Решение задач вычислительной математики с помощью программ Excel и Mathcad

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра «Компьютерные технологии и системы»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу

«Информатика»

Тема: «Решение задач вычислительной математики с помощью программ Excel и Mathcad»

Выполнил ст. гр. 13-БАС

Немцов Д.О.

Проверил:

Гулак М.Л.

Брянск 2014 г.



Содержание

Введение

1. Исследование нелинейной функции одной переменной

2. Основные операции с матрицами

3. Решение системы линейных уравнений

4. Приближение таблично заданной функции

5. Экстремум функции двух переменных

Заключение

Список использованной литературы

нелинейный матрица экстремум переменный



Введение

Мы все являемся свидетелями того, как компьютеры на глазах изменяют нашу жизнь.

Автоматические и научно-технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ.- универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

Если же говорить об EXCEL, которая является одной из наиболее известных программ обработки электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что ее возможности практически неисчерпаемы. Лично я считаю, что такие программы на сегодняшний день представляют собой один из наиболее мощных и гибких инструментов, созданных для компьютера.

Возможности EXCEL очень высоки. Обработка текста , управление базами данных - программа настолько мощна , что во многих случаях превосходит специализированные программы - редакторы или программы баз данных. Такое многообразие функций может поначалу запутать , нежели заставить применять их на практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то , что границ возможностей EXCEL тяжело достичь.



1. Исследование нелинейной функции одной переменной

Условие задания № 1

Дана нелинейная функция f(x) и указан диапазон изменения аргумента (прил. 1) согласно варианту. Требуется:

Выполнить исследование нелинейного уравнения вида f(x)=0 1.(отыскать корни и экстремумы) с помощью программ Excel и Mathcad. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

* Провести табулирование функции f(x) на заданном интервале (прил.1). Шаг табуляции h=0,2. Возможно применение другого шага, если при этом график получается более информативным и наглядным. Оформить таблицу (рамки, названия столбцов и т.п.).

* Построить график функции f(x). Нежелательно использовать линии с маркерами, так как иногда наличие маркеров затрудняет определение характерных точек на кривой, например точек пересечения с горизонтальной осью.

*По графику определить приближенные значения корней уравнения f(x)=0 и точек экстремума функции. Этот этап называется «локализация корней и экстремумов». На нем необходимо обязательно задавать начальное приближение того значения аргумента, вблизи которого имеется корень или экстремум. В ходе последующего использования имеющихся процедур уточняется значение аргумента (соответствующего нужному корню или экстремуму). Поэтому для каждого корня или экстремума обязательно должно быть задано свое начальное приближение.

* С помощью процедуры «Подбор параметра» определить уточненные значения корней уравнения f(x)=0. Точность реализации этого этапа можно настроить, используя меню «Параметры». Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.

С помощью надстройки «Поиск решения» Excel найти экстремумы функции f(x). Выделить в таблице цветом точки корней и экстремумов или привести в соответствующих строках подписи рядом с таблицей («Корень 1», «Корень 2», «Максимум 1», «Минимум 2» и т.п.). Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.

Решить это же нелинейное уравнение с помощью программы 3. Mathcad. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

* Построить график функции f(x).

* По графику определить начальные приближения корней уравнения f(x). * Для каждого приближения определить уточненные значения корней уравнения. Для этих целей могут быть использованы соответствующие функции Mathcad: «root», «find» и т.п. Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.

С помощью символьных вычислений в Mathcad найти 4. производную функции f(x). Найти экстремумы функции f(x) путем решения уравнения f'(x)=0 аналогично пункту 3. Результат записать с точностью 5 знаков после запятой.

Сравнить полученные результаты и сделать выводы об 5. эффективности Excel и Mathcad при решении задач нахождения корней нелинейного уравнения и поиска экстремумов функции.

Решение.

Дано уравнение на интервале [-3;5]

Выполним табулирование функции в Excel на интервале [-3;5] с шагом 0,2.

