Лінійні системи диференціальних рівнянь та рівнянь із запізненням з точкою звороту

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА РІВНЯНЬ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук

КЛЮЧНИК Інна Геннадіївна

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико - математичних наук, професор академік НАН України САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ЯКОВЕЦЬ Василь Павлович, державний вищий навчальний заклад “Університет менеджменту освіти” АПН України, проректор з науково-педагогічної та навчальної роботи;

доктор фізико-математичних наук, професор ПЕТРИШИН Роман Іванович, Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича, перший проректор.

Захист відбудеться “28” вересня 2010 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022 м. Київ-22, проспект Академіка Глушкова, 2, корпус 7, механіко - математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці ім. М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “18” серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Найбільш ефективними методами дослідження нелінійних коливань є асимптотичні методи, які описані в працях М.М. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, А.М. Самойленка. Методи асимптотичного інтегрування, що застосовуються до диференціальних рівнянь з імпульсним впливом розроблені в працях Ю.А. Митропольского, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка та ін.

В працях В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильєвої запропоновано метод асимптотичного інтегрування початкової задачі для нелінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних.

С.А. Ломовим запропоновано метод інтегрування лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь. В працях С.Ф. Фещенка, М.І. Шкіля розглядається метод інтегрування диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами. Вивченню систем диференціальних рівнянь з тотожно виродженою матрицею при похідній присвячені праці В.А. Єременка, Г.С. Жукової, А.М. Самойленка, В.П. Яковця.

В працях А.М. Самойленка, В.Г. Самойленка, Ю.І. Самойленко вперше побудовані асимптотичні розв'язки нелінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь при наявності імпульсного впливу. Метод усереднення для багаточастотних систем з повільно змінними частотами з імпульсною дією обгрунтували А.М. Самойленко, Р.І. Петришин.

В працях С.А. Ломова, Ю.Л. Рабіновіча, А.С. Юдіної, М.І. Шкіля, В.П. Яковця вивчалося сингулярно збурене диференціальне рівняння з регулярною особливістю.

Різноманітні прикладні задачі приводять до систем сингулярно збурених диференціальних рівнянь з точками звороту. Один із перших методів дослідження диференціального рівняння другого порядку з великим параметром і точкою звороту полягає у використанні методу ВКБ поза околом точки звороту і зшивання його з розв'язками рівняння Ейрі. Метод запропонований М.В. Федорюком дозволяє обійти точку звороту, виходячи в комплексну площину.

Для рівняння другого порядку з великим параметром і простою точкою звороту Р. Лангером отримане нульове наближення розв'язку, яке визначене в точці звороту. Ідея побудови наближення полягає в тому, що приблизно однакові рівняння мають приблизно однакові розв'язки і за допомогою введення перетворення незалежної та залежної змінної задане рівняння зводиться до рівняння Ейрі, для якого відома фундаментальна система розв'язків. При знаходженні кожного вищого наближення Р. Лангер пов'язує розв'язок заданого рівняння з розв'язком, деякої більш простої задачі зі схожою структурою, який можна записати в трансцендентних функціях. Т. Черрі модифікував перетворення Ф. Лангера таким чином, щоб за допомогою нього можна було знайти будь-яке наближення розв'язку рівняння другого порядку з великим параметром з точкою звороту.

Ф. Олвер асимптотичні наближення розв'язку рівняння з великим параметром і простою точкою звороту шукає у вигляді лінійної комбінації функцій Ейрі і її похідної з коефіцієнтами, які є формальними рядами за степенями параметру.

А. Найфе використав перетворення Р. Лангера при побудові розв'язку рівняння другого порядку з великим параметром і кратною точкою звороту і звів задане рівняння до рівняння Ейрі. Р. Маккельві виразив асимптотичні розв'язки з великим параметром і точкою звороту другого порядку через функції Уіттекера. Для кратної точки звороту А.А. Дородніцин побудував фундаментальну систему розв'язків рівняння Ейрі зі спеціальними початковими умовами.

Для диференціального рівняння другого порядку з великим параметром і з двома точками звороту А. Найфе будує наближений розв'язок використовуючи функції Ейрі, для цього застосовує перетворення Р. Лангера в околі кожної точки звороту, а потім зшиває ці розв'язки. Р. Лангером запропоновано метод побудови такої задачі за допомогою одного рівномірного розвинення в термінах функцій параболічного циліндра.

