Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

УДК 519.6: 539.3:004.942

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Математичне моделювання динаміки деформування багатокомпонентних тіл з зосередженими масами

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Білоус Максим Володимирович

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.

Науковий керівник: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Дейнека Василь Степанович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Гладкий Анатолій Васильович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, професор Григоренко Олександр Ярославович, Інститут механіки імені С.П. Тимошенка НАН України, завідувач відділу.

Захист відбудеться “ 17 ” грудня 2010 р. о (об) 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий “15” листопада 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ВАГІС О.А.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Задачі математичного моделювання деформування багатокомпонентних тіл виникають у багатьох прикладних галузях: при проектуванні механізмів та дослідженні їх реакцій на різноманітні навантаження, проектуванні та дослідженні поведінки інженерних споруд, моделюванні впливу гірничодобувних робіт на напружено-деформований стан масивів ґрунтів, у задачах оцінки впливу сейсмічних коливань. При цьому характер деформування досліджуваного об'єкта значною мірою визначається наявністю в ньому таких особливостей як тонкі прошарки з різко відмінними фізичними властивостями, тріщини або зосереджені маси. Оскільки зазначені включення, прошарки суттєво впливають на механічне деформування складних об'єктів, то нехтувати ними не доцільно при комп'ютерному аналізі, а отже і в відповідних математичних моделях.

Сучасний розвиток методів математичного моделювання та обчислювальної техніки дозволяє за допомогою обчислювального експерименту досліджувати можливу поведінку складних (великих) об'єктів, виявляючи на етапі проектування можливі негативні явища (наприклад зсуви, провали значних масивів ґрунту), прогнозувати їх можливий розвиток.

На сьогодні таким чисельним експериментом є розв'язання математичних задач в частинних похідних, які досить повно описують досліджувані явища, а одним з найбільш поширених методів їх розв'язання є метод скінченних елементів, на основі якого побудована значна кількість потужних спеціалізованих програмних систем та розв'язана велика кількість важливих практичних задач.

Враховуючи зручність, точність отримуваних розв'язків та універсальність методу скінченних елементів (МСЕ), техніка скінченно-елементного аналізу постійно вдосконалюється та розповсюджується на нові класи задач, що мають важливе практичне застосування.

В розвиток методу скінченних елементів значний внесок зробили: Варга Р., Галлагер Р., Гальоркін Б.Г., Гільберт Д., Дуглас І., Дюпонт Т., Зенкевич О., Курант Р., Міхлін С.Г., Ректоріс К., Сегерлінд Л., Стренг Г., Фікс Д.; наші співвітчизники: Дейнека В.С., Сергієнко І.В., Григоренко Я.М., Скопецький В.В., Галба Є.Ф., Гладкий А.В., Григоренко О.Я., Молчанов І.М., Чирков О.Ю. та ін.

Одним з напрямків розвитку методу є розвиток розробленої В.С. Дейнекою та І.В. Сергієнком технології використання класів розривних функцій для побудови математичних моделей складних процесів в багатокомпонентних суцільних середовищах в класичних слабких постановках, побудови обчислювальних схем підвищеного порядку точності чисельної їх дискретизації та застосування започаткованого ними підходу використання класичних варіаційних принципів механіки до опису динамічного деформування тіл із зосередженими масами та тріщинами.

Дана дисертаційна робота присвячена побудові теоретичних засад створення математичного забезпечення аналізу динаміки напружено-деформованого стану багатокомпонентних суцільних середовищ, що вміщують зосереджені маси, в тому числі з застосуванням суперкомп'ютерів серії СКІТ для необхідної обробки даних значних об'ємів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась за планом наукових досліджень у рамках бюджетних науково-дослідних тем Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України: “Створення математичних моделей, програмно-алгоритмічних засобів та інформаційних технологій дослідження процесів в неоднорідних ґрунтових середовищах” (номер держреєстрації 0102U003214); „Створення ефективних інтелектуальних інформаційних технологій, високопродуктивних ЕОМ та засобів захисту інформації” (“Інтелект”) (номер держреєстрації 0104U007388); “Створення інформаційної технології системного аналізу стану ґрунтових середовищ” (номер держреєстрації 0107U003766); “Створити та дослідити математичні моделі, методи аналізу та оптимальну керованість стану тіл, що знаходяться під зосередженим впливом” (номер держреєстрації 0107U003611); “Розробити і дослідити математичні моделі, методи аналізу та оптимальну керованість багатокомпонентних розподілених систем” (номер держреєстрації 0107U000634); “Практичне відпрацювання методики оцінки та прогнозу зміни складних гідрогеологічних та інженерно-геологічних процесів. Розділ 2. Створення інформаційної технології аналізу просторової динаміки підземних вод за допомогою суперкомп'ютера СКІТ” (номер держреєстрації 0109U003824); “ Методичне та технологічне суперкомп'ютерне обґрунтування оцінки ресурсів підземних вод методом моделювання”. Розділ 2: Водні ресурси України, стан, шляхи використання та збереження” (номер держреєстрації 0110U003648); “Створення математичного проблемного забезпечення інформаційних технологій аналізу процесів багатокомпонентних ґрунтових середовищ” (номер держреєстрації 0109U006165).

