Асимптотичні рівності для інтегралів

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.01 - математичний аналіз

АСИМПТОТИЧНІ ФОРМУЛИ ДЛЯ ІНТЕГРАЛІВ

Поєдинцева Ірина Вікторівна

Харків - 2010

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія асимптотичних методів ? це досить розвинена область математики. Необхідність знаходження асимптотичної поведінки інтегра-лів, залежних від параметру, виникає в багатьох областях математики, а також при вивченні математичних моделей, які з'являються в інших галузях науки.

Різні асимптотичні розвинення були відкриті і застосовувались ще у вісімнадцятому столітті Лапласом, а також Стірлінгом, Маклореном і Ейлером. Подальший розвиток асимптотичні методи отримали в роботах Стокса, Кельвіна, Дебая і багатьох інших авторів. Асимптотичним методам в аналізі присвячено багато цікавих монографій. Часто посилаються на монографії де Брейна, Євграфова, Олвера, Рієкстиньша, Федорюка. Найбільш поширеними методами для одержання асимптотичних розвинень інтегралів є метод Лапласа і його комплексний аналог - метод перевалу, метод стаціонарної фази. Разом із тим з'являються інтеграли, до яких відомі асимптотичні методи не застосовні.

Одним із важливих розділів асимптотичної теорії є тауберова теорія. Одну із задач цієї теорії можна сформулювати так. Нехай відома асимптотична поведінка при інтегралу . Треба вивчити асимптотичну поведінку функції при . Початок цій теорії було покладено у 1897 році роботою Таубера. Після робіт Харді і Літтлвуда тауберова теорія оформилася як самостійний розділ математики. Широко відомі результати Харді, Літтлвуда, Карамати, Вінера, Карлемана. Тауберова теорія знайшла численні застосування в теорії аналітичних функцій, в спектральній теорії операторів, зокрема, диференціальних операторів, теорії ймовірностей.

У 1951 році М.В. Келдиш знайшов особливий вид тауберових теорем, в яких розглядається не один інтеграл, а частка двох інтегралів. Роботи Келдиша стали джерелом багатьох досліджень. Теорему Келдиша значно підсилив Коренблюм. Теореми типу Келдиша широко застосовуються в спектральній теорії операторів. Про це докладно написано у книзі А.Г. Костюченка та І.С. Саргсяна.

Розглянемо ще таку тему. Цілі (субгармонічні) функції експоненціального типу з'являються в різних областях математики та інших галузях науки, зокрема, в радіотехніці. Виникає потреба у вивченні різних класів таких функцій, які визначаються обмеженнями на поведінку функцій на дійсній осі. Найбільш широко відомий результат у цьому напрямку - це теорема Пелі-Вінера про цілі функції експоненціального типу, які належать до простору на дійсній осі. Відомі роботи Берлінга і Маявена про цілі функції експоненціального типу обмежені на дійсній осі. Перший результат у розглядуваному напрямку належить Картрайт, яка вивчила клас цілих функцій експоненціального типу, для яких збігається інтеграл

Такі функції тепер називаються функціями класу Картрайт.

Найбільш простий клас винайшов Ахієзер. Він розглянув клас цілих функцій експоненціального типу, для яких інтеграл як функція змінної є обмеженим на півосі , і довів, що функція належить до цього класу тоді і тільки тоді, коли множина коренів цієї функції задовольняє умову

Пізніше Мейман назвав класом клас цілих функцій, корені яких задовольняють записану вище умову.

Результати дисертації тісно пов'язані із згаданими результатами Келдиша і Ахієзера. Знайдено також асимптотичні розвинення деяких інтегралів вигляду до яких не застосовні відомі методи асимптотичного аналізу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано на кафедрі математичного аналізу механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна. Напрямок досліджень дисертації узгоджено з планами наукової роботи Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна, відповідає темі за державним реєстраційним номером № 0106U003143 “Асимптотичні методи в теорії функцій, операторні функції, операторні методи в траекторній теорії”. Тема дисертації затверджена вченою радою механіко-математичного факультету.

