Численное дифференцирование и интегрирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабоpатоpная pабота №3,4

на тему: «Численное дифференцирование и интегрирование»

Работа 1

Задание: с помощью интерполяционных формул Ньютона, Гаусса, Стирлинга и Бесселя найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично.

Найти значения первой и второй производной данной функции при х₁=3.65; х₂=3.87; х₃=3; х₄=3,04; n=25. Составим диагональную таблицу конечных разностей данной функции.

Выбор полинома осуществляется исходя из требования получения минимальной величины погрешности интерполяции и определяется величиной t.

1) Положим х₀=3.6; тогда t=(x-x₀)/h=(3.65-3.6)/0.2= 0.25

Если t=(x-x₀)/h ? 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3.6)? 0.475573;

Y``(3.6) ?1.20625;

2) Положим х₀=3,8, тогда t =(x-x₀)/h=(3.87-3.8)/0.2= 0.35

Таким образом получаем, что 0,25 ? |t| ? 0,75. В этом случае используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,8) ? 0.816573;

Y``(3.8) ? 1.893750;

3) Положим х₀=3.0, тогда t =(x-x₀)/h=(3,0-3,0)/0,2=0. Воспользуемся для вычислений формулами

Получающимися из первой интерполяционной формулы Ньютона.

Находим

Y`(3,0)? 0.373333;

Y``(3,0) ?-0.9;

4) Положим х₀=3,04, тогда t =(x-x₀)/h=(3,04-3,0)/0,2= 0.2

Если t=(x-x₀)/h ? 0.25, то используем формулы

Получающимися из формулы Бесселя.

Находим

Y`(3,04)? 0.436408;

Y``(3,04) ? 1.127;

Работа 2

Задание: 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая сравнения полученных результатов.

2) Вычислить интеграл по формуле прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n₁= 8 и n₂=10.

1) Для вычисления по формулам левых и правых прямоугольников при n=10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом h=(b-a)/n=(2.2-1)/10=0.12

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:

6.005187;

6.134256;

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

I₁=h*0,12*6.005187=0.72062243;

По формуле правых прямоугольников находим

I₂=h* 6.134256= 0.73611076;

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

I=( I₁+ I₂)/2= 0.72836659;

2) Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников

Вычисления выполним дважды при n₁= 8 и n₂=10 и соответственно при h₁=(b-a)/n₁₌(1-0.6)/8=0,05 и h₂=(b-a)/n₂₌(1-0.6)/10=0,04. Результаты вычислений приведены в таблицах.

Таблица 2

I₁=h₁*0,05*3.110679=0.15553393;

I₂=h₂*0,04*3.894205=0.15576821;

Значения различаются в тысячных долях, но второе значение точнее второго, потому принимаем I?0.15576821;

Работа 3

Задание: 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=8; оценить погрешность результатов, составив таблицу конечных разностей.

интеграл производная формула прямоугольник

1) Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

((b-a)³/12n²)*M₂< 0.0005

Здесь а=0,6; b=1,4; M₂?max¦f``(x)¦, где f(x)=

Находим

f`(x)=, f ``(x)=

max_[0.6;1.4] ¦f``(x)¦< ? 1482.489

Положим M₂ =1483, тогда неравенство примет вид ((1,4-0,6)³*1483)/12n² <0.0005, откуда

n² >63,27, т.е. n>8, возьмем n=10.

Вычисление интеграла производим по формуле

Где h=(b-a)/n=(1,4-0,6)/10=0,08, y_i=y(x_i)=1/; x_i=0.6+ih (i=0,1,2,…,10)

Таблица 1

Таким образом

I=0,08(0,720068/2 +2,792713)=0,25222

2) Согласно условию n=8, поэтому h=(b-a)/n=(2,8-1,2)/8=0,2. Вычислительная формула имеет вид

Где y_i =y(x_i)=

x_i=1.2+ih (i=0,1…,8)

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл.2.

Таблица 2

Следовательно

I=0,02/3*(3.664596+4*6.840479782+2*5.063795853)= 2.7436071? 2.7436

Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл.3).

Так как max¦ ?⁴y_i¦= 0,01776, то остаточный член формулы

R_ост<??0.000157867;

Работа 4

Задание: Найти приближенное значение интеграла по формуле «трех восьмых», используя для контроля точности вычислений двойной просчет при n₁= 9 и n₂= 12.

Воспользуемся формулой «трех восьмых», выражающей данный интеграл через суммы значений подынтегральной функции.

1) n₁= 9; h=(2,9-1,1)/9= 0,2

Запишем вычисления в таблице

I₁=((3*0.2)/8)()= 4.118367796;

2) n₁= 9; h=(2,56-0,4)/12= 0,18

Составим таблицу

I₂=(3*0,24/8)*(= 4.118365513;

Полученные результаты совпадают полностью, поэтому принимаем

I ?4.118367796;

Размещено на Allbest.ru