Майже перiодичнi субгармонiйнi функцiї та майже перiодичнi мiри

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В.Н. Каразiна

МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI СУБГАРМОНIЙНI ФУНКЦIЇ ТА МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI МIРИ

01.01.01 - математичний аналiз

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук

Рахнiн Андрiй Вячеславович

УДК 517.518.6

Харкiв - 2010

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Харкiвському нацiональному унiверситетi iменi В.Н. Каразiна Мiнiстерства освiти i науки України.

Науковий керiвник:

доктор фiзико-математичних наук, професор,

Фаворов Сергiй Юрiйович,

Харкiвський нацiональний унiверситет

iменi В.Н. Каразiна, м. Харкiв,

завiдувач кафедри теорiї функцiй та функцiонального аналiзу.

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, професор,

Гришин Анатолiй Пилипович,

професор кафедри математичного аналiзу

Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В.Н.Каразiна;

доктор фiзико-математичних наук,

Чижиков Iгор Ельбертович,

доцент кафедри теорiї функцiй i теорiї ймовiрностей

Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка.

Захист вiдбудеться "16" квітня 2010 р. o 17-00 годинi на засiданнi спецiалi-зованої вченої ради К 64.051.11 при Харкiвському нацiональному унiверситетi iменi В.Н. Каразiна за адресою: 61077, м. Харкiв, пл. Свободи 4, ауд. 6-52.

З дисертацiєю можна ознайомитися в Центральнiй науковiй бiблiотецi Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В.Н. Каразiна за адресою: 61077, м. Харкiв, пл. Свободи 4.

Автореферат розiсланий "09" березня 2010 р.

Вчений секретар

спецiалiзованої вченої ради Скорик В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Теорiя майже перiодичних функцiй починається з роботи Ж.Л. Лагранжа, де, у зв'язку з однiєю астрономiчною проблемою, було поставлено (та вирiшено у часному випадку) питання про iснування так званого середнього руху у узагальненого тригонометричного полiному. Бiльш-менш закiнчений вигляд теорiя майже перiодичних функцiй здобула пiсля робiт Ґ. Бору в 20-х роках минулого столiття. Подальший розвиток теорiя отримала у роботах Ґ. Бора, В. Маака, Г. Вейля, Н. Вiнера, Дж. Фон Неймана, С. Бохнера, А.С. Безiковича, А.С. Кованька, М. Боголюбова, М.Г. Крейна, Б.Я. Левiна, Б.М. Левiтана, В.О. Марченка та iнших.

Основне використання теорiя майже перiодичних функцiй знайшла в теорiї диференцiальних рiвнянь та в багатовимiрних еволюцiйних рiвняннях.

Водночас з теорiєю майже перiодичних функцiй на прямiй у роботах Ґ. Бора, Б. Йєссена та iнших розвивалася теорiя голоморфних майже перiодичних функцiй у смузi. Слiд вiдзначити також фундаментальну роботу Б. Йєссена й Ґ. Торнехава (1945 р.), де були повнiстю описанi асимптотики розподiлу нулiв голоморфних майже перiодичних функцiй у смузi. Одним iз мотивiв розвитку цiєї теорiї було бажання довести гiпотезу Рiмана про коренi ж-функцiї.

Вивчення голоморфних майже перiодичних функцiй було продовжено в роботах українських математикiв М.Г. Крейна, Б.Я. Левiна та його учня М.Г. Лю-барського.

Наприкiнцi двадцятого столiття з'явилися роботи Л.I. Ронкiна, в яких вiн, використовуючи теорiю узагальнених функцiй, розповсюдив результати Ґ. Бора, Б.Йєссена, Ґ. Торнехава на голоморфнi функцiї багатьох змiнних. Слiд вiдзначити, що методи теорiї узагальнених функцiй виявились ефективними i для дослiдження майже перiодичних голоморфних функцiй однiєї змiнної. Так, у сумiснiй роботi Л.I. Ронкiна, О.Ю. Рашковського, С.Ю. Фаворова (1998 р.) був одержаний повний опис класу голоморфних функцiй iз майже перiодичною множиною нулiв, а також створений метод, що дозволив у явному виглядi побудувати голоморфну майже перiодичну функцiю у смузi iз заданою послiдовнiстю нулiв.

Слiд вiдмiтити, що в цiй роботi вперше з'явилось поняття майже перiодiчної субгармонiйної функцiї. Цi функцiї використовувалися при конструюваннi голоморфних майже перiодичних функцiй iз заданими нулями.

Багато фундаментальних результатiв теорiї голоморфних функцiй розповсюджуються на субгармонiйнi функцiї. Цi теореми носять бiльш загальний характер та дозволяють подивитись на голоморфнi варiанти теорем з нової точки зору, спростити доведення, а часто також дозволяють отримати новi результати для голоморфних функцiй. Тому перенесення теорiї голоморфних майже перiодичних функцiй на субгармонiйнi функцiї є природним та актуальним.

З iншого боку, субгармонiйну функцiю можно трактувати як розв'язання рiвняння Пуасона з невiд'ємною узагальненою функцiєю у правiй частинi, що дозволяє розглядати теореми про властивостi майже перiодичних субгармонiйних функцiй як результати з теорiї диференцiйних рiвнянь у часних похiдних з майже перiодичними коефiцiєнтами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Ди- сертацiйна робота виконана на кафедрi теорiї функцiй та функцiонального аналiзу механiко-математичного факультету Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В.Н. Каразiна. Дисертацiя є складовою частиною держбюджетних науково-дослiдних робiт ”Функцiональнi простори та напiвгрупи” (номер державної реєстрацiї 0100U003348) та ”Аналiтичнi та алгебраїчнi методи дослiдження функцiональних просторiв, напiвгруп, ймовiрнiсних законiв” (номер державної реєстрацiї 0103U004224). Дослідження були підтримані INTAS-проектом №99-00089.