Мета і задачі досліджень.

1. Дослідити узагальнення класу цілих функцій експоненціального типу на субгармонічні функції уточненого порядку .

2. Отримати нові сильніші варіанти тауберової теореми Келдиша.

3. Знайти асимптотичні розвинення для інтегралів із спеціальними ядрами, що містять логарифм.

4. Обчислити нові інтеграли.

Об'єкт досліджень. Субгармонічні функції, міри Рісса субгармонічних функцій та їх граничні множини, перетворення з ядром Стілтьєса, інтеграли з ядрами, що містять логарифм.

Предмет дослідження. Критерій належності спеціальному класу субгармонічних функцій, тауберові теореми типу Келдиша, інтеграли з ядрами, залежними від логарифма.

Методами дослідження є методи комплексного та дійсного аналізу, методи теорії міри, методи функціонального аналізу, методи теорії граничних множин Азаріна.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі отримані нові результати в теорії субгармонічних функцій, у тауберовій теорії, в теорії асимптотичних розвинень. Зокрема, у роботі вперше:

Отримано критерій належності субгармонічних функцій до спеціального класу, який є аналогом класу цілих функцій експоненціального типу.

Знайдені посилення відомої тауберової теореми Келдиша. Тауберові умови зведені майже до необхідного мінімуму.

Отримані асимптотичні розвинення інтегралів з ядрами, що містять логарифм.

Обчислені два спеціальні інтеграли з використанням асимптотичних розвинень.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані для подальшого розвитку теорії субгармонічних функцій, тауберової теорії та асимптотичного аналізу, а також можуть бути включені в спеціальні курси з теорії субгармонічних функцій та асимптотичного аналізу.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержані автором особисто. У роботах, виконаних у співавторстві, науковому керівнику належать постановки задач та вибір методів їх дослідження.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на наступних міжнародних конференціях: Second International Conference (Суми, 1-4 квітня 2003 року); 13^th Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis (Санкт-Петербург, 10-15 серпня 2004 року); First Karazin Scientific Readings (Харків, 14-16 червня 2004 року). Автором також доповідались результати дисертації на Харківському міському семінарі з теорії функцій (керівник - проф. Фаворов С.Ю.).

Публікації. Головні результати дисертації надруковані в 7 роботах. Чотири роботи [1] - [4] надруковані у виданнях з переліку ВАК України, три з яких написані у співавторстві з науковим керівником А.П. Гришиним. Три роботи [5] - [7] є тезами доповідей на конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Список використаних джерел містить 68 найменувань і займає 7 сторінок. Повний обсяг дисертації ? 127 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

логарифм асимптотичний тауберовий келдиш

Вступ містить загальну характеристику дисертації.

У розділі 1, який називається “Огляд літератури і вибір напрямків досліджень” спочатку викладаються попередні результати М. Картрайт, Н.І. Ахієзера, М.В. Келдиша, Б.І. Коренблюма.

Далі в першому розділі дисертації викладається зміст дисертації у скороченому вигляді.

Розділ 2 дисертації називається “Субгармонічні функції першого порядку з обмеженнями на дійсній осі”. Наведемо формулювання основного результату цього розділу. Позначимо - клас субгармонічних у всій площині функцій таких, що має місце нерівність виконується для всіх та з деякою сталою .

Теорема 2.6. Нехай , а при . Тоді вірна рівність де - обмеження міри Рісса функції на зовнішність кругу , а  - обмежена функція на півосі .

Ця теорема є аналогом критерію Ахієзера належності цілої функції скінченного степеня класу і у випадку переходить у теорему Ахієзера. Корисно звернути увагу на те, що в формулюванні теореми - це не міра Рісса функції , а її обмеження на зовнішність кругу . Інакше інтеграл у правій частині рівності (1) може розбігатися.

