Функции нескольких переменных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский энергетический институт

Реферат

на тему: "Функции нескольких переменных"



§1. Понятие функции нескольких переменных

Функции обычно определяются на множествах точках на числовой прямой. Так как положение точки на прямой характеризуется одной координатой, то каждую такую функцию можно назвать функцией одного переменного. Если D={x}, то есть множество точек x на числовой прямой и каждой точке х?D поставлено в соответствие по некоторому закону определённое число у, то говорят, что на множестве D определена функция одного переменного у =f(x).

Геометрической интерпретацией такой функции является ее график. Например, если f(x)= , то графиком является парабола у=.

Значение функции в точке х изображается на графике ординатой у точки графика, абсцисса которой равна х.

Если множество D рассматривать ка множество точек {(x, y)} на плоскости и каждой точке (x, y)?D поставить в соответствие определенное число z,то, тем самым, на множестве D определяется функция f=(x, y), которую называют функцией двух переменных.

Геометрической интерпретацией функции двух переменных служит поверхность f=(x, y), которую называют графиком этой функции. Например, если f(x, y)=+, то графиком функции является параболоид вращения z=+.

Подобным образом можно определить и функцию трех переменных. Если D={(x, y, z)} есть множество точек трехмерного пространства и каждой точке (x, y, z)?D поставлено в соответствии число и, то говорят, что на множестве D определена функция трех переменных и=f(x, y, z).

Для определения функций большего числа переменных потребуется рассматривать пространства размерности п>3.

Определение: Множество всех упорядоченных совокупностей по п действительных чисел (,,….,) называется п-мерным арифметическим пространством .

Элементы этого множества называют точками М(,,….,), а числа ,,….,-их координатами.

Определение: Если каждой точке М(,,….,) из множества D точек пространства поставлено в соответствии по некоторому закону число z, то говорят, что на множестве D определена функция нескольких переменных z=f(,,….,) или функция точки z=u(M).

§2. Частные производные

Ели одному из аргументов функции z = f (x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов:

- это частное приращение функции z по аргументу x;

- это частное приращение функции z по аргументу у.

Определение: Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

- это частная производная функции z по аргументу x;

- это частная производная функции z по аргументу у.

Чтобы вычислить частную производную функции нескольких переменных по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

Пример:



§3. Производная по направлению и градиент функции трех переменных

Понятие производной является одним из основных понятий дифференциального исчисления. Спецификой этого понятия для функции нескольких переменных является то, что ее производная зависит не только от точки, в которой она определяется, но и от того, в каком направлении происходит смещение, вызывающее приращение функции. В результате возникают понятия производной по направлению и частных производных. Количество последних совпадает с числом аргументов функции нескольких переменных. Таким образом, если в каждой фиксированной точке функция одного переменного может иметь лишь одну производную, то функция нескольких переменных, при соответствующих условиях, имеет столько частных производных, сколько у нее аргументов и еще бесчисленное множество производных по направлениям.

Определение: Пусть функция и=и(М) определена в некоторой окрестности точки ? , l - ось, проходящая через точку ; М - подвижная точка на оси; и =и(М)-и() - приращение функции, которая она получает при смещении из точки в точку М;

?l= величина смещения

Производной функции и(М) в точке по направлению оси l называется предел отношения и к ?l при >0 и обозначается:

=.

Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат Оxyz u=f(x, y,z), (, ,) и пусть ось l параллельна оси Оx и одинаково с ней направлена.

Тогда (+?x,,), величина смещения ?l=?x и приращение

и= f(+?x,,)-f, ,)

можно рассматривать как приращение функции f, ,) одного переменного х при фиксированных аргументах y= и z=: и=? f, ,).

Производная в этом случае называется частной производной функции f(x, y,z) по x в точке (, ,, обозначается через и

=== f, ,)

Если l ^^ Oy,то производная называется частной производной функции f(x, y,z) по у, а если l ^^ Oz,то-ее частной производной по z в точке , ,).

Обозначаются эти производные через и соответственно и

= f, ,), f, ,).

Таким образом, частные производные , являются производными функции u=f(x, y,z) по направлениям осей, параллельных осям координат.

Определение: Вектор, координатами которого являются частные производные u(x, y,z) в точке М называется градиентом.

Grad u={,}

Grad u=j+k

Grad u-указывает направление наибыстрого возрастания функции.

Пример: Найти градиент функции u=++ в точке А(-1,1,-1)

=+z(-)=1+1=2

=x()+= -1*(-1)-1=0

= y()+= -2

grad u={2,0,-2}

grad u== 2.

§4. Дифференцируемость функции двух переменных и ее дифференциал

Основой для определения дифференцируемости функции нескольких переменных так же, как для функции одного переменного, является возможность выделения главной линейной части приращения функции.

Определение: Пусть функция z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки, )

?х=х-, ?у= у- - приращения аргументов;

?z= f(?х,?у) - f, )

- соответствующее приращение функции. Если его можно представить в виде:

?z= А?х+В?у+б?х+в?у,

где А=А, ), В=В, ) - величины, не зависящие от ?х, ?у,б=б, ,

?х, ?у), в=в, , ?х, ?у) -бесконечно малые при ?у>0, то функция z=f(x, y) называется дифференцируемой в точке , ), а линейная часть приращения А?х+В?у называется полным дифференциалом функции z=f(x, y) в точке , ) и обозначается символом dz:

dz= А?х+В?у.

Теорема 1: Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке у нее существует производная по любому направлению и, в частности, все частные производные.

