Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ПОВЕДІНКА ІНТЕРФЕЙСІВ У ДЕЯКИХ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЯХ ФІЛЬТРАЦІЇ

ДЕГТЯРЬОВ Сергій Петрович

УДК 517.95

01.01.02 - диференціальні рівняння

Донецьк - 2010

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті прикладної математики і механіки

Національної академії наук України, м.Донецьк.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук

Тедеєв Анатолій Федорович,

Інститут прикладної математики і механіки НАНУ,

завідувач відділу рівнянь математичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Івасишен Степан Дмитрович,

Національний технічний університет України “КПІ”,

завідувач кафедри математичної фізики

член-кореспондент НАНУ,

доктор фізико-математичних наук, професор

Чуєшов Ігор Дмитрович,

Харківський національний університет імені В.Н.Каразіна,

завідувач кафедри математичної фізики й обчислювальної математики.

доктор фізико-математичних наук, професор,

Шишков Андрій Євгенович,

Інститут прикладної математики і механіки НАНУ,

завідувач відділу рівнянь з частинними похідними.

Захист відбудеться 02.07. 2010р. о _13-30

_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул.. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України (83114, м. Донецьк, вул.. Р.Люксембург, 74).

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В.Краснощок

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

коші інтерфейс математичний

Актуальність теми дослідження. Під інтерфейсом у математичних моделях і задачах, сформульованих у термінах диференціальних рівнянь з частинними похідними, зазвичай розуміють або межу розподілу двох областей простору, в яких той чи інший розподілений об'єкт має відмінні властивості, або межу області існування самого розподіленого об'єкту. Поняття інтерфейсу зустрічається в настільки численних галузях математики та її застосувань, що серед них навряд чи можливо виділити більш важливі та менш важливі.

Класичним прикладом інтерфейсу є межа вільного об'єму рідини, який рухається під дією, наприклад, гравітації. Вивчення можливої форми такого інтерфейсу за умов рівноваги походить ще з робіт А.М.Ляпунова, а сама задача була сформульована П.Л.Чебишовим. Останнім часом питання гладкості таких інтерфейсів для рідин, рух яких змальовується системою Нав'є-Стокса, вивчалися, зокрема, в роботах В.О.Солонникова.

Іншим важливим прикладом інтерфейсу є межа носія функції, що дає розв'язок тієї чи іншої математичної моделі. Зокрема, одним з активно вивчаємих інтерфейсів такого роду є границя носія щільності тієї чи іншої субстанції, що фільтрується в пористому середовищі. При цьому є відомим, що процес фільтрації, наприклад, рідини описується виродженим параболічним рівнянням з частинними похідними для щільності розподілу рідини. Як це було з'ясовано в роботах Г.І.Баренблатта, А.С.Калашникова, С.Н.Антонцева, Л.Верона, Ф.Берниса, Х.Васкеса, Д.Діаса, А.Є.Шишкова, Д.Андреуччі, А.Ф.Тедеєва, Х.Брезиса, Б.Гилдинга, Р.Керснера, М.А.Херреро та інших авторів, процес, що описується таким рівнянням, аналогічно гіперболічним рівнянням має властивість скінченної швидкості розповсюдження збурень. Останнє означає, що якщо, наприклад, функція щільності речовини була в початковий момент часу відмінною від нуля тільки в деякій обмеженій області простору (тобто, власно кажучи, речовина була розподіленою в зазначеній обмеженій області), то й у всі наступні моменти часу функція щільності буде відмінною від нуля тільки в деяких (залежних від часу) обмежених областях простору. Тобто функція щільності буде мати компактний носій, який залежить від часу, а межа цього носія є інтерфейс області розподілу речовини.

Іншою, у певному сенсі зворотньою, є поведінка інтерфейсу вказаного типу в процесі фільтрації, який супроводжується об'ємною абсорбцією речовини. Як це було з'ясовано в роботах Л.С.Еванса, Б.Ф.Кнерра, А.С.Калашникова, А.Є.Шишкова, Р.Керснера, С.Н.Антонцева, Д.Діаса, С.Шмарева, М.Уги, У.Абдуллаєва, М.Бореллі, А.Фрідмана, М.Винклера, Д.Ли, розв'язок такої задачі має ту властивість, що якщо навіть початкова щільність речовини була розподілена у всьому просторі, в довільний як завгодно малий момент часу носій щільності стає компактним. Тобто щільність речовини стає розподіленою в деякій обмеженій області простору, і, таким чином, з'являється інтерфейс розподілу щільності. Це явище має назву миттєвої компактіфікації носія (the Instantaneous Support Shrinking Property) та вивчалося зазначеними вище вітчизняними та закордонними дослідниками (дивись розділ 1 дисертації). Отримання точної за порядком асимптотики розмірів даного інтерфейсу є одною з головних задач дисертації.

Інша галузь, де той чи інший інтерфейс є, власне, головним невідомим задачі, - це велика математична галузь задач з невідомою (вільною) межею. Класичним прикладом задачі з вільною межею є відома задача Стефана, яка виникає, як математична модель теплофізичного фазового переходу речовини, та яка знайшла застосування в багатьох галузях математики. Галузь задач з вільною межею є настільки великою, що важко навіть перелічити всі існуючі математичні моделі та постановки для різних типів рівнянь (параболічних, еліптичних, гіперболічних) і з різних галузей математики та її застосувань (теплофізика, теорія фільтрації, біологія і медицина, фізика плазми, теорія надпровідності, теорія горіння, економіка та фінанси).