У випадку субгармонічної функції цілком регулярного зростання з теореми 2.6 випливає таке твердження.

Теорема 2.7. Нехай є субгармонічною функцією цілком регулярного зростання відносно уточненого порядку , при . Тоді збіжність інтегралу рівносильна до збіжності інтегралу

У спеціальному випадку теорема 2.6 дає наслідок, який простіше формулюється і тому є кориснішим для застосувань.

Теорема 2.8. Нехай , а при . Нехай також виконуються наступні дві умови:

1) ,

2) ,

де ? деякий нульовий уточнений порядок.

Тоді для обмеженості зверху інтегралу на півосі необхідно і досить, щоб були збіжними наступні два інтеграли де ? обмеження міри Рісса функції на зовнішність кругу .

У роботі наведений приклад, який показує, що збіжність інтегралу (2) і збіжність інтегралу (3) - це незалежні умови. Враховуючи цей факт і порівнюючи формулювання доведеної нами теореми і теореми Ахієзера, бачимо, що розглянутий у дисертації випадок уточненого порядку є складнішим, ніж випадок сталого порядку, тобто випадок . Зауважимо, що доведення Ахієзера спирається на формулу Карлемана, у той час як наше доведення використовує теорію граничних множин, створену Азаріним.

У розділі 3, який називається “Тауберові теореми типу Келдиша”, отримано варіант відомої тауберової теореми Келдиша, який сильніший за відомі результати. Сформулюємо потрібні нам означення, а також головні результати цього розділу.

Нехай ? додатна функція на півосі . Позначимо через множину тих , для яких існують числа і такі, що виконується нерівність при , .

Верхнім індексом Матушевської функції називається число . Якщо множина є порожня, то покладають .

Позначимо через множину тих , для яких існують числа і такі, що виконується нерівність при , .

Нижнім індексом Матушевської функції називається число . Якщо множина порожня, то покладають .

Будемо називати функцію мультиплікативно неперервною у нескінченності, якщо виконується рівність

Головним результатом розділу 3 можна вважати наступне твердження.

Теорема 3.10. Нехай , і - додатні вимірні функції на півосі , що задовольняють умови:

1) функції і не дорівнюють тотожно нулю ні в якому околі не скінченності,

2) виконується нерівність ,

3) функції

набувають скінченних значень, причому

Тоді

Зазначимо, що формулювання цієї теореми є значно простішим, ніж аналогічні теореми Келдиша та Коренблюма.

Як видно з наступного прикладу, в цій теоремі тауберові умови зведені майже до необхідного мінімуму: .

Приклад 3.2. Нехай . Доводиться, що для функцій при достатньо малих значеннях виконуються всі умови теореми 3.10, крім умови min( (зауважимо, що ). Для цих функцій, як доведено в дисертації, рівність (5) не виконується. Можна відзначити, що доведення того, що для наведених функцій і виконується рівність (4) і не виконується рівність (5), є нетривіальним.

У розділі 3 доводиться теорема, в якій за рахунок додаткових обмежень на функції і рівність (5) у висновку теореми 3.10 замінюється на сильнішу

Наведем формлювання цього результату.

Теорема 3.7. Нехай , і - додатні вимірні функції на півосі , що задовольняють умови:

1) функції і не дорівнюють тотожно нулю ні в якому околі нескінчен-ності,

2) функції і є мультиплікативно неперервними в нескінченності,

3) виконуються нерівності ,

4) виконується нерівність ,

5) функції

набувають скінченних значень, причому

Тоді

Зауважимо, що умова мультиплікативної неперервності для будь-якої з функцій і може бути замінена на умову зростання. Отримуємо, наприклад, наступне твердження.

