Глобальна розмірність напівдосконалих кілець

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК.512.552

Глобальна розмірність напівдосконалих кілець

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Броницька Наталя Анатоліївна

Київ 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

КИРИЧЕНКО Володимир Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, в.о. завідувача

кафедри геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ЗАБАВСЬКИЙ Богдан Володимирович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка, професор кафедри алгебри і логіки;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

ЛАВРЕНЮК Ярослав Васильович,

Київський національний університет імені

Тараса Шевченка, старший науковий співробітник НДЧ механіко-математичного факультету.

Захист відбудеться «6» грудня 2010 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці ім. М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська , 58, зал №12).

Автореферат розісланий «3» листопада 2010 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.М. Журавльов

напівланцюговий глобальний черепичний кільце

АНОТАЦІЯ

Броницька Н.А. Глобальна розмірність напівдосконалих кілець. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2010.

Важливу роль в теорії кілець відіграє вивчення глобальної розмірності різних класів кілець. Глобальна розмірність різних класів черепичних порядків вивчалась в роботах Х. Фуджити, Е. Кіркман і Д. Кузьмановича, В.Ятегаонкара, Р. Тарсі та ін.

Дисертаційна робота присвячена вивченню черепичних порядків ширини два та дослідженню їх глобальних розмірностей. В роботі досліджується і наводиться спосіб обчислення глобальних розмірностей деяких класів кілець і черепичних порядків. Детально вивчаються глобальні розмірності нетерових напівланцюгових кілець та напівпервинних нетерових напівдосконалих напівдистрибутивних кілець.

В роботі побудовані напівланцюгові артинові кільця та черепичні порядки ширини два, які мають найбільшу скінченну глобальну розмірність; методами теорії праворядних сагайдаків встановлюється верхня границя довжин Льові для артинових напівланцюгових кілець скінченної глобальної розмірності та отримано багато інших важливих результатів.

Ключові слова: первинне SPSD-кільце, напівланцюгове кільце, глобальна розмірність, черепичний порядок ширини два, горенштейнів порядок, довжина Льові, матриця показників.

АННОТАЦИЯ

Броницкая Н.А. Глобальная размерность полусовершенных колец. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, Киев, 2010.

Важную роль в теории колец играет изучение глобальной размерности разных классов колец. Глобальная размерность разных классов черепичных порядков изучалась в работах Х. Фуджиты, Е. Киркман и Д. Кузьмановича, В.Ятегаонкара, Р. Тарси и др.

Диссертационная работа посвящена изучению черепичных порядков ширины два и их глобальных размерностей. В работе исследуется и приводится способ вычисления глобальных размерностей некоторых классов колец и черепичных порядков. Детально изучаются глобальные размерности нётеровых полуцепных колец и полупервичных нётеровых полусовершенных полудистрибутивных колец.

В работе построены полуцепные артиновы кольца и черепичные порядки ширины два, которые имеют максимальную конечную глобальную размерность; методами теории праворядных колчанов устанавливается верхняя граница длин Лёви для артиновых полуцепных колец конечной глобальной размерности и получено много других важных результатов.

Ключевые слова: первичное SPSD-кольцо, полуцепное кольцо, глобальная размерность, черепичний порядок ширины два, горенштейнов порядок, длина Лёви, матрица показателей.

ANNOTATION

Bronitskaya N.A. The global dimension of semiperfect rings. - Manuscript.

This is of the dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. ? Kyiv National Taras Shevchenko University. ? Kyiv, 2010.

Learning of global dimension of different classes plays an important role in the theory of rings. Global dimension of different classes of tiled orders was studied in works of H.Fujita, E.Kirkman and D.Kuzmanovich, V.Jategankar, R.Tarsy and others.

The criterion of finite global dimension for right serial rings is obtained in determinations of Cartan matrix terms of such rings by V.Gustafson.

The dissertation is devoted to the learning of tiled orders of width two and their global dimensions. The work studies the way of calculation of global dimensions of some types of rings и tiled orders. The global dimensions of Noetherian serial rings and semiprime Noetherian semiperfect semidistributive rings are studied in details.

The introduction grounds the actuality of work, states the purpose and the tasks of research, indicates the methods, scientific novelty, theoretical and practical importance of the research, describes the personal contribution of the researcher, approbation of the obtained results, the structure of dissertation.

The first chapter gives short historical analyses of the literature on the theme of dissertation and describes up-to-date state of the problems, close to the regarded problems of the work.

The second chapter has an auxiliary and systematized character. It contains the main definitions and some states which are regarded in the work.

The third chapter is devoted to the serial rings, tiled orders and Gorenstein matrix of width two. It studies the connections between serial Artinian rings and tiled orders of width two. The main results of such chapter are the building of serial Artinian rings, which satisfied the conditions of the theorem Gustafson (going from tiled orders of width 1) and tiled orders of width two with the biggest global dimension (using methods of the Gustafson's article) and building of countable sets of Gorenstein orders, index of which coincides with width two.

