Властивості логарифмічної похідної аналітичних і субгармонійних функцій і їх застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІЧНОЇ ПОХІДНОЇ АНАЛІТИЧНИХ І СУБГАРМОНІЙНИХ ФУНКЦІЙ І ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Коляса Любов Іванівна

Львів - 2010

Анотація

Коляса Л.І. Властивості логарифмічної похідної аналітичних і субгармонійних функцій і їх застосування. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальностю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Львівський Національний Університет імені Івана Франка, Львів, 2010.

У дисертаційній роботі доведені нові властивості логарифмічної похідної субгармонійних і мероморфних з логарифмічною особливою точкою в функцій.

Отримано точні оцінки інтегральних середніх аналогів логарифмічних похідних для субгармонійних функцій ззовні множин малої лінійної щільності. Для нескінченнозначних мероморфних функцій скінченного порядку зростання з точкою розгалуження в доведено аналог теореми Валірона. Встановлений зв'язок між властивостями алгеброїдних (мероморфних з логарифмічною особливою точкою в ) коефіцієнтів лінійного диференціального рівняння -го порядку і швидкістю зростання алгеброїдних (мероморфних з логарифмічною особливою точкою в ) розв'язків цього ж рівняння. Одержано оцінки порядку зростання мероморфних з логарифмічною особливою точкою в вектор-розв'язків систем диференціальних рівнянь.

Ключові словa: логарифмічна похідна, субгармонійна функція, мероморфна функція з логарифмічною особливою точкою в , алгеброїдна функція, лінійне диференціальне рівняння -го порядку, неванліннівські характеристики, виняткова множина.

Аннотация

Коляса Л.И. Свойства логарифмической производной аналитических и субгармонических функций и их применение. -- Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Львовский Национальный Университет имени Ивана Франко, Львов, 2010.

В диссертационной работе доказаны новые свойства логарифмической производной субгармонических и мероморфных с логарифмической особой точкой в функций и указаны приложения полученых результатов в аналитической теории дифференциальных уравнений. Диссертация состоит из введения, четырёх разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованых источников, который включает 75 наименований. Общий объем диссертации -- 143 страницы.

Во введении обосновывается актуальность темы, указывается цель, научная новизна, теоретическое значение и апробация полученных результатов, личный вклад соискателя и количество публикаций.

В первом разделе дан обзор литературы по теме диссертации, выделены направления исследований, сформулированы основные результаты диссертации.

Во втором разделе изучаются свойства логарифмической производной субгармонических функций. В частности, доказаны точные оценки интегральных средних аналогов логарифмических производных для субгармонических функций вне множеств малой линейной плотности. А также для этих функций получен аналог оценки У. Хеймана и Д. Майлза без исключительных множеств.

В третьем разделе получены оценки модуля логарифмической производной бесконечнозначных мероморфных функций конечного порядка роста с точкой ветвления в справедливые вне множества кругов с конечной суммой радиусов, в частности, доказан аналог теоремы Валирона.

В четвёртом разделе доказан ряд априорных оценок порядка роста решений линейных дифференциальных уравнений и систем. Установлена связь между свойствами алгеброидных коэффициентов линейного дифференциального уравнения -го порядка и скоростью роста алгеброидных решений этого уравнения. Доказано обобщение теоремы М. Фрей в случае линейных дифференциальных уравнений -го порядка, коэффициентами и решениями которых являются мероморфные функции с логарифмической особой точкой в Получены оценки порядка роста мероморфных с логарифмической особой точкой в вектор-решений систем дифференциальных уравнений, которые дополняют и уточняют результаты У. Хенгартнера.

Ключевые словa: логарифмическая производная, субгармоническая функция, мероморфная функция с логарифмической особой точкой в алгеброидная функция, линейное дифференциальное уравнение -го порядка, неванлинновские характеристики, исключительное множество.

Abstract

Kolyasa L.I. Properties of the logarithmic derivative of analytic and subharmonic functions and their applications. -- Маnuscript.

The thesis for obtaining of the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree in the speciality 01.01.01 -- Mathematical Analysis. -- Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2010.

New properties of the logarithmic derivative of subharmonic and meromorphic with a logarithmic singularity in functions are obtained in the thesis.