Теорема 3.8. Нехай , і - додатні вимірні функції на півосі , що задовольняють умови:

1) функції і не дорівнюють тотожно нулю ні в якому околі нескінчен-ності,

2) виконується нерівність , функція є мультиплікативно неперервною в нескінченності,

3) ? зростаюча функція,

4) виконується нерівність ,

5) функції

набувають скінченних значень, причому

Тоді

Оскільки сформульовані теореми відносяться до головних результатів дисертації, ми порівняємо їх з попередніми результатами. Сформулюємо оригінальну теорему Келдиша. Слід зауважити, що в теоремі Келдиша і теоремі 3.8 літерою позначаються різні сталі, які відрізняються на одиницю.

Теорема 1.6. Нехай і - додатні і зростаючі на півосі функції, причому

Нехай існує таке , що при , і при виконується нерівність

де і такі, що .

Нехай також

де - ціла частина числа . Тоді, якщо то

Подивимось, як відбувалось посилення цієї теореми.

Суттєво послабити умову (7) на функцію вдалося Коренблюму. У його роботі ця умова замінюється на наступну: існує додатне число таке, що для достатньо великих і виконується нерівність

У дисертації вдалося значно послабити умову Коренблюма до вимоги, щоб  ? верхній індекс Матушевської функції був строго меншим за , тобто щоб існувало таке, що для достатньо великих і виконується нерівність

Крім того, варто зауважити, що умови зростання функцій і в теоремах Келдиша і Коренблюма також значно послаблюються в дисертації. Нові обмеження накладаються на нижні індекси Матушевської функцій і , а саме, вимагається, щоб виконувались нерівності , Зазначимо, що для зростаючої функції виконується нерівність .

Скажемо декілька слів про доведення. Келдиш для доведення своїх результатів застосовував інтегральні перетворення вигляду

Коренблюм будував своє доведення за допомогою отриманого ним аналогу апроксимаційної теореми Вінера для просторів з експоненціально зростаючою вагою. Подані в дисертації доведення засновані на міркуваннях компактності - на теоремах Арцела, Хеллі, критерії слабкої компактності в .

Також в тексті третього розділу наводяться проміжні результати, які представляють самостійний інтерес. Зокрема, отримані твердження, які є варіантами обернення відомого правила Лопіталя. Сформулюємо ці твердження.

Теорема 3.6. Нехай ? додатні локально інтегровні, що не дорівнюють тотожно нулю ні в якому околі нескінченності, функції на півосі , причому , , , . Тоді з нерівностей випливають нерівності

Наступне твердження є іншою інтерпретацією теореми 3.7 із дисертації.

Теорема 3.7'. Нехай , а і - додатні вимірні функції на півосі , які задовольняють умови:

1) функції і не дорівнюють тотожно нулю ні в якому околі нескінченності,

2) виконуються нерівності , ,

3) виконується нерівність ,

4) функції і є мультиплікативно неперевними в нескінченності,

5)

Тоді

Для порівняння відзначимо, що Коренблюм доводив аналогічне твердження за умови, що функції і - зростаючі функції і для деяких , виконується нерівність

Відзначимо ще одне твердження з третього розділу дисертації.

Лемма 3.6. Нехай , а і - додатні вимірні функції на півосі , що задовольняють умовам:

1) функції і не дорівнюють тотожно нулю ні в якому околі нескінченності,

2) виконуються нерівності , ,

3) виконується нерівність ,

4)

Тоді для будь-якої нескінченно великої послідовності існує підпослідовність  така, що для майже всіх існує границя

і функція дорівнює одиниці майже скрізь на півосі .

Якби було доведено, що , то з цього випливала б рівність (6). Приклад наведений у дисертації показує, що з умов леми 3.6 рівність (6) не випливає.

Як видно із теореми 3.7', додаткова умова, яка забезпечує виконання цієї рівності - мультиплікативна неперервність в нескінченності функцій і .

Сформулюємо ще одне твердження доведене у розділі 3, яке також має самостійне значення.