Крім того, інтерфейси цілком природно виникають у різноманітних моделях, які описуються квазілінійними диференціальними рівняннями з частинними похідними, що мають негладкі коефіцієнти. Такі моделі виникають, наприклад, у теорії пористого середовища та в деяких інших галузях.

Існує також багато інших напрямків математичних досліджень, у яких ті чи інші інтерфейси відіграють суттєву роль. Серед них відмітимо лише, наприклад, інтерфейс розподілу областей дозвукової та надзвукової течії газу чи рідини, а також інтерфейси, які виникають у моделях реакції - дифузії.

Таким чином, вивчення власне характеру інтерфейсів згаданих задач теорії фільтрації та їх поведінки за часом є актуальною та сучасною галуззю математичних досліджень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України. Результати дисертації використані при виконанні державної теми “Задачі з вільними межами, нелінійні вироджені параболічні і еліптичні рівняння, проблеми існування розв'язків, властивості сингулярних розв'язків”, шифр ІІІ-3-04 (1.1.4.3), номер державної реєстрації №0104U000860, а також при виконанні державної теми “Нелінійні проблеми математичної фізики в областях з вільними межами, якісні властивості розв'язків нелінійних еліптичних та параболічних рівнянь”, шифр ІІІ-3-09, номер державної реєстрації №0109U002771.

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження дисертаційної роботи є інтерфейси в математичних проблемах, пов'язаних з моделями, які описуються еволюційними задачами для рівнянь з частинними похідними параболічного типу, в тому числі для рівнянь з анізотропним виродженням.

Предметом дослідження є поведінка інтерфейсів за часом та властивості гладкості інтерфейсів.

Метою даної дисертаційної роботи є встановлення точних за порядком двосторонніх оцінок розмірів носія розв'язку в задачі Коші для квазілінійних вироджених рівнянь з подвійною нелінійністю (а також з анізотропним виродженням) як у випадку наявності однорідної чи неоднорідної абсорбції, так і за її відсутності, та встановлення гладкості власне інтерфейсу в деякій задачі з вільною межею з теорії пористого середовища.

Для досягнення цієї мети в дисертаційній роботі

Вирішено наступні задачі.

1. Розглянуто задачі Коші для квазілінійних параболічних рівнянь з подвійним (у тому числі анізотропним) виродженням та сильною (у тому числі неоднорідною) абсорбцією вигляду

Для всіх зазначених випадків знайдено точні та достатні умови для миттєвого виникнення інтерфейсу розв'язку (миттєвої компактіфікації носія), а також встановлено точні за порядком двосторонні асимптотики його розмірів. Усі умови та асимптотики сформульовані в термінах поведінки початкових даних на нескінченності, або в термінах спільної поведінки початкових даних, потенціалу та щільності на нескінченності.

2. Розглянуто властивості задачі Коші зі зростаючими на нескінченності початковими даними вигляду для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та анізотропним виродженням вигляду

Для такої задачі доведено існування слабкого розв'язку за умов анізотропного зростання початкових даних на нескінченності, що не перевищує певного граничного зростання, яке випливає з умов задачі. Крім того встановлено порядок інтервалу існування розв'язку та встановлено якісні властивості розв'язку, такі як локальні оцінки максимуму модуля та локальні інтегральні оцінки градієнту розв'язку.

3. Для задачі Коші , у випадку фінітних початкових даних знайдено точну двосторонню асимптотику залежності від часу носія розв'язку в термінах моменту часу та маси початкових даних. Встановлено, що незалежно від початкової форми інтерфейсу, носій розв'язку стає асимптотично анізотропним.

4. Розглянуто задачу з невідомим інтерфейсом (вільною межею) для квазілінійних параболічних рівнянь з негладкими коефіцієнтами вигляду

де коефіцієнти та права частина є функціями, які мають розрив першого роду при Для цієї задачі встановлено існування гладкого інтерфейсу розриву локально за часом.

Методи досліджень. Основними методами досліджень даної дисертаційної роботи є, по- перше, метод локальних інтегральних оцінок, запропонований С.М.Антонцевим та розвинутий у різних напрямках у роботах С.М.Антонцева, С.І.Шмарева, Д.Діаса (D.Diaz), А.Є.Шишкова, Д.Андреуччі (D.Andreucci) та А.Ф.Тедеєва. По- друге, використовується, власне, метод Ньютона розв'язання нелінійних задач, який було запропоновано в нелінійних параболічних задачах В.С.Бєлоносовим і Т.І.Зеленяком, та який було розвинено в теорії задач з невідомими межами в роботах Б.В.Базалія, В.О.Солонникова та деяких інших авторів.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. При розгляданні явища миттєвої компактифікації носія розв'язку задачі Коші для вироджених квазілінійних рівнянь з сильною абсорбцією вперше розглянуто випадок, коли початкові дані є лише локально скінченними мірами Радона.

2. При цьому вперше отримано точні за порядком двосторонні оцінки розмірів носія розв'язку. Отримані оцінки узагальнюють та уніфікують усі отримані раніше результати для різноманітних типів початкових даних.

3. Вперше отримано точні необхідні та достатні умови присутності явища миттєвої компактифікації носія, в тому числі для рівнянь з анізотропним виродженням.

4. Вивчено вплив неоднорідності абсорбції та неоднорідності середовища на процес миттєвої компактифікації носія та отримано точні необхідні та достатні умови миттєвої компактифікації в термінах взаємодії поведінок неоднорідностей та початкових даних.