Sharp estimates of the mean values of logarithmic derivatives analogues for subharmonic functions outside sets of small linear density are obtained. For meromorphic functions with a logarithmic singularity in which has finite order of growth, analogue of the Valiron's theorem is proved. We establish connection between properties of algebroid (meromorphic with a logarithmic singularity in ) coefficients of linear differential equation of -th order and the growth's rate of algebroid (meromorphic with a logarithmic singularity in ) solutions of this equation. Estimates of the order of growth for the meromorphic with a logarithmic singularity in vector-solutions for systems of differential equations have been obtained.

Key words: logarithmic derivative, subharmonic function, meromorphic function with a logarithmic singularity in , algebroid function, linear differential equation of -th order, Nevanlinna characteristics, exceptional set.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорія аналітичних функцій займає одне з центральних місць в сучасній математиці.

Ще О. Коші показав, що при широких припущеннях відносно характеру диференціального рівняння, його інтегралами є аналітичні функції. Тому інтеграли таких рівнянь можна вивчати за допомогою звичайних методів теорії функцій комплексної змінної. Одержання нових співвідношень в теорії функцій дає можливість досліджувати нові задачі в аналітичній теорії диференціальних рівнянь. В свою чергу задачі аналітичної теорії диференціальних рівнянь стимулюють дослідження в теорії функцій. Цей факт присутній і в даній роботі.

Як зазначали Ш. Бріо і Ж. Буке -- “Випадки, коли можна проінтегрувати диференціальне рівняння, надзвичайно рідкісні і повинні розглядатись як винятки, але можна розглядати диференціальне рівняння як означення функцій і вивчати властивості функцій за виглядом рівняння”. Для прикладу нагадаємо, що важливі для теорії функцій еліптичні функції Вейєрштраса і функції Бесселя є мероморфними розв'язками певних диференціальних рівнянь.

Інтеграли алгебраїчних диференціальних рівнянь, поза дуже рідкісними випадками, є багатозначними аналітичними функціями. Навіть у випадку лінійних диференціальних рівнянь з однозначними голоморфними коефіцієнтами, розв'язками цих рівнянь є аналітичні функції з критичними особливими точками. В той же час, оскільки найкраще розроблена теорія однозначних аналітичних функцій, то як правило, вивчаються однозначні (цілі, мероморфні, голоморфні) розв'язки диференціальних рівнянь.

З огляду на вище сказане, актуальним є вивчення властивостей багатозначних розв'язків лінійних диференціальних рівнянь.

Відома особлива роль леми про логарифмічну похідну в доведенні другої основної теореми теорії розподілу значень мероморфних функцій та її велике самостійне значення в аналітичній теорії диференціальних рівнянь, коли за виглядом диференціального рівняння без його інтегрування отримується інформація про швидкості зростання і розподіл значень розв'язків. Важливими в неванліннівській теорії і в її застосуваннях до диференціальних, функціональних і різницевих рівнянь, також, є оцінки модуля логарифмічної похідної.

Задачі про швидкість зростання і асимптотичні властивості розв'язків диференціальних рівнянь з критичними та логарифмічними особливими точками, задача про розподіл значень мероморфної функції по напрямках, вивчення асимптотики нескінченнозначної функції в околі трансцендентної особливої точки та інші задачі приводять до оцінки логарифмічної похідної функції мероморфної в кутовій області

Асимптотику логарифмічної похідної в точках кривої, де досягається максимум модуля цілої функції, дає метод Вімана-Валірона. Цей метод базується на можливості представлення цілої функції в збіжним рядом Тейлора.

А. Макінтайр (1938) одержав аналогічні співвідношення, які описують асимптотичну поведінку цілої функції і її похідних в точках де близький до максимума модуля Перевагою методу А. Макінтайра є те, що він не базується на представленні функції степеневим рядом і тому застосовний до функцій аналітичних в півплощині.

В роботах Ш. І. Стреліца, М. М. Шеремети, О. Б. Скасківа, М. М. Хом'як метод Вімана-Валірона був розповсюдженний на абсолютно збіжні ряди Діріхле в півплощині.

Методи Макінтайра і Вімана-Валірона не застосовні до функцій мероморфних в а тим більше до функцій мероморфних в більш складних областях, наприклад, в кутовій області.

Існує тісний зв'язок між теорією аналітичних і мероморфних функцій та теорією субгармонійних функцій. Як зауважив М. Содін, значну частину задач теорії мероморфних функцій природно розглядати з точки зору теорії потенціалу, оскільки, добре відомо, що де -- аналітична функція, є субгармонійною функцією. Враховуючи роль оцінок логарифмічної похідної в теорії мероморфних функцій, виникає питання про їх аналоги в більш широкому класі субгармонійних функцій. Проте, оцінки логарифмічної похідної для субгармонійних функцій в науковій літературі вивчались значно менше. Тому одержання оцінок, типу леми про логарифмічну похідну, для субгармонійних функцій становить певний науковий інтерес.