Теорема 3.3. Нехай ? довільне дійсне число, ? додатна вимірна на півосі функція, причому . Якщо існує число таке, що сім'я функцій змінної має інтегровну мажоранту на півосі , то існують числа , такі, що при виконується нерівність

Розділ 4 дисертації, який називається “Інтеграли з ядрами, що містять логарифм”, складається з двох підрозділів. У підрозділі 4.1 під назвою “Асимптотичні формули для інтегралів, що містять логарифм” представлені асимптотичні формули для інтегралів двох типів. Перший результат підрозділу полягає у наступному.

Теорема 4.1. Нехай - аналітична в нулі, обмежена і інтегровна на півосі функція і нехай ? дійсне число таке, що . Якщо , то де

Також у тексті розділу 4 наводиться приклад такої функції , що для інтегралу з теореми 4.1 вдається отримати більш точне асимптотичне розвинення, ніж те, яке дає теорема. Розглянемо функцію

У цьому випадку

Теорема 4.1 дозволяє виписувати початкові члени наведеного розвинення. При цьому точність асимптотичної формули не перевищує .

Запропонований при доведенні теореми 4.1 метод дозволяє варіювати умови теореми. Це видно на прикладі такої теореми.

Теорема 4.2. Нехай - вимірна на півосі , аналітична в нулі, обмежена на півосі функція із збіжними в нулі інтегралами і нехай - дійсне число, а . Якщо , то

Наступну теорему можна вважати головним результатом розділу 4. Перед тим, як сформулювати теорему, наведемо деякі позначення. Нехай ? локально інтегровна функція на півосі така, що мають сенс послідовності

Ці послідовності грають істотну роль у доведенні сформульованої нижче теореми. Поряд із написаними є важливими такі властивості послідовностей і :

Ці формули дозволяють одержати рівність яка використовується при обчисленні коефіцієнтів розвинення інтегралу

Теорема 4.3. Нехай і невласні інтеграли є збіжними. Нехай , , - дійсне число, і нехай ? функція голоморфна у півплощині . Якщо для будь-якого і для вірні співвідношення .

Відзначимо наступні особливості сформульованої теореми. Формула для потрібного нам інтегралу отримана за допомогою нестандартного алгоритму інтегрування частинами. Нестандартність полягає в тому, що область інтегрування розбивається на два проміжки і і на різних проміжках при інтегруванні частинами виникають різні функції. Так з'являються послідовності і . Специфіка полягає в тому, що для коефіцієнтів існує проста формула.

Як приклад розглядається випадок з конкретною функцією . У цьому випадку для коефіцієнтів отримана рекурентна формула, і тому коефіцієнти можна послідовно обчислювати в явному вигляді.

У підрозділі 4.2 ми знаходимо величини двох визначених інтегралів, які, наскільки нам відомо, є новими. У відомому задачнику Євграфова і співавторів по теорії аналітичних функцій достатньо повно представлені інтеграли, які обчислюються методами комплексного аналізу. Дані результати можуть розглядатися як доповнення до цієї книги.

Отже, обчислені наступні інтеграли: де а - це гама-функція Ейлера.

Задача обчислення цих інтегралів не проста, і в ході її виконання прийшлося долати певні труднощі. Зокрема, потрібно було розглядати складні контурні інтеграли, які не беруться в скінченному вигляді. Не обчислюючи точне значення, ми знаходимо асимптотичні розвинення таких інтегралів.

ВИСНОВКИ

У розділі 2 дисертації вивчається клас субгармонічних функцій уточненого порядку ( при ) для яких інтеграл є обмеженою функцією змінної на півосі .

Доведено критерій належності функції класу . При наша теорема перетворюється в теорему Ахієзера, яку він довів у 1948 році. Випадок довільного уточненого порядку є більш складним. У цьому випадку виникають ефекти, яких немає у випадку .

Відзначимо, що доведення теореми Ахієзера засноване на використанні формули Карлемана, а ми доводимо свою теорему, використовуючи методи теорії граничних множин, створеної В.С. Азаріним.