На основе полученной таблицы табуляции строим график функции f(x) (Рисунок 1).

На полученном графике определяем приближенные значения корней уравнения. Данные корни будут находиться в точках пересечения графика функции с осью абсцисс, а также их приближенные значения можно определить по таблице табуляции в строках, где значения в столбце y меняют свой знак. Получаем следующие приближенные значения корней уравнения: -2.6, 1.2 и 2.8.

Рисунок 1. Табуляция функции и построение графика в Excel

С помощью процедуры «Подбор параметра» определяем точное значение корня для каждого приближенного значения. Получаем следующие значения корней уравнения: x1=-2,64202, x2=1,34597 и x3=2,99991 (Рисунок 2).



Рисунок 2. Фрагмент листа Excel с найденными корнями уравнения

Найдем в Excel экстремумы функции f(x). По графику видно, что данная функция имеет две точки экстремума в районе x=-1,6 (минимума) и точку экстремума в районе x=2.6 (максимума). Для нахождения этих экстремумов воспользуемся надстройкой «Поиск решения» и настроим её согласно Рисунку 3. Для этого сначала устанавливается целевая ячейка (ячейка из столбца значений функций - f(x), в которой функция принимает либо максимальное, либо минимальное значение по сравнению с соседними: верхними и нижними ячейками). После этого в поле «Изменяя ячейки» указывается адрес ячейки, в которой содержится соответствующее значение аргумента x. Именно этот адрес ячейки содержится в формуле для вычисления значения функции в целевой ячейке (обычно изменяемая ячейка расположена слева от целевой ячейки).



Рисунок 3. Настройка формы «Поиск решения» для функции с разрывом

Для функций такого типа (без разрывов) не обязательно добавлять ограничения нижнего и верхнего значения аргумента. Для функций с разрывами ограничения нужно задавать обязательно, чтобы в решении не оказалось бесконечное число, соответствующее точке разрыва.

Сформируем отчет о результатах поиска (Рисунок 4), из которого видно, что искомое значение экстремума функции xэкс=-1,56161.



Рисунок 4. Отчет о результатах поиска экстремума функции с помощью надстройки «Поиск решения»

Аналогично находим экстремум максимума. Сформируем отчет о результатах поиска (Рисунок 5), из которого видно, что искомое значение экстремума функции xэкс =2,71069.

Рисунок 5. Отчет о результатах поиска экстремума функции с помощью надстройки «Поиск решения»

С помощью программы Mathcad построим график функции на интервале [-3;5] (рис. 6). По графику определяем приближенные значения корней уравнения: -2.6, 1.2, 3.0.



Рисунок 6. График функции f(x), построенный в MathCad

С помощью функции root находим точные значения корней уравнения: x1=-2,642, x2=1,346 и x3=3.

Используя инструментарий Mathcad для работы с символьными вычислениями, находим производную

f'(x) =

Построим график производной функции f(x). По графику определяем приближенное значение корня f'(x)=0: x=-1.6 и x=2.6. С помощью функции root находим точное значение корня уравнения f'(x)=0 (Рисунок 7), а значит, и значения экстремумов функции f(x): x=-1,562 и x=2.711.



Рисунок 7. Нахождение корней уравнения и экстремума функции

2. Основные операции с матрицами

Условие задания № 2

Даны матрицы A, B и С. Вычислить матрицу D по формуле согласно варианту (прил.2). Задание выполнить в Excel и Mathcad.

Решение.

Вычислим значение матрицы D по формуле D=(A+1)+ , где

С помощью Excel рассчитаем матрицу D (Рисунок 8).



Рисунок 8. Вычисление матрицы D в Excel

Операции линейной алгебры в EXEL выполняются в следующей последовательности:

Выделяется диапазон ячеек (матрица), в котором будет размещен результат. Также в Excel для обозначения матрицы иногда используется термин - «массив».