Мета i задачi дослiдження. Метою дисертацiї є розробка нового напрямку у теорiї майже перiодичних функцiї.

Об'єкт дослідження - майже перiодичнi функцiї та майже перiодiчнi мiри.

Предметом дослідження є майже перiодичнi субгармонiйнi функцiї та їх мiри Рiса.

Методи дослідження - методи теорiї потенцiалу, методи теорiї динамiчних систем та методи комплексного аналiзу.

Основними задачами дослiдження є такi:

Вивчити властивостi майже перiодичних субгармонiйних функцiй у смузi.

Дати нове, еквiвалентне визначення майже перiодичних субгармонiйних функцiй у смузi, яке не використовує поняття узагальненої функцiї.

Вивчити властивостi коефiцiєнтiв Фур'є-Бору майже перiодичних субгар- монiйних функцiй у смузi.

Вивчити властивостi мiр Рiса майже перiодичних субгармонiйних функцiй у смузi.

Дати повний опис мiр Рiса рiзних класiв субгармонiйних функцiй у смузi, якi повiльно зростають, а саме:

а) обмежених на дiйснiй осi;

б) для яких зсуви вздовж дiйсної осi створюють компактне сiмейство;

в) майже перiодичних у кожнiй горизонтальнiй смузi.

Наукова новизна отриманих результатiв. У дисертацiйнiй роботi впер-ше:

1. Доведено, що клас субгармонiйних у смузi та майже перiодичних у сенсi розподiлу функцiй спiвпадає з класом субгармонiйних функцiй у смузi, якi є майже перiодичними у метрицi Степанова.

2. Доведено, що якщо логарифм субгармонiйної функцiї є також субгар- монiйною функцiєю, то операцiя логарифмування зберiгає i майже перiодичнiсть.

3. Доведена неперервнiсть коефiцiєнтiв Фур'є-Бору майже перiодичних субгармонiйних функцiй.

4. Введено аналог функцiї Йєссена для майже перiодiчних субгармонiйних функцiй та одержаний зв'язок мiж властивостями функцiї Йєссена та асимптотикою мiри Рiса субгармонiйної функцiї.

5. Був доведений субгармонiйний аналог теореми Левiна про вiкову сталу.

6. Описанi мiри Рiса субгармонiйних функцiй, якi мають у площинi не бiльш нiж лiнiйне зростання, та є обмеженими на дiйснiй осi, або зсуви яких вздовж дiйсної осi утворюють компактну сiм'ю.

7. Описанi мiри Рiса майже перiодичних субгармонiйних функцiй, якi мають у площинi не бiльш нiж лiнiйне зростання.

8. Описанi нулi цiлих функцiй експоненцiйного типу, модуль яких є майже перiодичною функцiєю.

Практичне значення отриманих результатiв. У дисертацiї проведено фундаментальнi теоретичнi дослiдження, якi можуть знайти застосування в теорiї розподiлу значень голоморфних функцiй, у теорiї динамiчних систем, у теорiї диференцiйних рiвнянь та в iнших роздiлах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач належать науковому керiвнику доктору фiзико-математичних наук, професору С.Ю. Фаворову. Усi результати дисертацiї були отриманi автором самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи доповiдалися й обговорювалися на Мiжнароднiй конференцiї ”Математичний аналiз та економiка” (Суми, 2003 р.), на Мiжнароднiй конференцiї ”Комплексний аналiз та його застосування” (Львiв, 2003 р.), на Мiжнароднiй ХII лiтнiй конференцiї з математичного аналiзу (Санкт-Петербург, 2003 р.), на Мiжнароднiй ХIII лiтнiй конференцiї з математичного аналiзу (Санкт-Петербург, 2004 р.), на X мiжнароднiй науковiй конференцiї iменi академiка М. Кравчука (Київ, 2004 р.), на Мiжнароднiй конференцiї “Узагальненi функцiї” (Новi Сад, Сербiя, 2004 р.), на Мiжнароднiй конференцiї “Чисельнi методи та теорiя функцiй” (Йоєнсу, Фiнляндiя, 2005 р.), на Мiжнароднiй конференцiї ”Математичний аналiз i сумiжнi питання” (Львiв, 2005 р.), на Мiжнароднiй конференцiї “Узагальненi функцiї” (Відень, Австрiя, 2009 р.), на Харкiвському мiському семiнарi з теорiї функцiй (керiвник семiнару - доктор фiзико-математичних наук, професор А.П. Грiшин), на Львiвському мiжвузiвському семiнарi з теорiї аналiтичних функцiй (керiвники семiнару - доктор фiзико-математичних наук, професор О.Б. Скаскiв та доктор фiзико-математичних наук, професор А.А. Кондратюк).

Публiкацiї. Результати дисертацiї знайшли вiдображення у 12 наукових публiкацiях, у тому числi в 4 статтях у фахових наукових виданнях, та у 8 тезах виступiв на конференцiях.

Структура дисертацiї. Дисертацiя складається зi вступу, трьох роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел, який мiстить 105 найменування та займає 11 сторiнок. Загальний об'єм роботи складає 117 сторiнок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керiвнику доктору фiзико-математичних наук, професору Фаворову Сергiю Юрiйовичу за постановку задач та постiйну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi обґрунтовується актуальнiсть теми дисертацiї, сформульованi мета та задачi дослiдження, викладений зв'язок з науковими темами та програмами, розкрита наукова новизна, загальна методика, практичне значення отриманих результатiв.

