Интерполяционная формула Лагранжа
Роль интерполяции функций в вычислительной математике. Построение таблично заданных функций, которые совпадают со значениями исходной функции в некотором числе точек. Алгоритм построения интерполяции с помощью интерполяционного полинома Лагранжа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 03.06.2015 |
| Размер файла | 168,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Оренбургский государственный университет
Факультет «Информационных Технологий»
Кафедра «Управление и информатики в технических системах»
Контрольная работа
по предмету: Вычислительная математика
- на тему: Интерполяционная формула Лагранжа
- Выполнил:
- Марковнин А.В.
- Оренбург 2014
- Содержание
- Введение
- 1. Постановка задачи интерполяции
- 1.1 Интерполяция таблично заданных функций
- 1.2 Требования к методам интерполяции
- 1.3 Интерполяционная формула Лагранжа. Алгоритм метода интерполяции
- 2. Практическая часть
- Заключение
- Список использованной литературы
Введение
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек.
Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. интерполяция математика лагранж функция
На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента.
Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями.
Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
1. Постановка задачи интерполяции
1.1 Интерполяция таблично заданных функций
Пусть на отрезке [a, b] заданы значения функции y = f (x) в точках
Интерполяция - нахождение многочлена не выше n-ой степени:
(1)
который в точках принимает те же значения, что и данная функция, т.е. выполняются равенства:
( ) = f ( ) = , i = 0, 1, 2, …,n. (2)
Другими словами, интерполяция - нахождение многочлена вида (1), который на отрезке [a, b] являлся бы приближением для функции y = f (x).
Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом, точки - узлами интерполяции.
1.2 Требования к методам интерполяции
Графически задача интерполирования заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполирования (рис.1)
Рис. 1
Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.
При решении задачи интерполирования обычно принимается, что:
1. интерполируемая функция непрерывна на отрезке [a, b] и в каждой точке имеет конечные производные любого порядка;
2. узлы интерполирования отличны друг от друга.
1.3 Интерполяционная формула Лагранжа
На практике этот способ связан с громоздкими вычислениями при решении системы.
Поэтому интерполяционный многочлен (1) будем искать в виде:
(4)
Полагая в (4) x = и учитывая условия (2) получим:
,
откуда =
Полагая в (4) x =x1 получим:
,
откуда =
Аналогично найдем
=
=
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (4), получаем искомый многочлен
Интерполяционная формула Лагранжа:
= + +
+
Пример. Найти многочлен второй степени, приближенно выражающий функцию f (x).
|
x0 = 1 |
x1 = 3 |
x2 = 5 |
|
|
y0 = 2 |
y1 = 1 |
y2 = 8 |
Решение.
= + +
= 2 + +
= x +
Алгоритм метода интерполяции
2. Практическая часть
Используя интерполяционную формулу Лагранжа для неравностоящих узлов, вычислить значения функции, заданной таблицей при данных значениях аргумента.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Заключение
В данной работе был рассмотрен метод интерполяции с помощью интерполяционного полинома Лагранжа. Данным методом был получен интерполяционный полином для следующей функции заданной таблично:
Полином выглядит следующим образом:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Список использованной литературы
1 Волков, Е.А. Численные методы: учеб. пособие / E. A. Волков. - М.: Наука, 1982. - 256 с.
2 Турчак, Л.И. Основы численных методов: учеб. пособие / Л.И. Турчак; под ред.В. В. Щенникова. - М.: Наука, 1987. - 320 с.
3 Поршнев, С.В. Вычислительная математика. Курс лекций: учеб. пособие С.В. Поршнев. - 2-е изд., доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 320 с.
4 Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики: учеб. пособие Б.П. Демидович, И.А. Марон. - 6-е изд., стереотип. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007. - 672 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Роль интерполяции функций, значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Интерполирование функции полиномами, непосредственно непрерывных функций на отрезке и в точке. Определение понятия погрешности интерполяции.
курсовая работа [157,4 K], добавлен 10.04.2011Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.
лабораторная работа [147,4 K], добавлен 16.11.2015Непрерывная и точечная аппроксимация. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Погрешность глобальной интерполяции, квадратичная зависимость. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяции.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 14.03.2014В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций. Формула Лагранжа. Интерполирование по схеме Эйткена. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Формула Ньютона с разделенными разностями. Интерполяция сплайнами.
контрольная работа [131,6 K], добавлен 05.01.2011Понятие интерполяций функций и их роль в вычислительной математике. Рассмотрение метода интерполяции кубическими сплайнами, составление алгоритма и программного модуля. Описание тестовых примеров. Достоинства и недостатки метода сплайн-интерполяции.
курсовая работа [195,1 K], добавлен 08.06.2013Доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена Лагранжа. Понятие лагранжевых коэффициентов. Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна, его использование для аппроксимации функций на больших промежутках.
презентация [251,7 K], добавлен 29.10.2013Построение приближающей функции, используя исходные данные, с помощью методов Лагранжа, Ньютона и Эйткена (простая и упрощенная форма реализации). Алгоритм вычисления интерполяционного многочлена. Сравнение результатов реализации методов в среде Mathcad.
курсовая работа [299,3 K], добавлен 30.04.2011Вычислительные методы линейной алгебры. Интерполяция функций. Интерполяционный многочлен Ньютона. Узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Коэффициенты кубических сплайнов.
лабораторная работа [70,5 K], добавлен 06.02.2004Методы численного дифференцирования. Вычисление производной, простейшими формулами. Численное дифференцирование, основанное на интерполяции алгебраическими многочленами. Аппроксимация многочленом Лагранжа. Дифференцирование, с использованием интерполяции.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 15.02.2016Интерполяционная схема Эйткина. Связь конечных разностей и производных. Распространение ошибки исходных данных при вычислении конечные разности. Свойства разделенной разности. Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов. Полином Лагранжа.
лекция [92,3 K], добавлен 06.03.2009