Применяется нужная процедура из категории «математические»:

* «МУМНОЖ» - возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив №1, и с таким же числом столбцов, как массив №2. Обращаем внимание, что массивы №1 и №2 должны задаваться именно в том порядке (слева направо), как они записаны в формуле. Нарушение этого правила приведет не только к неправильному вычислению коэффициентов результирующей матрицы, но и к получению результирующей матрицы другого размера (кроме случая перемножения квадратных матриц).

* «ТРАНСП» - транспортирование матрицы (возвращает вертикальный диапазон ячеек в виде горизонтального и наоборот).

* «МОБР» - возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

* «МОПРЕД» - возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

После появления в массиве результатов первого значения (соответствующего индексам 1,1) для появления остальных нажать сначала клавишу «F2», а потом сочетание клавиш «Ctrl» + «Shift» + «Enter».

На Рисунке 9 приведен пример расчета матрицы D средствами Mathcad. (рис. 9). Найдем решение системы уравнений.

Рисунок 9. а) вычисление матрицы D в Mathcad; б) нахождение решения системы уравнений в Mathcad

3. Решение системы линейных уравнений

Условие задания № 3

Используя коэффициенты полученной матрицы D, решить систему уравнений. Обратить внимание, что для формирования системы линейных уравнений, подлежащей решению, коэффициенты матрицы D использованы в порядке, отличающемся от их записи непосредственно в матрице D.

Решение.

Решим следующую систему линейных уравнений: 

Запишем систему уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы

Решим полученную систему уравнений в Excel с применением последовательности операций линейной алгебры, а именно - с применением обратной матрицы (рис. 10). В результате получим вектор решения:

Рисунок 10. Решение системы линейных алгебраических уравнений с проверками выполнения отдельных шагов

Решение системы уравнений в Mathcad приведено на рисунке 9б. В Mathcad также можно применять прямые (метод Гаусса) и итерационные методы решения систем алгебраических уравнений.

4. Приближение таблично заданной функции

Условие задания № 4

Дана таблично заданная функция - пары точек (xi,yi) (прил. 3), для которых необходимо выполнить следующее.

* С помощью программы Mathcad провести кусочно-линейную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1,3, 2,6, 4,4, 5,9, 7,1, 8,75. Построить график.

* С помощью программы Mathcad провести полиномиальную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1,3, 2,6, 4,4, 5,9, 7,1, 8,75. Построить график. Записать уравнение полинома (коэффициенты полинома указать с точностью 10 знаков после запятой).

* Провести 2 вида аппроксимации согласно варианту (прил.3). Оба графика построить на одной координатной плоскости. В обоих случаях определить сумму квадратов отклонений для узловых точек. Данное задание выполнить как в Excel, так и в Mathcad.

Решение.

Таблица 1 - Точки заданные условиями

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	7.44	6.2	5.88	6.25	5.82	6.09	6.25	6.25	5.79	6.04

В качестве видов аппроксимации будем использовать:

* Линейная

* Экспоненциальная

Решим все поставленные задачи с использованием Mathcad.

Проведем кусочно-линейную интерполяцию с помощью функции «linterp» для заданных точек (xi,yi) и определим значение функции для указанных значений аргумента (рисунок 11).

Таблица 2 - Результат функции linterp

x	1.3	2.6	4.4	5.9	7.1	8.75
y	6.104	6.102	5.928	6.234	6.204	5.978

Рисунок 11. Кусочно-линейная интерполяция в Mathcad

Проведем полиномиальную интерполяцию с помощью функции «expfit». В результате получили полином, представленный на рис. 12. Построим его график, на котором отметим исходные точки (рис. 15).



Рисунок 12. Полиномиальная интерполяция в Mathcad

Используя функцию «polynom», определим для заданных точек значение функции (рис. 15).