У роздiлi 1 дисертацiйної роботи наведенi вiдомi ранiше результати, якi мають вiдношення до теми роботи та визначений напрямок дослiджень.

У пiдроздiлах 1.1 i 1.2 наведенi результати про майже перiодичнi функцiї на прямiй та у смузi, що належать бiльшою мiрою Ґ. Бору, а також описуються властивостi голоморфних майже перiодичних функцiй у смузi.

Визначення 1.5. Неперервна в замкненiй горизонтальнiй смузi S[a,b] = {z C: a ? Im z ? b}, де -? < a < b < +?, функцiя f(z) називається рiвномiрною майже перiодичною функцiєю у смузi S[a,b], якщо для будь-якого невiд'ємного е множина е-майже перiодiв Eе(f) = {t R: |f(z + t) - f(z)| < е, zS[a,b]} є вiдносно щiльною в R, тобто iснує невiд'ємне L = L(е,f) < ? таке, що будь-який вiдрiзок дiйсної вiсi довжини L має з множиною Eе(f) непустий перетин.

Клас рiвномiрних майже перiодичних функцiй замкнений вiдносно операцiй додавання, множення та граничного переходу в C(S[a,b]).

Для кожної рiвномiрної майже перiодичної функцiї f(z) рiвномiрно за z S[a,b] iснує середнє значення

періодичний коефіцієнт динамічний субгармонійний

Теорема 1.6. Коефiцiєнти Фур'є-Бора рiвномiрної майже перiодiчної функцiї f(z) у смузi S[a,b] aл(y) = M{f(x + iy)e-iлx} є неперервними функцiями вiд y [a,b]; множина таких л, для яких aл(y)0 є не бiльш нiж злiченою множиною (ця множина називається спектром).

Для голоморфних майже перiодичних функцiй iснує iнше еквiвалентне визначення.

Теорема 1.7. Функцiя f(z) є рiвномiрною майже перiодичною функцiєю у замкненiй смузi S[a,b] тодi i тiльки тодi, коли f(z) можна рiвномiрно у S[a,b] апроксимувати сумами виду an(y)eiлnx, де лn R, an(y) - неперевнi функцiї на вiдрiзку [a,b].

Для вiдкритої смуги визначення майже перiодичностi має наступний вигляд.

Визначення 1.6. Неперервна у вiдкритiй горизонтальнiй смузi S(a,b) = {z С : a < Im z < b}, де -?? a < b ? +?, функцiя f(z) називається рiвномiрною майже перiодичною функцiєю, якщо для будь-якої замкненої пiдсмуги S[б,в] S(a,b), a < б < в < b, f(z) рiвномiрно майже перiодична у S[б,в].

Ґ. Бору належить наступний аналог вiдомої теореми Вiнера i Пелi про цiлi функцiї експоненцiйного типу, якi належать до L2 на дiйснiй осi.

Теорема 1.10. Нехай f(x) - рiвномiрна майже перiодична функцiя на R (визначення 1.5 при a = b = 0). Тодi спектр f(x) є обмеженим тодi i тiльки тодi, коли f(x) продовжується до цiлої майже перiодичної функцiї експоненцiйного типу f(z) у С = S(-?,?).

Далi наведенi результати Б. Йєссена та Ґ. Торнехава (1945 р.) про розподiл нулiв голоморфних майже перiодичних функцiй.

Теорема 1.11. Нехай f(z) - голоморфна майже перiодична функцiя у смузi S(a,b). Тодi iснує величина

Бiльш того, Jf(y) - опукла на iнтервалi (a,b) та неперервна.

Через N(f,T,б,в) визначимо число нулiв функцiї f, з урахуванням їх кратностi, у прямокутнику (-T,T)Ч(б,в).

Теорема 1.13. Нехай f(z) - голоморфна майже перiодична функцiя у смузi S(a,b), тоді для усіх a < б < в < b таких, що існує J'f(б) та J'f(в) виконується спiввiдношення

Теорема 1.14. Нехай f(z) - голоморфна майже перiодична функцiя у смузi S(a,b). Тодi пiдсмуга S(б,в) S(a,b) не мiстить нулiв функцiї f(z) тодi i тiльки тодi, коли Jf(y) лiнiйна на iнтервалi (б,в).

Далi у пiдроздiлi дається визначення та деякi властивостi майже перiо- дичних функцiй за Степановим.

Для вимiрних функцiй f(x+iy), g(x+iy) таких, що |f|p, |g|p при кожному фiксованому y iнтегрованi по x за кожному скiнченному iнтервалi, визначимо метрику Степанова порядку p

(1)

Визначення 1.8. Вимiрна та локально iнтегруєма за x при кожному фiксованому y функцiя f(x+iy) називається майже перiодичною функцiєю за Степановим у смузi S(a,b), якщо для будь-яких б, в (a < б < в < b) та будь-якого невiд'ємного е множина е-майже перiодов Eе(f) = {t R: dp[б,в](f(z + t), f(z)) < е, z S[б,в]} є вiдносно щiльною у R.

Простори голоморфних рiвномiрних майже перiодичних функцiй та го- ломорфних майже перiодичних функцiй за Степановим спiвпадають.

Теорема 1.15 (Линфута). Нехай функцiя f(z) - голоморфна у смузi S(б,в). Тодi якщо f(z) - майже перiодична за Степановим, то f(z) є рiвномiрною майже перiодиною функцiєю.