Таким чином, властивості логарифмічної похідної мають важливе значення як в теорії аналітичних функцій так і в теорії субгармонійних функцій та в їх застосуваннях. Тому інтерес до них і до точності оцінок модуля логарифмічної похідної не спадає.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями, які проводяться в галузі математики в Національному університеті “Львівська політехніка”.

Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної теми “Aналітичні та якісні методи розв'язування мішаних задач і задач з багатоточковими інтегральними умовами для рівнянь із частинними похідними” (номер держреєстрації 0107U001111) та теми “Дослідження крайових задач математичної фізики, теорії функцій та функціонального аналізу. Сучасні проблеми та теоретичні моделі в лінійних та диференціальних алгебрах”.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є знаходження нових властивостей логарифмічної похідної субгармонійних та мероморфних функцій з точкою розгалуження в а також застосування встановлених співвідношень в аналітичній теорії диференціальних рівнянь. Це передбачає вирішення таких задач:

- встановлення більш точних оцінок логарифмічної похідної мероморфних і субгармонійних функцій;

- доведення аналогу леми про логарифмічну похідну для субгармонійних функцій;

- отримання оцінки модуля логарифмічної похідної мероморфної функції з точкою розгалуження в та оцінок логарифмічної похідної на променях;

- отримання аналогу теореми Валірона у випадку мероморфної функції з логарифмічною особливою точкою в скінченного порядку, описання виняткової множини;

- отримання оцінки якщо -- мероморфна функція з логарифмічною особливою точкою в

- встановлення зв'язку між швидкістю зростання алгеброїдних розв'язків і коефіцієнтами лінійних диференціальних рівнянь -го порядку;

- узагальнення теореми М. Фрей для мероморфних функцій з логарифмічною особливою точкою в

- одержання оцінок порядку зростання мероморфних з логарифмічною особливою точкою в вектор-розв'язків систем диференціальних рівнянь.

Об'єктами дослідження є голоморфні, мероморфні, алгеброїдні та субгармонійні функції.

Предметом дослідження є властивості логарифмічної похідної голоморфних, мероморфних, алгеброїдних та субгармонійних функцій.

Методи досліджень. Для розв'язання поставлених задач використано класичні та сучасні методи теорії функцій комплексної змінної, теорії потенціалу (теорії субгармонійних функцій), загальні методи математичного аналізу, а також окремі положення та деякі прийоми з праць Р. Неванлінни, У. Хеймана, Д. Майлза, І. Е. Чижикова, М. Фрей, У. Хенгартнера, А. З. Мохонька, В. Д. Мохонько.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати дисертації є новими та оригінальними дослідженнями. У роботі вперше:

- доведено точні оцінки інтегральних середніх аналогів логарифмічних похідних для субгармонійних функцій ззовні множин малої лінійної щільності;

- побудовано приклад на точність виняткової множини, яка виникає при оцінці середнього функції яка визначається за субгармонійною в функцією

- доведено аналог теореми Валірона у випадку мероморфної функції скінченного порядку з логарифмічною особливою точкою в описана виняткова множина;

- одержано оцінки логарифмічної похідної мероморфних функцій з логарифмічною особливою точкою в на променях;

- доведено оцінки інтегральних характеристик наближення мероморфних функцій скінченного порядку з критичною точкою в ;

- встановлено зв'язок між швидкістю зростання алгеброїдних розв'язків і коефіцієнтами лінійних диференціальних рівнянь -го порядку;

- узагальнена теорема М. Фрей для мероморфних функцій з логарифмічною особливою точкою в ;

- одержано оцінки порядку зростання мероморфних з логарифмічною особливою точкою в вектор-розв'язків систем диференціальних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів.Результати, подані у дисертації, мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані у подальших дослідженнях в загальній теорії мероморфних функцій, в аналітичній теорії диференціальних рівнянь, при вивченні властивостей субгармонійних функцій та в інших розділах сучасної математики.

Особистий внесок здобувача. Усі основні наведені у роботі результати отримані здобувачем самостійно. У спільних публікаціях з А.З. Мохоньком, І.Е. Чижиковим, В.Д. Мохонько співавторам належать постановки задач та обговорення результатів.

