Динамічні крайові задачі без початкових умов для еволюційних рівнянь та включень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ДИНАМІЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ДЛЯ ЕВОЛЮЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА ВКЛЮЧЕНЬ

Дмитришин Юрій Богданович

01.01.02 - диференціальні рівняння

Львів - 2010

Анотація

ДмитришинЮ.Б. Динамічні крайові задачі без початкових умов для еволюційних рівнянь та включень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2010.

Дисертація присвячена вивченню динамічних крайових задач без початкових умов для еволюційних рівнянь та включень. Встановлено умови коректності динамічних крайових задач без початкових умов для сильно нелінійних еліптичних рівнянь з крайовою умовою у вигляді еволюційного рівняння або еволюційної варіаційної нерівності. Вивчено коректність задачі без початкових умов для абстрактних неявних еволюційних вироджених рівнянь. Встановлено умови існування та єдиностi розв'язку динамічних крайових задач без початкових умов для лінійних та майже лінійних еліптико-параболічних рівнянь. Досліджено коректність динамічних крайових задач без початкових умов для сильно нелінійних еліптико-параболічних рівнянь. Встановлено умови існування та єдиностi розв'язку задачі без початкових умов для абстрактних неявних еволюційних субдиференцiальних включень. В роботі досліджено умови існування та єдиностi розв'язку динамічних крайових задач без початкових умов для сильно нелінійних параболічних включень.

Ключові слова: динамічна крайова умова, еволюційні включення, еволюційні рівняння, задача без початкових умов, коректність задачі.

Abstract

Dmytryshyn Yu.B. Dynamical boundary value problems without initial conditions for evolution equations and inclusions. - Manuscript.

The thesis for the Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) degree (Ph. D), specialization 01.01.02 - Differential Equations. The Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2010.

The dissertation is devoted to the investigation of dynamical boundary value problems without initial conditions for evolution equations and inclusions. The conditions of well-posedness of dynamical boundary value problems without initial conditions for strongly nonlinear elliptic equations with the boundary condition in the form of the evolution equation or evolution variation inequality have been established. The well-posedness of problem without initial conditions for abstract implicit evolution degenerate equations is studied. Also the conditions of existence and uniqueness of the solution of dynamical boundary value problems without initial conditions for linear and almost linear elliptic-parabolic equations have been ascertained. The well-posedness of dynamical boundary value problems without initial conditions for strongly nonlinear elliptic-parabolic equations is investigated. And the conditions of existence and uniqueness of the solution of a problem without initial conditions for abstract implicit evolutionary subdifferential inclusions have been established. The conditions of existence and uniqueness of the solution of dynamical boundary value problems without initial conditions for strongly nonlinear parabolic inclusions have also been investigated during the work.

Key words: dynamical boundary condition, evolution inclusions, evolution equations, problem without initial conditions, well-posedness of problem.

Аннотация

Дмитришин Ю.Б. Динамические краевые задачи без начальных условий для эволюционных уравнений и включений. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2010.

Диссертация посвящена изучению динамических граничных задач без начальных условий для эволюционных уравнений и включений. Работа состоит из введения, пяти глав, выводов, приложения и списка использованных источников. Во введении обоснована актуальность темы, показана связь работы с научными темами, указано цель и задачи исследования, научную новизну, апробацию полученных результатов и их практическое значение, публикации по тематике работы и структуру диссертации. В первой главе приведен обзор работ, которые касаются темы диссертационной работы. Во второй главе исследованы динамические граничные задач без начальных условий для сильно нелинейных эллиптических уравнений с краевым условием в виде эволюционного уравнения или эволюционного вариационного неравенства.