Мета і завдання дослідження. Мета роботи - створення теоретичних та програмно-алгоритмічних засад комп'ютерного аналізу просторового деформування складних об'єктів з довільно розташованими та орієнтованими у просторі прошарками зосереджених мас. Для досягнення поставленої мети в процесі дисертаційних досліджень поставлені та розв'язані наступні задачі:

побудовані математичні моделі динамічного деформування багатокомпонентних тіл, що містять прошарки зосереджених мас, як нові класи початково-крайових задач для гіперболічних систем рівнянь з умовами спряження;

побудовані класичні узагальнені задачі з використанням класів розривних функцій в дво- та тривимірних постановках, з'ясована єдиність їх розв'язків;

побудовані та теоретично обґрунтовані обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності дискретизації нових класів початково-крайових задач для гіперболічних систем рівнянь з умовами спряження в дво- та тривимірних постановках, що за точністю не гірші аналогічних, відомих для відповідних класів задач з гладкими розв'язками;

розроблено програмно-алгоритмічні засоби аналізу за допомогою багатопроцесорних суперкомп'ютерів СКІТ динаміки НДС об'єктів, що знаходяться під впливом зосереджених мас, та динаміки ґрунтових вод;

проведені обчислювальні експерименти;

розв'язані практичні задачі.

Об'єкт дослідження. Процеси тривимірного динамічного пружного деформування багатокомпонентних тіл, що вміщують довільно орієнтовані у просторі прошарки зосереджених мас та тріщини.

Предмет дослідження. Математичні моделі тривимірного динамічного деформування багатокомпонентних тіл, що вміщують довільно орієнтовані у просторі прошарки зосереджених мас та тріщини, які сформульовані як нові класи початково-крайових задач для гіперболічних систем рівнянь теорії пружності з умовами спряження (з розривними розв'язками). Методи чисельного розв'язання зазначених початково-крайових задач. Програмно-алгоритмічні засоби, що реалізовані на ПЕОМ та суперкомп'ютері СКІТ.

Методи досліджень. При побудові математичних моделей використані основні закони збереження. Шляхом використання класів розривних функцій побудовані класичні узагальнені задачі Гальоркіна для отриманих нових класів початково-крайових задач в частинних похідних. Обчислювальні алгоритми для отриманих нових класів математичних задач за точністю не гірші аналогічних, відомих для відповідних класів задач з гладкими розв'язками, побудовані на основі використання відповідних класів розривних функцій методу скінченних елементів, що є певним розвитком зазначеної методології на нові класи математичних задач.

Теоретичне обґрунтування алгоритмів методу скінченних елементів та відповідних різницевих схем Кранка-Ніколсона проведені шляхом узагальнення відомих підходів для з'ясування аналогічних питань для гіперболічних систем. дискретизація гіперболічниий рівняння

При розробці та реалізації програмних засобів використано підходи об'єктно-орієнтованого проектування та програмування. Для реалізації паралельних алгоритмів застосовано технологію MPI (”інтерфейс передачі повідомлень”).

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі отримані наступні нові результати, що виносяться до захисту:

на основі варіаційних принципів механіки отримані варіаційні задачі динамічного пружного деформування тіл, що вміщують прошарки зосереджених мас та тріщини;

побудовані нові початково-крайові задачі для гіперболічних систем диференційних рівнянь з умовами спряження, що відображають вплив тонких прошарків зосереджених мас на напружено-деформований стан у двовимірних та тривимірних постановках для багатокомпонентних тіл;

побудовані відповідні класичні узагальнені задачі, що визначені на класах розривних функцій;

з`ясовані питання єдиності розривних узагальнених розв`язків;

побудовані (на основі використання класів розривних функцій МСЕ) та теоретично обґрунтовані обчислювальні схеми підвищеного порядку точності дискретизації нових класів гіперболічних задач; отримані оцінки похибок наближених розв'язків таких систем, що за точністю не гірші аналогічних, відомих для відповідних класів задач з гладкими розв'язками;

побудовані та теоретично обґрунтовані різницеві схеми Кранка-Ніколсона дискретизації проміжних задач Коші для визначення наближених чисельних розв`язків розглянутих класів гіперболічних задач з розривними розв`язками; отримано оцінки похибок наближених розв'язків, що за точністю не гірші аналогічних, відомих для відповідних задач з гладкими розв'язками;

проведені чисельні експерименти, що підтверджують ефективність запропонованих алгоритмів;

розроблено програмно-алгоритмічні засоби аналізу за допомогою комплексу ПЕОМ - СКІТ просторової динаміки ґрунтових вод складних ґрунтових масивів великих розмірів;

розв'язані практичні задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані математичні моделі можуть бути використані для аналізу процесів деформування багатокомпонентних об'єктів, які містять такі структурні неоднорідності як зосереджені маси та тріщини, для вирішення різноманітних завдань машинобудування, будівництва, раціонального природокористування, екології та ін.

Запропоновані та теоретично обґрунтовані обчислювальні алгоритми чисельного розв'язання розглянутих класів початково-крайових задач для гіперболічних систем рівнянь можуть бути використані при створенні сучасних інформаційних технологій аналізу та прогнозу динаміки деформування реальних багатокомпонентних суцільних середовищ.

Розроблені програмні підсистеми включені до автоматизованого комплексу НАДРА-3D.