Р. Кларк досліджує неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з простою точкою звороту використовуючи функції Ломмеля. Для неоднорідного сингулярного збуреного диференціального рівняння другого порядку з кратною точкою звороту С.Ю. Дзядиком побудоване рівномірне асимптотичне розвинення за допомогою спеціальних функцій сплеску.

Нульове наближення розв'язку рівняння Орра-Зоммерфельда одержано В. Вазовим, а в працях С. Ліна одержане довільне рівномірне наближення розв'язку цього рівняння. М.О. Перестюком запропоновано метод побудови рівномірного асимптотичного розвинення рівняння Орра-Зоммерфельда, з використанням функцій Ейрі - Дородніцина.

М. Конно розглядає канонічне диференціальне рівняння парного порядку вище двох з простою точкою звороту. Для якого побудовано фундаментальну систему розв'язків, які виражаються через спеціальні функції і які співпадають з функціями Ейрі для диференціального рівняння другого порядку.

В. Вазовим запропоновано зведення сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з простою точкою звороту до системи з матрицею рівняння Ейрі, для якої відома фундаментальна система розв'язків.

М.І. Шкілем вказані достатні умови існування асимптотичного розв'язку в елементарних функціях сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з простою точкою звороту. В запропонованому методі інтегрування коефіцієнти розвинень асимптотичного розв'язку залежать від параметру і є обмеженими при прямуванні параметру до нуля.

А.М. Самойленком вперше запропоновано асимптотичний метод інтегрування для системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту, причому система містить матрицю рівняння Ейрі. Згідно цього методу, розглядувана система зводиться до системи, елементи якої і матриця перетворення є формальними рядами за степенями параметру. Знаходження розв'язку цієї системи зводиться до розв'язування сингулярно збуреного інтегро - диференціального рівняння другого порядка за допомогою степеневих рядів. А. М. Самойленком також запропонована гіпотеза про те, що можна звести задану систему лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту до канонічної форми, в якій матриці залежні від параметру є визначеними і нескінченно диференційовними. При цьому матриця перетворення буде нескінченно диференційовна за дійсними незалежною змінною і параметром.

Не досліджуваним та актуальним є питання про побудову асимптотичного методу інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з квадратною матрицею порядку вище двох і простою точкою звороту та з кратною точкою звороту і матрицею довільного порядку. Актуальним є зведення розглядуваної системи до канонічної форми і знаходження розв'язку одержаної системи. Також актуальним є доведення нескінченної диференційовності залежних від параметру матриць, які входять в одержану систему при дійсних значеннях малого параметру та доведення нескінченної диференційовності матриці перетворення за дійсними незалежною змінною і параметром.

Різні напрямки дослідження сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь із запізненням пропонуються в працях Я.Й. Бігуна, В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильєвої, М.О. Перестюка, Р.І. Петришина, А.М. Самойленка, М.А. Сотніченка, І.М. Черевка, М.І. Шкіля.

В працях А.М. Самойленка одержані умови при яких розв'язками диференціального рівняння з лінійним відхиленням аргументу є розв'язки звичайного диференціального рівняння. Та не досліджуваним і актуальним залишається одержання умов при яких розв'язками сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту та розв'язками системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту є відповідно розв'язки сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з точкою звороту та розв'язки системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних і точкою звороту. Актуальним є знаходження розв'язку сингулярно збуреної системи та системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика досліджень даної дисертаційної роботи пов'язана з науковими програмами Київського національного університету імені Тараса Шевченка і виконувалась в рамках наукових тем ''Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині і моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ'' (номер держреєстрації 0104U003264) і ''Якісні та аналітичні методи дослідження і моделювання нелінійних систем та фізико-механічних полів'' (номер держреєстрації 0106U005863).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток асимптотичного методу інтегрування системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту; зведення системи диференціальних рівнянь з точкою звороту до системи канонічної форми і знаходження розв'язку одержаної системи, та вивчення властивостей матриці перетворення; одержання умов при яких розв'язками сингулярно збуреної системи та системи з малим параметром при частині похідних з точкою звороту і лінійним відхиленням аргументу є розв'язки відповідно сингулярно збуреної системи та системи з малим параметром при частині похідних, а також знаходження розв'язків таких систем з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту.

Об'єктом дослідження є лінійна система диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту, сингулярно збурена система та система з малим параметром при частині похідних з точкою звороту та лінійним відхиленням аргументу.