Установлены условия корректности таких задач при отсутствии условий на рост исходных данных и поведение решения при . В третьей главе исследована корректность задачи без начальных условий для абстрактных неявных эволюционных виродженных уравнений. В четвертой главе установлено условия существования и единственности решения динамических граничных задач без начальных условий для линейных и почти линейных еллиптико-параболических уравнений в классах функций с определенным поведением на бесконечности. Здесь также исследовано корректность динамических граничных задач без начальных условий для сильно нелинейных еллиптико-параболических уравнений без ограничений на рост исходных данных и поведение решения при . В пятой главе установлено условия существования и единственности решения задачи без начальных условий для абстрактных неявных эволюционных субдифференциальных включений. Также исследовано условия существования и единственности решения динамических краевых задач без начальных условий для сильно нелинейных параболических включений при отсутствии условий на рост исходных данных и поведение решения при .

Ключевые слова: динамическое граничное условие, эволюционное включение, эволюционное уравнение, задача без начальных условий, корректность задачи.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Динамічні крайові задачі для еволюційних рівнянь i включень виникають при математичному моделюванні багатьох явищ природи. Наприклад, до задач такого типу приводить процес теплопровідності в тілі, межа якого складається з матеріалу з коефіцієнтом теплопровідності значно більшим за коефіцієнт теплопровідності самого тіла, або ж процес дифузії частинок деякої розчиненої речовини в пористе тіло. Якщо ж явище вивчається в момент, достатньо віддалений від початкового, то стан процесу практично визначається режимом на межі. У цьому випадку можна вважати, що процес відбувається нескінченно довго i стандартні початкові умови відсутні. У результаті моделювання таких процесів приходимо до динамічних крайових задач без початкових умов для еволюційних рівнянь та включень.

Вивченням динамічних крайових задач або, як їх ще прийнято називати, задач з динамічними крайовими умовами почали займатися ще на початку XX століття. Так, у 1901 році з'явилася робота В.Педді (W.Peddie) (судячи з відомого нам - перша робота по цій тематиці), присвячена дослідженню динамічної крайової задачі з початковими умовами, яка виникла у зв'язку з вивченням процесу теплопровідності. Пізніше такі задачі з прикладної точки зору розглядалися в роботах Р. Лангера (R.E. Langer), Р. Пiка (R.L. Peek), Дж.К ранка (J. Crank), Г. Карслоу (H.S. Carslaw), Д. Егера (J.C. Jaeger), Ж.-I. Дiаза (J.I. Dнaz) та ін. З більш абстрактної математичної точки зору динамічні крайові задачі з початковими умовами вивчалися Р. Шовальтером (R.E. Showalter), Ж.-Л. Лiонсом (J.L. Lions), Й. Ешером (J. Escher), М. Фiлою (M. Fila), М.Кiране (M. Kirane), Е. Вiтiлларо (E. Vitillaro), Ж.-Л. Вазкезом (J.L. Vбzquez) та іншими математиками. Відзначимо, що Р.Шовальтер запропонував ефективний метод дослідження динамічних крайових задач, який полягає у зведенні цих задач до абстрактних еволюційних рівнянь.

Дослідженням задачі без початкових умов (задачі Фур'є) займалися А.М. Тiхонов, О.А. Олійник, С.Д. Iвасишен, Ж.-Л. Лiонс, М.М. Бокало, С.П. Лавренюк, П.Я. Пукач, В.М. Сiкорський, В.М. Дмитрiв, М.Б. Пташник та ін. Відзначимо, що існування та єдиність розв'язків цієї задачі для лінійних параболічних рівнянь доведена при певних обмеженнях на поведінку розв'язків при . Вперше це у випадку рівняння теплопровідності строго обґрунтував в одній із своїх робіт А.М. Тiхонов. Натомість, як показав М.М. Бокало, задача без початкових умов для деяких нелінійних параболічних рівнянь має єдиний розв'язок в класі функцій з довільною поведінкою при .

