Теория игр и исследование операций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Образования Кыргызской Республики

Министерство Образования Российской Федерации

Кыргызско-Российский Славянский Университет

Естественно-Технический Факультет

Кафедра Прикладной Математики и Информатики

Типовой расчет

На тему: «Теория игр и исследование операций»

Бишкек, 2015

1. Матричные игры

Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.

Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из пяти различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену реализации единицы продукции. При этом предприятия имеют одинаковые затраты на производство единицы продукции.

2. Цена реализации и полная себестоимость единицы продукции в зависимости от технологий

Таблица 1. Для первого предприятия

Таблица 2. Для второго предприятия

Функция спроса на продукцию

|Y| = 8 - (0.3+0.1(N-1)) X

где Х - средняя цена реализации товара двумя предприятиями при использовании различных технологий

N - порядковый номер Вашей фамилии в списке студентов группы.

Y - количество продукции, которое приобретёт население региона (тыс. ед.).

3. Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

Таблица 3. Спрос на продукцию в регионе

4. Решение матричной игры

1. Определим экономический смысл коэффициентов выигрышей в платёжной матрице задачи

Каждое предприятие стремится к максимизации прибыли от производства продукции. Но кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок продукции в регионе. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут значения разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. В случае, если эта разница положительна, выигрывает предприятие 1, а в случае, если она отрицательна - предприятие 2.

2. Рассчитаем коэффициенты выигрышей платёжной матрицы

Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. Прибыль предприятия в данной задаче зависит:

- от цены и себестоимости продукции;

- от количества продукции, приобретаемой населением региона;

- от доли продукции, приобретённой населением у предприятия.

Таким образом, значения разницы прибыли предприятий, соответствующие коэффициентам платёжной матрицы, необходимо определить по формуле:

где - значение разницы прибыли от производства продукции предприятий 1 и 2;

- доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением региона;

S - количество продукции, приобретаемой населением региона;

- цены реализации единицы продукции предприятиями 1 и 2;

- полная себестоимость ед. продукции, произведённой на предприятиях 1 и 2.

3. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры которая указывает на максимальную чистую стратегию A₃. Верхняя цена игры , что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах . Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

4. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.

Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.

Стратегия A₃ доминирует над стратегией A₁ (все элементы строки 3 больше или равны значениям 1-ой строки), следовательно, исключаем 1-ую строку матрицы. Вероятность p₁ = 0.

С позиции проигрышей игрока В стратегия B₃ доминирует над стратегией B₁ (все элементы столбца 3 меньше элементов столбца 1), следовательно исключаем 1-й столбец матрицы. Вероятность q₁ = 0.

С позиции выигрыша игрока А стратегия A₄ доминирует над стратегией A₅ (все элементы строки 4 больше или равны значениям 5-ой строки), следовательно, исключаем 5-ую строку матрицы. Вероятность p₅ = 0.

С позиции проигрышей игрока В стратегия B₄ доминирует над стратегией B₅ (все элементы столбца 4 меньше элементов столбца 5, следовательно исключаем 5-й столбец матрицы. Вероятность q₅ = 0. Мы свели игру 5 x 5 к игре 3 x 3.

Каждый элемент матрицы сложим с минимальным значением матрицы (8,80), для того что бы получить положительные элементы.

Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш. Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I. реализация продукция цена итерационный

5. Находим решение игры в смешанных стратегиях

Математические модели пары двойственных задач линейного программирования можно записать так: найти минимум функции F(x) при ограничениях:

найти максимум функции Ф(y) при ограничениях:

5. Решение задачи симплекс-методом

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:

Цена игры: g = 1 : 0.11540 = 8,665

Оптимальная смешанная стратегия игрока I:

P = (0; 0.8378; 0.1622)

Оптимальная смешанная стратегия игрока II:

Q = (0.4622; 0; 0.5378)

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (8.8), то вычтем это число из цены игры.

1 - 8.8 = -0.131

Цена игры: v=-0.131

6. Итерационный метод Брауна-Робинсона

Каждое разыгрывание игры в чистых стратегиях будет далее называться партией. Метод Брауна-Робинсон -- это итеративная процедура построения последовательности пар смешанных стратегий игроков, сходящейся к решению матричной игры.

В 1-ой партии оба игрока выбирают произвольную чистую стратегию. Пусть сыграно k партий, причем выбор стратегии в каждой партии запоминается. В (k + 1)-ой партии каждый игрок выбирает ту чистую стратегию, которая максимизирует его ожидаемый выигрыш, если противник играет в соответствии с эмпирическим вероятностным распределением, сформировавшимся за k партий. Оценивается интервал для цены игры и, если он достаточно мал, процесс останавливается. Полученные при этом вероятностные распределения определяют смешанные стратегии игроков.

Таблица

Оптимальная смешанная стратегия игрока I:

P = ()

Оптимальная смешанная стратегия игрока II:

Q =

Цена игры равна -0,182

7. Экономическая интерпретация результатов решения задачи

В данной матрице есть доминируемые стратегии. Это значит, что для обоих предприятий существуют заведомо невыгодные технологии производства продукции.

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = -0.78, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3. Верхняя цена игры b = min(bj) = 0.42. Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ? b, тогда цена игры находится в пределах -1.408 ? y ? 0.512. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

В ситуации равновесия доля продукции предприятия 1, купленной населением составит 0,44, средняя цена реализации 9 ден.ед., спрос на продукцию 5,3 тыс.ед

Существуют, технологии, которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности, к ним относятся (1, 2, 5) стратегия для предприятия 1, и (1, 3, 5) стратегии для предприятия 2.

В выигрышном положении окажется предприятие 2, т.к. цена игры по результатам симплекс-метода и итерационного метода получилась отрицательной.

Результаты итерационного метода соответствует результату симплекс-метода.

Размещено на Allbest.ru