Функциональные ряды

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Функциональные ряды

функциональный ряд интервал математика

Ряд называется функциональным, если члены его являются функциями от х.

Рассмотрим функциональный ряд

(1)

Давая х определенные числовые значения, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через s(x).

Пример. Рассмотрим функциональный ряд

Этот ряд сходится при всех значениях х в интервале (-1;1), т.е. при всех х, удовлетворяющих условию /x/<1. Для каждого значения х в интервале (-1;1) сумма ряда равна (сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем х). Таким образом, в интервале (-1;1) данный ряд определяет функцию

s(x)= ,

которая является суммой ряда, т.е.

=

Обозначим через sn(x) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна s(x), то

Где есть сумма ряда т.е

В этом случае величина называется остатком ряда (1). Для всех значении х в области сходимости ряда имеет место соотношение

, поэтому

т.е. остаток сходящегося ряда стремится к нулю при .

Степенные ряды. Интервал сходимости

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(1)

где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторой интервал который в частности может вырождаться в точку. Для того, чтобы убедиться в этом, докажем сначала следующую теорему, очень важную для всей теории степенных рядов.

Теорема 1 (Теорема Абеля). 1) Если степенной ряд сходится при некотором значении х0, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком значении х, для которого

2) если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком х, для которого

Доказательство. 1) Так как, по предложению, числовой ряд

(1')

Сходится, то его общий член при , это значит, что существует такое положительное число М, что все члены рада по абсолютной величине меньше М.

Перепишем ряд (1) в виде

(1а)

и рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

(2)

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

(3)

При последний ряд представляет геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Так как члены ряда (2) меньше соответствующих членов ряда (3), то ряд (2) тоже сходится, а это и значит, что ряд (1а) или (1) сходится абсолютно.

2) Теперь нетрудно доказать и вторую часть теоремы: пусть к некоторой точке ряд (1) расходится. Тогда он будет расходиться и в любой точке х, удовлетворяющей условию .Действительно, если бы в какой-либо точке х, удовлетворяющей этому условию, ряд сходился, то, в силу только что доказанной первой части теоремы он должен был бы сходиться и в точке , так как . Но это противоречит условию, что в точке ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке х. Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если х0, есть точка сходимости, то весь интервал , заполнен точками абсолютной сходимости. Если - точка расходимости, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки и вся полупрямая влево от точки - состоят из точек расходимости.

Из этого можно заключить, что существует такое число R, что при мы имеем точки абсолютной сходимости и при - точки расходимости.

Таким образом, имеет место следующая теорема о строении области сходимости степенного ряда:

Теорема 2. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение 2. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от - R до +R, что для всякой точки х, лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек х лежащих вне его, ряд расходится. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.

На концах интервала (т.е. при х=R и при х= - R ) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда.

Отметим, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R=0), у других охватывается вся ось Ох ().

Укажем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Пусть имеем ряд

(1)

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

(4)

Для определения сходимости последнего ряда ( с положительными членами) применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел:

Тогда по признаку Даламбера ряд (4) сходится, если <1, т.е. если , и расходится, если >1, т.е если . Следовательно, ряд (1) сходится абсолютно при . Если же , то , и ряд (4) расходится, причем его общий член не стремится к нулю*). Но тогда и общий член данного степенного ряда (1) не стремится к нулю, а это значит, на основании необходимого признака сходимости, что

Из предыдущего следует, что интервал (-,) есть интервал сходимости степенного ряда (1), т.е.

Аналогичным образом для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Коши, и тогда

Пример 1. Определитть интревал сходимости ряда

Решение. Применяя непосредственно признак Даламбера, получаем:

Следовательно, ряд сходится при и расходится при . На границах же интервала (-1;1) исследование ряда с помощью признака Даламбера невозможно. Однако непосредственно видно, что при х=-1 и при х=1 ряд расходится.

Пример 2. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Применяем признак Даламбера:

Ряд сходится, если <1, т.е. если , при ряд сходится; при ряд расходится.

Пример 3. Определить интервал сходимости ряда

Решение. Применяя признак Даламбера, получим:

Так как предел не зависит от х и меньше единицы, то значит, ряд сходится при всех значениях х.

Пример 4. Ряд расходится при всех значениях х, кроме х=0, так как при , каково бы н было х, отличное от нуля.

Теорема 3. Степенной ряд

(1)

мажорируем на любом отрезке [-b,b]б целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Доказательство. По условию, , а потому числовой ряд ( с положительными членами)

(5)

сходится. Но при члены ряда (1) по абсолютной величине.

Размещено на Allbest.ru