За допомогою створеного програмного забезпечення розв'язано практичні задачі (зокрема, cтворені програмно-алгоритмічні засоби використані для проведення аналізу динаміки ґрунтових вод КПМА на значний період часу).

Особистий внесок здобувача. У роботах [1, 2] участь дисертанта полягає в побудові математичної моделі, проектуванні і створенні програмних підсистем, що реалізують паралельне формування та розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь МСЕ.

У роботі [3] дисертанту належить розробка та програмна реалізація алгоритмів врахування умов спряження для спеціалізованої схеми зберігання СЛАР в пам'яті багатопроцесорних обчислювальних комплексів; у роботі [5] - побудова та теоретичне обґрунтування обчислювальних алгоритмів, у роботі [6] - створення підсистем формування у паралельному режимі СЛАР МСЕ великої розмірності для задач теорії пружності, постановка та розв'язання тестових задач.

У роботах [7 - 15] вклад дисертанта полягає в розробці математичних моделей, обчислювальних схем, проектуванні та створенні програмних підсистем, що реалізують розроблені математичні методи, проведенні обчислювальних експериментів.

Науковому керівнику належить загальне керівництво роботою, консультації щодо побудови математичних моделей, побудови ефективних чисельних алгоритмів, побудови математичної моделі практичної задачі, обговоренні отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи пройшли апробацію на наукових семінарах відділу методів дискретної оптимізації, математичного моделювання та аналізу складних систем Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України та доповідались на 9 міжнародних конференціях:

І Міжнародна науково-технічна конференція “Динаміка, міцність і надійність сільськогосподарських машин” "DSR AM - I" (4 - 7 жовтня 2004 р., Тернопіль);

Міжнародна науково-практична конференція “Розробка систем програмного забезпечення: виклик часу та роль у інформаційному суспільстві” (27 - 28 січня 2005 р., Київ);

Міжнародна конференція "Питання оптимізації обчислень (ПОО - ХХХІІ)", присвячена пам'яті академіка В.С. Михалевича (19 - 23 вересня 2005 р., Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ);

VII Міжнародна науково-технічна конференція “Системний аналіз та інформаційні технології” (28 червня - 2 липня 2005 р., Київ);

V Міжнародна науково-практична конференція з програмування УкрПРОГ'2006 (23 - 25 травня 2006 р., Київ);

Міжнародна наукова конференція “Досягнення та перспективи розвитку інформаційного суспільства в Україні” (CeBIT-2006, Ганновер, Німеччина);

Міжнародний симпозіум "Питання оптимізації обчислень (ПОО - ХХХІII)", присвячений 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (23 - 28 вересня 2007 р., Київ);

Міжнародна наукова конференція “Розвиток інформаційно-комунікаційних технологій та розбудова інформаційного суспільства в Україні” (CeBIT-2007, Ганновер, Німеччина);

Міжнародна науково-технічна конференція “Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы - 2007”, 24 - 29 вересня 2007 р., сел. Дивноморське, Геленджик, Росія.

Розроблені під час написання дисертаційної роботи програмні підсистеми входять до проблемно-орієнтованої складової автоматизованого комплексу НАДРА-3D дослідження тривимірних процесів у багатокомпонентних середовищах і демонструвалися у складі цього програмного комплексу на міжнародних виставках “Екологія” (Київ, 2004 - 2007 рр.), “CeBIT” (Ганновер, Німеччина, 2006 - 2007 рр.).

Окремі наукові результати дисертаційної роботи, що увійшли до циклу робіт “Математичне та програмне забезпечення аналізу процесів багатокомпонентних середовищ на суперкомп'ютері СКІТ” Білоуса М.В., Вєщунова В.В., відзначені премією Президента України для молодих вчених 2007 р.

Частина результатів увійшла до серії робіт “Чисельне дослідження напружено-деформованого стану просторових тіл з прошарками зосереджених мас”, відзначеної премією Національної академії наук України для молодих вчених 2009 р.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 15 роботах, з яких 5 надруковано у наукових фахових виданнях за переліком ВАК України, 9 - у збірниках доповідей міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, переліку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації - 132 сторінки, в тому числі список використаних джерел із 138 найменувань на 14 сторінках.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено наукову новизну і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі проведено огляд літературних джерел за тематикою дисертації. Обґрунтовано вибір напрямку подальших досліджень, пов'язаних з моделюванням процесів зміни напружено-деформованого стану в багатокомпонентних тривимірних середовищах, які містять різноманітні прошарки і прошарки, вздовж яких зосереджені маси.

У другому розділі отримано варіаційну задачу, з якої випливає початково-крайова задача для процесів плоско-паралельного пружного деформування тіл, що містять тріщину, вплив якої на НДС тіла враховується умовами зосередженої маси та в'язкого тертя.

Варіаційне рівняння для деформованого під впливом масових сил тіла , отримане на основі варіаційних принципів механіки, має вигляд

, ;

з нього випливає наступна початково-крайова задача:

, , , (1)

, , (2)

, , (3)

, ,(4)

, ,(5)

де с - густина речовини в областях , ; - вектор масових сил; - вектор переміщень; - компоненти тензора напруг; () - відповідно нормальна та дотична компоненти вектора переміщень (напруг) відносно вектора нормалі n; m=m₁+m₂; m₁, m₂ - густини мас, зосереджених відповідно вздовж берегів , тонкого прошарку г; - коефіцієнт жорсткості до зсуву прошарку г; g₁, g₂ - величини, що характеризують в'язкість прошарку; , , , , [ц] = ц⁺ - ц-; ц⁺ = {ц}⁺ =ц(x,t), ; ц-= {ц}- = ц(x,t), ; ; ; .