Предметом дослідження є лінійні системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту та рівняння з лінійним відхиленням аргументу з точкою звороту.

Методи дослідження. В даній роботі застосовується асимптотичний метод інтегрування системи з малим параметром при частині похідних з точкою звороту запропонований А.М.Самойленком, метод побудови асимптотичних розв'язків системи з точкою звороту запропонований В. Вазовим та метод відшукання розв'язків звичайної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу, автором якого є А.М. Самойленко.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими. У ній вперше:

- запропоновано асимптотичний метод інтегрування системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних p+m-го порядку, яка містить просту точку звороту при та кратну точку звороту при

- запропоновано зведення системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту до системи канонічної форми і отримано спосіб знаходження її розв'язку за допомогою сингулярно збуреної системи інтегро - диференціальних рівнянь m-го порядку;

- доведено нескінченну диференційовність залежних від параметру матриць, які входять в систему канонічної форми при дійсних значеннях малого параметра та доведено нескінченну диференційовність матриці перетворення за дійсними незалежною змінною і параметром в деяких інтервалах;

- одержано умови при яких розв'язками сингулярно збуреної системи з лінійним відхиленням аргументу та системи з малим параметром при частині похідних з точкою звороту і лінійним відхиленням аргументу є розв'язки відповідно сингулярно збуреної системи та системи з малим параметром при частині похідних, а також для розглядуваних систем запропоновано спосіб знаходження розв'язку.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають в основному теоретичний характер. Результати отримані в роботі можуть бути використані, як при подальшому розвитку загальної теорії систем з лінійним відхиленням аргументу та систем з малим параметром при похідній, так і при дослідженні задач оптимального керування, різних математичних моделей та ін.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати дисертації отримані дисертантом особисто. Визначення загального плану досліджень та постановка задачі належить академіку НАН України А. М. Самойленку. В [4] - [6] співавторам належить постановка задачі та обговорення можливих шляхів її розв'язання.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: звітних наукових конференціях викладачів КДПУ ім. Володимира Винниченка (2007 - 2010 рр.); науково-практичній конференції “Математика, економіка, інформатика: Актуальні проблеми” (12 - 14 травня 2006 р., м. Кіровоград); дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (15 - 17 травня 2008 р., м. Київ); міжнародній науковій конференції “Боголюбовські читання - 2008. Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування” з нагоди 70 - річчя з дня народження академіка А.М. Самойленка (16 - 21 червня 2008 р., м. Мелітополь); Українському математичному конгресі - 2009 (26 - 29 серпня 2009 р., м. Київ); тринадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (13 - 15 травня 2010 р., м. Київ); науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань інституту математики НАН України (керівник: академік НАН України А.М. Самойленко); науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники: академік НАН України А.М. Самойленко, академік НАН України М.О. Перестюк).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 7 наукових працях, з яких 5 статей у фахових наукових виданнях [1] - [5], 2 статті в збірниках “Наукові записки КДПУ ім. Володимира Винниченка” (2009 р., 2010 р.) [6], [7], 2 - у збірниках тез наукових конференцій [8] , [9].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 133 найменувань. Загальний обсяг дисертаційної роботи становить 167 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику, академіку НАН України Самойленку Анатолію Михайловичу за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач та постійну увагу до роботи.

матричний диференціальний рівняння асимптотичний

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі дослідження, проаналізовано сучасний стан проблеми, наведено основні результати дисертації, визначено їх новизну і практичне значення, зазначено особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації та публікації здобувача за темою дисертації.

У першому розділі проаналізовано праці з математичної теорії та розвитку асимптотичних методів нелінійних коливань, асимптотичних методів сингулярно збурених диференціальних рівнянь, з розвитку асимптотичного інтегрування задач з точками звороту. Розглянуто особливості дослідження лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту. Показано актуальність і важливість досліджень проведених у дисертації.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячений асимптотичному інтегруванню системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних у випадках простої та кратної точки звороту. А також у другому розділі пропонується зведення вказаних систем до канонічної форми, доведення нескінченної диференційовності матриць зведеної системи і матриці перетворення за параметром, та отримано спосіб знаходження розв'язку у вигляді границі збіжної послідовності ітерацій.