5. Отримано результати щодо розв'язності задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та анізотропним виродженням, коли початкові дані зростають на нескінченності. Отримано також точні за порядком локальні оцінки максимуму модуля розв'язку та локальні інтегральні оцінки градієнту.

6. Вперше для задачі Коші з фінітними початковими даними для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та різним виродженням у різних координатних напрямках отримано точні за порядком оцінки розмірів носія розв'язку за різних значень часу. При цьому оцінки мають анізотропний характер, тобто вони є різними в різних координатних напрямках.

7. Вивчено явище миттєвої компактифікації носія для анізотропного виродженого параболічного рівняння та отримано точні необхідні та достатні умови присутності явища миттєвої компактифікації, а також отримано точні за порядком двосторонні оцінки розмірів носія розв'язку.

8. Вперше для квазілінійного параболічного рівняння з розривними коефіцієнтами отримано локально за часом гладкість інтерфейсу розриву коефіцієнтів без обмеження на знак правої частини та отримано існування гладкого розв'язку.

Теоретичне і практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичний характер. Одержані в дисертації результати можуть бути використані в подальших теоретичних дослідженнях у галузі диференціальних рівнянь з частинними похідними, а також для вивчення коректності та якісної поведінки математичних моделей прикладних проблем, які моделюються нелінійними еволюційними задачами за наявності інтерфейсів в найрізноманітніших галузях науки і техніки.

Особистий внесок здобувача в спільних публікаціях. Усі результати, що представлені до захисту, отримані здобувачем особисто. В роботах [4,7,10] співавтору науковому консультанту А.Ф.Тедеєву належить постановка задачі, в роботах [5,9,16,20] С.П.Дегтярьову належить вивчення відповідних модельних задач, в роботах [15, 24] співавтор В.М.Гусаков брав участь у фізичній постановці.

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, проведених у дисертації, доповідалися та обговорювалися на таких наукових конференціях та семінарах:

- IV Республіканська конференція “Нелінійні задачі математичної фізики”, Донецьк, 1987;

- VII Республіканська конференція “Нелінійні задачі математичної фізики та задачі з вільною межею”, Донецьк, 1991;

- Міжнародна конференція "Free-Boundary Problems In Continuum Mechanics", Novosibirsk, July, 1991;

- Міжнародна конференція “Nonlinear Partial Differential Equations”, Alushta, 2005;

- Міжнародна конференція “Nonlinear PDE”, Yalta, 2007;

- II Міжнародна конференція молодих вчених пам'яті Я.Б.Лопатинського, Донецьк, 2008;

- Міжнародний Український Математичний конгрес до сторіччя з дня народження М.М.Боголюбова, Київ, 2009;

- семінар відділу рівнянь математичної фізики ІПММ НАНУ (керівники д.ф.-м.н., професор А.Ф.Тедеєв, д.ф.-м.н., професор Б.В.Базалій);

- Спільний семінар відділів нелінійного аналізу, рівнянь з частинними похідними і рівнянь математичної фізики ІПММ НАНУ (керівники д.ф.-м.н., професор О.А.Ковалевський, д.ф.-м.н., професор А.Є.Шишков, д.ф.-м.н., професор А.Ф.Тедеєв);

- Семінар кафедри математичної фізики Харківського Національного університету (керівник член кор. НАНУ, д.ф.-м.н., професор І.Д.Чуєшов);

- Загальноінститутський семінар Інституту прикладної математики і механіки НАН України (керівник член кор. НАНУ, д.ф.-м.н., професор О.М.Ковальов)

- Київський семінар по функціональному аналізу в Інституті математики НАН України (керівник член кор. НАНУ, д.ф.-м.н., професор М.Л.Горбачук).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 20 статтях у наукових фахових журналах, що входять до переліку ВАК України, та періодичних наукових журналах інших країн. Результати досліджень опубліковано також у матеріалах 5 конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, основної частини з восьми розділів, висновків і списку використаної літератури. Список використаної літератури налічує 182 джерела і міститься на 21 сторінці. Загальний обсяг роботи - 284 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми досліджень, формулюються мета і задачі досліджень, викладається наукова новизна та теоретичне і практичне значення одержаних у дисертаційній роботі результатів.

У першому розділі викладено стан розвитку та основні досягнення в галузі проблематики, якій присвячена дисертація, проведено огляд літератури за темою дисертації, вказано на літературні джерела, що стосуються вивчення якісної теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними і задач з невідомими межами.

Другий розділ присвячено вивченню явища миттєвої компактифікації носія розв'язку виродженого рівняння у випадку повільної дифузії, встановленню необхідних і достатніх умов виникнення цього явища та точним за порядком двостороннім оцінкам розмірів виникаючого інтерфейсу.

В області розглянуто задачу Коші для невідомої функції вигляду

,

де , , - задані додатні сталі, - задана початкова функція, носій якої може співпадати з усім простором, та яка може бути локально скінченною мірою Радона. В останньому випадку інтеграл від по тій чи іншій області розуміється як повна варіація міри по цій області. Припускається, що рівняння описує повільну дифузію та сильну абсорбцію, що означає в термінах параметрів задачі:

.

Означимо важливий показник, який визначається параметрами рівняння:

.

Позначимо також

-

куля в просторі радіуса , де , , - об'єм означеної кулі. Для означимо ще функцію

.

Позначимо, нарешті, через розмір носія в момент часу , тобто

.