The fourth chapter regards the global dimensions of Noetherian serial rings. The methods of right serial quivers prove the top limits of Loewy length for Artinian rings of finite global dimension. The methods for calculation of global dimension of tiled orders of width two are indicated.

The fifth chapter regards the global dimension of semiprime Noetherian semiperfect semidistributive rings (SPSD-rings). The task of this chapter is the learning of global dimensions of such rings and tiled orders with classical ring of fractions and also the calculation of the number of tiled orders of finite global dimension. It is proved that if a Noetherian indecomposable ring has infinite global dimension so it is a prime SPSD-ring with nonzero Jacobson radical, in other words, tiled order. Tiled order has a classical ring of fractions , where is a ring of all matrix with elements from division rings and can have both infinite and finite global dimension. It is proved that in there is up to isomorphism, only a finite number of tiled orders of finite global dimension.

Key words: prime semiperfect semidistributive ring, serial ring, global dimension, tiled order of width two, Gorenstein order, Loewy length, exponent matrix.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено вивченню глобальної розмірності кілець та черепичних порядків.

В алгебрі і теорії чисел однією з найбільш цікавих структур є кільця. Термін «кільце» був введений Р. Дедекіндом та Д. Гільбертом в кінці 19 століття і стосувався в цілому кілець алгебраїчних чисел, які є комутативними кільцями. Перше абстрактне означення кільця було дано А. Франкелем в 1914 році в його статті.

В структурній теорії кілець важливим напрямком є вивчення класів кілець, що задовольняють деяким модульним умовам.

Фундаментальні поняття цієї теорії формувалися в 20-х роках 20 століття і базувалися вони на роботах Е. Артіна та Е. Нетер.

Першою класифiкацiйною теоремою сучасної теорії асоцiативних кілець є фундаментальна теорема Веддербарна-Артіна про будову напівпростих артинових кiлець. В 1908 р. Веддербарн довiв цю теорему для скiнченновимiрних алгебр над довільним полем, а в 1927 р. в своїй статті Артiн довів структурну теорему для довільних артинових напiвпростих кiлець, які одночасно задовольняють спадаючій і зростаючій ланцюговій умові, тим самим узагальнивши теорему Веддербарна. Фундаментальна теорема Веддербарна-Артіна дає повну класифікацію напівпростих артинових кілець.

Добре відомо, що багато класів кілець характеризуються через властивості модулів над ними. Всі класи кілець в наступному ланцюзі характеризуються модульними властивостями кілець:

напівпрості артинові кільця ланцюгові кільця напівланцюгові кільця напівдистрибутивні кільця.

В цьому ланцюзі перші три класи кілець є напівдосконалими. Зауважимо, що напівдистрибутивні кільця не обов'язково є напівдосконалими, а також зазначимо, що решітка ідеалів кільця Z цілих чисел є дистрибутивною, але кільце Z не є напівдосконалим.

Теорія напівдистрибутивних кілець виникла в середині 20 століття. Важливим кроком в розвитку теорії напівдистрибутивних кілець є стаття В. Стефенсона.

Наступний критерій дистрибутивності модуля навів В. Каміло: модуль є дистрибутивним тоді і тільки тоді, коли кожен його фактормодуль містить в своєму цоколі не більше одного екземпляра кожного простого модуля.

Напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця називаються SPSD-кільцями. Важливим підкласом SPSD-кілець є напівланцюгові кільця. Вперше поняття «ланцюговий» та «напівланцюговий» були введені Л.А. Скорняковим. Ті ж самі поняття були введені американським алгебраїстом Уорфілдом, як «uniserial module» та «uniserial ring», «serial module» та «serial ring».

Наступний критерій дистрибутивності модуля навів В. Каміло: модуль є дистрибутивним тоді і тільки тоді, коли кожен його фактормодуль містить в своєму цоколі не більше одного екземпляра кожного простого модуля.

Напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця називаються SPSD-кільцями. Важливим підкласом SPSD-кілець є напівланцюгові кільця. Вперше поняття «ланцюговий» та «напівланцюговий» були введені Л.А. Скорняковим. Ті ж самі поняття були введені американським алгебраїстом Уорфілдом, як «uniserial module» та «uniserial ring», «serial module» та «serial ring».

Напівланцюгові кільця досліджуються з початку 30-х років минулого століття. Їх вивчення пов'язано з іменами видатних алгебраїстів всього світу, зокрема, різні підкласи таких кілець вивчали Кьоте, Асано, Накаяма, Купіш, Мюразе, Голді, Ейзенбуд та Гріффіт.

Д. Гоpенштейн у 1952 році у зв'язку з теорією алгебраїчних кривих вперше розглядав комутативні нетерові локальні кільця, що мають скінчену ін'єктивну розмірність. Ці кільця пізніше були названі гоpенштейновими.

Черепичні порядки (tiled orders) над дискретно нормованими кільцями вивчалися, починаючи з 70-х років минулого сторіччя, багатьма математиками, зокрема, Ятегаонкаpом В.А., Таpсi P.Б., Pогенкампом К.В., Сiмсоном Д., Дpоздом Ю.А., Завадським О.Г. та Киpиченком В.В. Скінченні прямі добутки таких порядків є нетеровими справа напівпервинними напівдосконалими напівдистрибутивними кільцями, у яких для будь-якого локального ідемпотента кільце є дискретно нормованим (не обов'язково комутативним). Такі кільця під назвою «напiвмаксимальнi кільця», були введенні у 1974 році Завадським О.Г. та Киpиченком В.В.