На даний час достатньо повно досліджені динамічні крайові задачі для еволюційних рівнянь з початковими умовами, а задачі з динамічними крайовими умовами для таких рівнянь без початкових умов не вивчались. Дослідженню саме динамічних крайових задач без початкових умов для еволюційних рівнянь та включень i присвячена ця робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідних державних тем “Розробка методів дослідження якісних характеристик математичних моделей, які описуються диференціальними рівняннями у частинних похідних” (номер держреєстрації 0106U001284), “Дослідження коректності класичних та некласичних задач для рівнянь у частинних похідних” (номер держреєстрації 0108U004134).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження однозначної розв'язності та коректності динамічних крайових задач без початкових умов для еволюційних рівнянь і включень. Для досягнення цієї мети розв'язуються такі задачі:

1) Вивчити коректність динамічних крайових задач без початкових умов для еліптичних, параболічних та еліптико-параболічних рівнянь.

2) Встановити умови коректності задачі без початкових умов для абстрактних неявних еволюційних вироджених рівнянь.

3) Дослідити задачу без початкових умов для неявних еволюційних субдиференцiальних включень.

4) Дослідити питання існування та єдиностi розв'язку динамічних крайових задач без початкових умов для параболічних включень.

Об'єкт дослідження. Динамічні крайові задачі без початкових умов для еліптичних, параболічних та еліптико-параболічних рівнянь і параболічних включень.

Предмет дослідження. Коректність динамічних крайових задач без початкових умов для еліптичних, параболічних та еліптико-параболічних рівнянь і параболічних включень.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи та ідеї теорії динамічних крайових задач та теорії задач без початкових умов, метод монотонності, а також методи теорії нелінійних півгруп.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше розглянуто новий тип задач: динамічні крайові задачі без початкових умов для еволюційних рівнянь та включень і одержано такі нові результати:

1) Вивчено коректність динамічних крайових задач без початкових умов для сильно нелінійних еліптичних рівнянь з крайовою умовою у вигляді еволюційного рівняння або еволюційної варіаційної нерівності при відсутності умов на зростання вихідних даних і поведінку розв'язку при .

2) Досліджено коректність задачі без початкових умов для абстрактних неявних еволюційних вироджених рівнянь.

3) Встановлено умови існування та єдиностi розв'язку динамічних крайових задач без початкових умов для лінійних та майже лінійних еліптико-параболічних рівнянь в класах функцій з певною поведінкою на нескінченності.

4) Досліджено коректність динамічних крайових задач без початкових умов для сильно нелінійних еліптико-параболічних рівнянь без обмежень на зростання вихідних даних і поведінку розв'язку при .

5) Досліджено умови існування та єдиностi розв'язку задачі без початкових умов для неявних еволюційних субдиференцiальних включень.

6) Встановлено умови існування та єдиностi розв'язку динамічних крайових задач без початкових умов для сильно нелінійних параболічних включень.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Викладені в ній результати можуть бути використані при вивченні прикладних проблем, які моделюються динамічними крайовими задачами без початкових умов для еволюційних рівнянь і включень.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних з науковим керівником роботах М.М.Бокалу належать постановка задач, вибір методів досліджень і аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: засіданнях науково-дослідного семінару кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка (керівники: к.ф.-м.н., доц. Бокало М.М., к.ф.-м.н., доц. Бугрій О.М., к.ф.-м.н., доц. Головатий Ю.Д.); засіданнях Львівського міського семінару з диференціальних рівнянь (керівники: д.ф.-м.н., проф., чл.-кор. НАН України Пташник Б.Й., д.ф.-м.н., проф. Іванчов М.І., д.ф.-м.н., проф. Каленюк П.І.); Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (м. Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р.); XIV Всеукраїнській науковій конференції “Сучасні проблеми прикладної математики” (м. Львів, 2-4 жовтня 2007 р.); Дванадцятій міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 15-17 травня 2008 р.); Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya.B. Lopatinskii (Donetsk, November 11-14, 2008).

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, показано зв'язок роботи з науковими темами, зазначено мету та задачі дослідження, наукову новизну, апробацію одержаних результатів та їхнє практичне значення, публікації за тематикою роботи та структуру дисертації.