У підрозділі 2.1 доводяться леми про вигляд та властивості розв'язків сингулярно збуреного матричного диференціального рівняння довільного порядку з точкою звороту і матрицею рівняння Ейрі; будується матриця, у вигляді збіжного функціонального ряду, яка має асимптотичним розвиненням заданий формальний ряд і є нескінченно диференційовною за дійсними незалежною змінною і параметром; для квадратної матриці довільного порядку, для якої виконуються умови задачі з простою та кратною точками звороту, будується нескінченно диференційовна матриця перетворення до деякого вигляду і доводяться властивості заданої матриці і її похідних; будується голоморфний розв'язок системи диференціальних рівнянь з регулярною особливою точкою.

У підрозділі 2.2 розглядається система лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з простою точкою звороту вигляду

(1)

де голоморфні матриці при матриця рівняння Ейрі, яка має вигляд

малий дійсний параметр, .

Будемо вважати, що



так як цього можна досягнути за допомогою перетворень

Доведено лему.

Лема 2.1. Нехай , матриці, які голоморфні при і матриці, матриця вигляду

де раціональне число з проміжку таке, що при фіксованих число додатнє;

Тоді матричні ряди, з яких складаються є рівномірно збіжними при , . Матричні функції , є нескінченно диференційовні за змінною при і голоморфна за змінною при , . Ряд є асимптотичним розвиненням при матриці , а ряд є рівномірним при асимптотичним розвиненням при матриці .

Систему вигляду

в якій матриці визначені при або будемо називати канонічною формою системи (1).

Доведено теореми.

Теорема 2.1. За допомогою перетворення

(2)

система (1) зводиться до системи канонічної форми, вигляду

(3)

в якій матриці зображаються у вигляді рівномірно збіжних при рядів, причому матриця визначена в лемі 2.1, а матриця має вигляд



Матриці є нескінченно диференційовними при і мають асимптотичні розвинення

при

Матриця задовольняє рівнянню

(4)

і є голоморфною за змінною при , а також .

Теорема 2.2. Знаходження розв'язку системи диференціальних рівнянь (3) зводиться до знаходження розв'язку системи інтегро-диференціальних рівнянь

(5)

і до знаходження вектора із співвідношень

 (6)

де компоненти вектора задаються у вигляді матриця, яка має єдиний ненульовий елемент матриця з діагональними елементами рівними одиниці, в якої а всі інші елементи рівні нулю; компоненти сталого вектора

Розв'язок в секторах інтегро-диференціального рівняння (5) будується у вигляді ітерацій . Існує таке, що при , , послідовність є рівномірно збіжною.

Ітерації визначаються за формулами

де набір шляхів інтегрування кінці яких співпадають з точкою

матриця і обернена до неї обмежені при

Доведено лему.

Лема 2.2. Блочна матриця

голоморфна за змінною при і нескінченно диференційовна за змінною при . Формальна матриця

є рівномірним при асимптотичним розвиненням при матриці , де



Зробимо в рівнянні (4) заміну вигляду

,

де блочна матриця з елементами , . За допомогою одержаної матричної системи диференціальних рівнянь відносно змінних , досліджено питання існування розв'язку і його диференційовність для дійсних незалежної змінної і параметру.

Це дало можливість довести теорему.

Теорема 2.3. Якщо виконується нерівність

(7)

то розв'язок рівняння (4) є нескінченно диференційовним за дійсними змінними в області , , при цьому матриця, що залежить від .

Формальна матриця, яка визначена в лемі 2.2, є рівномірним при асимптотичним розвиненням при матриці .

У пункті 2.2.3 система (1) зводиться до системи канонічної форми, вигляду

,

в якій матриці , визначаються рівностями

, ,

де , , , ;

, є коефіцієнти при в розвиненні відповідно раціональних функцій

, ,

за зростаючими степенями ,

,

Доведено лему.

Лема 2.3. Матричні ряди, які визначають , , є рівномірно збіжними при . Матричні функції , є нескінченно диференційовні і

, , .

Для запропонованого зведення системи (1) до канонічної форми, з матрицями , доведена теорема 2.2.5 про властивості матриці при , у вигляді аналогічному теоремі 2.3.

У пунктах 2.3.1 - 2.3.3 розглядається система диференціальних рівнянь (1) в якій і матриця вигляду

(8)

де нільпотентна матриця, матриця з єдиним ненульовим елементом

Доведено теорему.