У пiдроздiлi 1.3 подаються результати про узагальненi майже перiодичнi функцiї у смузi, якi належать Л.I. Ронкiну.

Визначення 1.9. Узагальнена функцiя f D'0(S) у вiдкритiй горизонтальнiй смузi S називається майже перiодичною узагальненою функцiєю у смузi S, якщо для будь-якої фiнiтної функцiї цD0(S)

є рiвномiрною майже перiодичною функцiєю змiнної t R.

Вiдмiтимо, що будь-яка рiвномiрна майже перiодична функцiя у вiдкритiй смузi є узагальненою майже перiодичною функцiєю, так як легко перевiрити,

що згортка

де цD0(S) неперервна фiнiтна функцiя у смузi, є майже перiдичною функцiєю змiнної tR.

Таким самим чином визначається i майже перiодична мiра.

Визначення 1.10. Мiра м у смузi S називається майже перiодичною, якщо для будь-якої фiнiтної функцiї цD0(S) є рiвномiрною майже перiдичною функцiєю змiнної tR.

Теорема 1.17. Нехай f - узагальнена майже перiодична функцiя у S(a,b). Тодi iснує узагальнена функцiя cfD'0((a,b)) така, що для будь-якої функiї

цD0(S(a,b))

де Якщо функцiя f рiвномiрна майже перiодична, тодi cf може бути представлена неперервною функцiєю M{f}(y).

Теорема 1.18. Нехай f - узагальнена майже перiодична функцiя у S(a,b) i нехай fл = e-iлxf. Тодi множина Лf = {лR: cfл 0}, яка називається спектром f, не бiльше нiж злiчена.

Теорема 1.20. Нехай f(z) - голоморфна майже перiодична функцiя у вiдкритiй горизонтальнiй смузi SС, тодi log|f(z)| є узагальненою майже перiодичною функцiєю у S.

Теорема 1.21. Нехай f(z) - голоморфна майже перiодична функцiя у вiдкритiй горизонтальнiй смузi та log|f(z)| є узагальненою майже перiодичною функцiєю, тодi |f(z)| є рiвномiрною майже перiодичною функцiєю.

Теорема 1.22. Нехай f - узагальнена майже перiодична функцiя у го-ризонтальнiй смузi S. Тодi iснує послiдовнiсть скiнченних експоненцiйних сум , де лnR, an(m)(y) D?0(рyS), таких, що

рiвномiрно за tR та за цK, де K - компактна пiдмножина у D0(S).

У пiдроздiлi 1.4 подаються результати про майже перiодичнi субгармонiйнi функцiї у смузi, якi належать Л.I. Ронкiну, С.Ю. Фаворову та О.Ю. Рашковському (1998 р.).

Так як субгармонiйна функцiя є локально iнтегрованою, то її можно розглядати как елемент простору D0? та майже перiодичнiсть визначити у сенсi визначення 1.9.

Були доведенi наступнi факти:

Теорема 1.25. Нехай u - майже перiодична субгармонiйна функцiя у горизонтальнiй смузi S. Тодi функцiя u обмежена зверху у будь-якiй пiдсмузi.

Теорема 1.26. Субгармонiйна функцiя u є майже перiодичною функцiєю в вiдкритiй горизонтальнiй смузi S тодi i тiльки тогдi, коли iз будь-якої послiдовностi {hj}R можна видiлити пiдпослiдовнiсть {hjk} i знайдеться субгармонiйна функцiя v(z) така, що

для будь-якого компакту KS.

Теорема 1.27. Нехай u - майже перiодична субгармонiйна функцiя у горизонтальнiй смузi S. Тодi функцiя eu також субгармонiйна майже перiодична функцiя.

Теорема 1.28. Нехай м - майже перiодична мiра у горизонтальнiй смузi S. Тодi iснує майже перiодична субгармонiйна функцiя u така, що мiра Рiса функцiї u спiвпадає з мiрою м.

У пiдроздiлi 1.5 наведенi результати про опис деяких класiв голоморфних функцiй експоненцiйного типу та розподiл їх коренiв.

Наступна теорема дає повний опис голоморфних майже перiодичних функцiй експоненцiйного типу, обмежених на дiйснiй осi з обмеженим спектром (за умови, що точнi верхня та нижня границi належать до спектру) та опис розподiлу коренiв цих функцiй.

Теорема 1.29 (Левiна та Крейна). Для того щоб функцiя f(z) була майже перiодичною з обмеженим спектром з умовою, що точна верхня та нижня гранi спектру належать до спектру, необхiдно i достатньо щоб виконувалися наступнi умови:

1) корнi ak функцiї f(z) утворюють майже перiодичну множину та пред- ставленi у формi ak = k + ш(k), де Д = sup{|л|: л spf}, ш(k) - комплекснозначна обмежена функцiя;

2) величина має оцiнку

|Lф[ш]| < M, де M не залежить вiд ф.

Позначимо n(c,t) = card{ak : |ak - c|? t}.

Теорема 1.32 (С.Ю. Фаворов). Нехай f(z) - цiла функцiя експоненцiйного типу, яка обмежена на R та f(0)?0, тодi f(z) може бути представлена

(2)

Теорема 1.33 (С.Ю. Фаворов). Послiдовнiсть {ak}R є множиною нулiв деякої цiлої функцiї експоненцiйного типу, обмеженої на R тодi i тiльки тодi, коли послiдовнiсть {ak} задовольняє наступним умовам

(3)

(4)

(5)

для деякої точки b R\{ak};

Теорема 1.34 (С.Ю. Фаворов). Послiдовнiсть {ak} R є множиною нулiв деякої цiлої функцiї експоненцiйного типу f такої, що для будь-якої послiдовностi {hk}R можна видiлити пiдпослiдовнiсть hk? для якої послiдовнiсть функцiй {f(z+hk?)} збiгається до ненульової функцiї рiвномiрно на компактах в C, тодi i тiльки тодi, коли послiдовнiсть {ak} задовольняє умовам (4), (5), (6) та

(6)

для деякої точки b R\{ak}.