Процес миттєвої компактифікації носія описується наступною теоремою.

Теорема 1. Якщо початкова функція в невід'ємна (непозитивна), то розв'язок задачі , має властивість миттєвої компактифікації носія тоді і тількі тоді, коли

при

за деякого (у цьому випадку наведена умова виконана за будь- якого ).

При цьому, якщо виконано, то для довільного існують такі сталі , , , (які залежать також від початкової функції), що на інтервалі часу виконані наступні оцінки зверху та знизу розмірів носія розв'язку:

,

,

де, якщо функція не є строго монотонною,

.

Якщо ж початкова функція довільно змінює знак, оцінка розмірів носія зверху виконана і в цьому випадку.

Наголосимо, що умова є точною, а з оцінок , випливають усі відомі раніше окремі результати для окремих типів рівнянь та окремих типів початкових даних (див. вступ до розділу 2 дисертації).

Доведення Теореми 1 базується на локальних інтегральних оцінках розв'язку в термінах локальної маси розв'язку. Тому важливою є наступна теорема, яка дає оцінку локальної маси розв'язку в термінах локальної маси початкової функції по кулях малого радіуса .

Теорема 2. Нехай є заданим. Існують такі сталі , , , що для , якщо є таким, що для довільного виконано

,

.

Іншою важливою складовою частиною доведення Теореми 1 є оцінка інтегралу за часом від маси розв'язку через максимум маси за часом, яка випливає з рівняння і дається наступною теоремою.

Теорема 3. Нехай , , - кулі з центром в радіусів , , , і нехай

.

,

, ,

а числа і визначаються з умов

, .

Оцінка, наприклад, (1.19) Теореми 1 доводиться за наступною схемою. Нехай є таким, що виконані умови Теореми 2, . Означимо певну систему циліндрів , , яка стягується до точки , та позначимо

.

Використовуючи рівняння та Теорему 3, отримуємо рекурентне співвідношення

,

.

На підставі відомої ітеративної леми з останніх співвідношень можна зробити висновок, що буде виконано при , якщо виконана умова

 ,

де - певна достатньо мала абсолютна стала. Аналіз останнього співвідношення й призводить до оцінки (1.19), беручи до уваги саме означення величин .

Оцінка (1.20) також доводиться із застосуванням локальних інтегральних оцінок та із використанням принципу порівняння.

Третій розділ містить, по суті, доведення Теореми 1 у протилежному другому розділу випадку швидкої дифузії, коли співвідношення не є виконаним, а замість нього виконується протилежна нерівність

.

Метод доведення в цьому випадку відрізняється від другого розділу, тому що теореми 2 і 3 в цьому випадку не є виконаними. У цьому випадку доведення Теореми 1 базується на оцінках локальної енергії розв'язку, які дають умови локального обернення розв'язку на нуль, що сформульовано в наступній теоремі.

Теорема 4. Нехай , , , , - кулі з центром у точці радіусів . Тоді існує така абсолютна стала , що якщо виконана нерівність

то тоді на множині .

У той же час, замість твердження Теореми 2 у випадку швидкої дифузії ми маємо слабкішу нерівність.

Теорема 5. Для розв'язку задачі , у випадку швидкої дифузії виконано

На базі наведених тверджень шляхом оцінок енергії розв'язку через масу розв'язку доводяться оцінки , Теореми 1.

Додамо також, що третій розділ дисертації містить окреме вивчення явища миттєвої компактіфікації насія для рівняння теплопровідності з абсорбцією.

У четвертому розділі розглянуто наступну задачу Коші для подвійно нелінійного параболічного рівняння з анізотропним виродженням та зі зростаючими на нескінченності початковими даними для невідомої функції

,

де , , , - задані сталі, які задовольняють умовам виродженості рівняння

,

причому в останньому співвідношенні позначено

-

середнє гармонічне показників .

Означимо анізотропний паралелепіпед у просторі

, ,

де позначено

, , .

Початкова функція у співвідношенні може зростати на нескінченності, але припускається такою, що для неї є скінченною наступна величина

, ,

де позначено

.

Означимо, далі, додатні показники

, ,

та означимо строго монотонно зростаючу функцію

причому ми припускаємо без обмеження довільності, що .

Означимо, нарешті, величини

де - певна абсолютна додатна стала.

Розв'язність задачі , та якісні властивості її розв'язку описуються наступною теоремою.

Теорема 6. Нехай в умові . Тоді існує додатна стала в означенні величини вище, що на інтервалі часу існує невід'ємний слабкий розв'язок задачі , , для якого є виконаними наступні оцінки:

для довільного , а також оцінки

для довільних .

Доведення цієї теореми базується на локальних інтегральних оцінках розв'язку і на оцінках енергії розв'язку та максимуму розв'язку через масу розв'язку з наступною оцінкою інтегральної норми розв'язку через інтегральну норму початкової функції.

П'ятий розділ присвячено якісному вивченню процесу розширення за часом носія розв'язку задачі Коши для подвійно нелінійного параболічного рівняння з анізотропним виродженням, коли початкові дані є фінітними. Отримано точні за порядком двосторонні оцінки розмірів носія розв'язку.

Розглядається задача Коші такого ж, як у попередньому розділі, вигляду

,

але початкові дані припускаються фінітними, тобто ми припускаємо, що носій початкової функції міститься в паралелепіпеді

.