Доказательство: Пусть функция z=f(x, y) дифференцируема в точке , ). Тогда приращение функции при смещении из точки, ) в точку(?х,?у) по оси l:

z= А?х+В?у+о(р)

при р>0, а его отношение к величине смещения ?l

=A+B+= Acos+ Bcos+,

где cos, cos- направляющие косинусы оси l.

При ?l>0 cos, cos не меняются, А и В постоянные, а так как ?l=±р, то =0 и, следовательно, существует , т.е.

?= Acos+ Bcos.

Так как ось l была выбрана произвольно, то у функции z=f(x, y) существует производная по любому направлению в точке , ).

В частности, если l, то это означает, что существует частная производная . В этом случае мы имеем: =0,

= , ?= Acos+ Bcos, =А.

Аналогично, если выбрать ось l (==0), то придем к выводу о существовании производной и равенству =В.

Теорема 2: Если функция нескольких переменных имеет все частные производные, непрерывные в некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке. функция переменная производная дифференциал

Доказательство: Пусть функция z=f(x, y) имеет частные производные (x, y) и (x, y), непрерывные в точке , ),

?z= f(?х,?у) - f, )

приращение функции, соответствующее приращению аргументов ?х и ?у. Представим ?z в виде

?z= [f(?х,?у) - f, +?у)]+ [f(?х,?у) - f, )].

По теореме Лангранжа для функции f, +?у) на отрезке , +?x] или, если ?x<0 на отрезке +?x,], то

f(?х,?у) - f, +?у)= +?х,?у)* ?х, 0<<1.

Так как частная производная (x, y) непрерывна в точке , ),то

=, ).

Следовательно,

+?х,?у)=, )+б,

где б-бесконечно малая функция при ?х>0, ?у>0, получаем

f(?х,?у) - f, +?у)=, )?х+б?х.

Аналогично, применяя формулу Лагранджа к функции , ) на отрезке , +?у) получаем

f(?х,?у) - f, )= f, +?у)*?у,

а учитывая непрерывность частной производной в точке , ),

f(?х,?у) - f, )=, )?у+в?у,

где в-бесконечно малая функция при ?х>0, ?у>0.

Теперь подставим

f(?х,?у) - f, +?у)=, )?х+б?х и

f(?х,?у) - f, )=, )?у+в?у в

?z= [f(?х,?у) - f, +?у)]+ [f(?х,?у) - f, )].

Тогда приращение функции окажется представленным в виде

?z=, )?х+, )?у+б?х+ в?у.

Так как , )=А, , )=В-величины, не зависящие от ?х, ?у, б и в-бесконечно малые функции при ?х>0, ?у>0,и, следовательно, по определению, функция z=f(x, y) дифференцируема в точке , ). Теорема доказана.

§5. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Определение 1 :Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x₀, y₀, z₀) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка P (x₀, y₀, z₀) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.

Пусть х = х(t), у = у(t), z = z(t) - параметрические уравнения линии L.

Предположим, что: 1) функция F(х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции х(t), у(t), z(t) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s, то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x(t), у(t), z (t)]= 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t, используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x₀, y₀, z₀):

Пусть точке Р соответствует значение параметра t₀, то есть x₀ = x (t₀), y₀ = y (t₀), z₀ = z (t₀). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р, примет вид

Данная формула представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них - постоянный вектор

,

не зависящий от выбора кривой на поверхности .

Второй вектор - касательный в точке Р к линии L, а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

При введённых обозначениях равенство:

перепишем как .

Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые, проходящие через точку Р на поверхности s, мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s, а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.

Определение 2: Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

Мы доказали существование касательной плоскости, а, следовательно, и нормали к поверхности. Запишем их уравнения:

- уравнение касательной плоскости, построенной в точке P (x0, y0, z0) к поверхности s, заданной уравнением F(х, у, z) = 0;

- уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s.

Пример: Найти уравнение поверхности, образованной вращением параболы:

z² = 2p (y +2)

вокруг оси оу, вычислить при условии, что точка М(3, 1, - 3) принадлежит поверхности. Найти уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности в точке М.

Решение. Используя правило записи поверхности вращения, получим:

z² + x²= 2p (y +2).

Подставив координаты точки М в это уравнение, вычислим значение параметра р: 9 + 9 = 2р(1 + 2). Записываем окончательный вид поверхности вращения, проходящей через точку М:

z² + x²= 6 (y +2).

Теперь найдём уравнения нормали и касательной плоскости по формулам, для чего вычислим сначала частные производные функции:

F(x, y) = z² + x^2-6 (y +2):

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид 6(х - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 или x - y - z - 5 = 0;

уравнение нормали: или .



§6. Экстремум функции двух переменных

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , то есть (соответственно ) для всех точек , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть стационарная точка функции . Обозначим

, ,

и составим дискриминант . Тогда:

если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, при (или ) и минимум, при (или );

если , то в точке экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование.

Пример: Исследовать на экстремум функцию

.

Решение:

На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Частные производные первого порядка от функции равны:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Выпишем отдельно первое уравнение системы и найдем его корни:

Подставим найденные значения переменной во второе уравнение системы:

и

Таким образом, получили две точки и , в которых будет продолжено исследование функции на экстремум.

На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции :

На третьем шаге для каждой из точек и установим наличие экстремума функции (для этого вычислим значения вторых производных и найдем знак дискриминанта в указанных точках).

1) Для точки :

Так как дискриминант больше нуля и , то функция имеет минимум в точке :

2) Для точки :

Так как дискриминант меньше нуля, то функция не имеет в точке ни минимума, ни максимума.

Ответ: в точке функция:

имеет минимум.

Размещено на Allbest.ru