У першому розділі зроблено огляд праць, які стосуються теми дисертаційної роботи. У наступних розділах викладено основні результати дисертації. Перш ніж формулювати їх, наведемо основні позначення, які використовуємо в роботі.

Нехай - натуральне число, - обмежена область з межею, що є многовидом розмірності, - замкнена множина на, , - одиничний вектор зовнішньої до нормалі. Під розуміємо дійсну числову вісь або промінь. Нехай - дійсне число таке, що, якщо протилежне не вказане явно.

Використовуємо такі простори функцій: - простір нескінченно диференційованих дійснозначних функцій на з компактними носіями, що належать внутрішності;, де, - простір дійснозначних функцій з областю визначення, звуження яких на будь-який скінченний інтервал належить; (відповідно,), , - простір дійснозначних функцій, визначених і вимірних на (відповідно,), звуження яких на (відповідно,) для будь-яких чисел, () належать (відповідно,); - простір Соболєва, який складається з функцій простору, що мають узагальнені похідні першого порядку з, з нормою; - оператор сліду; - простір слідів на функцій з; - простір топологічно спряжений до; - підпростір простору, елементи якого мають рівний нулю слід на.

Для довільного нормованого (півнормованого) простору через позначаємо топологічно спряжений до нього простір. Під розуміємо скалярний добуток між та. Норму (півнорму) на позначаємо через. Під, , розуміємо простір (класів) -значних функцій, вимірних за Бохнером на, звуження яких на будь-який скінченний інтервал належить. Через позначатимемо простір -значних розподілів на внутрішності. Під розуміємо простір функцій таких, що, де - похідна в сенсі розподілів. Простір неперервних функцій з в позначаємо через.

У другому розділі встановлено умови існування, єдиностi та неперервної залежності від вихідних даних узагальнених розв'язків динамічних крайових задач без початкових умов для сильно нелінійних еліптичних рівнянь.

У підрозділі 2.1 наведено деякі допоміжні поняття і твердження, що використовуються в наступних підрозділах другого розділу.

У підрозділі 2.2 розглянуто динамічну крайову задачу без початкових умов.

Перш ніж дати означення узагальненого розв'язку задачі визначимо потрібні для цього простори функцій та оператори.

Нехай - множина, що складається з впорядкованих наборів з дійснозначних функцій, визначених на, будь-який елемент якої складений з каратеодорівських функцій і для майже всіх задовольняє умови:

Казатимемо, що послідовність збіжна до в, якщо набори задовольняють умову з однією і тією ж сталою і, крім того,

Нехай - множина визначених на дійснозначних функцій, будь-який елемент якої є каратеодорівською функцією і для м.в. задовольняє умови:

Очевидно, що елементами множини, є не що інше, як узагальнені розв'язки з рівняння.

Тепер для кожного визначимо оператор за правилом: для будь-якого значення.

Нехай - який-небудь елемент множини. Визначимо сім'ю операторів, за правилом.

Означення 2.1. Узагальненим розв'язком задачі називаємо функцію

Задачу на знаходження узагальненого розв'язку задачі - при заданих, називатимемо, а функцію - розв'язком цієї задачі.

Означення 2.2. Задачу називатимемо коректною в класі, якщо

1) вона має єдиний розв'язок в для довільних, і;

2) її розв'язок неперервно залежить від вихідних даних, тобто, для довільних послідовностей елементів, та таких, що в, в і в маємо в, де - розв'язок задачі і для кожного - розв'язок задачі.

Основним результатом підрозділу 2.2 є таке твердження.

Теорема 2.1. Нехай. Тоді задача - коректна в класі і її розв'язок задовольняє оцінку

У підрозділі 2.3 розглянуто динамічну крайову задачу без початкових умов для сильно нелінійних еліптичних рівнянь, коли крайова умова має вигляд еволюційної варіаційної нерівності.

Визначимо як множину, елементами якої є - власний функціонал (тобто, хоча б для одного елемента маємо), опуклий (тобто, для будь-яких , та), півнеперервний знизу (тобто, з в випливає).

