Решеточное строение циклических подгрупп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Подгруппы

2. Циклические подгруппы

3. Циклические группы

4. Применение основной теоремы теории делимости к циклическим подгруппам

5. Примеры циклических групп

6. Решетка циклических подгрупп на примере

Литература



1. Подгруппы

Подмножество А группы G называется подгруппой этой группы, если оно само является группой относительно операции, определенной в группе G.

При проверке того, является ли подмножество A группы G подгруппой этой группы, достаточно проверить: 1) содержится ли в A произведение любых двух элементов из A; 2) содержит ли A вместе со всяким своим элементом и его обратный элемент. Действительно, из справедливости закона ассоциативности в группе G следует его справедливость для элементов из A, а принадлежность к A единицы группы G вытекает из 2) и 1).

Многие из групп, являются подгруппами других групп. Так, аддитивная группа четных чисел является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел, а последняя в свою очередь есть подгруппа аддитивной труппы рациональных чисел. Все эти группы, как и вообще аддитивные группы чисел, являются подгруппами аддитивной группы комплексных чисел. Мультипликативная группа положительных действительных чисел является подгруппой мультипликативной группы всех отличных от нуля действительных чисел. Знакопеременная группа n-й степени есть подгруппа симметрической группы этой же степени,

Подчеркнем, что содержащееся в определении подгруппы требование к подмножеству A группы G быть группой относительно групповой операции, определенной в группе G, является существенным. Так, мультипликативная группа положительных действительных чисел не является подгруппой аддитивной группы всех действительных чисел, хотя первое множество содержится, как подмножество, во втором.

Теорема. Если в группе G взяты подгруппы. А и В, то их пересечение, т. е. совокупность элементов, лежащих и в А, и в В, также будет подгруппой группы G.

Доказательство. Действительно, если в пересечении содержатся элементы х и у, то они лежат в подгруппе А, а поэтому к А принадлежит и произведение ху, и обратный элемент . По тем же соображениям элементы ху и принадлежат и к подгруппе В, а поэтому они входят и в .

Полученный результат справедлив, как легко видеть, не только для двух подгрупп, но и для любого числа подгрупп, конечного или даже бесконечного.

Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой этой группы; эта подгруппа, содержащаяся в любой другой подгруппе группы G, называется единичной подгруппой группы G. С другой стороны, сама группа G является одной из своих подгрупп.

2. Циклические подгруппы

Интересным примером подгрупп служат так называемые циклические подгруппы. Введем сначала понятие степени элемента а группы G. Если п -- любое натуральное число, то произведение п элементов, равных элементу а, называется n-й степенью элемента а и обозначается через . Отрицательные степени элемента а можно определить или как элементы группы G, обратные положительным степеням этого элемента, или же как произведения нескольких множителей, равных элементу . В действительности эти определения совпадают,

Для доказательства достаточно взять произведение 2п множителей, из которых первые п равны а, а остальные равны , и произвести все сокращения. Элемент, равный как левой, так и правой части равенства (1), будет обозначаться через . Условимся, наконец, под нулевой степенью элемента а понимать элемент 1.

Заметим, что если операция в группе G называется сложением, то вместо степеней элемента а следует говорить о кратных этого элемента и записывать их через ka.

Без труда проверяется, что в любой группе G для степеней любого элемента а при любых показателях т и n, положительных, отрицательных или нулевых, имеют место равенства

Обозначим через подмножество группы G, составленное из всех степеней элемента а; в него входит и сам элемент а, являющийся своей первой степенью. Подмножество будет подгруппой группы G: произведение элементов из {а} лежит в {а} ввиду (2), в {а} входит элемент 1, равный , и, наконец, вместе со всяким своим элементом содержит и его обратный элемент, так как из (3) следует равенство

Подгруппа называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а. Как показывает равенство (2), она всегда коммутативна, даже если сама группа G и некоммутативна.

Заметим, что нигде выше не утверждалось, что все степени элемента а являются различными элементами группы. Если это действительно так, то а называется элементом бесконечного порядка. Пусть, однако, среди степеней элемента а имеются равные, например, при ; это всегда имеет место в случае конечных групп, но может случиться, и в бесконечной группе. Если , то , т. е. существуют положительные степени элемента а, равные единице. Пусть n есть наименьшая положительная степень элемента а, равная единице, т. е. если , то .

В этом случае говорят, что а есть элемент конечного порядка, а именно порядка п.

Если элемент а имеет конечный порядок n, то все элементы

будут, как легко видеть, различными. Всякая другая степень элемента а, положительная или отрицательная, равна одному из элементов (4). Действительно, если k -- любое целое число, то, деля k на n, получим

а поэтому, ввиду (2) и (3),

Отсюда следует, что если элемент а имеет конечный порядок п и , то k должно нацело делиться на п. С другой стороны, так как

то для элемента а конечного порядка п

.