На границі області , , задано крайові умови

, . (6)

Початкові умови мають вигляд

, ,(7)

, .(8)

Узагальнена задача полягає в знаходженні вектор-функції , яка для будь-якої вектор-функції задовольняє тотожностям

, (9)

, t=0,(10)

, t=0, (11)

де ,

,

- простір Соболева вектор-функцій, визначених на .

,

, , l=1,2, ,

, , ,

.

Представимо двовимірну область як об'єднання трикутників. Визначимо множину вектор-функцій, які задовольняють головним умовам спряження (2) та головним крайовим умовам (6), а кожна з компонент , , цих функцій неперервна на кожній з областей , , і є повним поліномом степеня k просторових змінних при кожному фіксованому значенні t на кожному з трикутників розбиття кожної з областей , і множину вектор-функцій , які задовольняють головним умовам спряження (2) та однорідним головним крайовим умовам і кожна з компонент , , цих функцій неперервна на кожній з областей , , і є повним поліномом степеня k просторових змінних на кожному з зазначених трикутників.

Наближеним узагальненим розв'язком початково-крайової задачі (1) - (8) називається вектор-функція , яка для будь-якої вектор-функції задовольняє тотожностям вигляду (9) - (11).

Нехай - система лінійно-незалежних скалярних функцій, які задовольняють умові , , , і допускають розрив на г.

Побудуємо наступні лінійно-незалежні вектор-функції:

, . (12)

Враховуючи (12) функції можемо записати так:

, , ,(13)

, , (14)

де , в МСЕ можуть бути значеннями компонент відповідної функції або їх похідних у певній вузловій точці.

Враховуючи представлення (13), (14) з (9) - (11) отримуємо задачу Коші

,(15)

,(16)

,(17)

де F(t), , - відомі вектори; , , , - відомі симетричні, додатньо визначені матриці. Отже, задача (15) - (17) має єдиний розв'язок, а задача (1) - (8) має єдиний наближений узагальнений розв'язок.

Теорема 2.4. Нехай компоненти класичного розв'язку u(x,t) початково-крайової задачі (1) - (8) достатньо гладкі на областях , . Тоді для наближеного розв'язку справедлива оцінка

, (18)

де ; с - константа, яка не залежить від триангуляції; h - найбільша зі сторін всіх трикутників скінченно-елементного розбиття, k - степінь поліномів скінченних елементів на кожній з областей ; при k=1 , и - найбільший з кутів трикутників скінченно-елементного розбиття; при k=2,3 , и - найменший з кутів трикутників скінченно-елементного розбиття.

Задачу Коші (15)-(17) розв'язуємо за допомогою схеми Кранка-Ніколсона:

, , (19)

, (20)

, (21)

де за змінною t введено регулярну сітку , тоді наближений розв'язок задачі (1) - (8) при записується у вигляді

, . (22)

Теорема 2.5. Нехай u(x,t) - класичний розв'язок задачі (1) - (8), достатньо гладкий на областях , і = 1,2, а - розв'язок, який отримали за допомогою різницевої схеми Кранка-Ніколсона. Тоді справедлива оцінка

.

У третьому розділі розглянуто різноманітні задачі моделювання напружено-деформованого стану (НДС) тривимірних тіл, що містять тонкі включення, вздовж яких зосереджено маси.

У підрозділі 3.1 наведено деякі допоміжні співвідношення, які використовуються при розгляді тривимірних задач.

У підрозділі 3.2 розглядається задача моделювання зміни напружено-деформованого стану тривимірного тіла, яке містить масу, зосереджену вздовж включення з умовами ідеального контакту.

Розглядається тіло , що складається з двох тіл , , , які контактують одне з одним на поверхні г таким чином, що , . Вектор нормалі n, направлений з в . Вздовж ділянки г розподілено рівномірно масу з густиною m і задано умови ідеального контакту. На основі варіаційних принципів отримана початково-крайова задача, яка описує динамічну пружну рівновагу такого тіла Щ:

, , , (23)

, , (24)

, , (25)

, , (26)

де , .

Крайові умови мають вигляд

, ; (27)

, , , ; (28)

де ; ; ; ,, - компоненти (проекції на осі декартової системи координат) вектора прикладеної до тіла сили на ділянці границі з вектором зовнішньої нормалі .

Початкові умови мають вигляд

, ,(29)

, .(30)

Узагальнена задача полягає в знаходженні функції , яка для будь-якої функції задовольняє тотожностям вигляду (9) - (11), де

,

;

; ,

, ;

; ;

.

Представимо область як об'єднання скінченних елементів і визначимо множину вектор-функцій , які задовольняють головним умовам спряження (24) та головним крайовим умовам (27), а кожна з компонент , цих функцій неперервна на кожній з областей , і є повним поліномом ступеня k просторових змінних при кожному фіксованому значенні t на кожному з пірамідальних елементів розбиття.

Визначимо також множину вектор-функцій , які задовольняють головним умовам спряження (24) та однорідним крайовим умовам на Г₁, а кожна з компонент , , цих функцій неперервна на кожній з областей , і є повним поліномом степеня k просторових змінних на кожному з елементів розбиття.