Задачею називатимемо задачу на знаходження функції (розв'язку).

Означення коректності задачі подібне до означення коректності задачі.

Теорема 2.2. Якщо, то задача - коректна в класі і її розв'язок задовольняє оцінку.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню задачі без початкових умов для абстрактних еволюційних неявних вироджених рівнянь.

У підрозділі 3.1 сформульовано задачу, яка вивчається, а також зроблено деякі припущення на вихідні дані.

Нехай - дійсний рефлексивний сепарабельний банахів простір.

Через позначаємо простір лінійних неперервних операторів таких, що: 1) для довільних; 2) для будь-якого. Для довільного оператора білінійна форма визначає півскалярний добуток, а функціонал - півнорму на. Позначимо поповнення простору у півнормі через і продовжимо за неперервністю оператор на, залишивши за продовженням те саме позначення. Цей оператор переводить в. Позначимо через норму і вважатимемо, що.

Тоді задача не може мати більше одного розв'язку.

Означення 3.1. Задачу називатимемо коректною в класі, якщо

1) вона має єдиний розв'язок в для будь-яких, та;

2) цей розв'язок неперервно залежить від та, тобто, для довільних послідовностей елементів та таких, що в і в маємо в, де - розв'язок задачі і для кожного - розв'язок задачі.

У четвертому розділі розглянуто динамічну крайову задачу без початкових умов для еліптико-параболічних рівнянь.

У підрозділі 4.1 наведено формулювання динамічної крайової задачі без початкових умов для еліптико-параболічних рівнянь.

Перш ніж дати означення узагальненого розв'язку задачі -, визначимо потрібні для цього простори функцій.

Нехай для м.в.. Простір є рефлексивним сепарабельним банаховим простором з нормою.

Нехай - множина, що складається з впорядкованих наборів з дійснозначних функцій, визначених на, будь-який елемент якої складений з каратеодорівських функцій і для майже всіх задовольняє.

Через позначимо множину визначених на дійснозначних функцій, будь-який елемент якої є каратеодорівською функцією і для м.в. задовольняє.

Задачу на знаходження узагальненого розв'язку задачі при заданих, а функцію - розв'язком цієї задачі.

У підрозділі 4.2 сформульовано основні результати четвертого розділу. Спочатку наведено теореми про єдиність та існування розв'язку задачі у лінійному та майже лінійному випадках.

Теорема 4.1. Нехай і. Припустимо, що для м.в. і довільних елементів, виконується нерівність

Послідовність називатимемо збіжною до в, якщо послідовності та збіжні до та відповідно в та.

Означення 4.2. Задачу називатимемо коректною в класі, якщо

1) вона має єдиний розв'язок в для довільних, , і;

2) її розв'язок неперервно залежить від вихідних даних, тобто, для довільних послідовностей елементів.

П'ятий розділ присвячено вивченню задачі без початкових умов для субдиференціальних еволюційних включень.

Нехай - дійсний рефлексивний сепарабельний банахів простір, а - лінійний неперервний оператор такий, що для довільних, та для будь-якого. Тоді білінійна форма визначає скалярний добуток, а функціонал - норму на. Позначимо поповнення простору у нормі через і продовжимо за неперервністю оператор на залишивши за продовженням те саме позначення.

Нехай функціонал - опуклий і півнеперервний знизу. Субдиференціалом функціонала називатимемо відображення, визначене за правилом

Областю визначення субдиференціала називатимемо множину.

У підрозділі 5.1 досліджувалась задача без початкових умов для абстрактного еволюційного неявного субдиференцiального включення

Перш ніж дати означення узагальненого розв'язку задачі, визначимо потрібні для цього простори функцій.

Нехай та для м.в. - банахів простір з нормою.