Так как система (4) содержит n элементов, то из полученных выше результатов вытекает, что для элемента а, имеющего конечный порядок, его порядок п совпадает с порядком (т. е. с числом элементов) циклической подгруппы

Заметим, наконец, что всякая группа обладает одним - единственным элементом первого порядка -- это будет элемент 1. Циклическая подгруппа {1} совпадает, очевидно, с единичной подгруппой.

3. Циклические группы

Группа G называется циклической группой, если она состоит из степеней одного из своих элементов а, т. е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп ; элемент а называется в этом случае образующим элементом группы О. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.

Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел -- всякое целое число кратно числу 1, т. е. это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы взять также число --1.

Примером конечной циклической группы порядка п служит мультипликативная группа корней п-й степени из единицы, все эти корни являются степенями одного из них, а именно первообразного корня.

Следующая теорема показывает, что этими примерами исчерпываются по существу все циклические группы:

Теорема: Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; изоморфны между собой также все конечные циклические группы данного порядка п.

Доказательство. Действительно, бесконечная циклическая группа с образующим элементом а отображается взаимно однозначно на аддитивную группу целых чисел, если всякому элементу этой группы ставится в соответствие число k; это отображение будет изоморфным, так как, по (2), при перемножении степеней элемента а показатели складываются. Если же дана конечная циклическая группа G порядка n с образующим элементом а, то обозначим через первообразный корень n-й степени из единицы и сопоставим всякому элементу группы G, , число . Это будет взаимно однозначное отображение группы G на мультипликативную группу корней п-й степени из 1, изоморфность которого следует из (2) и (5). Теорема доказана.

Эта теорема позволяет говорить просто о бесконечной циклической группе или о циклической группе порядка п.

Теорема. Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Доказательство. В самом деле, пусть есть циклическая группа с образующим элементом а, бесконечная или конечная, и пусть А будет подгруппа группы G. Можно считать, что А отлична от единичной подгруппы, так как иначе доказывать было бы нечего. Предположим, что есть наименьшая положительная степень элемента а, содержащаяся в А; такая степень существует, так как если в А содержится отличный от 1 элемент , то содержится и обратный ему элемент . Допустим, что в А содержится также элемент, причем не делится на k. Тогда, если d, d > 0, есть наибольший общий делитель чисел k и , то существуют такие целые числа и и v, что

а поэтому в подгруппе А должен содержаться элемент

но так как при наших предположениях d < k, то мы приходим в противоречие с выбором элемента а^к. Этим доказано, что . Теорема доказана.

Условимся следующем обозначении. Если F произвольная группа, записанная аддитивно, то nF будет обозначать подмножество, элементами которого являются n-кратные элементов из F. Если группа F коммутативна, то nF- подгруппа F поскольку Всякая циклическая группа коммутативна и мы будем использовать аддитивную запись, так что n-ая степень g будет выглядеть как ng и называться n-кратным элемента g, а нейтральный элемент G мы будем называть нулем и обозначать 0.

Теорема о подгруппах группы Z. Если H - подгруппа группы Z, то , где n - некоторое неотрицательное целое число и значит H - циклическая группа с образующим элементом n.

Доказательство: Если H -тривиальная подгруппа, то теорема верна и . Пусть H нетривиальна. В этом случае в H содержатся ненулевые числа и противоположные к ним, а значит и положительные целые. Обозначим наименьшее из них буквой n. Тогда . Если - любое число, то разделив m на n с остатком, получим: , причем . Но тогда и значит . Поэтому , что и требовалось.

Замечание. Если - любое целое, то отображение

определенное формулой является изоморфизмом и отображает подгруппу на подгруппу , а значит определяет изоморфизм

.

Теорема о структуре циклических групп. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Всякая конечная циклическая группа порядка n изоморфна .

Доказательство. Как было отмечено выше, всякая циклическая группа G изоморфна , где H- некоторая подгруппа Z. По предыдущей теореме , где . Если , G изоморфна Z и, следовательно, бесконечна. Если , Z разбивается на n смежных классов:

и потому фактор-группа Z/H имеет порядок n.

В дальнейшем группу будем обозначать . В частности, .

Отметим, что в наших обозначениях, - тривиальная группа.

Элементами конечной группы по определению являются смежные классы:

которые обозначаются и называются вычетами по модулю n , а операция в - сложением по модулю n.

Теорема о подгруппах группы Если H подгруппа группы , то причем n делится на m нацело. Порядок H равен , и значит .