Цей клас кілець природно виникає в теорії цiлочисельних зображень. Такими кільцями є цілком розкладні порядки над повним локальним дедекіндовим кільцем, що лежать в сепарабельних алгебрах та збігаються з перетином своїх максимальних надкiлець.

В.В. Кириченко ввів поняття сагайдака напівдосконалого нетерового справа кільця та сагайдака напівдосконалого нетерового зліва кільця.

В.В. Киpиченко отримав зручний критерій того, що зведений черепичний порядок є гоpенштейновим. Виявилося, що з горенштейновим порядком пов'язана підстановка , яку Журавльов В.М. запропонував називати підстановкою Кириченка.

Важлива роль в теорії кілець належить вивченню глобальної розмірності різних класів кілець та черепичних порядків. Цей розділ теорії кілець бере початок з топології. Основоположниками вивчення глобальної розмірності кілець є Ауслендер та Ейленберг. Глобальна розмірність черепичних порядків вперше була досліджена на початку 70-их років XX століття Тарсі та Ятегаонкаром.

В дисертаційній роботі продовжуються дослідження у вищевказаних напрямках. Вона присвячена вивченню нетерових напівланцюгових кілець, напівпервинних нетерових SPSD-кілець, горенштейнових черепичних порядків ширини два та обчисленню їх глобальної розмірності. В роботі досліджується і наводиться спосіб обчислення глобальної розмірності деяких класів кілець і черепичних порядків.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка та частково підтримана фондами ДФФД і РФФІ, проект №Ф28.1/026.

Мета i задачі дослідження. Метою дисертації є вивчення глобальної розмірності кілець та черепичних порядків, дослідження нетерових (з двох сторін) напівланцюгових кілець зі скінченною глобальною розмірністю та глобальної розмірності нетерових напівдосконалих напівдистрибутивних кілець.

У дисертаційному дослідженні поставлено наступні задачі:

встановити властивості нерозкладних нетерових напівланцюгових кілець, які мають нескінченну глобальну розмірність;

обчислити глобальну розмірність черепичних порядків ширини два;

дослідити глобальну розмірність нетерових з двох сторін напівланцюгових кілець;

розглянути глобальну розмірність нетерових напівпервинних напівдосконалих і напівдистрибутивных кілець (SPSD-кілець);

дослідити кількість черепичних порядків скінченної глобальної розмірності в , де ? кільце всіх матриць з елементами з тіла .

Об'єктом дослідження є нетерові напівланцюгові кільця, напівпервинні нетерові напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця, горенштейнові порядки ширини 2, артинові кільця.

Предмет дослідження - черепичні порядки ширини два зі скінченною глобальною розмірністю, глобальна розмірність нетерових з двох сторін SPSD-кілець, нетерові напівланцюгові кільця, які мають нескінченну глобальну розмірність, довжини Льові для артинових кілець скінченної глобальної розмірності.

Методи дослідження. Основними методами, що використовуються при дослідженнях в дисертаційній роботі є методи теорії праворядних сагайдаків (скінченних орієнтованих графів), методи теорії обчислення глобальних розмірностей різних алгебраїчних об'єктів та загальні методи теорії кілець та модулів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано нові теоретичні результати:

побудовано напівланцюгові артинові кільця та черепичні порядки ширини два найбільшої скінченної глобальної розмірності;

доведено, що нерозкладне нетерове напівланцюгове кільце є артиновим і його сагайдак є простим циклом, якщо воно має нескінченну глобальну розмірність;

методами теорії праворядних сагайдаків встановлюється верхня границя довжин Льові для артинових напівланцюгових кілець скінченної глобальної розмірності;

вказані методи для обчислення глобальної розмірності черепичних порядків ширини два;

наводиться алгоритм, який дозволяє будувати черепичні порядки ширини два скінченної глобальної розмірності, на основі результатів [43];

доводиться умова нескінченності глобальної розмірності черепичного порядку в термінах його матриці показників;

черепичний порядок має класичне кільце часток , де кільце всіх матриць з елементами з тіла і може мати як нескінченну, так і скінченну глобальну розмірність. Доводиться, що в існує, з точністю до ізоморфізму, лише скінченна кількість черепичних порядків скінченної глобальної розмірності.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Одержані результати можуть знайти застосування в обчисленнях глобальної розмірності інших алгебраїчних об'єктів. Вони можуть бути використані, і вже використовуються, при читанні спецкурсів з алгебри.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримано самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

VI міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Кам'янець Подільський, 01-07 липня 2007 р.);

міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченній 100-річчю з дня народження О.Г.Куроша (Москва, 27 травня - 03 червеня 2008 р.);

Ukrainian mathematical congress, 7-th international algebraic conference in Ukraine (Kharkov, 18-23 august, 2009);

алгебраїчному семінарі Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (Київ, 2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у восьми наукових роботах [2]-[5], [13]-[15], [51]. З них три статті у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, три тези доповідей на міжнародних математичних конференціях та два препринта.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновку та списку використаних джерел, що містить 80 найменувань. Повний обсяг роботи становить 125 сторінок, з них 116 сторінок основного змісту та 9 сторінок використаних джерел.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, зазначено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі наведено короткий історичний огляд літератури за тематикою дисертації та висвітлено сучасний стан вивчення проблем, подібних до тих, що розглядаються в дисертаційній роботі.

