Руководитель: ст. преподаватель

Дана выборка , , i=1,…N, N=20, где , - значения двух признаков исследуемых объектов.

Задача состоит в изучении характера зависимости между признаками X и Y.

Требуется:

1. Изучить соответствующий материал с использованием литературы и информационных источников.

2. По выборке, состоящей из 20 пар чисел (Xi, Yi) провести статистический анализ:

· построить диаграмму рассеивания. Найти все выборочные числовые параметры:, Xср., Yср., среднее квадратическое отклонение, коэффициент корреляции, ковариацию.

· вычислить выборочные средние, выборочные и исправленные дисперсии, среднеквадратичные отклонения, моды и медианы выборки по X и по Y, корреляционный момент и коэффициент корреляции.

3. Вычислить параметры для уравнения линейной регрессии (Y как функция X) с использованием метода наименьших квадратов. Построить линию регрессии на диаграмме рассеивания.

4. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.

2. Теоретическая часть

Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью. Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения и генеральной совокупности называется выборочной совокупностью или выборкой.

Объемом совокупностью (выборочной или генеральной) называется число объектов данной совокупности. Генеральная совокупность может иметь, как конечный, так и бесконечный объем.

Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты деленное на сумму частей.

Средним линейным абсолютным отклонением вариационного ряда называется средняя арифметическая абсолютных величин отклонение вариантов от их средней арифметической.

Дисперсией SІ вариационного ряда называют среднюю арифметическую квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической.

Среднее квадратическое отклонение S- арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.

Выборочная ковариация - числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий.

Коэффициентом корреляции величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

Коэффициент корреляции - безразмерная величина, причем его абсолютная величина не превышает единицы:

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо величины Y от другой величины X. Понятие регрессии в некотором смысле обобщает понятие функциональной зависимости y = f(x). Только в случае регрессии одному и тому же значению x в различных случаях соответствуют различные значения у.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в которой изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов).

3. Метод наименьших квадратов для определения a, b

Метод наименьших квадратов (МНК) - метод, применяемый в теории ошибок для отыскания одного или нескольких неизвестных по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. МНК используется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным для обработки наблюдений.

В простейшем случае, когда нет систематических ошибок, а есть случайные оценки неизвестных величин, полученные с помощью МНК, то они являются линейными функциями от наблюдаемых значений - статистические оценки.

Если статистические оценки наблюдений независимы и подчиняются нормальному распределению, то МНК дает оценки неизвестных с наименьшей средней квадратичной ошибкой. В этом смысле МНК является самым лучшим среди других способов, позволяющих находить линейные несмещенные оценки.

Если мы рассматриваем слабо формализованные системы, которые трудно поддаются однозначным и точным описаниям, связь между величинами X и Y изначально корреляционная. Это связано, в частности, с тем, что Y зависит не только от X, но и от других параметров, причем такая связь часто носит случайный характер.

В этом случае, имея экспериментальные точки, задача состоит в том, чтобы приближённо свести корреляционную связь к функциональной с помощью подбора такой функции, которая максимально возможным способом близка экспериментальным точкам. Такая функция называется функцией регрессии.

Обычно вид самой функции угадывается, но она зависит от некоторых параметров. Задача статистического и корреляционного анализа состоит в нахождении этих параметров. Для этого и используется метод наименьших квадратов.

Исследование линейной регрессии:

Определим коэффициенты линейной функции методом наименьших квадратов. Для этого составим сумму

Для того чтобы эта сумма была минимальной, необходимо, чтобы ее частные производные по параметрам A и B были равны нулю

Раскрыв скобки, мы получим

Выразим a и b

Одним из важнейших методов определения зависимости между X и Y является метод наименьших квадратов. Видя общее расположение точек, можно предположить, что эта зависимость линейная. Количество прямых, проходящих через заданную совокупность точек, бесконечно. Выберем оптимальную из них. Для этого суммарное отклонение между теоретическими и экспериментальными точками должно быть минимальным. Это отклонение мы найдем с помощью функции

Метод нахождения минимального отклонения и есть метод наименьших квадратов. Это суммарное отклонение зависит от коэффициентов а и b функции Y, поэтому эти коэффициенты должны быть минимальными, то есть производная функции в этих точках равны нулю:

Найдя частные производные и приравняв их нулю, получим следующую систему уравнений

Решив эту систему, мы найдем наилучший набор этих параметров. Эта теоретическая кривая с параметрами, которые определяются методом наименьших квадратов, и будет искомой линией - линией линейной регрессии.

4. Исходные данные и их обработка

Нам дана выборка (объема n=20) зависимости числа (Y) от числа (X).

Таблица 1. Результаты сопоставления данных

Вычисляем выборочные параметры.

Выборочные средние:

Выборочные дисперсии:

Средние квадратические отклонения:

Исправленные дисперсии:

Оценки среднеквадратичных отклонений:

Корреляционный момент (ковариация):

Выборочный коэффициент корреляции:

Связь между переменными прямая () и достаточно тесная, т.к. близка к 1.

5. Уравнение линейной регрессии

Суммарное квадратическое отклонение для линейной регрессии зависит от двух параметров a и b и определяется соотношением:

²²

Метод наименьших квадратов для линейной регрессии заключается в нахождении "наилучших" значений параметровa и b из условий минимума функции , т.е. из системы уравнений:

Определим для данных курсовой работы параметры a и b.

Сначала определим само суммарное квадратическое отклонение

где x_i и y_i - соответствующие значения X и Y, взятые из таблицы 1. В результате всех этих операций получим, что

Тогда система уравнений примет вид:

Подставляя соответствующие значения xi и yi, решаем систему и находим, что a= 11,77237988; b= -10,45987738.

Диаграмма рассеивания - это нанесенные на плоскость точки, координаты которых представляют собой соответствующие пары чисел X и Y.

Строим линию регрессии на диаграмме рассеивания (рис. 1):

Рис.1. Диаграмма рассеивания с построенной линией регрессии

Таким образом, мы выяснили, что зависимость между X и Y близка к линейной.

Заключение

статистический систематизация регрессия корреляция

В данной курсовой работе был проведен статистический анализ зависимости одной статистической величины от другой. Были получены основные числовые характеристики генеральной совокупности. Также были приведена диаграмма рассеивания с линией регрессии, наглядно показывающая ход выполнения статистического анализа. В данной работе был разобран метод наименьших квадратов.

В ходе работы было выяснено, что данная выборка случайных величин имеет такую линейную зависимость, что при росте Х, увеличивается и значения Y.

Список используемой литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие для вузов.- 9-е изд., стер. М.: Высшая школа, 2004. - 404с.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика - Учебник для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ - ДАНА, 2004.

Размещено на Allbest.ru