Доказательство. Рассмотрим стандартный гомоморфизм . - подгруппа Z и значит для некоторого целого m. Отсюда следует, что . При этом и потому где d - целое. По теореме о гомоморфизме

.

Что и требовалось доказать .

Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична.



4. Применение основной теоремы теории делимости к циклическим подгруппам

Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для конечных циклических групп справедлива теорема обратная теорема Лагранжа.

Дальнейшее изучение структуры циклических групп опирается на один результат о делимости целых чисел, который мы сейчас и изложим. Напомним, что для любых целых n и m определен их наибольший общий делитель Если и , то d - это наибольшее целое число на которое без остатка делятся n и m. ( по определению. Числа, для которых называются взаимно простыми.

Основная теорема теории делимости. Если числа n и m взаимно просты, то можно подобрать два таких целых x и y, что .

Доказательство. Поскольку числа n и m ненулевые, . Значит среди чисел вида есть положительные. Пусть - наименьшее положительное число этого вида. Предположим, что . Тогда и потому либо n либо m (пусть n) не делится на s нацело. Значит , где . В этом случае Это противоречит выбору числа s и значит, .

Следствие. Для всяких целых n и m можно подобрать такие целые x и y, что

В самом деле , если n или m равно 0, то утверждение очевидно. Если же , то числа и . взаимно просты и по доказанной теореме для подходящих x и y имеем:

,

откуда и следует сформулированный результат. Что и требовалось доказать.

Теорема о порядках элементов конечных циклических групп. Пусть любое целое. Вычет в группе имеет порядок

Доказательство. Пусть Поскольку - целое число, имеем: , откуда следует, что порядок не превосходит . С другой стороны, если порядок равен k, то , то есть делится на . По основной теореме теории делимости и значит также делится на . Но если , то не может делиться на

Следствие. В группе образующими элементами являются в точности те вычеты , для которых .

Заметим также, что образующими элементами в Z являются , очевидно, только и .

В качестве еще одного применения основной теоремы теории делимости приведем интересный пример конечной группы. Рассмотрим множество тех вычетов по модулю , для которых . Проверим, что относительно умножения по модулю эти вычеты составляют группу, называемую мультипликативной группой вычетов по модулю . Ассоциативность умножения очевидна. Также очевидно, что вычет является нейтральным элементом. Остается проверить наличие обратного элемента. Пусть . По основной теореме найдутся такие и , что Переходя к вычетам, находим: , откуда видно, что .

Группа не всегда циклична. Например, легко проверить, что все 3 нетривиальных элемента группы имеют порядок 2 и потому она не является циклической.

Наконец, отметим один полезный результат непосредственно вытекающий из доказанного выше.

Теорема о структуре групп простого порядка. Если порядок конечной группы равен простому числу , то .

Доказательство. Пусть - любой элемент, отличный от нейтрального. Поскольку порядок больше и является делителем , то он равен и значит . Что и требовалось доказать.

5. Примеры циклических групп

1. Группа Z целых чисел с операцией сложения.

2. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку циклический число изоморфизм

,

группа является циклической и элемент образующий .

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

3. Пусть - произвольная группа и произвольный элемент. Множество является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

действующее по формуле:

,

очевидно является гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z.

В любой группе G могут быть определены степени элемента с целыми показателями:

Имеет место свойство

(6)

Это очевидно, если . Рассмотрим случай, когда . Тогда

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Из (6) следует, что

Кроме того, по определению. Таким образом, степени элемента образуют подгруппу в группе G. Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначается через.

Возможны два принципиально разных случая: либо все степени элемента различны, либо нет. В первом случае подгруппа бесконечна. Рассмотрим более подробно второй случай.

Пусть ,; тогда . Наименьшее из натуральных чисел т, для которых , называется в этом случае порядком элемента и обозначается через .

Предложение 1. Если , то

1)

2)

Доказательство. 1) Разделим m на п с остатком:

.

Тогда в силу определения порядка

В силу предыдущего

Следствие. Если , mo подгруппа содержит n элементов.

Доказательство. Действительно,

, (7)

причем все перечисленные элементы различны.

В том случае, когда не существует такого натурального т, что (т.е. имеет место первый из описанных выше случаев), полагают. Отметим, что ; порядки же всех остальных элементов группы больше 1.

В аддитивной группе говорят не о степенях элемента , а о его кратных, которые обозначают через . В соответствии с этим порядок элемента аддитивной группы G -- это наименьшее из натуральных чисел т (если такие существуют), для которых

ПРИМЕР 1. Характеристика поля есть порядок любого ненулевого элемента в его аддитивной группе.