Теорему Б.Я. Левiна про вiкову сталу можна сформулювати наступним чином.

Теорема 1.35. Нехай f(z) - голоморфна майже перiодична функцiя екс- поненцiйного типу ступеня у в C+, тодi

(7)

де m - точна нижня границя спектру функцiї f.

У роздiлi 2 вивчаються властивостi майже перiодичних субгармонiйних функцiй.

У пiдроздiлi 2.1 узагальнена на випадок субгармонiйних функцiй теорема 1.20 Л.I. Ронкiна (1987 р.) про збереження майже перiодичностi при логарифмуваннi.

Теорема 2.1. Нехай u(z) - логарифмiчно субгармонiйна функцiя в го- ризонтальнiй смузi S. Функцiя logu(z) є узагальненою майже перiодичною функцiєю у S тодi i тiльки тодi, коли u(z) є узагальненою майже перiодичною функцiєю у S.

Також наведений приклад, який показує, що якщо log f(z) - субгармонiйна узагальнена майже перiодична функцiя та f(z) є неперервною, тодi f(z) може не бути рiвномiрною майже перiодичною функцiєю (хоча вона є узагальненою майже перiодичною функцiєю).

У пiдроздiлi 2.2 вивчаються властивостi субгармонiйних майже перiо- дичних функцiй за Степановим та їх зв'язок з субгармонiйними узагальненими майже перiодичними функцiями.

Теорема 2.5. Нехай u(z) - субгармонiйна функцiя у горизонтальнiй смузi S. Тодi u(z) є узагальненою майже перiодичною функцiєю в S тодi i тiльки тодi, коли u(z) є майже перiодичною за Степановим функцiєю в S.

Далi у пiдроздiлi вивчаються властивостi коефiцiєнтiв Фур'є-Бора майже перiодичних субгармонiйних функцiй за Степановим.

Нехай рyS - проекцiя на уявну вiсь смуги S.

Теорема 2.6. Якщо u(z) майже перiодична субгармонiйна функцiя у смузi S, то її коефiцiєнти Фур'є-Бора - неперервнi на рyS.

Із теореми 2.6 випливає важливий наслiдок, який дозволяє, як i у теорiї голоморфних майже перiодичних функцiй (теорема 1.7), ввести ще одне еквiвалентне визначення субгармонiйної майже перiодичної функцiї.

Теорема 2.7. Субгармонiйна функцiя u(z) у вiдкритiй горизонтальнiй смузi S є майже перiодичною тодi i тiльки тодi, коли знайдеться послiдовнiсть скiнченних експоненцiйних сум вигляду , де лnR, an(m)(y) - неперервнi на С(рyS) функцiї та Pm(z) є субгармонiйними функцiями в S, яка прямує до функцiї u(z) у топологiї, яка є породженою напiвнормами d[б,в], б, в є рyS.

У пiдроздiлi 2.3 введене визначення та вивчаються властивостi функцiї Йєссена субгармонiйної майже перiодичної функцiї та її зв'язок з розподiлом мiри Рiсу даної майже перiодичної субгармонiйної функцiї.

Визначення 2.1. Вираз

(8)

назвемо функцiєю Йєссена субгармонiйної майже перiодичної функцiї u(z). Вiдмiтимо, що функцiя Ju(y) є нульовий коефiцiєнт Фур'є-Бора функцiї u(z), та, як випливає iз теореми 2.7, є неперервною функцiєю вiд y. Крiм того, Ju(y) не змiниться при замiнi функцiї u(t + iy) у (8) на u(x + t + iy) з будь-яким x є R.

Подальшi результати є узагальненням теорем 1.11, 1.13, 1.14 на майже перiодичнi субгармонiйнi функцiї.

Теорема 2.8. Нехай u(z) - майже перiодична субгармонiйна функцiя у горизонтальнiй смузi S(a,b), тодi функцiя Ju(y) є опуклою на iнтервалi (a,b).

Як наслiдок маємо, похiдна у сенсi теорiї розподiлу є невiд'ємною мiрою на iнтервалi (a,b).

Нехай далi м := (2р)?1u - асоцiйована мiра Рiса субгармонiйної функцiї u(z).

Теорема 2.9. Нехай u(z) - майже перiодична субгармонiйна функцiя у смузi S(a,b). Тодi для будь-яких б, в таких, що a < б < в < b та мiра н не зосереджена у точках б та в, границя

iснує рiвномiрно за tR.

Теорема 2.10. Нехай u(z) - майже перiодична субгармонiйна функцiя у смузi S(a,b). Тодi звуження мiри Рiса на смугу S(б,в), a < б < в < b є нульовою мiрою тодi i тiльки тодi, коли Ju(y) є лiнiйною на (б, в).

У пiдроздiлi 2.4 вивчається асимптотична поведiнка функцiї Йєссена майже перiодичної субгармонiйної функцiї у напiвплощинi.