Апробація результатів дисертації. Усі основні результати дисертації доповідались та обговорювались на міжнародній науковій конференції з Диференціальних рівнянь, присвяченій 100-й річниці з дня народження Я.Б. Лопатинського (Львів, 2006 р.), міжнародній математичній конференції ім. В. Я. Скоробогатька, присвяченій 80-річчю від дня народження В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2007 р.), шостій відкритій науковій конференції професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук (Львів, 2007 р.), дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2008 р.), міжнародній конференції “Аналіз і топологія” (Львів, 2008 р.), четвертій всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2008 р.), сьомій відкритій науковій конференції професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук (Львів, 2008 р.), міжнародній конференції до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М. І. Нагнибіди (Чернівці, 2009 р.), Українському математичному конгресі -- 2009 до 100-річчя від дня народження М.М. Боголюбова (Київ, 2009 р.), а також на Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники: проф. О.Б. Скасків та проф. А.А. Кондратюк), на науково-навчальному семінарі “Теорія потенціалу та її застосування” (керівники: проф. О.Б. Скасків та док. фіз.-мат. наук І.Е. Чижиков), на науковому семінарі “Математичні методи і моделі в прикладних науках” кафедри вищої математики Національного університету “Львівська політехніка” (керівники: проф. П.І. Каленюк та проф. М.А. Сухорольський), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Дрогобицькому державному педагогічному університеті ім. І. Франка (керівник -- проф. Б.В. Винницький).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 15 наукових роботах, з яких 6 -- журнальні статті (6 опубліковано у фахових наукових виданнях) та 9 -- матеріали доповідей наукових конференцій (5 -- міжнародні).

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з переліку основних позначень, вступу, чотирьох розділів, розділених на підрозділи, висновків та списку використаних джерел, що містить 75 джерел. Загальний обсяг дисертації 143 сторінки, обсяг списку використаних джерел 12 сторінок.

логарифмічний субгармонійний функція алгебра

2. Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовується актуальність теми, вказується мета, теоретичне значення і апробація результатів, особистий внесок здобувача і кількість публікацій, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, подається загальна характеристика дисертації.

У підрозділі 1.1 розділу 1 подано огляд робіт за темою дисертації, а також викладено основні факти, які були використані автором дисертаційної роботи. У підрозділі 1.2 подано основні результати дисертації.

Розділ 2 присвячений дослідженню властивостей логарифмічної похідної субгармонійних функцій.

Для вимірної множини ….. верхня і нижня лінійна щільність визначається наступним чином

де ………. міра Лебега множини ….

Розглянемо функцію

де………….; ………… -- міра Рісса субгармонійної в …. функції …..

Функція не залежить від вибору числа і є локально сумовною, отже визначена майже скрізь.

Якщо …….. де … -- ціла функція, то …… Тобто …… -- це аналог логарифмічної похідної.

Позначимо …….. Величина …….. досліджувалась у роботах М. Содіна, У. Хеймана та Д. Майлза.

Розглянемо характеристику Неванлінни для субгармонійної в …… функції …… гармонійної в околі нуля, ……..:

де …………….

В підрозділі 2.2 для субгармонійної функції в …. доведено аналог оцінки У. Хеймана і Д. Майлза для мероморфних функцій; дана оцінка справедлива без виняткових множин.

Теорема 2.1. Нехай ….. -- субгармонійна функція в … ……. Тоді якщо …… то виконується оцінка

При отриманні оцінки середнього ……. без врахування оператора дійсної частини виникають виняткові множини. Основним результатом цього розділу є отримання аналогу леми про логарифмічну похідну для субгармонійних функцій, а саме доведення наступної теореми.

Теорема 2.2. Нехай ….. і …., …. субгармонійна в …. і гармонійна в околі нуля, …. Тоді існує вимірна множина …. з …. і константа ….. такі, що

Оцінка є точна. Про це свідчить теорема 2.4 у випадку ….

Теорема 2.4. Для будь-якого …. існує ціла функція …., константи ….. і множина …. такі, що ….. ….. і

Розділ 3 присвячений встановленню нових властивостей логарифмічної похідної мероморфних функцій з логарифмічною особливою точкою в

Нагадаємо означення нескінченнозначної мероморфної функції.

Нехай ………. -- деяка фіксована точка. Розглянемо всі можливі ряди вигляду …….. …….. збіжні в деякому проколотому околі ……….. (для кожного своя область збіжності).

Функцію …………, ……….. назвемо елементом з центром … позначимо …. З цих елементів візьмемо всі ті, які можна мероморфно продовжити вздовж довільних кривих ……. ……… ……….