Позначимо

-

маса початкової функції, яка впливає на швидкість розширення за часом носія розв'язку. Відносно показників ми припускаємо, що вони мають не дуже великий розкид значень, а саме

де, як і в попередньому розділі, - середнє гармонійне показників . Нехай параметри , та означені таким же чином, як і в попередньому розділі. Означимо, також, параметри

Відмітимо, що з Теореми 6 попереднього розділу випливає, що задача , має слабкий розв'язок для всіх . Поведінка носія розв'язку задачі , описується наступною теоремою.

Теорема 7. Слабкий розв'язок задачі , має компактний носій для всіх , причому, якщо - точні розміри носія розв'язку в напрямку координатної осі в момент часу (тобто паралелепіпед є найменшим з паралелепіпедів, що містять носій), то є виконаними наступні оцінки

Ці оцінки є точними за порядком і , тобто за великих і виконано також зворотні нерівності

Відмітимо, що у випадку, коли , показники і співпадають з відомими показниками для ізотропного випадку

У шостому розділі вивчено поведінку носія розв'язку анізотропного виродженого параболічного рівняння з абсорбцією за наявності явища миттєвої компактифікації носія та знайдено необхідні та достатні умови цього явища. Розглядається задача Коші вигляду

,

де виконано ті ж самі обмеження на параметри рівняння , що і в четвертому розділі, а також обмеження сильної абсорбції .

Означимо наступні важливі показники, які є анізотропними аналогами ізотропного випадку другого розділу

а також позначимо

-

паралелепіпед з центром у точці та сторонами . Позначимо, далі, наступні функції

Умови народження інтерфейсу розв'язку задачі , та поведінка розмірів носія розв'язку за часом описано в наступній теоремі.

Теорема 8. Якщо початкова функція в умові є невід'ємною, то розв'язок задачі , має властивість миттєвої компактифікації носія тоді і тільки тоді, коли

за якогось (тоді ця умова буде виконаною для всіх ). Якщо ця умова є виконаною, для довільного існують такі додатні сталі , , , , що на інтервалі часу виконано наступні оцінки зверху та знизу розмірів носія розв'язку:

Зауважимо, що наведені оцінки розмірів носія показують, що, якщо початкові дані поводять себе на нескінченності ізотропним чином, то форма виникаючого інтерфейсу є ізотропною, незважаючи на анізотропію рівняння , - на відміну від попереднього розділу, коли носій фінітної функції починає розширюватись. Але якщо початкові дані в умові поводять себе на нескінченності анізотропним чином, то й форма виникаючого інтерфейсу буде мати анізотропний характер. Точніше, означимо функції

а також означимо функцію розмірів інтерфейсу в різних напрямках

Теорема 9. В умовах Теореми 8 є виконаними наступні оцінки зверху і знизу розмірів носія розв'язку задачі ,

Тобто розміри інтерфейсу є різними в різних напрямках залежно від поведінки початкової функції.

Сьомий розділ присвячено вивченню впливу неоднорідності абсорбції та неоднорідності середовища на явище миттєвої компактифікації носія розв'язку задачі Коші для подвійно нелінійних параболічних рівнянь. При цьому знайдено точні необхідні та достатні умови миттєвого виникнення інтерфейсу в термінах взаємодії поведінки початкових даних, неоднорідності абсорбції і неоднорідності середовища. Також отримано точні за порядком двосторонні оцінки розмірів інтерфейсу.

У першій частині розділу розглядається Задача Коши вигляду

,

де додатна функція , яка зростає або спадає на нескінченності, припускається неперервною та такою, що задовольняє умові

де - деяка додатна стала.

Означимо показники

Означимо ще певний характерний радіус, пов'язаний з точкою і з . Зафіксуємо і позначимо

.

Означимо ще функцію

де - об'єм одиничної кулі в , а також для функцію

Умови миттєвого виникнення інтерфейсу розв'язку задачі , та поведінка цього інтерфейсу за малих моментів часу описуються наступною теоремою.

Теорема 10. Якщо початкова функція є невід'ємною, то розв'язок задачі , має властивість миттєвої компактифікації носія тоді і тільки тоді, коли

Якщо ця умова є виконаною, то існують такі додатні сталі , , , , , що на інтервалі часу виконано наступні оцінки розмірів інтерфейсу зверху і знизу:

Якщо ж початкова функція довільно змінює знак, то оцінка розмірів носія зверху є виконаною і в цьому випадку.

З означення функції та з наведених оцінок випливає, що, якщо неоднорідність зростає на нескінченності, то миттєва компактифікація носія має місце навіть якщо початкові дані певним чином зростають на нескінченності - точна умова можливого росту міститься в формулах Теореми 10. Крім того, з тих же умов випливає, що, якщо неоднорідність спадає на нескінченності, початкові дані повинні досить швидко спадати на нескінченності для того, щоб миттєва компактифікація носія мала місце. Наприклад, з Теореми 10 випливає, що якщо неоднорідність та початкові дані поводять себе на нескінченності ступеневим чином, тобто, якщо

де , - довільні числа, то миттєва компактифікація носія спостерігається тоді і тільки тоді, коли

При цьому для розмірів інтерфейсу має місце асимптотична формула

У другій частині сьомого розділу розглянуто задачу Коші для невідомої функції вигляду



де , , - гладка додатна функція, яка моделює неоднорідність середовища та має певну поведінку на нескінченності вигляду

Початкова функція в припускається неперервною, невід'ємною та такою, що

рівномірно при

для деяких , . Крім того, на початкову функцію накладаються деякі умови, що означають у певному сенсі схожість поведінки цієї функції на ступеневу поведінку. У цьому ступеневому випадку поведінки функцій і наявність явища миттєвої компактифікації носія розв'язку та поведінка виникаючого інтерфейсу описуються наступною теоремою. Теорема 11. Якщо та виконана умова

то для розв'язку задачі , спостерігається явище миттєвої компактифікації носія, причому існують такі додатні сталі , що для розмірів носія є виконаною наступна оцінка:



Якщо ж і , то явище миттєвої компактифікації носія може бути відсутнім.