Визначення 2.2. Через у+(у-) позначимо значення iндикатора суб- гармонiйної функцiї u(z), zC+ (або, вiдповiдно, zC-) у точках р?2 та -р?2 вiдповiдно,

(9)

Теорема 2.11. Нехай u(z) - майже перiодична субгармонiйна функцiя у напiвплощинi C+ така, що max{u(z); 0} = O(|z|) при |z|> +?. Тодi

(10)

У роздiлi 3 ”Субгармонiйнi функцiї повiльного росту” вивчаються рiзнi класи субгармонiйних у площинi функцiй не бiльш нiж лiнiйного зростання.

У пiдроздiлi 3.1 надано iнтегральне зображення субгармонiйних функцiй повiльного зростання, обмежених на дiйснiй осi.

Теорема 3.1. Нехай v(z) - субгармонiйна функцiя в С така, що

при (11)

та

(12)

Тодi

(13)

Де м - мiра Рiса функцiї v, A1, A2 R, а границя (13) iснує рiвномiрно за z на компактах у С.

Для доведення теореми 3.1 нам потрiбний субгармонiйний варiант добре вiдомої для голоморфних функцiй теореми Картрайт.

Теорема 3.5. Нехай v(z) - субгармонiйна функцiя в С, яка задовольняє умовам (11) та (12). Тодi v(z) - функцiя цiлком регулярного зростання у сенсi Азарiна тобто границя сім'ї у сенсі D'(C), якщо , складається тільки з однієї функції., при цьому спiввiдношення

(границя у сенсi D?(С)) виконується з



де визначенi спiввiдношенням (9).

Як наслiдок отримуємо, що мiра Рiса граничної функцiї v?(z) дорiвнює

де m1 - мiра Лебегу на R.

У пiдроздiлi 3.2 отриманий повний опис мiр Рiса для субгармонiйних функцiй нормального типу та першого порядку, якi або обмеженi зверху на R, або сiмейство їх дiйсних зрушень вiдносно компактно у просторi D?(С).

Наступна теорема є субгармонiйним аналогом (2).

Теорема 3.6. Нехай субгармонiйна функцiя v(z) в С задовольняє умовi (11), v(0) ? -?, а її мiра Рiса м задовольняє умовi

при (14)

та iснує скiнченна границя

(15)

Тодi для кожного z С

(16)

Теорема 3.7. Для того, щоб мiра м в С була мiрою Рiса деякої субгар- монiйної функцiї, яка задовольняє умовам (11) та (12), необхiдно та достатньо, щоб мiра м задовольняла умовам (14), (15),

(17)

з деякою залежною вiд м константою C та

(18)

Теорема 3.8. Для того, щоб мiра м в С була мiрою Рiса деякої субгар- монiйної функцiї v(z), яка задовольняє умовi (11) та такої, що сiмейство зсувiв {v(z + h)}hR компактно у D?(С), необхiдно та досить, щоб мiра м задовольняла умовам (17), (14), (15) та

(19)

У пiдроздiлi 3.3 доводиться наступне твердження.

Теорема 3.9. Для того, щоб мiра м в С була мiрою Рiса деякої майже перiодичної субгармонiйної функцiї не бiльш нiж лiнiйного зростання, необхiдно та достатньо, щоб ця мiра була майже перiодичною та задовольняла умовам (17), (14), (15) та (19).

У пiдроздiлi 3.4 розглядається перiодичний випадок.

Теорема 3.11. Для того щоб мiра м у С була мiрою Рiса деякої перiодичної субгармонiйної функцiї з перiодом 1 не бiльш нiж лiнiйного зростання, необхiдно та достатньо, щоб мiра м також мала перiод 1 та виконувалася умова

м{z = x + iy : 0 ? x < 1, y R} < ?.(20)

Як наслiдок маємо, що для того щоб дивiзор d = {ak,lk} був дивiзором деякої цiлої функцiї експоненцiйного типу, модуль якої має перiод 1, необхiдно та достатньо, щоб дивiзор d також мав перiод 1 та щоб кiлькiсть точок у вертикальнiй смузi {z : 0 ? x < 1, y y R} була кiнцевою.

ВИСНОВКИ

У дисертацiї одержано новi результати про майже перiодичнi субгармонiйнi функцiї у горизонтальнiй смузi.

Доведено, що клас майже перiодичних субгармонiйних функцiй у сенсi теорiї розподiлiв спiвпадає з класом субгармонiйних майже перiодичних функцiй за Степановим.

Доведено, що коефiцiєнти Фур'є-Бору майже перiодичної субгармонiйної функцiї є неперервними функцiями.

Надано еквiвалентне визначення майже перiодичної субгармонiйної функцiї, яке базується на апроксимацiї в iнтегральнiй метрицi функцiй експоненцiйними сумами з неперервними коефiцiєнтами.

Вперше надано визначення функцiї Йєссена майже перiодичної субгармонiйної функцiї та доведено теореми про зв'язок функцiї Йєссена з розподiлом нулiв голоморфної майже перiодичної функцiї, узагальненi на субгармонiйнi функцiї.

Доведений субгармонiйний аналог теореми Левiна про вiкову сталу.

Знайдено загальний вигляд субгармонiйних функцiй не бiльш нiж лiнiйного зростання, якi обмеженi зверху на дiйснiй осi, та описанi їх мiри Рiса.

Знайдено опис мiр Рiса субгармонiйних функцiй не бiльш нiж лiнiйного зростання у С, сiмейство зсувiв яких вздовж дiйсної осi є вiдносно комнактною множиною у D?(С).

Знайдено зображення майже перiодичних субгармонiйних функцiй не больш нiж лiнiйного зростання у С та описанi їх мiри Рiса.

Наданий повний опис нульових множин цiлих функцiй експоненцiйного типу з майже перiодичним модулем.

СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ АВТОРОМ РОБIТ З ТЕМИ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Рахнин А.В. Об одном свойстве субгармонических почти периодических функций / А.В. Рахнин // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя Математика, прикладна математика i механiка - 2003. - Вип. 53. - № 602. - С. 23-29.

2. Рахнин А.В. Функция Йессена субгармонических почти периодических функций / А.В. Рахнин // Вiсник Харкiвського унiверситету. Серiя Математика, прикладна математика i механiка - 2005. - Вип. 55. - № 711. - С. 93-103.

3. Favorov S.Yu. Subharmonic Almost Periodic Functions / S.Yu. Favorov, A.V. Rakhnin // Математична фiзика, аналiз, геометрiя. - 2005. - Том. 1. - №. 2. - С. 209-224.

4. Favorov S.Yu. Subharmonic Almost Periodic Functions of Slow Growth / S.Yu. Favorov, A.V. Rakhnin // Математична фiзика, аналiз, геометрiя. - 2007. - Вип. 3. - Том. 1. - С. 109-127.

5. Rakhnin A.V. On two classes of subharmonic almost periodic functions / S.Yu. Favorov, A.V. Rakhnin // Материалы десятой Международной научная конференции имени академика М. Кравчука. - Киев. - 2004. - С. 504.

6. Rakhnin A.V. Logarithmic plurisubharmonic almost periodic functions / A.V. Rakhnin // Матерiали Мiжнародної наукової конференцiї “Математичний аналiз та економiка”. - Суми. - 2003. - C. 45.

7. Rakhnin A.V. Plurisubharmonic almost periodic functions / A.V. Rakhnin // Матерiали Мiжнародної наукової конференцiї “Complex analysis and its applications”. - Львiв. - 2003. - С. 57.

8. Rakhnin A.V. Subharmonic almost periodic functions / A.V. Rakhnin // Abstracts. International conference "Computational Methods and Function Theory”. - Joensuu, Finland - 2005. - P. 181.

9. Rakhnin A.V. Jessen function of the subharmonic almost periodic functions / 18 A.V. Rakhnin // Abstracts. International conference "Analysis and Related Topics”. - Lviv. - 2005. - P. 92.

10. Rakhnin A.V. Subharmonic almost periodic functions in a strip / A.V. Rakhnin // 13th Summer St.Petersburg Meeting In Mathematical Analysis. - St. Petersburg. - 2004. - P. 23.

11. Rakhnin A.V. Subharmonic almost periodic functions and Its Fourier-Bohr coefficients / A.V. Rakhnin // Book of Abstracts. Generalized Functions 2004. Topics in PDE, Harmonic analysis and Mathematical physics. - Novi Sad, Serbia. - 2004. - P. 58.

12. Rakhnin A.V. Subharmonic almost periodic functions of slow growth / A.V. Rakhnin // Book of Abstracts. International Conference on Generalized Functions. - Vienna, Austria. - 2009. - P. 56.

АНОТАЦIЯ

Рахнiн А.В. Майже перiодичнi субгармонiйнi функцiї та майже перiодичнi мiри. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В.Н. Каразiна, Харкiв, 2009.

У дисертацiї отримано новi результати про майже перiодичнi субгармонiйнi функцiї у горизонтальнiй смузi. Доведено, що клас майже перiодичних субгармонiйних функцiй у сенсi теорiї розподiлiв спiвпадає з класом субгармонiйних майже перiодичних функцiй за Степановим. Доведено, що коефiцiєнти Фур'є-Бору майже перiодичної субгармонiйної функцiї є неперервними функцiями. Надане еквiвалентне визначення майже перiодичної субгармонiйної функцiї, засноване на апроксимацiї у iнтегральнiй метрицi функцiй експоненцiйними сумами з неперервними коефiцiєнтами. Вперше надано визначення функцiї Йєссена майже перiодичної субгармонiйної функцiї. Теореми про зв'язок функцiї Йєссена iз розподiлом нулiв голоморфної майже перiодичної функцiї розповсюдженi на субгармонiйнi функцiї. Доведений субгармонiйний аналог теореми Левiна про вiкову сталу. Знайдений загальний вигляд субгар- монiйних функцiй не бiльш нiж лiнiйного зростання, якi обмеженi зверху на дiйснiй осi, та описанi їх мiри Рiса. Знайдений опис мiр Рiса субгармонiйних функцiй не бiльш нiж лiнiйного зростання у С, сiмейство зсувiв яких вздовж дiйсної осi є вiдносно компактною множиною у D?(С). Описанi мiри Рiса майже перiодичних субгармонiйних функцiй не бiльш нiж лiнiйного зростання у С. Описанi нулi цiлих функцiй експоненцiйного типу з майже перiодичним модулем.

Ключовi слова: субгармонiйна функцiя, майже перiодична функцiя, майже перiодична мiра.

АННОТАЦИЯ

Рахнин А.В. Почти периодические субгармонические функции и почти периодические меры. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2009.

Диссертационная работа посвящена исследованию почти периодических функций и почти периодических мер в горизонтальной полосе (плоскости). Рассмотрены субгармонические функции почти периодические в смысле теории распределений, субгармонические почти периодические относительно метрики Степанова, а также их меры Рисса. В доказательствах использованы методы теории потенциала, методы теории динамических систем и методы комплексного анализа.

Многие фундаментальные результаты теории голоморфных функций распространяются на субгармонические функции. Теоремы, которые при этом получаются, носят более общий характер и позволяют взглянуть на голоморфные варианты теорем с новой точки зрения, упростить доказательства, а часто также позволяют получить новые результаты для голоморфных функций. Поэтому перенос теории голоморфных почти периодических функций на субгармонические функции является естественным и актуальным.