Перші статті з теорії напівдистрибутивних кілець з'явилися в середині 20 століття (Behrens, Blair, Menzel). Напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця називаються SPSD-кільцями. Важлива роль в теорії кілець належить вивченню глобальної розмірності різних класів кілець та черепичних порядків. Цей розділ теорії кілець бере початок з топології. Основоположниками вивчення глобальної розмірності кілець є Ауслендер та Ейленберг. Глобальна розмірність черепичних порядків вперше була досліджена на початку 70-их років XX століття Тарсі та Ятегаонкаром.

Для праворядних кілець критерій скінченності глобальної розмірності отриманий в термінах визначників матриць Картана таких кілець. Верхні оцінки для глобальної розмірності артинових напівланцюгових кілець отримані Густафсоном.

Таким чином, дослідження глобальних розмірностей різних алгебраїчних об'єктів має великі перспективи і представляє значний науковий інтерес. Цей розділ теорії кілець активно розвивається багатьма вітчизняними та зарубіжними алгебраїстами сучасності.

Другий розділ дисертації носить допоміжний та систематизуючий характер і містить основні означення понять та деякі твердження, які використовуються в роботі.

У підрозділі 2.1 наводяться основні поняття теорії кілець, модулів та черепичних порядків, які є необхідними при вивченні цілого ряду питань. Сформульовані теореми Перрона, Фробеніуса, Мюллера. Містяться означення та властивості локального та напівлокального, досконалого та напівдосконалого, напівпримарного, зведеного, напівпростого, розкладного та нерозкладного кілець.

Наводиться теорема Кириченка-Уорфілда, яка необхідна для доведення основних результатів роботи.

Теорема 2.1.14. Кожне нетерове, але не артинове напівланцюгове нерозкладне зведене кільце ізоморфне кільцю

де ? нетерова ланцюгова область з ненульовим радикалом Джекобсона . Навпаки, будь-яке кільце виду , де ? ланцюгова область і є нетеровим напівланцюговим кільцем.

Розглядається поняття ідемпотента та двосторонього пірсівського розкладу кільця. Містяться означення і властивості локального, напівлокального та напівдосконалого кільця. Наводяться приклади напівдосконалих кілець. Розглядається поняття сагайдака та його властивостей. Згадується поняття зведеної горенштейнової матриці показників і основні теореми, які її описують, а також поняття індексу матриці та індексу кільця, які є взаємопов'язаними та використовуються в дисертаційному дослідженні.

Підрозділ 2.2 присвячений ланцюговим та напівланцюговим кільцям. Сформульовані означення та основні властивості напівланцюгових, первинних та напівпервинних кілець. Також наведено теорему Міхлєра, яка дає опис напівланцюгових напівпервинних правих нетерових кілець.

В дисертації дуже важливим є визначення довжини ряду Льові.

Означення 2.2.10. Нехай ? радикал Джекобсона артинового кільця . Радикал Джекобсона артинового кільця є нільпотентним, тобто існує натуральне число таке, що , a . Ланцюг підмодулів модуля

де , а , називається рядом Льові лівого модуля .

Оскільки всі модулі ланцюгові, то довжини композиційних рядів , де є довжиною ряду Льові модуля Довжиною ряду Льові кільця називається

У вищезгаданій статті Густафсона доводиться теорема, яка описує властивості напівланцюгових артинових кілець зі скінченною глобальною розмірністю.

Теорема 2.1.1. (Густафсона.) Нехай A напівланцюгове артинове кільце і глобальна розмірність ? скінченна. Тоді:

,

.

Поняття глобальної розмірності кілець розглядається в підрозділі 2.3. Тут детально розглянуто попередні надбання в області гомологічних розмірностей.

Нехай ? кільце і ? правий модуль.

Означення 2.3.1. Проективною резольвентою називається точна послідовність -модулів:

,

в якій всі модулі є проективними.

Ми кажемо, що проективна розмірність M дорівнює n і пишемо , якщо існує проективна резольвента довжини n:

і не існує більш короткої проективної резольвенти модуля M.

Означення 2.3.2. Якщо ? кільце, то його права глобальна розмірність (скорочено ) визначається наступним чином:

Аналогічно визначається :

В дисертації наведено приклади обчислення глобальних розмірностей різних класів кілець.

Твердження 2.3.1. тоді і тільки тоді, коли кільце A напівпросте.

Твердження 2.3.2 тоді і тільки тоді, коли кільце A є правим спадковим.