Теорема 2.4. Існує формальний ряд

 (9)

з голоморфними коефіцієнтами при і , що формальне перетворення (2) зводить систему (1) до системи вигляду

(10)

Де , (11)

Знаходження розв'язку системи (10) зводиться до розв'язування інтегро-диференціального рівняння m - го порядку відносно першої компоненти вектора ,

загальний розв'язок якого зображається у вигляді степеневих рядів.

Доводяться теореми 2.3.2, 2.3.3 про зведення системи (1) до системи канонічної форми з матрицями , , вказується ітераційний спосіб знаходження розв'язку цієї системи. Це зведення здійснюється за допомогою перетворення (2), в якому матриця задовольняє систему

.

Доведено, що матриці , відповідно розмірностей є нескінченно диференційовні за дійсним параметром, а матриця є нескінченно диференційовною за дійсними незалежною змінною і параметром. А також в цих теоремах доведено, що формальні ряди (11) є асимптотичними розвиненнями при матриць , , а форимальна матриця (9) є рівномірним при асимптотичним розвиненням при матриці .

У пункті 2.3.4 пропонується спосіб асимптотичного інтегрування системи (1) з простою точкою звороту, яка містить матрицю вигляду

(12)

в якій ненульові елементи матриці визначаються з рівності

Доведено теорему.

Теорема 2.5. Нехай матриці, системи рівнянь (1) з матрицею вигляду (12), голоморфні в області Тоді існує формальний ряд (9) з голоморфними коефіцієнтами при і , що формальне перетворення (2) зводить систему (1) до системи вигляду (10), (11). Знаходження розв'язку системи (10) зводиться до розв'язування інтегро-диференціального рівняння m - го порядку відносно першої компоненти вектора ,

загальний розв'язок якого зображається у вигляді степеневих рядів.

Підрозділ 2.4 присвячений асимптотичному інтегруванню системи (1) з кратною точкою звороту. Це означає, що виконуються наступні умови

при ;

де ціле число і

Доводиться, що за допомогою перетворення незалежної і залежної змінних в системі (1), матриця зводиться до вигляду

. (13)

В пункті 2.4.1 система (1), в якій матриця має вигляд (13), зводиться до системи вигляду

(14)

Де (15)

многочлен степеня

Доведено теорему.

Теорема 2.6. Існує формальний ряд вигляду (9), коефіцієнти якого голоморфні при , такий, що і формальне перетворення (2) з матрицею заміни вигляду (9) приводить систему (1) до системи (14), яка містить ряди (15). Знаходження розв'язку останньої системи зводиться до рівняння

(16)

і співвідношення

де скалярні функції залежні від параметру.

Частинний розв'язок рівняння (16) зображається у вигляді

де



А лінійно незалежні розв'язки відповідного до (16) однорідного рівняння мають вигляд

скалярні функції залежні від параметру,

У пункті 2.4.2 попередні результати розвиваються на систему (1), в якій , , матриця вигляду .

В підрозділі 2.5 розглядається рівняння Орра - Зоммерфельда, яким описується процес переходу із ламінарного в турбулентний стан в теорії течії в'язкої рідини. Для такого рівняння знайдене перше наближення розв'язку за допомогою зведення його до системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних і точкою звороту.

У третьому розділі вперше розглядається сингулярно збурена система диференціальних рівнянь та система з малим параметром при частині похідних з лінійним відхиленням аргументу з точкою звороту. Для таких систем одержані умови при яких розв'язками розглядуваних систем для рівнянь з лінійним відхиленням аргументу є розв'язки системи диференціальних рівнянь з точкою звороту. Для отриманих систем диференціальних рівнянь запропоновано спосіб знаходження розв'язку за допомогою обмежених при ітерацій.

У підрозділі 3.1 розглядається сингулярно збурена система диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу вигляду

(17)

де додатня стала.

Припустимо виконання умов:

1) визначник матриці при , а визначається рівністю

;

і подібна нільпотентній матриці;

.

Доведено теореми.

Теорема 3.1. Нехай матриці , , голоморфні при , , і можна вказати таке, що виконуються нерівності

, ,

,

а також справедливі умови 1 - 3.

Тоді при , , кожен розв'язок системи звичайних диференціальних рівнянь

(18)

є розв'язком системи диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу (17).

Знайдеться матриця така, що

(19)

Матриці , , , голоморфні при і має неперервну похідну за змінною при , .