Понятие почти периодических субгармонических функций впервые появилось в совместной работе Л.И. Ронкина, С.Ю. Фаворова, А.Ю. Рашковского (1998 г.), где эти функции использовались для доказательства некоторых фактов теории голоморфных почти периодических функций и распределения нулей таких функций. В данной работе почти периодичность субгармонической функции определялась в смысле теории распределений.

В диссертационной работе обобщена теорема Л.И. Ронкина о логарифме модуля голоморфной почти периодической функции для логарифмически субгармонических почти периодических функций. Именно, доказано, что логарифмически субгармонические почти периодические функции сохраняют почти периодичность при логарифмировании. Приведен пример, который показывает, что экспонента от почти периодической логарифмически субгармонической функции может не быть равномерной почти периодической функцией даже при условии, что эта экспонента является непрерывной функцией. Показано, что класс почти периодических субгармонических функций в обобщенном смысле совпадает с классом субгармонических почти периодических по Степанову функций. Доказано, что коэффициенты Фурье-Бора почти периодических субгармонических функций являются непрерывными функциями.

Приведено эквивалентное определение почти периодических субгармонических функций, основанное на аппроксимации в интегральной метрике (метрике Степанова) функции экспоненциальными суммами с непрерывными коэффициентами. Показано также, что данные экспоненциальные суммы можно выбрать субгармоническими. Впервые дано определение функции Йессена почти периодической субгармонической функции. Для субгармонической почти периодической функция Йессена является нулевым коэффициентом Фурье-Бора, поэтому является непрерывной функцией. Доказано, что функция Йессена почти периодической субгармонической функции является выпуклой. Теоремы о связи функции Йессена с распределением корней голоморфной почти периодической функции обобщены на субгармонические функции. Именно, если u(z) - почти периодическая субгармоническая функция в полосе S(a,b), тогда для любых б, в таких, что a < б < в < b и ее мера Рисса не сосредоточена в точках б и в, предел

существует равномерно по tR№; и в полосе S(a,b), a < б < в < b, нет масс Рисса функции u(z) тогда и только тогда, когда Ju(y) линейна на (б,в). Также изучено асимптотическое поведение функций Йессена для почти периодических субгармонических в полуплоскости функции, имеющих не более, чем линейный рост (субгармонический аналог теоремы Левина о вековой константе).

В третьем разделе диссертационной работы результаты С.Ю. Фаворова (2008 г.) о целых функциях экспоненциального типа с дополнительным условием на вещественной прямой обобщены на субгармонические функции. Получено интегральное представление субгармонических функций не более чем линейного роста, которые ограничены сверху на вещественной оси, и описаны их меры Рисса. Получен субгармонический вариант теоремы Картрайт. Именно, если u+(z) = max{u(z),0}= O(|z|) при и то u является функцией вполне регулярного роста. Получено описание мер Рисса субгармонических функции не более чем линейного роста в C, семейство сдвигов которых вдоль вещественной оси является относительно компактным в D'(C). Описаны меры Рисса почти периодических субгармонических функции не более чем линейного роста в C. В частности, получено описание мер Рисса периодических субгармонических функции не более чем линейного роста в C. Описаны все целые функции экспоненциального типа с почти периодическим модулем и их корни.

Ключевые слова: субгармоническая функция, почти периодическая функция, почти периодическая мера.

ABSTRACT

Rakhnin A.V. Almost periodic subharmonic functions and almost periodic measures. - Manuscript.

The dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences (Ph.D.) in physics and mathematics, speciality 01.01.01 - Mathematical analysis. - Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, Ukraine, 2009.

In the thesis new results about almost periodic subharmonic functions in the horizontal strip (plane) are obtained. We show that the class of subharmonic almost periodic functions in the sense of distributions, coincides with the class of Stepanov almost periodic subharmonic functions. We prove that the Fourier-Bohr coefficients of the subharmonic almost periodic functions are continuous functions. We give an equivalent definition of subharmonic almost periodic functions, based on the approximation by the finite exponential sums with continuous coefficients in integral metric. At first the Jessen function of the subharmonic almost periodic function is defined. The theorems about the relationship between zero distribution of the holomorphic almost periodic and Jessen function are extended to subharmonic almost periodic functions. We prove the subharmonic analogue of Levin's theorem on the century constant. A general view of subharmonic functions of no more than linear growth, which is bounded above on the real axis is obtained, and their Riesz measures are described. We also get a descriptions of subharmonic functions (and their Riesz measures) at most linear growth in С with a relatively compact in D?(С) family of shifts along real axis. We describe a Riesz measures of the subharmonic almost periodic functions no more than linear growth in С. Finally, we describe all entire functions of exponential type with almost periodic modules and their zeros.

Key words: subharmonic function, almost periodic function, almost periodic measure.

Рахнiн Андрiй Вячеславович

МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI СУБГАРМОНIЙНI ФУНКЦIЇ

ТА МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI МIРИ

01.01.01 - математичний аналiз

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Підписано до друку 28.12.2009 р. Формат 60х90/16.

Обсяг 0,9 ум.-друк. арк. Папір офсетний. Друк різограф.

Наклад 100 прим. Зам. № 21

Надруковано у центрі оперативної полиграфії ТОВ <<Рейтинг>>.

61022, м.Харків, вул. Сумська, 37. Тел. (057) 700-53-51, 714-34-26,

пров. Соляниківський, 4. Тел. (057) 771-00-92, 771-00-96.

Размещено на Allbest.ru