Кожен такий елемент ….. породжує деяку аналітичну в ……. функцію, яку ми позначимо так само як і елемент, який породжує її, а саме ……….. Існує три можливості:

1) …….. -- однозначна мероморфна функція;

2) …….. -- -значна мероморфна функція, …….

3) …….-- нескінченнозначна мероморфна функція -- мероморфна функція з логарифмічною особливою точкою в ; в цьому випадку позначимо …... Особливими точками розглянутих функцій можуть бути скінченна або зліченна кількість ізольованих полюсів та логарифмічна або алгебраїчна (критична) особлива точка в

Нехай ……. -- мероморфна функція з логарифмічною особливою точкою в ; візьмемо довільні …….., через …., ……., позначимо однозначну вітку цієї функції. Розглянемо неванліннівські характеристики цієї вітки. Позначимо …. Нехай ….. -- полюси функції …..

де

………………….. --

лічильна функція полюсів; кожний полюс враховується таку кількість разів, яка відповідає його кратності. Позначимо …………………..

Порядком росту функції ……. називається величина …………………..

Одним з основних результатів розділу 3 є наступна теорема

Теорема 3.1. Нехай ….., ….. -- мероморфна функція з логарифмічною особливою точкою в яка має скінченний порядок … і … …… -- довільна однозначна вітка цієї функції, тоді виконуються такі твердження:

1) …. ….. -- множина кругів на частині ріманової поверхні …. з центрами в нулях і полюсах вітки …. сума радіусів яких скінченна, така, що …. …. маємо …………………..

2) …. ……. -- множина лінійної міри нуль така, що якщо ……. то існує стала ……. така, що нерівність виконується для всіх для яких …. і …..

При …. твердження 1) теореми 3.1 є аналогом теореми Валірона для функцій мероморфних в …..

Для мероморфних функцій з логарифмічною особливою точкою в які мають скінченний порядок, одержані також оцінки:

Теорема 3.2. Нехай ……. -- мероморфна функція з логарифмічною особливою точкою в яка має скінченний порядок … і ….. ….. …. -- довільна однозначна вітка цієї функції, тоді виконуються такі твердження:

1) … ….. -- множина кругів на частині ріманової поверхні ….. з центрами в нулях і полюсах вітки …… сума радіусів яких скінченна, така, що ……. ……. маємо …………………..

2) ….. ….. -- множина лінійної міри нуль така, що якщо ……. то існує стала ….. така, що нерівність виконується для всіх …. для яких ….. і ……

Позначимо …. Оскільки …. -- множина кругів з центрами в нулях і полюсах на частині ріманової поверхні функції ….. сума радіусів яких скінченна, то ….. -- множина проміжків на ….., сума довжин яких скінченна (…….).

Теорема 3.3. Нехай ……. -- мероморфна функція з логарифмічною особливою точкою в яка має скінченний порядок ….. тоді

1) для довільних …….. і для однозначної вітки ….. ……

2) множина …… ……. лінійної міри нуль така, що

……….. і для вітки ………., …….

Для мероморфної функції …., …. …. Величина……. є аналогом неванліннівської характеристики …… коли ….. …… -- мероморфна функція.

Для однозначної вітки ………. мероморфної функції ………… з логарифмічною особливою точкою в позначимо …………………..

У підрозділі 3.4 доведені оцінки, які виконуються без виняткових множин.

Теорема 3.4. Якщо ……… -- мероморфна функція з логарифмічною особливою точкою в яка має скінченний порядок ….., то для будь-якої однозначної вітки ….. …. і …. …..

Виконується також оцінка …………………..

Одержані оцінки в розділі 3 використовуються при вивченні властивостей багатозначних розв'язків диференціальних рівнянь в четвертому розділі.

Характеристику ми використовуємо для ілюстрації зв'язку між результатами доведеними для нескінченнозначних мероморфних функцій (розділ 4, теорема 4.6) і результатами, які відомі для однозначних мероморфних в функцій.

В розділі 4 доведена низка апріорних оцінок порядку зростання розв'язків лінійних диференціальних рівнянь та систем.

Одну з основних задач, яку ми розв'язали в цьому розділі можна сформулювати так. Нехай дано диференціальне рівняння ………………….. яке має багатозначний розв'язок ….. Яку можна отримати інформацію про розподіл значень або про зростання і асимптотичні властивості розв'язку аналізуючи лише вигляд диференціального рівняння? Прикладом такого дослідження є результат М. Фрей, яка вивчала однозначні (цілі) розв'язки рівняння . При доведенні теорем 4.1 і 4.6 істотно використовується метод М. Фрей.