Наступні дві важливі теореми доведені М. Ауслендером.

Теорема 2.3.1. довільний циклічний - .

Теорема 2.3.2. (Теорема Ауслендера.) Якщо кільце A нетерове справа і зліва, то .

Нехай, черепичний порядок над дискретно нормованим кільцем і нехай - його класичне кільце часток, де є класичним тілом часток кільця і позначимо . Нехай i . Наступні твердження очевидні.

Твердження 2.3.4. є черепичним порядком і антиізоморфний до .

Твердження 2.3.5. .

Далі розглядаються черепичні порядки скінченної глобальної розмірності і ширини не більше двох.

Дві наступні теореми вперше були доведені К.М. Данлиєвим.

Теорема 2.3.5. Нехай - черепичний порядок в і . Якщо , то для .

Теорема 2.3.6. Нехай - черепичний порядок і . Якщо , то для існує ідемпотент такий, що .

Наступна теорема, яка дає оцінку глобальної розмірності черепичного порядку, є дуже корисною і вперше була доведена в статті Кіркман-Кузьмановича.

Твердження 2.3.6. (Теорема Кіркман-Кузьмановича) Нехай - порядок, - ідемпотент цього порядку такий, що є спадковим кільцем і . Тоді .

Перераховано список асоціативних частково впорядкованих множин зі скінченною глобальною розмірністю і (0,1)-порядком.

Третій розділ присвячений напівланцюговим кільцям, черепичним порядкам та горенштейновим матрицям ширини два. В ньому вивчаються зв'язки між напівланцюговими артиновими кільцями і черепичними порядками ширини два. Задачею цього розділу є побудова таких кілець і черепичних порядків найбільшої скінченної глобальної розмірності та побудова зліченних множин горенштейнових порядків, в яких індекс співпадає з шириною і дорівнює два.

Зазначимо, що черепичним порядком називається нетерове первинне напівдосконале і напівдистрибутивне кільце з ненульовим радикалом Джекобсона.

Основні результати даного розділу - побудова напівланцюгових артинових кілець, які задовольняють умовам теореми Густафсона (виходячи з черепичного порядку ширини 1), і черепичних порядків ширини два з найбільшою глобальною розмірністю (використовуючи методи вищезгаданої статті Кіркман-Кузьмановича).

Всі кільця, що розглядаються в цьому розділі, є асоціативними з , а модулі лівими.

Зазначимо, что в силу теореми 2.3.2 права і ліва глобальні розмірності для нетерових з двох сторін кілець співпадають. Отже, для напівланцюгових артинових кілець достатньо розглядати ліву глобальну розмірність.

У підрозділі 3.1 вивчається скінченна глобальна розмірність напівланцюгових кілець.

Коли ми кажемо нетерове, артинове, спадкове і т.і. кільце, ми вважаємо, що це артинове, нетерове, спадкове і т.і. з двох сторін кільце.

Позначимо через радикал Джекобсона кільця .

Візьмемо дискретно нормоване кільце . Це кільце має класичне тіло часток . Позначимо через кільце квадратних матриць порядку над тілом . Розглянемо в кільці наступне підкільце:



Теорема 3.1.1. Якщо нерозкладне напівланцюгове нетерове кільце, яке не є артиновим, то є еквівалентним в сенсі Моріти кільцю , де ? дискретно нормоване кільце. Навпаки, є нерозкладним напівланцюговим нетеровим спадковим кільцем, яке не є артиновим.

Зазначимо, що ця теорема має місце, якщо замінити кільце на кільце

, де .

Саме це кільце ми будемо розглядати в подальшому. Для скорочення будемо позначати його , а його радикал Джекобсона . В силу теореми Міхлєра, будь-яке нетерове з двох сторін спадкове первинне напівдосконале кільце еквівалентне в сенсі Моріти кільцю .

Використовуючи кільце , ми будуємо приклади напівланцюгових артинових кілець, для яких виконуються рівності в умовах 1) і 2) теореми Густафсона.

Черепичні порядки ширини два розглядаються у підрозділі 3.2.

Введемо позначення: ? дискретно нормоване кільце з єдиним максимальним ідеалом , ? його класичне кільце часток, матриця показників, тобто і для . Позначимо через ? кільце всіх квадратних матриць порядка з елементами з тіла , ? матричні одиниці цього кільця, .

Нехай - черепичний порядок. Правою (лівою) -решіткою називається правий (лівий) -модуль, який є скінченнопородженим вільним -модулем. Зокрема, всі скінченнопороджені проективні -модулі є -решітками.

Як відомо, якщо ? черепичний порядок ширини не більше двох, то будь-яка -решітка є прямою сумою незвідних -решіток, і тому, як було доведено в тій же книзі, для визначення глобальної розмірності достатньо перевірити проективні розмірності незвідних -решіток.

Черепичний порядок має матрицю показників наступного виду:

.

Розглянемо черепичний порядок з матрицею показників , де

.

У статті було показано, що є черепичним порядком ширини два.