Наближеним узагальненим розв'язком початково-крайової задачі (23) - (30) називається вектор-функція , яка для будь-якої вектор-функції задовольняє тотожностям вигляду (9) - (11).

Побудувавши відповідним чином базисні вектор-функції , можемо представити елементи просторів , у вигляді

, , ,(31)

, , (32)

де , в МСЕ можуть бути значеннями компонент відповідної функції або їх похідних у певній вузловій точці.

Враховуючи представлення (31), (32) з (23) - (30) отримуємо задачу Коші у вигляді (15) - (17).

Теорема 3.1. Нехай компоненти класичного розв'язку u(x,t) початково-крайової задачі (23) - (30) достатньо гладкі на областях , . Тоді для наближеного розв'язку справедлива оцінка

, (33)

де , с - константа, h - найбільший з діаметрів усіх скінченних елементів, k - ступінь поліномів скінченних елементів регулярного сімейства на кожній з областей .

Наближений розв'язок задачі Коші у вигляді (22) знаходимо за допомогою схеми Кранка-Ніколсона (19) - (21).

Теорема 3.2. Нехай u(x,t) - класичний розв'язок задачі (23) - (30), який достатньо гладкий на , i = 1,2, а - розв'язок, який отримали за допомогою схеми Кранка-Ніколсона. Тоді справедлива оцінка

, (34)

де - найбільший з діаметрів скінченних елементів розбиття, k - степінь поліномів МСЕ, c=const.

У підрозділі 3.3 побудовано обчислювальні схеми для задач зміни НДС тіла, яке містить масу, зосереджену вздовж тонкого включення, на якому можливе проковзування без розходження берегів. У цьому випадку тіло складається з двох тіл , які контактують одне з одним на ділянці поверхні г таким чином, що . Вектор нормалі n на г направлено з в . На ділянці г⁺ границі розподілено рівномірно масу з густиною m₂, на ділянці г^- границі розподілено рівномірно масу з густиною m₁, вздовж г можливе ковзання відносно з тертям без розходження берегів тріщини.

На основі отриманої варіаційної задачі побудована відповідна початково-крайова задача, яка описує динамічну пружну рівновагу такого тіла Щ, де: на справедлива система рівнянь (23), на - рівняння (24), (25),

, ;(35)

, ;(36)

де , , , .

Крайові умови мають вигляд (27), (28), початкові умови - (29), (30).

Узагальнена задача полягає в знаходженні функції , яка для будь-якої функції задовольняє тотожностям вигляду (9) - (11), де

,

.

Представимо область як об'єднання скінченних елементів і аналогічно до задачі підрозділу 3.2 визначимо множини вектор-функцій та .

Наближеним узагальненим розв'язком початково-крайової задачі (23)-(25), (35), (36), (27)-(30) називається вектор-функція , яка для будь-якої вектор-функції задовольняє тотожностям вигляду (9) - (11).

Для отриманого наближеного розв'язку отримано оцінки, аналогічні (33), (34) (тобто доведено теореми, аналогічні теоремам 3.1, 3.2).

У підрозділі 3.4 розглянуто початково-крайову задачу для тіла, яке містить зосереджену вздовж тонкого включення масу та тріщину, які не перетинаються. Тіло складається з трьох тіл , які контактують одне з одним на ділянках поверхні г₁, г₂ таким чином, що , , , ; , . Вектор нормалі n₁ на г₁ направлений з в , вектор нормалі n₂ на г₂ - з в .

На поверхнях контакту областей наявні наступні особливості: на ділянці г₁⁺ границі розподілено рівномірно масу з густиною m₂, а на ділянці г₁^- границі розподілено рівномірно масу з густиною m₁; вздовж г₁ можливе ковзання відносно з тертям без розходження берегів тріщини; вздовж г₂ можливе ковзання відносно з тертям без розходження берегів тріщини.

Динамічна пружна рівновага такого тіла Щ описується наступною початково-крайовою задачею: на справедлива система рівнянь (23), на - рівняння (24), (25), (35), (36);

, ,(37)

, ,(38)

, , , ,(39)

де , , .

Крайові умови мають вигляд (27), (28), де , , початкові умови мають вигляд (29), (30), .

Узагальнена задача полягає в знаходженні функції , яка для будь-якої функції задовольняє тотожностям вигляду (9) - (11).

Для отриманого наближеного розв'язку отримано оцінки, аналогічні (33), (34) (тобто доведено теореми, аналогічні теоремам 3.1, 3.2).

У підрозділі 3.5 розглянуто початково-крайову задачу для тіла, яке містить декілька включень, що перетинаються. В цьому випадку тіло складається з чотирьох тіл , які контактують одне з одним на ділянках поверхні г_і, , таким чином, що , , , ; , , , .

На поверхнях контакту областей наявні наступні особливості: на ділянці г₁⁺ границі розподілено рівномірно масу з густиною m₂, на ділянці г₁^- границі розподілено рівномірно масу з густиною m₁, вздовж г₁ можливе ковзання складової відносно з тертям без розходження берегів тріщини; вздовж г₂ можливе ковзання відносно з тертям без розходження берегів тріщини і діє тиск p, який розклинює тріщину; вздовж г₃ можливе ковзання відносно з тертям без розходження берегів тріщини; вздовж г₄ можливе ковзання відносно з тертям без розходження берегів тріщини.