Теорема 3.2. За допомогою перетворення

(20)

система (18) з розвиненнями (19) зводиться до системи

 (21)

При цьому матриця при , задовольняє рівнянню

(22)

і матриця має рівномірне при асимптотичне розвинення

(23)

А також є нескінченно диференційовною за дійсними , . Коефіцієнти ряду (23) є голоморфними при .

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови теореми 3.1. Тоді існує розв'язок лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту (17), який має вигляд (20) і , задовольняють відповідно рівняння (22), (21). Матриця має властивості описані в теоремі 3.2.

В підрозділі 3.2 розглядається система диференціальних рівнянь вигляду

,

(24)

де , , ; , , , голоморфні матриці при ; малий дійсний параметр; додатня стала.

Нехай для матриці виконуються ті самі умови, що і для матриці .

Доведено теорему.

Теорема 3.4. Нехай існує таке , що виконуються нерівності

, , , (25)

Тоді при , , кожен розв'язок системи звичайних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних вигляду

,

(26)

є розв'язком системи диференціальних рівнянь із малим параметром при частині похідних з відхиленням аргументу (24). Знайдуться матриці , , що мають місце розвинення

(27)

Матриці , , , , голоморфні при і матриці мають неперервну похідну за змінною при , .

Застосовуючи результати підрозділу 2.2 дисертації для дослідження системи диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній (26) з розвиненнями (27) і з точкою звороту, доведена теорема.

Теорема 3.5. Нехай виконуються умови теореми 3.4 і нерівність (7). Тоді існує розв'язок системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу (24) вигляду (2), в якому задовольняють систему (3). Матриця задовольняє рівнянню (4) і є нескінченно диференційовною за дійсними змінними і .

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню лінійних систем диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з простою і кратною точкою звороту. А також досліджується сингулярно збурена лінійна система диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту та система диференціальних рівнянь з малим параметром при похідній з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту.

Запропоновано асимптотичне інтегрування системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з простою та кратною точкою звороту, яка містить квадратну матрицю довільного порядку і власні значення якої співпадають в одні точці. Доведено теореми про зведення системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних до системи канонічної форми, для якої побудовано розв'язок ітераційним способом і доведено нескінчену диференційованість матриці перетворення при дійсних значеннях незалежної змінної і параметра. Для сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу і системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту одержані умови при яких їх розв'язками є розв'язки відповідно сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь та системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних і точкою звороту, а також доведено існування розв'язку одержаних систем за допомогою зведення їх до систем канонічної форми.

Доведені в дисертації твердження доповнюють і розширюють існуючі результати: з теорії асимптотичного інтегрування системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних і точкою звороту; по знаходженню розв'язків лінійної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу, за допомогою розв'язків відповідної системи звичайних диференціальних рівнянь.

Результати дисертації мають в основному теоретичний характер. Отримані в роботі результати можуть бути використані як при подальшому розвитку загальної теорії систем з лінійним відхиленням аргументу та систем з малим параметром при похідній, так і при дослідженні різних математичних моделей.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ключник І.Г. Асимптотичні розв'язки системи диференціальних рівнянь з кратною точкою звороту / І.Г.Ключник // Укр. мат. журн. - 2009. - Т.61, № 11. - C. 1516 - 1530.

2. Ключник І.Г. Асимптотичні розв'язки лінійної системи з малим параметром при частині похідних / І.Г. Ключник // Нелінійні коливання. - 2010 . - Т. 13, № 1. - С.30 - 38.

3. Ключник І.Г. Лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту / І.Г. Ключник //Укр. мат. журн. - 2010. - Т. 62, № 5. - С. 625 - 642.

4. Завізіон Г.В. Асимптотичне розвинення розв'язку системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних / Г.В. Завізіон, І.Г. Ключник // Вісник Донецького національного університету. Серія А: природ. науки. - 2008. - № 2. -С.16-23.

5. Самойленко А.М. Про асимптотичне інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних / А.М. Самойленко, І.Г. Ключник // Нелінійні коливання. - 2009. - Т.12, № 2. - С. 208 - 234.

6. Завізіон Г.В. Асимптотичне представлення розв'язку системи з малим параметром при частині похідних / Г.В. Завізіон, І.Г. Ключник // Наукові записки КДПУ ім. Володимира Винниченка. Серія : матем. науки. - 2009. - Вип. 68. - С. 65 - 78.