У неступеневому випадку поведінки функцій і ми припускаємо, що виконана умова

з деякою функцією , яка разом з функцією задовольняє умові

та припустимо, що . У цьому випадку явище миттєвої компактифікації носія та розміри інтерфейсу описуються наступною теоремою.

Теорема 12. Якщо функція

є монотонно спадаючою до нулю при , то для розв'язку задачі , спостерігається явище миттєвої компактифікації носія, причому існують такі додатні сталі , що для розмірів носія є виконаною наступна оцінка

,

де - зворотна функція до .

Зауважимо, що на відміну від першої частини сьомого розділу, доведення теорем 11 і 12 базуються на принципах порівняння та на застосуванні бар'єрної техніки. На базі тієї ж техніки може бути доведено зникнення розв'язку за скінченний час. А саме, є справедливою наступна теорема.

Теорема 13. В умовах теорем 11, 12 існує таке , яке залежить від , що для розв'язку задачі , виконано

для .

У восьмому розділі вивчено задачу з вільною межею для параболічного рівняння з розривними коефіцієнтами і правою частиною, яка виникає, зокрема, в певних математичних моделях пористого середовища. Розглядається наступна початково- крайова задача для невідомої функції :

,

,

де , , і - задані функції, - задана матриця коефіцієнтів.

При цьому ми припускаємо, що функції і мають розрив першого роду при :

Таким чином, у заздалегідь невідомих областях і коефіцієнти і права частина рівняння є гладкими, а отже з відомої теорії регулярності параболічних рівнянь випливає гладкість розв'язку задачі - в цих областях. Таким чином, згадані області і , а також інтерфейс розподілу цих областей (вільна межа) є основними принциповими невідомими задачі - .

Сформулюємо задачу - у вигляді задачі з невідомим інтерфейсом. Для цього введемо спочатку певну параметризацію невідомого інтерфейсу за допомогою деякої заздалегідь невідомої функції, яка означена на поверхні . Зазначимо, по- перше, що - є початкове положення невідомого інтерфейсу, як це випливає з означення та властивостей початкової функції . Нехай - локальні координати на поверхні , - нормаль до , яка спрямована в бік області . Нехай, далі, - деяка поки що невідома гладка функція, означена на . Представимо невідомий інтерфейс у вигляді

де - точка на поверхні з координатами . Таким чином, функція - параметризація невідомого інтерфейсу в термінах його відхилення в момент часу від початкового положення. Позначимо - ті невідомі області, на які поверхня розбиває область і які примикають до відповідно (ці області є тими невідомими областями, де розв'язок задачі - зберігає свій знак ). Позначимо також через звуження функції на область , а через - звуження функції на область . Крім того, позначимо через звуження функції відповідно на області

Наступна задача для невідомих функцій , і є еквівалентом задачі -

а - нормаль до поверхні , яка спрямована в бік області . Ми припускаємо виконаними наступні умови на дані задачі.



Наявність гладкого інтерфейсу і гладкого розв'язку розглядуваної задачі стверджується в наступній теоремі.

Теорема 14. При виконанні зазначених умов на дані задачі - , а також при виконанні стандартних умов узгодження до першого порядку включно задача - , а тим самим і задача - , мають єдиний гладкий розв'язок на певному інтервалі часу , причому є виконаною наступна оцінка:

зокрема, інтерфейс розподілу областей і є гладкою поверхнею.

Загальна схема доведення цієї теореми полягає в наступному. За допомогою певної заміни змінних, яка залежить від невідомої функції , задача - зводиться до задачі в відомих фіксованих областях для невідомої трійки . При цьому задача загалом може бути представлена у вигляді рівняння в певних банахових просторах гладких функцій

з певним гладким відносно свого аргументу нелінійним оператором . Далі визначається початкове наближення до розв'язку - такий елемент , який є продовженням в область початкових даних зі збереженням гладкості та зі збереженням початкових похідних відносно змінної , які визначаються з рівнянь та початкових даних. Після цього вихідне нелінійне рівняння наближується його головною лінійною частиною, тобто представляється у вигляді

де , а - лінійний оператор, який є похідною Фреше оператора в точці . Завдяки підвищеній гладкості елемента і завдяки тому, що оператор є “квадратичним” за малих (це випливає з означення та гладкості оператора ) є виконаними наступні оцінки

Наша наступна задача полягає в тому, щоб показати, що лінійний оператор має обмежений зворотній оператор, отже, останнє рівняння може бути записане у вигляді

Завдяки нерівностям , можна перевірити, що за достатньо малого оператор в правій частині останнього рівняння відображає достатньо малу кулю в саму себе і є стискаючим оператором на цій кулі. Отже, єдина нерухома точка цього оператора дає розв'язок розглядуваної задачі.

ВИСНОВКИ

У дисертації вивчено виникнення, поведінку в залежності від часу і властивості гладкості різного виду інтерфейсів, що виникають в різних моделях математичної фізики, які описуються рівняннями з частинними похідними і задачами з вільними межами для таких рівнянь. Наступні результати дисертації є основними.