У розділі 3 “Тауберові теореми типу Келдиша” доводиться декілька таких теорем. Ми вважаємо, що в цих теоремах тауберові умови зведені до необхідного мінімуму. Ці теореми підсилюють попередні теореми Келдиша і Коренблюма, якщо теорему Коренблюма розглядати для ядра з . Нагадаємо, що Коренблюм розглядав абстрактні ядра.

Відзначимо теорему 3.10, яка має перевагу над іншими особливою простотою свого формулювання. Це не стосується доведення. Теорема 3.10 - це кінцевий результат наших досліджень у розділі 3. При її доведенні використовуються інші теореми цього розділу.

Скажемо декілька слів про методи доведення. Келдиш доводив свою теорему за допомогою інтегральних перетворень

Коренблюм доводив свою теорему, спираючись на розроблене ним поширення апроксимаційної теореми Вінера на простір з експоненціальною вагою. Ми доводимо тауберові теореми за допомогою ознак компактності для різних просторів.

Можна також відзначити, що деякі проміжні результати розділу 3 мають самостійний інтерес.

Розділ 4 дисертації, який називається “Інтеграли з ядрами, що містять логарифм”, складається із двох підрозділів. У підрозділі 4.1 під назвою

“Асимптотичні формули для інтегралів, що містять логарифм” представлені асимптотичні формули для інтегралів, що містять логарифм. Такі формули не можна одержати раніше відомими методами асимптотичного аналізу. Ці формули отримані за допомогою нестандартного алгоритму інтегрування частинами. Специфіка полягає в тому, що для коефіцієнтів отриманого асимптотичного розвинення, які з'являються, існує проста формула.

У підрозділі 4.2 четвертого розділу ми знаходимо величини двох визначених інтегралів, які, наскільки нам відомо, є новими. У задачнику Євграфова і співавторів по теорії аналітичних функцій достатньо повно представлені інтеграли, які обчислюються методами комплексного аналізу. Дані результати можуть розглядатися як доповнення до цієї книги. Задача обчислення згаданих інтегралів не проста, і в ході її виконання прийшлося долати певні труднощі. Зокрема, знадобилося розглядати складні контурні інтеграли, які не беруться в скінченному вигляді. Не обчислюючи точне значення, ми знаходимо асимптотичні розвинення таких інтегралів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гришин А.Ф. К тауберовой теореме Келдыша / А.Ф. Гришин, И.В. Поединцева // Записки научных семинаров ПОМИ. ? 2004. - Т. 315, № 32. ? С. 63-89.

2. Grishin A.F. The integrals with kernels including logarithms / A.F. Grishin, I.V. Poedintseva // Вісник Харківського національного університету, серія "Математика, прикладна математика та механіка". ? 2002. - № 542. ? С. 28-34.

3. Grishin A.F. Two integrals / A.F. Grishin, I.V. Poedintseva // Вісник Харківського національного університету, серія "Математика, прикладна математика та механіка". - 2003. ? № 582. ? С. 135-142.

4. Poedintseva I.V. On subharmonic functions of the first order with restrictions on the real axis / I.V. Poedintseva // Journal of Math. Physics, Analysis and Geometry. ? 2008. - Vol. 4, № 3. ? P. 380-394.

5. Grishin A.F. On tauberian theorem of Keldysh / A.F. Grishin, I.V. Poedintseva // Abstracts of Second International Conference ''Mathematical Analysis and Economics''. ? Sumy. ? 2003. ? P. 22.

6. Poedintseva I. Generalization of the class A of entire functions / Irina Poedintseva // Abstracts of First Karazin Scientific Readings (Mathematical Symposium). ? Kharkiv. ? 2004. ? P. 14.

7. Poedintseva I.V. Two tauberian theorem of Keldysh / I.V. Poedintseva // Abstracts of 13 th. Summer St. Petersburg Meeting in Mathematical Analysis (Euler International Mathematical Institute). ? St. Petersburg. ? 2004. ? P. 22.

Размещено на Allbest.ru