ПРИМЕР 2. Очевидно, что в конечной группе порядок любого элемента конечен. Покажем, как вычисляются порядки элементов группы Подстановка называется циклом длины и обозначается через если она циклически переставляет

, т.е. ,

,

а все остальные числа оставляет на месте. Очевидно, что порядок цикла длины равен р. Циклы и называются независимыми, если среди фактически переставляемых ими чисел нет общих; в этом случае . Всякая подстановка однозначно разлагается в произведение независимых циклов. Например,

,

что наглядно показано на рисунке, где действие подстановки изображено стрелками. Если подстановка разлагается в произведение независимых циклов длин , то

ПРИМЕР 3. Порядок комплексного числа с в группе конечен тогда и только тогда, когда это число есть корень некоторой степени из единицы, что, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда , a соизмерим с , т.е. .

ПРИМЕР 4. Найдем элементы конечного порядка в группе движений плоскости. Пусть . Для любой точки точки

циклически переставляются движением , так что их центр тяжести о неподвижен относительно . Следовательно, - либо поворот на угол вида вокруг точки о, либо отражение относительно некоторой прямой, проходящей через о.

ПРИМЕР 5. Найдем порядок матрицы

как элемента группы . Имеем

, ,

Откуда

,

так что . Конечно, этот пример специально подобран: вероятность того, что порядок наудачу выбранной матрицы будет конечен, равна нулю.

Предложение 2. Если , то

(8)

Доказательство. Пусть

так что. Имеем

Следовательно, .

Определение 1. Группа G называется циклической, если существует такой элемент , что . Всякий такой элемент называется порождающим элементом группы G.

ПРИМЕР 6. Аддитивная группа целых чисел является циклической, так как порождается элементом 1.

ПРИМЕР 7. Аддитивная группа вычетов по модулю n является циклической, так как порождается элементом [1].

ПРИМЕР 8. Мультипликативная группа комплексных корней n-й степени из 1 является циклической. В самом деле, эти корни суть числа

Ясно, что . Следовательно, группа порождается элементом .

Легко видеть, что в бесконечной циклической группе порождающими элементами являются только и . Так, в группе Z порождающими элементами являются только 1 и -- 1.

Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается через . Порядок конечной циклической группы равен порядку ее порождающего элемента. Поэтому из предложения 2 следует

Предложение 3. Элемент циклической группы порядка n является порождающим тогда и только тогда, когда

ПРИМЕР 9. Порождающие элементы группы называются первообразными корнями n-й степени из 1. Это корни вида , где . Например, первообразные корни 12-й степени из 1- это .

Циклические группы -- это наиболее простые группы, которые можно себе представить. (В частности, они абелевы.) Следующая теорема дает их полное описание.

Теорема 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе. Всякая конечная циклическая группа порядка п изоморфна группе .

Доказательство. Если -- бесконечная циклическая группа, то в силу формулы (4) отображение есть изоморфизм.

Пусть -- конечная циклическая группа порядка п. Рассмотрим отображение

).

Так как

то отображение корректно определено и биективно. Свойство

вытекает из той же формулы (1). Таким образом, -- изоморфизм.

Теорема доказана.

Для понимания строения какой-либо группы важную роль играет знание ее подгрупп. Все подгруппы циклической группы могут быть легко описаны.

Теорема 2. 1) Всякая подгруппа циклической группы является циклической.

2)В циклической группе порядка n порядок любой подгруппы делит n и для любого делителя q числа n существует ровно одна подгруппа порядка q.

Доказательство . 1) Пусть -- циклическая группа и Н -- ее подгруппа, отличная от (Единичная подгруппа, очевидно, является циклической.) Заметим, что если для какого-либо , то и . Пусть т -- наименьшее из натуральных чисел, для которых. Докажем, что . Пусть . Разделим к на т с остатком:

.

Имеем

,

откуда в силу определения числа т следует, что и, значит,.

2) Если , то предыдущее рассуждение, примененное к (в этом случае ), показывает, что . При этом

,(9)

и Н является единственной подгруппой порядка q в группе G. Обратно, если q -- любой делитель числа п и, то подмножество Н, определяемое равенством (9), является подгруппой порядка q. Теорема доказана.

Следствие. В циклической группе простого порядка любая неединичная подгруппа совпадает со всей группой.

ПРИМЕР 10. В группе всякая подгруппа имеет вид , где .

ПРИМЕР 11. В группе корней n-й степени из 1 любая подгруппа есть группа корней q- й степени из 1, где .

6. Решетка циклических подгрупп на примере.

Пусть дана группа . Построить решетку циклических подгрупп.

; ;



Литература

1. Винберг Э. Б. «Курс алгебры».

2. Курош А.Г. «Теория групп».

3. Хамермеш М. «Теория групп и её приложение к физическим проблемам».

Размещено на Allbest.ru