Нехай - множина, що складається з впорядкованих наборів з дійснозначних функцій, визначених на, будь-який елемент якої складений з каратеодорівських функцій

Висновки

Дисертація присвячена вивченню динамічних крайових задач без початкових умов для еволюційних рівнянь і включень. Такі задачі є новими, до цього часу існували лише роботи, де для еволюційних рівнянь окремо вивчалися динамічні крайові задачі з початковими умовами і окремо задачі без початкових умов.

У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:

· Досліджено коректність динамічних крайових задач без початкових умов для сильно нелінійних еліптичних, параболічних та еліптико-параболічних рівнянь при відсутності обмежень на зростання вихідних даних і поведінку розв'язку при .

· Встановлено умови існування та єдиності розв'язку динамічної крайової задачі без початкових умов для лінійних та майже лінійних еліптико-параболічних рівнянь в класах функцій з обмеженнями на їх поведінку на нескінченності.

· Досліджено питання існування та єдиності розв'язку динамічної крайової задачі без початкових умов для сильно нелінійних параболічних включень при відсутності умов на зростання вихідних даних і поведінку розв'язку при .

· Встановлено умови коректності задачі без початкових умов для абстрактних неявних еволюційних вироджених рівнянь. Отримані результати можуть бути застосовані не лише при дослідженні динамічних крайових задач без початкових умов, а й при вивченні широкого спектру інших задач, зокрема, задачі без початкових умов для еліптико-параболіко-псевдопараболічних рівнянь.

· Досліджено задачу без початкових умов для абстрактних неявних еволюційних субдиференціальних включень. Отримані результати можуть бути застосовані для розв'язання багатьох задач без початкових умов, що описуються неявними параболічними рівняннями та варіаційними нерівностями.

· Наведено приклади застосування результатів дисертаційної роботи до конкретних динамічних крайових задач, що описують конкретні фізичні процеси, зокрема, деякі процеси теплопровідності і дифузії.

коректність динамічний параболічний рівняння

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Бокало М.М. Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь /М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин// Нелинейные граничные задачи. - 2007. - 17. - С. 1-19.

2. Бокало М.М. Задача без початкових умов для еволюційних варіаційних нерівностей на многовиді /М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин// Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2008. - Вип. 68. - С. 31-42.

3. Дмитришин Ю.Б. Задача без початкових умов для абстрактних неявних субдиференціальних еволюційних включень /Ю.Б.Дмитришин// Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2008. - Вип. 69. - С. 268-284.

4. Bokalo M. Problems without initial conditions for degenerate implicit evolution equations /M. Bokalo, Yu.Dmytryshyn// Electron. J. Differ. Equations. - 2008. - V. 2008. - № 4. - P.1-16.

5. Дмитришин Ю.Б. Задача без початкових умов для лінійних та майже лінійних операторних диференціальних рівнянь / Ю.Б.Дмитришин// Укр. мат. журн. - 2009. - 61, №3. - С. 322-332.

6. Дмитришин Ю.Б. Нелінійна еліптико-параболічна динамічна крайова задача без початкових умов /Ю.Б. Дмитришин// Математичні студії. - 2009. -32, №1. - С. 53-63.

7. Дмитришин Ю.Б. Динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь /Ю.Б. Дмитришин// Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька: Тези доп. - Дрогобич, 2007. - С. 93.

8. Дмитришин Ю.Б. Еволюційна варіаційна нерівність на многовиді без початкової умови /Ю.Б. Дмитришин// XIV Всеукраїнська наукова конференція “Сучасні проблеми прикладної математики”: Тези доп. - Львів, 2007. - С. 54-55.

9. Дмитришин Ю.Б. Нелінійна еліптико-параболіко-псевдопараболічна динамічна крайова задача без початкових умов /Ю.Б. Дмитришин// Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука: Тези доп. - Київ, 2008. - С. 136.

10. Дмитришин Ю.Б. Динамічна крайова задача без початкових умов для неявних квазілінійних параболічних включень /Ю.Б. Дмитришин// Second International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya.B.Lopatinskii: Book of abstr. - Donetsk, 2008. - P. 67-68.

Размещено на Allbest.ru