Властивості однозначних мероморфних розв'язків досліджувала В. Д. Мохонько. Доведення цих властивостей базувалось на лемі про логарифмічну похідну, яка незастосовна до нескінченнозначних мероморфних розв'язків.

В підрозділі 4.2 встановлений зв'язок між швидкістю зростання алгеброїдних розв'язків і коефіцієнтами лінійних диференціальних рівнянь -го порядку.

В роботі В. Д. Мохонько (1974) була доведена лема про логарифмічну похідну для алгеброїдних функцій і одержана оцінка, яка за точністю близька до оцінок Й. В. Островського і Ву Нгоана (1965). Але скористатись цим результатом, для того щоб узагальнити для алгеброїдних функцій теорему М. Фрей (тобто перейти від випадку цілих розв'язків лінійного диференціального рівняння з цілими коефіцієнтами до -значних алгеброїдних розв'язків рівнянь з алгеброїдними коефіцієнтами), В. Д. Мохонько не вдалося, оскільки тоді не були відомі властивості неванліннівських характеристик для суми і добутку алгеброїдних функцій …….., …… Цю прогалину ми заповнили довівши теореми 4.1, 4.2 і 4.4.

Теорема 4.1. Нехай дано диференціальне рівняння , де …… ….. …… -- алгеброїдні функції. Якщо функції …. …….. такі, що (наприклад, ……………., -- многочлени, або алгебраїчні функції,...), а функція …… така, що ………………….. то рівняння має не більше ніж …. лінійно незалежних алгеброїдних розв'язків скінченного порядку.

Теорема 4.2. Нехай дано диференціальне рівняння , де ….. …. …….. -- алгеброїдні функції. Якщо функції …. ….. такі, що ………………….. а функція ……. така, що ………………….. то рівняння має не більше ніж …. лінійно незалежних алгеброїдних розв'язків порядку …...

Теорема 4.4. Нехай дано диференціальне рівняння , де ………--алгеброїдні функції, такі, що ………………….. при ……., ……, ……….. Позначимо …………………..

Нехай для деякого …….. виконується нерівність …………………..

Тоді всі алгеброїдні розв'язки мають порядок ……………..

Теореми 4.2 і 4.4 деталізують результати теореми 4.1.

В підрозділі 4.3 узагальнена теорема М. Фрей, яка справедлива для цілих функцій. Ми розглядали випадок, коли коефіцієнти лінійного диференціального рівняння -- мероморфні функції з логарифмічною особливою точкою в Для вимірювання зростання таких функцій використовуються неванліннівські характеристики для кута. Це ще більше ускладнює ситуацію, оскільки для цих характеристик немає аналогу леми про логарифмічну похідну, яка працює в класичній ситуації (ця лема лежить в основі доведень в роботах М. Фрей, У. Хенгартнера, В. Д. Мохонько). Крім того, ми розглядаємо нескінченнозначні мероморфні функції не в площині ……. а в області …. ……… що важливо для застосувань в теорії диференціальних рівнянь. В наступній теоремі доведений аналог теореми М. Фрей для мероморфних функцій з логарифмічною особливою точкою в

Теорема 4.6. Нехай в рівнянні коефіцієнти …… …… Якщо для деяких ……. однозначні вітки ………….. такі, що ………………….. то рівняння має не більше лінійно незалежних розв'язків ……… скінченного порядку.

Зауваження. Нехай ………………. -- голоморфна функція з істотно особливою точкою в (наприклад, ціла трансцендентна функція) або -значна аналітична функція з алгебраїчною точкою розгалуження в Запишемо її аргумент у показниковій формі; функція …………. ………. має по …….. період …… (відповідно, період …..). Це дозволяє розглядати функцію з істотно особливою точкою (з алгебраїчною точкою розгалуження) як різновид функції з логарифмічною особливою точкою в що має по період (відповідно, період ). Аналогічно, якщо ……. -- мероморфна функція, то функція …… має по період Тому мероморфна функція -- окремий випадок мероморфної функції з логарифмічною особливою точкою в

Отже, всі твердження, які доведені для мероморфних функцій з логарифмічною особливою точкою в справедливі і для -значних мероморфних функцій з точкою розгалуження скінченного порядку в і для однозначних мероморфних функцій.

