Построение интерполяционных многочленов
Анализ линейно независимых функций, основные условия выполнения интерполяции для поиска многочлена, оценка возможной погрешности. Сущность методов Лагранжа и Ньютона, понятие интерполяционного полинома. Квадратическая зависимость аппроксимирующей функции.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.05.2015 |
| Размер файла | 379,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО Ивановский государственный химико-технологический университет
Факультет химической техники и кибернетики
Кафедра высшей и прикладной математики
Лабораторная работа
по дисциплине «Численные методы»
Построение интерполяционных многочленов
Иваново, 2012
1. Теоретическое введение
Пусть задана функция . Часто нахождение значений этой функции может оказаться трудоемкой задачей. Например, x - параметр в некоторой сложной задаче, после решения которой определяется значение f(x), или f(x) измеряется в дорогостоящем эксперименте. В этих случаях можно получить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение ее значений при большом количестве значений аргумента нереально. В такой ситуации f(x) заменяется приближенной формулой g(x), которая в определенном смысле близка к функции f(x). Близость обеспечивается введением в функцию g(x) свободных параметров и их соответствующим выбором.
Итак, известны значения функции f(x) в точках
Потребуем, чтобы для некоторой функции выполнялись равенства:
Если (1) рассматривать как систему для определения , то этот способ называется интерполяцией (Лагранжевой).
Если зависит от нелинейно, то интерполяция нелинейная, иначе интерполяция линейная. В случае линейной интерполяции можно записать
где - система линейно-независимых функций Подставим (2) в (1). Относительно получаем линейную систему уравнений:
Для однозначной разрешимости системы должно быть m=n.
Для того, чтобы задача интерполирования имела единственное решение, система функций должна для любых несовпадающих удовлетворять условию:
Система функций, удовлетворяющая условию (4), называется чебышевской. Возьмем в качестве последовательность
Функции этой последовательности линейно независимы на любом отрезке.
Определитель (5) - определитель Вандермонда. Таким образом, функция однозначно определяется при любых и, вообще говоря, может быть представлена в виде
Было показано, что функцию можно искать в виде
где представляют линейную комбинацию . Чтобы отыскать , необходимо найти многочлен степени n, обращающийся в нуль в точках и равный единице в точке
Многочлен (6) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид
2. Расчетная часть
Интерполяционный полином Лагранжа:
|
i |
fi |
L(x) |
Погрешность |
|||
|
0 |
3 |
1,752 |
-0,292 |
1,752 |
3,43E-05 |
|
|
1 |
4 |
2,573 |
1,286 |
2,572 |
0,00075 |
|
|
2 |
5 |
3,156 |
-1,578 |
3,156 |
0,000396 |
|
|
3 |
6 |
2,528 |
0,421 |
2,526 |
0,001563 |
|
|
4 |
4,5 |
3,077 |
2,955 |
0,12226 |
При
интерполяция многочлен лагранж ньютон
Интерполяционный полином Ньютона:
|
i |
N(x) |
Погрешность |
||||||
|
0 |
3 |
1,752 |
1,752 |
3,43E-05 |
||||
|
0,821 |
||||||||
|
1 |
4 |
2,573 |
-0,119 |
2,573 |
0,00025 |
|||
|
0,583 |
-0,162 |
|||||||
|
2 |
5 |
3,156 |
-0,605 |
3,156 |
0,000396 |
|||
|
-0,628 |
||||||||
|
3 |
6 |
2,528 |
2,529 |
0,001437 |
||||
|
4 |
4,5 |
3,077 |
2,955 |
0,121885 |
При
Находим погрешность интерполирования
Построим графики исходной функции F(x) и интерполяционного полинома Лагранжа
Построим графики исходной функции F(x) и интерполяционного полинома Ньютона
3. Метод наименьших квадратов
Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость
то её параметры находят из условия минимума функции
,
Условия минимума функции (2) сводятся к системе уравнений
После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными
При решении этой системы находим искомые значения параметров и .