7. Ключник І.Г. Система диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з відхиленням аргументу / І.Г. Ключник // Наукові записки КДПУ ім. Володимира Винниченка. Серія : матем. науки. - 2010. - Вип. 69.

8. Ключник І.Г. Система рівнянь з малим параметром при похідних з відхиленням аргументу і точкою звороту / І.Г. Ключник, Г.В. Завізіон // Тринадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 13 - 15 травня 2010р., м. Київ. Тези доповідей. - Київ, 2010. - С. 197.

АНОТАЦІЯ

Ключник І.Г. Лінійні системи диференціальних рівнянь та рівнянь із запізненням з точкою звороту. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

Дисертаційна робота присвячена асимптотичному інтегруванню системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з простою та кратною точкою звороту, яка містить квадратну матрицю довільного порядку і власні значення якої співпадають в одній точці.

Доведено теореми про зведення системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних до системи канонічної форми, для якої побудовано розв'язок ітераційним способом і доведено нескінченну диференційованість матриці перетворення при дійсних значеннях незалежної змінної і параметра.

Для сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з лінійним відхиленням аргументу і системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з лінійним відхиленням аргументу і точкою звороту одержані умови при яких їх розв'язками є розв'язки відповідно сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь та системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних і точкою звороту, а також доведено існування розв'язку одержаних систем, за допомогою зведення їх до систем канонічної форми.

Ключові слова: асимптотичне розвинення, точка звороту, функція Ейрі, система диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних, система з регулярною особливою точкою, лінійне запізнення аргументу.

АННОТАЦИЯ

Ключник И.Г. Линейные системы дифференциальных уравнений и уравнений с запаздыванием с точкой поворота. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2010.

Диссертационная работа посвящена асимптотическому интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с простой и кратной точкой поворота, которая содержит квадратную матрицу произвольного порядка и собственные значения которой совпадают в одной точке. Метод построения состоит в формальном преобразовании заданной системы до системы простейшего вида, которая содержит формальные ряды по степеням параметра.

Нахождение решений полученной системы сводится к нахождению решения сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения с помощью степенных рядов.

Доказаны теоремы о сведении системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных к системе канонической формы, для которой построено решение иттерационным способом и доказано бесконечную дифференцируемость матрицы преобразования при действительных значениях независимой переменной и параметра.

Для линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с линейным отклонением аргумента получены условия, при которых решения линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с линейным отклонением аргумента и точкой поворота есть решения линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с точкой поворота. C помощью бесконечно-дифференцируемой матрицы преобразования, полученная сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений сводится к системе с матрицей уравнения Эйри, что даёт возможность доказать существование бесконечно-дифференцируемого решения сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с линейным отклонением аргумента и точкой поворота.

Для линейной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных с линейным отклонением аргумента и точкой поворота получены условия, при которых их решениями есть решения линейной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных и точкой поворота, а также доказано существование решения полученной системы с помощью сведения её к системе канонической формы.

Ключевые слова: асимптотическое разложение, точка поворота, функция Эйри, система дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных, система дифференциальных уравнений с регулярно особой точкой, линейное запаздывание аргумента.

ABSTRACT

Klyuchnyk I.G. Linear systems of differential equations and delay equations with a turning point.-Manuscript.

Thesis for a degree of candidate of physics and mathematical sciences in the specialty 01.01.02 - differential equations. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to solving the problem on asymptotic integrations of linear differential equations with small parameter of a part of derivatives with simple turning point and multiple turning point, which contains a square matrix of arbitrary order and their values which coincide at one point.

Theorems on the reduction of a system of linear differential equations with small parameter of a part of derivatives to a system of canonical form, for which solutions are constructed by iterative method are proved and infinite differentiability of the transformation matrix for real independent variable and parameter is proved.

The conditions are obtained conditions under which solutions of a singular perturbed system of differential equations with the linear deviation of the argument and a system of differential equations with small parameter of a part of derived from the linear deviation of the argument and with turning point is a solution of corresponding singular perturbed system of differential equations and a system of differential equations with small parameter of a part of derived with turning point. The existence of solution of the system is proved with the help of reduction it to a system of canonical form.

Keywords: asymptotic expansion, turning point, Airy function, system of differential equations with small parameter of a part of derivatives, system with regular singularity point, linear delay argument.

Размещено на Allbest.ur