Классическое определение вероятности события

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

У сборщиков 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них: 4 детали первого вида и по 2 детали второго, третьего и четвертого видов. Найти вероятность того, что среди 6 взятых одновременно деталей окажутся 3 детали первого вида, 2 детали второго вида и 1 деталь третьего вида.

Число всех Nвариантов выбора 6 деталей из 10 равно:

Количество вариантов выбрать три из четырех деталей первого вида равно:

.

Количество вариантов выбрать две из двух деталей второго вида равно:

.

Количество вариантов выбрать одну из двух деталей третьего вида равно:

.

Количество вариантов выбрать ноль из двух деталей четвертого вида равно:

.

Так выбор производится одновременно, то всего вариантов при которых среди взятых деталей три окажутся первого вида, два - второго и одна - третьего равно:

Искомая вероятность равна:



Ответ: 0,038

Задача 2

Студенту в сессию надо сдать три экзамена. Вероятность того, что студент сдаст свой первый экзамен, равна 0,9, что сдаст второй - 0,9 и третий - 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы два экзамена будут сданы.

Решение:

Необходимо найти вероятность того, что будут сданы хотя бы два экзамена, т.е. два или три. Введем обозначения:

p_i - вероятность того, что будет сдан i-й экзамен;

q_i - вероятность того, что будет не сдан i-й экзамен.

Тогда: p₁ = 0,9; p₂ = 0,9; p₃ = 0,8;

q₁ = 1 - p₁ = 0,1;

q₂ = 1 - p₂ = 0,1;

q₃ = 1 - p₃ = 0,2.

Вероятность того, что будут сданы все три экзамена равна:

.

Вероятность того, что будут сданы два экзамена равна:

.



Искомая вероятность равна:

Р = Р(3) + Р(2) = 0,648 + 0,306 = 0,954

Ответ: 0,956

Задача 3

Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8, 7 - с вероятностью 0,7, 4 - с вероятностью 0,6 и остальные с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок поразил мишень. Найти вероятность того, что он принадлежит ко второй группе стрелков.

Решение:

Введем полную группу гипотез:

Н1 - стрелок принадлежит первой группе;

Н2 - стрелок принадлежит второй группе;

Н3 - стрелок принадлежит третьей группе.

Н4 - стрелок принадлежит четвертой группе.

По классическому определению вероятности:

;

;

;

;

Введем событие А - стрелок попал в мишень. Выпишем условные вероятности:

;

;

;

Найдем сначала вероятность события А по формуле полной вероятности:

По формуле Байеса

Ответ: 0,4

Задача 4

Завод отправил на базу 5000 изделий, вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут ровно 4 негодных изделия.

Решение:

По формуле Пуассона:

, ;

;

;

;

;

.

Ответ: 0,015

Задача 5

Дан закон распределения дискретной случайной величины Х. Вычислить значения функции распределения F(х) и начертить ее график. Найти . Построить многоугольник распределения.

Хi	10	20	30	40	50
Рi	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Решение:

Функция распределения F(х) равна:

График функции F(х).



Многоугольник распределения

Ответ:

Задача 6

В городе имеются 4 оптовые базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах, одинакова и равна 0,25. Составить закон распределения случайной величины Х - числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

Решение:

Случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами n = 4 (число баз), р = 0,25 (вероятность отсутствия товара на базе) и может принимать значения 0, 1, 2, 3 и 4. Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли:

Получаем:

Закон распределения случайной величины Х имеет вид:

i	0	1	2	3	4
P(X=i)	0,316	0,422	0,211	0,047	0,004

Ответ: Закон распределения случайной величины Х имеет вид:

i	0	1	2	3	4
P(X=i)	0,316	0,422	0,211	0,047	0,004

Задача 7

вероятность математический дисперсия многоугольник

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х₁ и х₂ причем х₁ < х₂. Известны вероятность p₁ = 0,3 возможного значения х₁, математическое ожидание M(x) = 3,7 и дисперсия D(x) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение:

Сумма вероятностей всех возможных значений Х равна 1, поэтому вероятность Р₂ того, что Х примет значение х₂, равна:

Р₂ = 1 - Р₁ = 1 - 0,3 = 0,7.

Закон распределения имеет вид:

Х	х1	х2
Р	0,3	0,7

Для того, чтобы найти х₁ и х₂ составляем систему из двух уравнений:



Решив квадратное уравнение получим два корня:

Из первого уравнения системы получаем:

;

Так как по условию х₁ < х₂, получаем

Закон распределения будет имеет вид:

Х	3	4
Р	0,3	0,7

Ответ: Закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х	3	4
Р	0,3	0,7



Задача 8

Дискретные независимые случайные величины Х и У заданы распределениями. Найти распределение случайной величины Z = - 2X + Y. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z двумя способами:

- зная закон распределения случайной величины Z;

- пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии для случайных величин Х и У.

Х	10	12		У	1	2
Р	0,4	0,6		Р	0,2	0,8

Решение:

Составим вспомогательную таблицу:

-2Х + У	У	1	2
-2Х	pi pj	0,4	0,6
-20	0,2	-19 0,08	-23 0,12
-24	0,8	-18 0,32	-22 0,48

Закон распределения случайной величины Z имеет вид:

Z	-18	-19	-22	-23
p	0,32	0,08	0,48	0,12

1 способ:



2 способ:

Ответ:

Закон распределения случайной величины Z имеет вид:

Z	-18	-19	-22	-23
p	0,32	0,08	0,48	0,12

Задача 9

Для двух независимых случайных величин Х и У с законами распределения, заданными соответствующими таблицами, выполните следующее:

1. заполните пустые места в таблицах;

2. постройте закон распределения случайной величины Z = 3Х - У;

3. постройте график функции распределения F(z);

4. найдите M(z) и D(z) двумя способами:

a) используя таблицу закона распределения случайной величины Z;

b) используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Х	0	1	2	3	У	1	2	3

Решение:

1. Так как , то

Законы распределения для случайных величин Х и У будут иметь вид:

Х	0	1	2	3	У	1	2	3

2. Для построения закона распределения случайной величины

Z = 3Х - У составим вспомогательную таблицу:

3Х - У	У	1	2	3
3Х	pi pj
0		-1	-2	-3
3		2	1	0
6		5	4	3
9		8	7	6

Закон распределения случайной величины Z имеет вид:

Z	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
p

3. Функция распределения F(х) равна:



График функции F(z).

a) используя таблицу закона распределения случайной величины Z;

Z	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
p

b) используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.



Ответ: ; ; ;

Закон распределения случайной величины Z имеет вид:

Z	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
p

Размещено на Allbest.ru