Зокрема, застосуємо теорему 4.6 у випадку, коли в рівнянні коефіцієнти -- однозначні мероморфні функції, такі, що при виконуються умови . Тоді з теореми 4.6 випливає твердження теореми М. Фрей: рівняння має не більше ніж лінійно незалежних однозначних мероморфних розв'язків скінченного порядку.

В підрозділі 4.4 встановлені оцінки порядку росту мероморфних з логарифмічною особливою точкою в вектор-розв'язків систем диференціальних рівнянь …………………..

де всі які доповнюють результати У. Хенгартнера.

Нехай матриця коефіцієнтів системи має вигляд …………………..

Ключовою в цьому підрозділі є

Теорема 4.9. Якщо ……. то система має не більше лінійно незалежних вектор-розв'язків ……. порядку …………………..

Для фіксованого цілого числа ….. величини ………. визначаються за виглядом матриці . Під порядком вектор-розв'язку ………. розуміємо максимальний з порядків його компонент.

При доведенні теореми 4.9 використовувався метод У. Хенгартнера, який розглядав однозначні (цілі) розв'язки систем рівнянь з такими ж коефіцієнтами. В роботі У. Хенгартнера істотно використовується лема про логарифмічну похідну, яка (як вже зазначалось) для меромофних функцій з логарифмічною особливою точкою в не виконується. Ця обставина і стала поштовхом для дослідження властивостей логарифмічної похідної нескінченнозначних мероморфних функцій (див. теорема 3.1).

Висновки

В дисертації доведено нові властивості логарифмічної похідної мероморфних і субгармонійних функцій та застосовано одержані результати в аналітичній теорії диференціальних рівнянь.

У роботі отримано точні оцінки інтегральних середніх аналогів логарифмічних похідних для субгармонійних функцій ззовні множин малої лінійної щільності. Побудовано приклад на точність виняткової множини, яка виникає при оцінці середнього функції що визначається за субгармонійною в функцією

Одним з основних результатів є одержання оцінки модуля логарифмічної похідної нескінченнозначних мероморфних функцій скінченного порядку зростання з точкою розгалуження в справедливої ззовні множини кругів із скінченною сумою радіусів (аналогу теореми Валірона для однозначних мероморфних функцій).

Оцінки логарифмічної похідної мероморфних функцій, які доведені в розділі 3, знайшли своє застосування при розв'язуванні актуальних задач аналітичної теорії диференціальних рівнянь, а саме: встановлено зв'язок між швидкістю зростання алгеброїдних розв'язків і коефіцієнтами лінійних диференціальних рівнянь -го порядку; узагальнена теорема М. Фрей, яка розглядала тільки однозначні розв'язки рівнянь з однозначними коефіцієнтами. Узагальнення теореми М. Фрей доведено також у випадку лінійних диференціальних рівнянь -го порядку, коефіцієнтами і розв'язками яких є мероморфні функції з логарифмічною особливою точкою в Для вимірювання зростання таких функцій використовуються неванліннівські характеристики для кута, а як відомо, для функцій мероморфних в кутовій області в загальному випадку немає аналогу леми про логарифмічну похідну.

Одержано оцінки порядку зростання мероморфних розв'язків з логарифмічною особливою точкою в лінійних диференціальних рівнянь, а також порядку зростання мероморфних з логарифмічною особливою точкою в вектор-розв'язків систем диференціальних рівнянь, які доповнюють і уточнюють результати У. Хенгартнера, які стосувались однозначних розв'язків.

Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані у подальших дослідженнях в загальній теорії мероморфних функцій, в аналітичній теорії диференціальних рівнянь, при вивченні властивостей субгармонійних функцій та в інших розділах сучасної математики.

Основні результати дисертації мають завершений вигляд або критеріальний характер. Для отримання цих результатів використовувалися класичні та сучасні методи теорії функцій комплексної змінної, теорії потенціалу (теорії субгармонійних функцій), загальні методи математичного аналізу, а також окремі положення та деякі прийоми з праць Р. Неванлінни, У. Хеймана, Д. Майлза, І.Е. Чижикова, М. Фрей, У. Хенгартнера, А.З. Мохонька, В.Д. Мохонько.

Список публікацій за темою дисертації

1. Куземко Л.І. Про логарифмічну похідну мероморфної функції / А. . Мохонько, Л.І. Куземко // Вісник НУ “Львівська політехніка”. Фіз.-матем. науки. -- 2006. -- № 566. --C. 12-19.