З теореми 2.3.5. і теореми Кіркман-Кузьмановича отримуємо:

Наслідок 3.2.1. Глобальна розмірність черепичного порядку з матрицею показників задовольняє нерівності

.

У підрозділі 3.3. досліджуються горенштейнові порядки ширини два.

Позначимо ? кільце всіх квадратних -матриць над кільцем цілих чисел . Нехай ? зведена матриця показників, ? сагайдак зведеної матриці показників .

В цьому розділі ми використовуємо поняття індексу: ? за теоремою Перрона-Фробеніуса це найбільше дійсне власне значення матриці суміжності сагайдака матриці показників .

Ми будуємо ? частково впорядковану множину, асоційовану з . Її елементи: . На множині визначено частковий порядок наступним чином: тоді і тільки тоді, коли для .

Твердження 3.3.1. тоді і тільки тоді, коли .

Ширина називається шириною матриці і позначається .

Індексом черепичного порядку називається найбільше власне число матриці суміжності сагайдака .

Зауважимо, що зведеного черепичного порядку співпадає з , де ? матриця показників зведеного черепичного порядку . Крім того .

В цьому розділі ми побудували зліченну множину циклічних горенштейнових матриць таких, що .

Тому ? зліченна множина черепичних порядків ширини два, причому .

Теорема.3.3.1. Нехай ? зведений циклічний горенштейновий порядок ширини два. Тоді .

А також ми побудували зліченну множину горенштейнових матриць таких, що . тобто, ми побудували зліченну множину горенштейнових черепичних порядків ширини два, індекси яких також дорівнюють двом.

В цьому підрозділі ми встановили, що трикутна горенштейнова матриця має ширину рівну два, тоді і тільки тоді, коли . При ширина матриці може бути як завгодно великою. Таким чином, існують горенштейнові матриці індексу два як завгодно великої ширини.

В четвертому розділі розглядається глобальна розмірність нетерових напівланцюгових кілець. Мета цього розділу ? дослідження нетерових (з двох сторін) напівланцюгових кілець зі скінченною глобальною розмірністю та визначення верхньої границі довжин Льові для артинових кілець скінченної глобальної розмірності.

В підрозділі 4.1. розглядаються нетерові напівланцюгові кільця.

Наводиться теорема про напівпримарні напівланцюгові кільця.

Теорема 4.1.1. Напівпримарне напівланцюгове справа кільце артинове справа.

Як відомо сагайдак напівланцюгового нетерового з двох сторін нерозкладного кільця є або простим циклом , або простим ланцюгом .

Нетерове з двох сторін нерозкладне нпівланцюгове кільце ми називаємо кільцем першого типу, якщо його сагайдак є ланцюгом , і кільцем другого типу, якщо його сагайдак є циклом .

Теорема 4.1.4. Нетерове справа напівланцюгове кільце , сагайдак якого є ланцюгом, артинове.

Властивості артинових напівланцюгових кілець, сагайдаком яких є ланцюг досліджується у підрозділі 4.2.

Ми показуємо, що будь-яке артинове кільце , сагайдак якого є простим ланцюгом, має скінченну глобальну розмірність. Ми будемо вважати кільце зведеним.

Для кожного ми маємо, з точністю до ізоморфізму, лише скінченну множину зведених кілець першого типу, тобто артинових кілець , сагайдаки яких є простим ланцюгом.

За теоремою Голді, будь-яке артинове кільце першого типу ізоморфне кільцю, еквівалентному в сенсі Моріти, факторкільцю кільця верхніх трикутних матриць над тілом. І, розглядаючи такі факторкільця, ми довели наступну теорему.

Теорема 4.2.1. Нехай нетерове нерозкладне напівланцюгове кільце і . Тоді кільце артинове, і його сагайдак є простим циклом .

Нехай ? нерозкладне зведене артинове напівланцюгове кільце, ? його радикал Джекобсона, ? розклад регулярного -модуля в пряму суму попарно неізоморфних головних -модулів.

Глобальна розмірність напівланцюгових артинових кілець другого типу (в яких сагайдак є циклом ) досліджується в підрозділі 4.3.

Позначимо через довжину ряду Льові кільця . Це найменше натуральне число таке, що . Очевидно, що .

Саме для таких кілець доведена теорема Густафсона. З цієї теореми, зокрема, випливає, що довжини Льові всіх нерозкладних артинових напівланцюгових кілець зі скінченною глобальною розмірністю не перевищує , де ? кількість вершин в сагайдаку .

Наслідок 4.3.1. Факторкільце має нескінченну глобальну розмірність при .

В дисертаційному дослідженні ми наводимо доведення теореми Густафсона, використовуючи теорію праворядних сагайдаків, які будуються за відображеннями скінченної множини в себе.

Наслідок 4.3.2. Якщо , то при всіх .

Нехай . Розглянемо відображення , яке визначається формулою: , де позначає найменший додатній лишок за модулем . Зокрема .

Твердження 4.3.1. .

Твердження 4.3.2. Нехай для всіх . Тоді для будь-яких існує ненульовий гомоморфізм , причому (можливо, що ).

А з останнього наслідку маємо.

