана, 27 червня - 3 липня 2004р., Чернівці: тези доп. -- Чернівці: Рута, 2004. -- С.32 - 33.

АНОТАЦІЯ

Данилюк І.М. Обгрунтування асимптотичних методів для багаточастотних систем з відхиленим аргументом. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2010.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню багаточастотних коливних систем із запізненням методом усереднення та методом інтегральних многовидів.

У роботі досліджено методом усереднення за всіма швидкими змінними багаточастотну систему з відхиленим аргументом в повільних і швидких змінних на відрізку та півосі, а також багатоточкову задачу з параметрами і встановлено нові оцінки відхилення розв'язків вихідної та усередненої задач. Для задачі з інтегральними крайовими умовами та параметрами обгрунтовано метод усереднення за всіма швидкими змінними і одержано явно залежні від малого параметра оцінки відхилень розв'язків вихідної та усередненої задач. Доведено нові теореми обгрунтування методу усереднення за всіма швидкими змінними на відрізку та півосі початкової задачі для багаточастотної системи вищого наближення із запізненням в повільних і швидких змінних, побудовано оцінки відхилень розв'язків вихідної та усередненої задач. Для багаточастотної нелінійної коливної системи із запізненням встановлено умови існування інтегрального многовиду, досліджено його властивості.

Ключові слова: системи з запізненням, багаточастотні системи, метод усереднення, метод інтегральних многовидів, малий параметр.

Данилюк И.М. Обоснование асимптотических методов для многочастотных систем с отклоняющимся аргументом. -- Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математичних наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2010.

Диссертационная работа посвящена исследованию многочастотных колебательных систем с запаздыванием вида

где - малый параметр, - непрерывно дифференциируемая на функция, - открытая ограниченная область, действительные функции и удовлетворяют условию Липшица по в области , ограничены постоянной и принадлежат некоторым классам почти периодических по функций.

В работе исследовано методом усреднения по всем быстрым переменным начальную задачу для многочастотной системы (1) с частотами и отклоняющимся аргументом в медленных и быстрых переменных на отрезке и полуоси, а также многоточечную задачу с параметрами и задачу с интегральными краевыми условиями для системы (1) и получены новые оценки разности решений исходной и усредненной задач. Для задачи с линейно преобразованным аргументом, интегральными краевыми условиями и параметрами обоснован метод усреднения по всем быстрым переменным, получены явно зависимые от малого параметра оценки погрешности метода усреднения.

Доказаны новые теоремы обоснования метода усреднения по всем быстрым переменным начальной задачи для многочастотной системы высших приближений

на отрезке с постоянным запаздыванием и полуоси с запаздыванием , получены оценки отклонения решений исходной и усредненной задач.

Для многочастотной нелинейной колебательной системы с запаздыванием

найдены условия существования интегрального многообразия и исследованы его свойства.

Ключевые слова: системы с запаздыванием, многочастотные системы, метод усреднения, метод интегральных многообразий, малый параметр.

Danylyuk І.М. Justification of the asymptotic methods for the multifrequency systems with the deviated argument. -- Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Scienses (Phisical and Mathematical) degree (Ph. D.) speciality 01.01.02 -- Differential Equations. Chernivtsi National University named after Yuriy Fedkovich, Chernivtsi, 2010.

This thesis is devoted to the multifrequency oscillatory systems with delay.

In this work has been investigated the method of averaging over all fast variables for multifrequency oscillatory system with delay in fast and slow variables on segment and semiaxis. The estimate of solutions difference between initial and averaged problems has been established. Also have been proved new error estimates of the averaging method for the multifrequency systems of higher approximations on segment and semiaxis with delay. We found the existence conditions of the integral manifold of multifrequency nonlinear oscillatory system with delay and investigated it's properties.

The solving algotithm of the multipoint boundary value problem with parameters has been investigated. The solveability of integral boundary value problems for multifrequency system with delay using averaging method has been investigated. The value of solutions difference also has been established.

Key words: systems with delay, multi-frequency systems, averaging method, integral manifolds, small parameter.

Размещено на Allbest.ru