Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость рядов. Размножение элементарных функций в ряд Фурье
Основные виды числовых рядов. Критерий абсолютной сходимости. Особенности разложения элементарной функции в ряд Фурье. Ряд Фурье непериодических функций с заданным периодом. Разложение в ряд Фурье по косинусам и синусам. Ряд Фурье на полупериоде.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.06.2015 |
| Размер файла | 412,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования Республики Саха Якутия
ГБОУ СПО "Якутский колледж связи и энергетики им.П.И. Дудкина"
Реферат на тему:
Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость рядов. Размножение элементарных функций в ряд Фурье.
Выполнил: студент гр. РРТ-14
Пахомов Денис
Якутск 2015г
Содержание
- Понятие числовогоряда
- Критерий абсолютной сходимости
- Разложение элементарных функций в ряд Фурье
- Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2р
- Многие функции не являются ни четными, ни нечетными
- Ряд Фурье на полупериоде
- Ряд Фурье для произвольного интервала
- Список использованной литературы
Понятие числовогоряда
Числовой ряд - это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Рассматриваются числовые ряды двух видов
· вещественные числовые ряды - изучаются в математическом анализе;
· комплексные числовые ряды - изучаются в комплексном анализе;
Важнейший вопрос исследования числовых рядов - это сходимость числовых рядов.
Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.
Пусть - числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность
каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида:
Вообще, для обозначения ряда используется символ:
поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.
В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:
· числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
· числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
· числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.
Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:
Операции над рядами
Пусть заданы сходящиеся ряды и . Тогда:
· Их суммой называется ряд
· Их произведением по Коши называется ряд , где
Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится. Если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.
периодический ряд элементарная функция
Критерий абсолютной сходимости
Числовой (действительный или комплексный) ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .
Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда и Где
Доказательство. Если сходится то по признаку сравнения тем более сходятся и Наоборот, если сходятся и то сходится и их сумма
Пусть задана бесконечная числовая последовательность
, , …, , …
Определение 1.1 Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида
. (1.1)
Числа называются членами ряда, - общим или n-м членом ряда.
Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру
Пример 1.1 Пусть . Ряд
(1.2)
называется гармоническим рядом.
Пример 1.2 Пусть , Ряд
(1.3)
называется обобщенным гармоническим рядом. В частном случае при получается гармонический ряд.
Пример 1.3 Пусть =. Ряд
(1.4)
называется рядом геометрической прогрессии.
Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где - сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т.е.
, ,
,
…………………………….
, (1.5)
Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:
1) иметь конечный предел;
2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).
Сходимость рядов
Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т.е.
В этом случае число называется суммой ряда (1.1) и пишется
.
Определение 1.3 Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.
Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.
Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.4 Доказать, что ряд
сходится, и найти его сумму.
Найдем n-ю частичную сумму данного ряда .
Общий член ряда представим в виде .
Тогда
Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:
Пример 1.5 Исследовать на сходимость ряд
(1.6)
Для этого ряда
. Следовательно, данный ряд расходится.
Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.
Пример 1.6. Исследовать на сходимость ряд
(1.7)
Для этого ряда
В этом случае предел последовательности частичных сумм не существует, и ряд расходится.
Пример 1.7 Исследовать на сходимость ряд геометрической прогрессии (1.4):
Нетрудно показать, что n-я частичная сумма ряда геометрической прогрессии при задается формулой
.
Рассмотрим случаи:
1) Тогда и .
Следовательно, ряд сходится и его сумма равна
2) . Тогда и .
Следовательно, ряд расходится.
3) или Тогда исходный ряд имеет вид (1.6) или (1.7) соответственно, которые расходятся. Окончательно имеем
(1.8)
Пример 1.8 Найти сумму ряда
Очевидно, что данный ряд является рядом геометрической прогрессии. В нашем случае . Тогда из формулы (1.8) следует
.
Исследование на сходимость гармонического ряда (1.2) и обобщенного гармонического ряда (1.3) будет проведено в следующем разделе.
Разложение элементарных функций в ряд Фурье
Ряд Фурье периодических функций с периодом 2р.
Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.
Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале - р ?x? р можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):
Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx
f (x) =ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+. +b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+.,
где ao, a1,a2,.,b1,b2,. - действительные константы, т.е.
(1)
Где для диапазона от - р до р коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:
Коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f (x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,
Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin (x+б)
f (x) =ao+c1sin (x+б1) +c2sin (2x+б2) +. +cnsin (nx+бn)
Где ao - константа, с 1= (a12+b12) 1/2, с n= (an2+bn2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен an=arctg an/bn.
Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) или c1sin (x+б1) называется первой или основной гармоникой, (a2cos2x+b2sin2x) или c2sin (2x+б2) называется второй гармоникой и так далее.
Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.
Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2р
Разложение непериодических функций.
Если функция f (x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2р.
Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f (x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2р. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2р, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f (x) =x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2р, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2р (как показано на рис. ниже).
Для непериодических функций, таких как f (x) =х, сумма ряда Фурье равна значению f (x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f (x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2р используется все таже формула коэффициентов Фурье.
Четные и нечетные функции.
Говорят, функция y=f (x) четная, если f (-x) =f (x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х2 и у=cosx.
Говорят, что функция y=f (x) нечетная, если f (-x) =-f (x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.
Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.
Разложение в ряд Фурье по косинусам
Ряд Фурье четной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Разложение в ряд Фурье по синусам
Ряд Фурье нечетной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).
Следовательно,
где коэффициенты ряда Фурье,
Ряд Фурье на полупериоде
Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до р, а не только от 0 до 2р, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =х, построенная на интервале от х=0 до х=р. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f (x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье ao и an
Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =x, построенная на интервале от от х=0 до х=р. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис.
Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b
Ряд Фурье для произвольного интервала
Разложение периодической функции с периодом L.
Периодическая функция f (x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f (x+L) =f (x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2р к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.
Чтобы найти ряд Фурье функции f (x) в диапазоне - L/2?x?L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f (x) имела период 2р относительно u. Если u=2рх/L, то х=-L/2 при u=-р и х=L/2 при u=р. Также пусть f (x) =f (Lu/2р) =F (u). Ряд Фурье F (u) имеет вид
Где коэффициенты ряда Фурье,
Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2рх/L, значит, du= (2р/L) dx, а пределы интегрирования - от - L/2 до L/2 вместо - р до р. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид
где в диапазоне от - L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,
(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)
Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L?2р.
Для подстановки u=рх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=р. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.
Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид
Список использованной литературы
1. В.А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. - М.: Наука, 1981. - С.104-114. - 544 с.
2. Ю.С. Богданов - "Лекции по математическому анализу" - Часть 2 - Минск - Издательство БГУ им.В.И. Ленина - 1978.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Разложение в ряд Фурье. Определение функции и нахождение коэффициентов разложения. Проведение замены в интеграле. Условия теоремы о разложении функции в ряд Фурье. Примеры взятия интеграла по частям. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
презентация [73,1 K], добавлен 18.09.2013Условия разложения функций для тригонометрического ряда. Определение коэффициентов разложения с помощью ортогональности систем тригонометрических функций. Понятие периодического продолжения функции, заданной на отрезке. Ряд Фурье функции у=f(x).
презентация [30,4 K], добавлен 18.09.2013Определение числа гармоник разложения функций в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии. Построение амплитудного и фазового спектров функции, графика суммы ряда. Расчет среднеквадратичной ошибки между исходной функцией и частичной суммой Фурье.
контрольная работа [348,5 K], добавлен 13.12.2011Общее определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье. Ортогональные системы функций. Интеграл Дирихле, принцип локализации. Случай непериодической функции, произвольного промежутка, четных и нечетных функций. Примеры разложения функций в ряд Фурье.
курсовая работа [296,3 K], добавлен 12.12.2010Векторные пространства, скалярное произведение и норма функций, ортогональные системы функций, равенства и тригонометрический ряд Фурье. Сходимость интеграла Фурье, основные сведения теории преобразования. Операционное исчисление, преобразование Лапласа.
учебное пособие [1,2 M], добавлен 23.12.2009Алгоритм введения понятия ряда Фурье, опирающийся на моделирование физических задач в теоретическом курсе высшей математики для студентов физико-математических и инженерно-технических специальностей вузов. Функции и свойства рядов, их физический смысл.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 20.05.2015Рассмотрение задач с двойными и тройными интегралами, применение к ним геометрического и симплекс методов решения; описание теоретической и практической части. Разложение функции в ряд Фурье по синусам и определение наибольшего и наименьшего значения.
курсовая работа [185,1 K], добавлен 28.04.2011Введение новых динамических систем и их решений, специальных функций эллиптических и тета-функций, зависящих от одного параметра, разложение эллиптических функций Якоби в ряды Фурье (теоремы разложения). Рассмотрение их связи с функцией Вейерштрасса.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 26.04.2011Общая характеристика математической модели радиотехнического сигнала. Значение спектрального разложения функций в радиотехнике. Работа вещественных одномерных детерминированных сигналов и система синусоидальных и косинусоидальных гармонических функций.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 13.08.2011Интеграл Фурье в комплексной форме. Формулировка теоремы о сходимости интеграла для кусочно-гладких и абсолютно интегрируемых на числовой прямой функции. Примеры нахождения преобразования Фурье, сверстка и преобразование, спектр, некоторые приложения.
курсовая работа [231,5 K], добавлен 27.08.2012