Наслідок 4.3.3. Якщо , то для будь-яких існує ненульовий гомоморфізм , причому (можливо, що ).

З наслідку 2.3. маємо опис праворядних сагайдаків:

Теорема 4.3.2. Зв'язна компонента праворядного сагайдака є або праворядним деревом з одним коренем, або сагайдаком з одним контуром, який є простим циклом. Причому, якщо з цієї зв'язної компоненти видалити простий цикл, то одержимо незв'язне об'єднання праворядних дерев, всі корені яких ? це вершини, що лежать на циклі.

Вершини, які належать всім циклам праворядного сагайдака , слідуючи позначенням, введеним в статті Густафсона, називаємо -регулярними, а множину всіх -регулярних вершин позначаємо через .

Твердження 4.3.3. Справедливі наступні твердження:

(1) ;

(2) є підстановкою множини ;

(3) Для будь-якого і для будь-якого вершина праворядного сагайдака є -регулярною.

Далі нами доводиться основна лема цього розділу:

Лема 4.3.2. (Основна лема.) Нехай ? нерозкладний -модуль, який не є головним і такий, що має скінченну проективну розмірність. Нехай і дві різні -регулярні точки. Не існує таких початків проективних резольвент модуля :

;

.

Припустимо що , тоді за наслідком 4.3.3 для будь-яких головних -модулів і , існує ненульовий гомоморфізм причому (можливо, що ).

В силу основної леми випливає, що для артинових напівланцюгових кілець скінченної глобальної розмірності

Використовуючи опис праворядних сагайдаків, побудованих за відображенням , ми отримуємо верхню оцінку для а саме: . Причому число можна розглядати як кількість вершин сагайдака кільця .

В підрозділі 4.4. досліджується глобальна розмірність зведених черепичних порядків ширини два виду

та способи її обчислення, використовуючи теорему Кіркман-Кузьмановича.

Позначимо через такий ідемпотент кільця , що . Нехай і , тоді черепичний порядок має двосторонній пірсівський розклад , , , . Очевидно, і . Тому . Множина є двостороннім ідеалом, який лежить в кільці . Позначимо через ? радикал Джекобсона кільця . Таким чином з наслідку 4.3.1. отримуємо наступне твердження.

Твердження 4.4.2. Якщо , то .

З цього твердження випливає, що для кожного існує скінченна кількість, з точністю до ізоморфізму, черепичних порядків ширини два скінченної глобальної розмірності. Така ж теорема має місце в загальному випадку.

Теорема 4.4.2. Нехай ? первинне нетерове SPSD-кільце з ненульовим радикалом Джекобсона ( ? черепичний порядок), ? його класичне кільце часток. Для кожного , з точністю до ізоморфізму, існує скінченна кількість черепичних порядків, які лежать в , скінченної глобальної розмірності.

В п'ятому розділі розглядається глобальна розмірність напівпервинних нетерових напівдосконалих і напівдистрибутивних кілець (SPSD-кілець). Задача цього розділу ? дослідження глобальних розмірностей таких кілець та черепичних порядків з класичним кільцем часток, а також визначення кількості черепичних порядків скінченної глобальної розмірності.

В підрозділі 5.1. досліджуються черепичні порядки, їх зв'язки з глобальною розмірністю різних алгебраїчних об'єктів і вивчається структурна будова напівпервинних нетерових справа SPSD-кілець.

Нехай кільце є прямим добутком кілець . Очевидно, нескінченна тоді і тільки тоді, коли або нескінченна. Тому скінченна тоді і тільки тоді, коли і скінченні.

Загальновідомо, що глобальна розмірність напівпростого артинового кільця дорівнює нулю. Отже, для вивчення глобальної розмірності нетерових справа напівпервинних SPSD-кілець достатньо обмежитися випадком черепичних порядків. Зазначимо, що будь-який черепичний порядок є нетеровим з двох сторін кільцем.

Надкільця і незвідні -решітки розглядаються в підрозділі 5.2.

Нехай ? класичне кільце часток кілець і , причому і . Якщо , то кільце називається надкільцем кільця .

Нехай ? черепичний порядок. Правий (лівий) -модуль називається -решіткою, якщо він є вільним -модулем скінченного рангу.

Серед усіх -решіток виділяються незвідні -решітки. Це -решітки, що лежать в простому правому (відп. лівому) -модулі (відп. ). Незвідні -решітки утворюють частково впорядковану множину (відп. ) за включенням.

Основні леми п'ятого розділу доводяться в підрозділі 5.3.

Позначимо через ? гомологічну розмірність -модуля .

Лема 5.3.1. Нехай довільний черепичний порядок, що лежить в , і ? оборотний двосторонній ідеал , що лежить в радикалі Джекобсона черепичного порядку . Тоді для будь-якої -решітки .

Таким чином, вивчення гомологічної розмірності -решіток зводиться до вивчення гомологічної розмірності -модулів .

Наступне твердження доведене для скінченновимірних алгебр над полем . Через позначається розмірність векторного простору над полем .

Теорема 5.3.1. Нехай і ? скінченнопороджений -модуль, такий, що не ділиться на . Тоді .