2. Коляса Л.І. Про розв'язки лінійних диференціальних рівнянь з алгеброїдними коефіцієнтами / А. З. Мохонько, Л. І. Коляса // Вісник НУ “Львівська політехніка”. Фіз.-матем. науки. -- 2007. -- № 601. -- C. 43-45.

3. Kolyasa L.I. Estimates of the logarithmic derivative of meromorphic functions with a logarithmic singularity at and their applications / A. Z. Mokhon'ko, L. I. Kolyasa // Matematychni Studii. -- 2007. -- V. 28, № 2. -- P. 151-161.

4. Kolyasa L.I. Logarithmic derivative estimates for subharmonic functions/ I. E. Chyzhykov, L.I. Kolyasa // Matematychni Studii. -- 2008. -- V. 30, № 1. -- P. 22-30.

5. Коляса Л.И. Об алгеброидных решениях линейных дифференциальных уравнений с алгеброидными коэффициентами / А. З. Мохонько, Л. И. Коляса // Дифференциальные уравнения. -- 2009. -- Т. 45, № 8. -- С. 1102-1107.

6. Коляса Л.І. Про мероморфні розв'язки з логарифмічною особливою точкою в систем лінійних диференціальних рівнянь / В. Д. Мохонько, А. З. Мохонько, Л.І. Коляса // Вісник НУ “Львівська політехніка”. Фіз.-матем. науки. -- 2009. -- № 643 -- C. 15-23.

7. Kuzemko L.I. On the logarithmic derivative of meromorphic function / A.Z. Mokhon'ko, L.I. Kuzemko // Inter. Conf. on Differential Equations dedicated to the 100th anniversary of Ya. B. Lopatynsky (September 12-17, 2006, Lviv, Ukraine). -- Book of abstracts, Lviv, 2006. -- P. 131.

8. Куземко Л.І. Про алгеброїдні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь з алгеброїдними коефіцієнтами / А.З. Мохонько, Л.І. Куземко // Міжнародна математична конференція імені В.Я. Скоробогатька (24-28 вересня, 2007, Дрогобич, Україна). -- Тези доповідей, Дрогобич, 2007. -- С. 199.

9. Коляса Л.І. Оцінки логарифмічної похідної мероморфних функцій з логарифмічною особливою точкою у та їх застосування / А.З. Мохонько, Л.І. Коляса // Шоста відкрита Наукова Конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук (11-13 жовтня, 2007, Львів, Україна). -- Тези доповідей, Львів, 2007. -- C. 20.

10. Kolyasa L.I. Applications of estimates of the logarithmic derivative of meromorphic function with a logarithmic singularity in the analytic theory of differential equations / A.Z. Mokhon'ko, L.I. Kolyasa // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука (15-17 травня, 2008, Київ, Україна). -- Матеріали конференції, Київ, 2008. -- C. 740.

11. Kolyasa L.I. Logarithmic derivative estimate for subharmonic functions/ L.I. Kolyasa, I.E. Chyzhykov // International Conference Analysis and Topology (May 26 - June 7, 2008, Lviv, Ukraine). --Abstracts, Lviv, 2008. -- P. 28.

12. Коляса Л.І. Про алгеброїдні розв'язки систем лінійних диференціальних рівнянь з алгеброїдними коефіцієнтами / Л. І. Коляса, А. З. Мохонько // Четверта всеукраїнська наукова конференція Нелінійні проблеми аналізу (10-12 вересня, 2008, Івано-Франківськ, Україна). --Тези доповідей, Івано-Франківськ, 2008. -- C. 48.

13. Коляса Л.І. Про мероморфні розв'язки з логарифмічною особливою точкою в лінійних диференціальних рівнянь / А.З. Мохонько, Л.І. Коляса // Сьома відкрита Наукова Конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук (13-14 листопада, 2008, Львів, Україна). -- Тези доповідей, Львів, 2008. -- C. 19.

14. Коляса Л.І. Оцінка логарифмічної похідної багатозначних мероморфних функцій / Л.І. Коляса, А.З. Мохонько // Міжнародна конференція до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди (8-13 червня, 2009, Чернівці, Україна). -- Тези доповідей, Чернівці, 2009. -- C. 74-75.

15. Kolyasa L.I. Logarithmic derivative estimates for subharmonic functions / L.I. Kolyasa // Восьма відкрита наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук, присвячена 165-річчю Національного університету “Львівська політехніка” (12-13 листопада, 2009, Львів, Україна). -- Тези доповідей, Львів, 2009. -- C. 14.

Размещено на Allbest.ru