Для тіла Щ з варіаційних принципів механіки отримано варіаційне рівняння

,

з якого випливає наступна початково-крайова задача, що описує динамічну пружну рівновагу такого тіла.

В області справедлива система рівнянь (23); для справедливі умови спряження вигляду (24), (25), (35), (36); для та - умови спряження вигляду (37) - (39), де та відповідно; для справедливі умови спряження

, ,(40)

, , ,(41)

де , , .

Крайові умови мають вигляд (27), де , .

Початкові умови на мають вигляд (29), (30).

Узагальнена задача полягає в знаходженні функції , яка для будь-якої функції задовольняє тотожності вигляду (9) - (11), де

;

.

Для отриманого наближеного розв'язку отримано оцінки, аналогічні (33), (34) (тобто доведено теореми, аналогічні теоремам 3.1, 3.2).

У четвертому розділі наведено алгоритми врахування напірного фільтраційного руху рідини при моделюванні напружено-деформованого стану тривимірного багатокомпонентного тіла.

П'ятий розділ присвячено огляду особливостей програмного забезпечення, створеного на базі розроблених у дисертаційній роботі обчислювальних схем, та деяких тестових задач.

Програмна реалізація розроблених обчислювальних схем виконана у вигляді підсистем проблемно-орієнтованої складової створеного в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України програмного комплексу НАДРА-3D, призначеного для моделювання процесів фільтрації рідини та зміни напружено-деформованого стану багатокомпонентних ґрунтових середовищ.

Програмний комплекс НАДРА-3D структурно складається з двох компонент - інтерфейсної складової та проблемно-орієнтованої компоненти-розв'язувача. Інтерфейсна компонента функціонує на персональному комп'ютері і надає користувачеві інструментарій побудови геометричних моделей багатокомпонентних середовищ та їх скінченно-елементного розбиття (функції препроцесора) та інструментарій візуального представлення та аналізу отриманих результатів (функції постпроцесора). Проблемно-орієнтована компонента функціонує на багатопроцесорному обчислювальному комплексі і призначена для побудови та розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методу скінченних елементів. Взаємодія між пре-/постпроцесором та розв'язувачем відбувається через файли даних, що забезпечує максимальну незалежність цих компонент одна від одної та можливість їхнього використання як окремих програмних систем.

Оскільки програмний комплекс орієнтований на розв'язування СЛАР з великою кількістю невідомих (10⁵ - 10⁶ і більше), в базовій версії розв'язувача комплексу Надра-3D використовується розроблена в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова програма slae_bsb_sp, яка реалізує паралельний алгоритм розв'язування СЛАР з симетричною додатньо-визначеною матрицею стрічкової структури і використовує блокову рядково-циклічну схему зберігання матриці та векторів правої частини СЛАР в пам'яті процесорів багатопроцесорного комплексу (автори програми - Хіміч О.М. та Попов О.В.).

Підсистеми розв'язувача, призначені для формування СЛАР, орієнтовані, відповідно, на представлення даних, визначене вимогами розробників slae_bsb_sp.

В розділі також розглянуті особливості врахування умов спряження при такому розташуванні СЛАР в пам'яті процесорів, наведені результати розв'язання деяких модельних задач (вигляд областей, для яких розв'язані модельні задачі, показано на рис.1, 2).

Рис. 1

Рис. 2

Розв'язана практична задача аналізу просторового руху рідини в складному ґрунтовому масиві Київської промислово-міської агломерації.

Висновки

У дисертаційній роботі розроблені теоретичні засади створення ефективних засобів математичного моделювання процесів динамічного деформування багатокомпонентних тіл, які вміщують тонкі прошарки (тріщини або включення, на берегах яких зосереджено масу), та їх реалізації на обчислювальному комплексі ПЕОМ - СКІТ. Основними результатами, отриманими в дисертаційній роботі, є наступні:

1. На основі варіаційних принципів механіки отримані варіаційні задачі динамічного пружного деформування багатокомпонентних об'єктів, що містять тріщини та довільно орієнтовані тонкі включення, вздовж яких зосереджені маси.

2. Побудовані математичні моделі динамічної зміни напружено-деформованого стану багатокомпонентних об'єктів, що містять довільно орієнтовані тонкі включення, вздовж яких зосереджені маси, як нові класи початково-крайових задач з розривними розв'язками для системи гіперболічних рівнянь з умовами спряження в площинних та просторових постановках.

3. Для отриманих початково-крайових задач з умовами спряження отримані класичні узагальнені задачі, що визначені на відповідних класах розривних функцій. Доведена єдиність узагальнених розв'язків (для площинних та просторових постановок задач).

4. З використанням класів розривних функцій МСЕ побудовані обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності знаходження наближених узагальнених розв'язків для задач в площинних та просторових постановках. Отримані оцінки похибок наближених узагальнених розв'язків, що за порядками кроків дискретизації не гірші аналогічних, відомих для відповідних задач з гладкими розв'язками.

5. Для дискретизації відповідних задач Коші розроблено різницеві схеми Кранка-Ніколсона. Отримані оцінки наближених розв'язків, одержаних з використанням розривних функцій МСЕ та різницевих схем Кранка-Ніколсона (для задач в площинних та просторових постановках).