|
i |
x |
y |
x4 |
x3 |
x2 |
x2y |
xy |
YМНК. |
(YФ.-YМНК.)^2 |
|
|
1 |
3 |
1,752 |
81 |
27 |
9 |
15,76769 |
5,255897 |
2,028011 |
0,076201 |
|
|
2 |
3,5 |
1,994 |
150,0625 |
42,875 |
12,25 |
24,425 |
6,978571 |
2,257968 |
0,069744 |
|
|
3 |
4 |
2,573 |
256 |
64 |
16 |
41,164 |
10,291 |
2,456395 |
0,013538 |
|
|
4 |
4,5 |
3,077 |
410,0625 |
91,125 |
20,25 |
62,30693 |
13,84598 |
2,623293 |
0,205746 |
|
|
5 |
5 |
3,156 |
625 |
125 |
25 |
78,89009 |
15,77802 |
2,758662 |
0,157563 |
|
|
6 |
5,5 |
2,843 |
915,0625 |
166,375 |
30,25 |
86,0006 |
15,63647 |
2,862501 |
0,000380 |
|
|
7 |
6 |
2,528 |
1296 |
216 |
36 |
90,99226 |
15,16538 |
2,93481 |
0,165850 |
|
|
31,5 |
17,92164 |
3733,188 |
732,375 |
148,75 |
399,5546 |
82,95132 |
Q= |
0,689023 |
|
Матрица коэффициентов линейной системы |
Свободные коэффициенты |
|||
|
3733,188 |
732,375 |
148,75 |
399,5466 |
|
|
732,375 |
148,75 |
17,922 |
82,95132 |
|
|
148,75 |
31,5 |
7 |
17,92164 |
|
обратная матрица |
коэффициенты полинома |
||||
|
0,004048 |
-0,00374 |
-0,07643 |
a= |
-0,06306 |
|
|
-0,02089 |
0,034013 |
0,356924 |
b= |
0,869798 |
|
|
0,008009 |
-0,07349 |
0,160805 |
c= |
-0,01385 |
Результат:
с невязкой .
Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона дают результат, который менее точный чем МНК.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Построение приближающей функции, используя исходные данные, с помощью методов Лагранжа, Ньютона и Эйткена (простая и упрощенная форма реализации). Алгоритм вычисления интерполяционного многочлена. Сравнение результатов реализации методов в среде Mathcad.
курсовая работа [299,3 K], добавлен 30.04.2011Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011Метод решения задачи, при котором коэффициенты a[i], определяются непосредственным решением системы - метод неопределенных коэффициентов. Интерполяционная формула Ньютона и ее варианты. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной функции.
лабораторная работа [147,4 K], добавлен 16.11.2015Понятие интерполяционного многочлена Лагранжа как многочлена минимальной степени, порядок его построения. Решение и оценка остаточного члена. Нахождение приближающей функции в виде линейной функции, квадратного трехчлена и других элементарных функций.
курсовая работа [141,5 K], добавлен 23.07.2011Способы построения интерполяционных многочленов Лагранжа, основные этапы. Интерполирование функций многочленами Ньютона, способы построения графика. Постановка задачи аппроксимации функции одной переменной, предпосылки повышения точности расчетов.
презентация [204,5 K], добавлен 18.04.2013Доказательство существования и единственности интерполяционного многочлена Лагранжа. Понятие лагранжевых коэффициентов. Способы задания наклонов интерполяционного кубического сплайна, его использование для аппроксимации функций на больших промежутках.
презентация [251,7 K], добавлен 29.10.2013Решение системы линейных уравнений методом Якоби вручную и на Бейсике. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с помощью Excel. Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов. Построение кубического сплайна по шести точкам.
курсовая работа [304,9 K], добавлен 07.09.2012Интерполяция с помощью полинома Ньютона исходных данных. Значение интерполяционного полинома в заданной точке. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и поиск погрешности вычисления. Методы треугольников, трапеций и Симпсона.
контрольная работа [225,2 K], добавлен 06.06.2011Разделенные разности и аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Экспериментальные данные функциональной зависимости. Система уравнений для полинома. Графики аппроксимирующих многочленов.
реферат [139,0 K], добавлен 26.07.2009Нахождение интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона, проходящих через четыре точки заданной функции, сравнение их степенных представлений. Решение нелинейного дифференциального уравнения методом Эйлера. Решение систем алгебраических уравнений.
задача [226,9 K], добавлен 21.06.2009