1. Отримано точні необхідні та достатні умови миттєвого виникнення інтерфейсу (миттєва компактифікація носія) в задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю і абсорбцією у випадках, як повільної, так і швидкої дифузії, а також для рівняння теплопровідності. Вперше розглянуто широкий клас можливих початкових даних, включаючи комбінації функцій джерела і, взагалі, довільні локально скінченні міри Радона.

2. В задачі Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю і абсорбцією у випадках, як повільної, так і швидкої дифузії, а також для рівняння теплопровідності отримано точні за порядком двосторонні оцінки поведінки інтерфейсу в залежності від часу в термінах поведінки початкових даних на нескінченності.

3. Вивчено розв'язність та основні якісні властивості розв'язку задачі Коші для подвійно нелінійного параболічного рівняння з анізотропним виродженням та анізотропно зростаючими в різних напрямках на нескінченності початковими даними. У термінах поведінки початкових даних на нескінченності знайдено порядок інтервалу існування розв'язку. Доведено, що розв'язок є локально обмеженим, та отримано локальні оцінки максимуму розв'язку. Отримано також локальні оцінки градієнту розв'язку в анізотропних просторах Соболєва.

4. Доведено властивість скінченної швидкості розповсюдження збурень у задачі Коші для подвійно виродженого анізотропного рівняння з фінітними початковими даними. Отримано точні за порядком двосторонні оцінки швидкості збільшення розмірів носія розв'язку, тобто швидкості розповсюдження інтерфейсу.

5. Отримано точні необхідні та достатні умови миттєвого виникнення інтерфейсу в задачі Коші для параболічного рівняння з анізотропним виродженням та подвійною нелінійністю і абсорбцією. Отримано також точні за порядком двосторонні оцінки розмірів виникаючого інтерфейсу.

6. Вивчено характер впливу неоднорідності абсорбції та неоднорідності середовища на умови миттєвого виникнення інтерфейсу в задачі Коші для квазілінійного виродженого параболічного рівняння з абсорбцією, знайдено точні необхідні та достатні умови виникнення цього явища. Отримано точну за порядком формулу розмірів інтерфейсу в термінах сукупної взаємодії на нескінченності неоднорідності середовища, неоднорідності абсорбції і початкових даних.

7. Вивчено існування гладкого інтерфейсу в початково - крайовій задачі для квазілінійного параболічного рівняння з розривними коефіцієнтами та розривним джерелом, яке виникає в теорії пористого середовища. Доведено, що інтерфейс розриву коефіцієнтів є гладкою поверхнею, а задача в цілому має розв'язок, який є гладким із кожної зі сторін інтерфейсу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Degtyarev S.P. Instantaneous support shrinking phenomenon in the case of fast diffusion for a doubly nonlinear parabolic equation with absorption/ S.P.Degtyarev// Advances in Differential

Equations.- 2008.- v.13.- No.11-12.- P.1031-1050.

2. Дегтярев С.П. Об условиях мгновенной компактификации носителя и о точных оценках носителя в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией / С.П.Дегтярев// Матем. сборник.- 2008.- т.199.- №4.- С.37-64.

3.Дегтярев С.П. Влияние неоднородности пористой среды на мгновенную компактификацию носителя решения задачи фильтрации / С.П.Дегтярев// Укр.мат.журнал.- 2006.- т.58.- №8.- С.1035-1044.

4. Дегтярев С.П. оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными / С.П.Дегтярев, А.Ф.Тедеев// Матем. сборник.- 2007.- т.198.- №5.- С.45-66.

5. Bazaliy B.V. Classical solutions of many-dimensional elliptic-parabolic free boundary problems /B.V.Bazaliy, S.P.Degtyarev// Nonlinear Differ.Equ. Appl. (NoDEA).- 2009.-

v.16.- No 4.- P.421-443.

6. Дегтярев С.П. О мгновенной компактификации носителя решения в задаче Коши для анизотропного параболического уравнения / С.П.Дегтярев// Укр.мат.журнал.- 2009.- т.61.- №5.- С.625-640.

7. Дегтярев С.П. Оценки решения задачи Коши с растущими начальными данными для параболического уравнения с анизотропным вырождением и двойной нелинейностью / С.П.Дегтярев, А.Ф.Тедеев// Доклады Академии Наук.- Ноябрь 2007.- т.417.- №2.- С.156-159.

8. Дегтярев С.П. О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей / С.П.Дегтярев// Український математичний вісник.- 2008.- т.5.- №1.- С.59-82.

9. Базалий Б.В. Классическая разрешимость многомерной нестационарной задачи фильтрации со свободной границей. / Б.В.Базалий, И.И.Данилюк, С.П.Дегтярев// Докл.АН УССР, сер.А.- 1987.- №2.- С.9-15.

10. Дегтярев С.П. Двусторонние оценки носителя решения задачи Коши для анизотропного квазилинейного вырождающегося уравнения / С.П.Дегтярев, А.Ф.Тедеев// Укр.мат.журнал.- 2006.- т.58.- №11.- С.1477-1486.

11. Дегтярев С.П. Необходимые и достаточные условия мгновенной компактификации носителя решения и двусторонние оценки его размеров в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией / С.П.Дегтярев// Доповіді НАН України.- 2007.- №12.- С.7-15.