6. Розроблені обчислювальні алгоритми реалізовані програмно у вигляді підсистем проблемно-орієнтованої складової програмного комплексу НАДРА_3D, призначеного для моделювання процесів фільтрації рідини та зміни напружено-деформованого стану багатокомпонентних ґрунтових середовищ.

7. За допомогою розроблених обчислювальних алгоритмів розв'язані модельні приклади.

8. За допомогою розроблених обчислювальних алгоритмів та побудованих на їх основі програмно-алгоритмічних засобів розв'язані на обчислювальному комплексі ПЕОМ - суперкомп'ютер СКІТ задачі аналізу просторової динаміки підземних вод Київської промислово-міської агломерації в ґрунтовому масиві площею його поверхні 200 км х 240 км та глибиною до 1 км.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Дейнека В.С. Информационная технология FVOL-3D исследования трехмерного влагопереноса-фильтрации жидкостей с помощью суперкомпьютера СКИТ / В.С. Дейнека, М.В. Белоус В.В. Вещунов // Компьютерная математика. - 2006. - № 1. - С. 10-19.

Дейнека В.С. Информационная технология FVOLD-3D исследования трехмерного неустановившегося движения жидкости с помощью суперкомпьютера СКИТ / В.С. Дейнека, В.В. Вещунов, М.В. Белоус // Там же. - 2007. - № 1. - С. 13-23.

Дейнека В.С Организация вычислительных алгоритмов учета условий сопряжения в исследованиях трехмерных процессов многокомпонентных сред на суперкомпьютерах СКИТ / В.С. Дейнека, М.В. Белоус // Там же. - 2007. - № 2. - С. 29-38.

Белоус М.В. Численное решение трехмерной динамической задачи теории упругости с сосредоточенной массой / М.В. Белоус // Там же. - 2008. - № 1. - С. 3 - 11.

Дейнека В.С. О численном моделировании пространственного деформирования среды с сосредоточенной массой и расклинивающим давлением на пересекающихся включениях / В.С. Дейнека, М.В. Белоус // Доп. НАН України. - 2008. - № 10. - С. 35-42.

Сергиенко И.В. Исследование с помощью многопроцессорного вычислительного комплекса распределенных систем с большими объемами связанных данных. / [Сергиенко И.В., Дейнека В.С., Химич А.Н., Попов А.В., Калынюк Н.А., Яковлев М.Ф., Чистякова Т.В., Белоус М.В.] - Киев, 2005. - 33 с. - (Препринт /НАН Украины. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова; 2005-1).

Дейнека В.С. Численное решение задачи динамической теории упругости с сосредоточенной массой / В.С. Дейнека, М.В. Белоус // Матеріали I Міжнар. наук.-техн. конф. “Динаміка, міцність і надійність сільськогосподарських машин” “DSR AM - I”, 4 - 7 жовтня 2004 р., Тернопіль. - Тернопіль: 2004. - С.131-137.

Про особливості створення сучасних програмно-алгоритмічних засобів вирішення проблем екології / [В.С. Дейнека, Н.А. Калинюк, М.В. Білоус, В.В. Вєщунов, І.В. Дейнека, М.М. Радіонов] // Матеріали Міжнар. наук.-практ. конф. “Розробка систем програмного забезпечення: виклики часу та роль у інформаційному суспільстві”, 27-28 січня 2005 р., Київ. - К.: МНОУ, 2005. - С. 89-91.

Система NDS розрахунку напружено-деформованого стану багатокомпонентних тіл на комплексі PENTIUM-СКІТ / [І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека, О.М. Хіміч, О.В. Попов, М.В. Білоус] // Матеріали сьомої міжнар. наук.-техн. конф. “Системний аналіз та інформаційні технології”, 28 червня - 2 липня 2005 р., Київ. - К.:, 2005. - С.79.

Дейнека В.С. Розв'язання задачі напружено-деформованого стану багатокомпонентного тіла з великим об'ємом повнозв'язаних даних на системі ПЕОМ-СКІТ / В.С. Дейнека, М.В. Белоус // Праці міжнар. конф. “Питання оптимізації обчислень (ПОО - XXXII)”, присвяченої пам'яті академіка В.С. Михалевича, 19 - 23 вересня 2005 р., Кацивелі. - К.:Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2005. - С.72.

Информационная технология исследования трехмерного влагопереноса-фильтрации жидкостей в многокомпонентных средах на Pentium-СКИТ / [И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека, В.В. Вещунов, М.В. Белоус] // Матеріали п'ятої міжнар. наук.-практ. конф. з програмування УкрПРОГ'2006, 23-25 травня 2006 р., “Проблеми програмування”, 2006. - № 2-3 (спеціальний випуск). - С. 741-748.

Информационные технологии анализа и прогноза развития процессов в многокомпонентных грунтовых средах / [И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека, В.В. Вещунов, M.B. Белоус, Н.А. Калынюк ] // Праці міжнар. наук. конф. “Досягнення та перспективи розвитку інформаційного суспільства в Україні” (м. Ганновер, Німеччина, CeBIT-2006). - Київ, 2006. - С. 142-173.