Таблица 3 - Результат функции polynom

x	1.3	2.6	4.4	5.9	7.1	8.75
y	6.46	6.355	6.209	6.088	5.991	5.857

Определим сумму квадратов отклонений для узловых точек (рисунок 13)



Рисунок 13. Аппроксимация точек в Mathcad

Для линейной функции эта величина равна 1,458.

Для экспоненциальной функции эта величина равна 8,522.

Проведем аппроксимацию точек с помощью Excel. Для этого сначала заполним исходную таблицу точек и отметим эти точки на графике.

Вызовем контекстное меню для одной из точек на графике и выберем пункт «Добавить линию тренда…». Проведем аппроксимацию с помощью линейной функции и экспоненциальной функции. Для этого в открывшемся диалоговом окне «Линия тренда» выберем «Линейная» и потом «экспоненциальная»/

В настройках линий тренда выставим галочку «показывать уравнение на диаграмме». Результат на рисунке 14



Рисунок 14. Получение графиков функций аппроксимации

Получили следующие аппроксимирующие функции.

Для линейной функции:

y = -0,0809x + 6,5651

Для экспоненциальной функции: .

y = 6,5338e-0,012x

Определим сумму квадратов отклонений для полученных функций в узловых точках (рис. 15):

Рисунок 15. Расчет в Excel суммы квадратов отклонений



5. Экстремум функции двух переменных

Условие задания № 5

Найти экстремум функции двух переменных в Excel и Mathcad. Построить график двумерной поверхности в Excel и Mathcad. Сравнить результаты и сделать выводы. Варианты задания приведены в прил.4.

Решение.

Построим график функции в Mathcad

Рисунок 16. Построение поверхности в Mathcad

По графику определяем, что функция z имеет только один экстремум - точку минимума.

Воспользуемся блоком решения Mathcad и функцией Minimize. За начальное приближение точки минимума возьмем x=1 и y=1. В качестве ограничений укажем интервалы для x=[-4;4] и y=[-5;5].

Получили решение x=-1,625; y=-0.143 (рис. 17). 

Рисунок 17. Минимизация функции в Mathcad

Теперь выполним это же задание в Excel. Для этого сначала проведем табуляцию функции на интервале по x = [-4;4] и

y=[-5;5] (рис. 18).

Рисунок 18 Табулирование функции 2-х переменных в Excel

На основе полученной таблицы строим поверхность



Рисунок 19. График функции двух переменных в Excel

С помощью надстройки «Поиск решения» найдем точку минимума. Для этого настроим соответствующее диалоговое окно следующим образом (рис. 20). В результате выполнения получим искомую точку минимума: x= -1,625; y= -0,143 (рисунок 20).

Рисунок 20. Настройка формы «Поиск решения» для нахождения минимума функции двух переменных.

Рисунок 21. Результаты поиска решения с найденными значениями целевой и изменяемой ячеек



Заключение

Данная курсовая работа позволила мне более близко познакомиться с программами MathCAD и MS Excel. Мной были рассмотрены способы решения инженерных задач с использованием данных программ.

Задачи исследования были максимально реализованы т.к. в курсовой работе были описаны все функции, используемые в системе MathCAD и MS Excel, и рассмотрена работа некоторых из них на конкретных примерах.



Список использованной литературы

1. Бидасюк Ю.М. Mathsoft MathCAD 11. Самоучитель. - СПб: Диалектика, 2009. - 224 с.

2. Бутенков С.А. Методические указания к использованию системы MathCad в практических занятиях по курсу высшей математики. - Таганрог : ТРТУ, 1995. - 450 с.

3. Кудрявцев В.М. MathCAD 8. - М.: ДМК, 2010. - 320 с.

4. Плис А.И. MathCAD 2000: Математический практикум для экономистов/ А.И.Плис, Н.А.Сливина. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 с.

5. Шушкевич Г.Ч. Введение в MathCAD 2000: Учебное пособие / Г.Ч. Шушкевич, С.В. Шушкевич. - Гродно: ГрГУ, 2001. - 138 с.

Размещено на Allbest.ru