Це твердження можна використати для вивчення гомологічної розмірності -решіток над черепичними порядками.

Наслідок 5.3.1. Нехай ? незвідна -решітка. Якщо -модуль ? розкладається, то .

В підрозділі 5.4. доводиться основна теорема про існування в лише скінченної кількості, з точністю до ізоморфізму, черепичних порядків скінченної глобальної розмірності.

Твердження 5.4.1. Нехай є зведеним черепичним порядком з канонічною матрицею показників . Припустимо, що матриця має наступний блочний вигляд:

де . Тоді .

Для зручності це твердження ми називаємо лемою про прямокутник.

Далі слідує основна теорема цього розділу.

Теорема 5.4.1. Нехай зведений черепичний порядок з канонічною матрицею показників і скінченною глобальною розмірністю. Тоді для всіх , тобто існує лише скінченна кількість, з точністю до ізоморфізму, черепичних порядків скінченної глобальної розмірності, що лежать в .

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи.

ВИСНОВКИ

У дисертації автором отримано нові теоретичні результати, які пов'язані з вивченням глобальної розмірності кілець та черепичних порядків. В роботі досліджуються нетерові напівдосконалі і напівдистрибутивні кільця, широко використовуються властивості напівланцюгових кілець та поняття глобальної розмірності. Вирішуються питання скінченності глобальної розмірності для різних алгебраїчних об'єктів. Використовуються методи теорії праворядних сагайдаків. Вказуються використання для обчислення глобальної розмірності черепичних порядків ширини два. В дисертації отримано низку результатів про черепичні порядки та їх глобальні розмірності.

Основними науковими результатами дисертації є наступні:

були побудовані напівланцюгові артинові кільця та черепичні порядки ширини два, які мають найбільшу скінченну глобальну розмірність;

в роботі доведено, що нерозкладне нетерове напівланцюгове кільце є артиновим і його сагайдак є простим циклом, якщо воно має нескінченну глобальну розмірність;

методами теорії праворядних сагайдаків встановлюється верхня границя довжин Льові для артинових напівланцюгових кілець скінченної глобальної розмірності;

вперше вказано методи для обчислення глобальної розмірності черепичних порядків ширини два;

в дисертаційній роботі наводиться алгоритм, який дозволяє будувати черепичні порядки ширини два скінченної глобальної розмірності, на основі результатів статті Густафсона;

в роботі доведено, що, якщо нетерове з двох сторін напівланцюгове нерозкладне кільце має скінченну глобальну розмірність, то воно є артиновим напівланцюговим кільцем, сагайдак якого є простим циклом;

також в дослідженні доводиться умова нескінченності глобальної розмірності черепичного порядку в термінах його матриці показників;

в дисертаційному дослідження вивчається глобальна розмірність нетерових напівпервинних напівдосконалих і напівдистрибутивних кілець (SPSD-кілець) і доводиться, що, черепичний порядок має класичне кільце часток , де кільце всіх матриць з елементами з тіла , і може мати як нескінченну, так і скінченну глобальну розмірність;

доведено, що в класичному кільці часток існує, з точністю до ізоморфізму, лише скінченна кількість черепичних порядків скінченної глобальної розмірності.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору В.В. Кириченку за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач та консультації.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Броницкая Н.А. О глобальной размерности черепичных порядков ширины 2. / Броницкая Н.А. // 6th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts, Kamenets-Podolskiy, July 1-7, 2007. ? P. 45.

2. Броницкая Н.А. О горенштейновых порядках ширины два / Броницкая Н.А. // Международная алгебраическая конференция посвященная 100-летию со дня рождения Куроша А. Г. Москва, 2008. ? М: МГУ. ? 2008. ? С. 46-47.

3. Kirichenko V.V. Global dimension of semiperfect semidistributive prime rings. / V.V. Kirichenko, N.A. Bronickaya // 7th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts of Talks, Kharkov, August 18-23, 2009. ? P. 73.

4. Броницька Н.А. Горенштейнові порядки ширини 2. / Н.А. Броницька // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. ? 2008. ? №3. ? С. 10-12.

5. Броницкая Н.А. Полуцепные кольца и черепичные порядки ширини два. / Н.А. Броницкая // Український математичний журнал. ? 2009. ? T. 61(2). ? С. 154-159.

6. Кириченко В.В. Глобальна розмірність напівпервинних нетерових SPSD-кілець. / В.В. Кириченко, Н.А. Броницкая // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. - 2009. - №3. - С.25-31.

7. Кириченко В.В. Глобальная размерность нётеровых полуцепных колец. / В.В. Кириченко, Н.А. Броницкая ? Київ. Інститут математики, 2009. ? 22 с. ? (Препринт / НАН України, Ін-т математики; ІМ 2009.6).

8. Кириченко В.В. Глобальная размерность полупервичных нётеровых SPSD-колец. / В.В. Кириченко, Н.А. Броницкая ? Київ. Інститут математики, 2009. ? 20 с. ? (Препринт / НАН України, Ін-т математики; ІМ 2009.8).

Размещено на Allbest.ru