12. Дегтярев С.П. Об оптимальной регулярности решения первой краевой задачи для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений / С.П.Дегтярев// Український математичний вісник.- 2006.- т.3.- №4.- С.443-466.

13. Дегтярев С.П. Явление мгновенной компактификации носителя в условиях неоднородной абсорбции и при возможном росте начальных данных / С.П.Дегтярев// Доповіді НАН України.- 2008.- №12.- С.13-22.

14. Дегтярев С.П. О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения / С.П.Дегтярев// Доповіді НАН України.- 2009.- №1.- С.7-13.

15. Гусаков В.Н. Существование гладкого решения в одной задаче фильтрации / В.Н. Гусаков, С.П.Дегтярев// Укр.мат.журнал.- 1989.- т.41.- №9.- С.1192-1198.

16. Базалий Б.В. Разрешимость задачи с неизвестной границей между областями определения параболического и эллиптического уравнений / Б.В. Базалий, С.П.Дегтярев// Укр.мат.журнал.- 1989.- т.41.- №10.- С.1343-1349.

17. Дегтярев С.П. Мгновенная компактификация носителя решения задачи Коши для квазилинейного уравнения теплопроводности / С.П.Дегтярев// Труды ИПММ НАНУ.- 2009.- т.18.- С.47-55.

18. Дегтярев С.П. Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения / С.П.Дегтярев// Український математичний вісник.- 2009.- т.6.- №3.- С.338-370.

19. Дегтярев С.П. О существовании гладкого решения задачи со свободной границей для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами / С.П.Дегтярев// Доповіді НАН України.- 2009.-№12.- С.21-26.

20. Базалий Б.В. О задаче Стефана с кинетическим и классическим условием на свободной границе/ Б.В.Базалий, С.П.Дегтярев//Український мат. журнал.- 1992.-т.44.-№2.-С.155-166.

21. Degtyarev S.P. Instantaneous support shrinking phenomenon in inhomoge- neous porous media/ S.P.Degtyarev//International conference "Nonlinear PDE", Alushta, September, 2005, Book of Abstracts.- P.25.

22. Degtyarev S.P. A Cauchy problem for an anisotropic doubly degenerate parabolic equation with growing initial data /S.P.Degtyarev, A.F.Tedeev//International conference "Nonlinear PDE", Yalta, September, 2007, Book of Abstracts.- P.23.

23. Degtyarev S.P. The instantaneous support shrinking property for a doubly degenerate parabolic equation/ S.P.Degtyarev//Second International conference for young mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya.B.Lopatinskii, Donetsk, 2008, Book of Abstracts.- P.11.

24. Gusakov V.N. Existence of a smooth solution of a 3D unsteady filtration problem with free boundary (constant density)/ V.N.Gusakov, S.P.Degtyarev// International conference "Free-Boundary Problems In Continuum Mechanics", Novosibirsk, July, 1991.- Book of Abstracts.- P.53-54.

25. Degtyarev S.P. The instantaneous support shrinking phenomenon in the case of slow and fast diffusion with absorption for a doubly nonlinear parabolic equation /S.P.Degtyarev//Abstracts of Ukrainian Mathematical Congress, Kyjiv, 2009.

АНОТАЦІЇ

Дегтярьов С.П. Поведінка інтерфейсів у деяких математичних моделях фільтрації. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико - математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2010 .

Дисертаційна робота присвячена систематичному дослідженню носіїв розв'язків та деяких інших інтерфейсів у математичних проблемах, пов'язаних з моделями, які описуються нелінійними еволюційними задачами для рівнянь з частинними похідними параболічного типу, в тому числі для рівнянь з анізотропним виродженням. При цьому вивчаються як якісна поведінка інтерфейсів із часом, так і властивості гладкості інтерфейсів. Застосовані методи базуються, з одного боку, на техніці локальних інтегральних оцінок, а з іншого - на вивченні загальних нелінійних рівнянь у банахових просторах функцій.

Отримано точні необхідні та достатні умови миттєвого виникнення інтерфейсів у задачах Коші для вироджених і сингулярних квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбцією. В умовах миттєвого виникнення інтерфейсу отримано точні за порядком оцінки його поведінки за часом. Отримані оцінки містять у собі та узагальнюють усі окремі результати для окремих випадків, які були отримані раніше.

На базі вивчення розв'язності та якісних властивостей розв'язку рівнянь з анізотропним виродженням та анізотропно зростаючими початковими даними отримані точні за порядком оцінки поведінки інтерфейсу за часом для розв'язків анізотропних подвійно нелінійних параболічних рівнянь як у випадку розповсюдження початкового інтерфейсу за часом, так і у випадку миттєвого виникнення інтерфейсу з подальшим його стисканням.

Вивчено вплив неоднорідності середовища і неоднорідності абсорбції на явище миттєвого виникнення інтерфейсу. При цьому не тільки отримано точні умови виникнення цього явища, а й отримано точну за порядком формулу розмірів інтерфейсу, яка зв'язує разом поведінку неоднорідності середовища або неоднорідності абсорбції та поведінку початкових даних.

Доведено гладкість інтерфейсу розриву коефіцієнтів для розв'язку параболічного рівняння з розривними коефіцієнтами та розривним джерелом.

Результати дисертації мають теоретичний характер та можуть бути використані в якісній теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та в теорії задач з вільною межею.

Ключові слова: інтерфейс, носій розв'язку, миттєва компактифікація носія, скінченна швидкість розповсюдження збурень, задача з вільною межею, класичний розв'язок.