Информационная технология НАДРА-3D исследования с помощью суперкомпьютера СКИТ неустановившегося движения жидкости в пространственных многокомпонентных грунтовых средах / [И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека, В.В. Вещунов, М.В. Белоус] // Праці міжнар. наук. конф. “Розвиток інформаційно-комунікаційних технологій та розбудова інформаційного суспільства в Україні” (м. Ганновер, Німеччина, CeBIT-2007). - Київ, 2007. - С. 51-58.

Інформаційна технологія НАДРА-3Д дослідження процесів багатокомпонентних середовищ / [І.В. Сергієнко, В.С. Дейнека, М.В. Білоус, В.В. Вєщунов] // Праці міжнар. симп. "Питання оптимізації обчислень (ПОО - ХХХІII)", присвяченого 50-річчю створення Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 23 - 28 вересня 2007 р. - К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, 2007. - С. 257.

Информационная технология НАДРА-3Д исследования процессов многокомпонентных сред / [И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека, М.В. Белоус, В.В. Вещунов] // Материалы междунар. науч.-техн. конф. “Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы - 2007”, 24 - 29 сентября 2007 г. - Таганрог: Изд-во ТИИ ЮФУ, 2007. - 1. - С. 150-152.

Анотації

Білоус М. В. Математичне моделювання динаміки деформування багатокомпонентних тіл з зосередженими масами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2010.

Дисертаційна робота присвячена створенню теоретичних та програмно-алгоритмічних засад комп'ютерного аналізу просторового деформування складних об'єктів з прошарками зосереджених мас. Для вирішення цього завдання побудовані математичні моделі динамічного деформування багатокомпонентних тіл, що містять прошарки зосереджених мас, як нові класи початково-крайових задач для гіперболічних систем рівнянь з умовами спряження. Для них отримані узагальнені задачі в дво- та тривимірній постановках, визначені на класах розривних функцій. Побудовані обчислювальні алгоритми знаходження наближених узагальнених розв'язків. Отримані оцінки похибок наближених узагальнених розв'язків, знайдених за допомогою МСЕ та різницевих схем Кранка-Ніколсона. На основі розроблених алгоритмів створено програмно-алгоритмічні засоби, проведені обчислювальні експерименти, розв'язані практичні задачі.

Ключові слова: математичне моделювання, напружено-деформований стан, багатокомпонентні середовища, прошарки, зосереджена маса, метод скінченних елементів, розривний розв'язок.

Белоус М. В. Математическое моделирование динамики деформирования многокомпонентных тел с сосредоточенными массами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2010.

Диссертационная работа посвящена созданию теоретических и программно-алгоритмических основ компьютерного анализа процессов пространственного деформирования сложных объектов, содержащих прослойки сосредоточенных масс.

Получена обобщенная задача для процессов плоско-параллельного деформирования тел, содержащих трещину, на берегах которой сосредоточена масса и возможно проскальзывание с условиями вязкого трения. Построены вычислительные алгоритмы повышенного порядка точности нахождения приближенного решения обобщенной задачи, получены оценки погрешности решений, найденных с помощью МКЭ и разностных схем Кранка-Николсона.

Рассмотрены процессы трехмерного деформирования тел, имеющих следующие особенности: тело, содержащее массу, сосредоточенную вдоль тонкого включения с условиями идеального контакта берегов; тело, содержащее массу, сосредоточенную вдоль тонкого включения, на котором возможно проскальзывание без расхождения берегов; тело, содержащее непересекающиеся трещину и тонкое включение, вдоль которого сосредоточена масса; тело, содержащее несколько пересекающихся включений. Для каждого случая из вариационного уравнения получена начально-краевая задача, построена обобщенная задача и вычислительные алгоритмы нахождения ее решения, получены оценки погрешности решений, найденных с помощью МКЭ и разностных схем Кранка-Николсона. Также рассмотрены особенности учета влияния установившейся фильтрации воды на напряженно-деформированное состояние исследуемого объекта.

Рассмотрены некоторые особенности прикладного программного обеспечения, созданного на основе разработанных алгоритмов, и решенные с его помощью модельные и практические задачи.

Ключевые слова: математическое моделирование, многокомпонентные среды, напряженно-деформированное состояние, прослойки, сосредоточенная масса, метод конечных элементов, разрывное решение.

Bilous M.V. Mathematical modelling of stress-strain state of multicomponent bodies with concentrated masses. - Manuscript.

Thesis for the candidate degree in physics and mathematics by speciality 01.05.02 - mathematical modelling and numerical methods. - V.M.Glushkov Institute of Cybernetics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

The thesis is devoted to elaboration of theoretical and program-algorithmic basis of numerical analysis of spatial deformation of complex objects that contain inclusions of concentrated mass. For this purpose mathematical models of dynamic deformation of multicomponent bodies with inclusions of concentrated mass, are constructed as new classes of initial boundary-value problems for hyperbolic systems of equations with conjugation conditions.

Corresponding generalized problems in 2D and 3D definition which specified in the class of discontinuous functions are obtained. Computation algorithms of higher accuracy order to find approximate generalized solutions are created. Estimates are obtained for errors of approximate generalized solutions derived by finite-element method and difference Crank-Nicholson scheme. On the basis of created algorithms application software are designed, computation experiments are performed, practical problems are solved.

Key words: mathematical modelling, stress-strain state, multicomponent body, inclusions, concentrated mass, finite element method, discontinuous solution.

Размещено на Allbest.ru