Однокрокові методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь
Чисельне інтегрування звичайних диференційних рівнянь явними і неявними методами Рунге-Кутта. Вплив значення кроку обчислень на точність і збіжність рішення. Визначення можливості застосування засобів стандартних пакетів для отримання результатів.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 08.05.2015 |
| Размер файла | 208,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
„КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”
НАВЧАЛЬНО-НАУКОВИЙ КОМПЛЕКС
„ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОГО СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ”
Лабораторна робота №10
з курсу: «Чисельні методи»
Однокрокові методи розв`язання звичайних диференціальних рівнянь
Студента ІІ курсу Факультету ІПСА
Групи ДА-32 Натальчука Максима
Київ, 2015 рік
Мета. Придбання практичних навичок в чисельному інтегруванні звичайних диференційних рівнянь явними і неявними методами Рунге-Кутта, дослідження впливу значення кроку обчислень на точність і збіжність рішення. Визначення можливості застосування засобів стандартних пакетів для отримання результатів.
Хід роботи
Для 19 варіанту вхідні дані мають наступний вигляд:
диференційний рівняння обчислення рунге
Рівняння: .
Параметри:
Завдання 1. Запрограмувати на мові пакету Mathematica рішення заданого диференційного рівняння явним методом Рунне - Кутта четвертого порядку (10.6) і виконати рішення при кількох значеннях кроку, поки рішення не почне розбігатися. Спробуйте з'ясувати, чи існує аналітичне рішення задачі.
Завдання 2. Порівняти отриманий максимально можливий крок hmax з значеннями, обчисленим за допомогою формули.
Максимально можливий крок визначити неможливо, оскільки власне значення Якобіану прямує до нескінченності.
Завдання 3. Запрограмувати на мові пакету Mathematica рішення заданого диференційного рівняння неявним методом Рунне - Кутта 4(5) і виконати рішення при максимальних значеннях кроку з пункту 1.
Завдання 4. Запрограмувати на мові пакету Mathematica рішення заданого диференційного рівняння вкладеним явним методом Рунне - Кутта четвертого порядку (10.8) і виконати рішення при максимально можливому кроці hmax,знайденому в пункті 2.
Завдання 5. Користуючись стандартними операторами пакету Mathematica, знайти рішення заданого диференційного рівняння вкладеним явним методом Рунне - Кутта і порівняти покрокові похибки рішень, отриманих в пунктах 1, 3 і 5.
Завдання 6. Користуючись стандартними операторами пакету Mathematica, знайти рішення заданого диференційного рівняння вкладеним неявним методом Рунне - Кутта і порівняти покрокові похибки рішень, отриманих в пунктах 1, 3 і 5.
Висновок
Під час виконання даної роботи я ознайомився з явними та неявними однокроковими методами розв`язання звичайних диференціальних рівнянь Рунге-Кутти. Результати подано в таблиці
|
Метод |
х |
у |
|
|
Явний |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
|
|
Неявний |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
|
|
Вкладений |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
|
|
Вкладений явний через стандартний пакет |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
|
|
Вкладений неявний через стандартний пакет |
0.1, 0.2,..,0.9, 1 |
1.00029; 1.00198; 1.0058; 1.01193; 1.02028; 1.03059; 1.0425; 1.05565; 1.06966; 1.08419. |
Крок обчислення для явного методу виявився необмеженим, що дало нам можливість підібрати будь-яку довжину кроку для розв`язку диференціального рівняння. Результат, отриманий даним методом, абсолютно зійшовся з розв`язком через стандартний пакет Математика.
Результати, отримані неявним методом Рунге-Кутти, також не мають похибок з отриманими через стандартний пакет. Даний метод зручно застосовувати для жорстких рівнянь, у яких аргументи виражені неявно.
Вкладений метод використовується для підвищення ефективності чисельного інтегрування функцій для розв`язання диф.рівнянь. Він апріорі дав безпомилковий результат, проте на заданій точності не було проявлено його переваг над іншими методами. Хоча саме цей спосіб дозволяє нам отримати найточніший результат обчислення розв`язку диференціальних рівнянь.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Розгляд найбільш відомих скінченно-різнецевих методів рішення рівнянь руху з непереривною силою: чисельна ітерація рівнянь Ньютона; алгоритм Бімана і Шофілда; метод Рунге-Кутта; методи Адамса, Крилова, Чаплигіна. Програма Рунге-Кутта на мові С#.
курсовая работа [359,5 K], добавлен 27.01.2011Умови та особливості використання модифікованого методу Ейлера для отримання другої похідної в кінцево-різницевій формі. Два обчислення функції за крок. Метод Ейлера-Коші як частковий випадок методу Рунге-Кутта. Метод четвертого порядку точності.
презентация [171,0 K], добавлен 06.02.2014Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Класифікація методів для задачі Коші. Лінійні багатокрокові методи. Походження формул Адамса. Різницевий вигляд методу Адамса. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Підвищення точності обчислень методу за рахунок подвійного обчислення значення функції.
презентация [1,6 M], добавлен 06.02.2014Поняття диференціальних рівнянь. Задача Коші і крайова задача. Класифікація методів для задачі Коші. Похибка методу Ейлера. Модифікований метод Ейлера-Коші. Пошук рішення задачі однокроковим методом Ейлера. Порівняння чисельного рішення з точним рішенням.
презентация [294,4 K], добавлен 06.02.2014Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку, початкові і крайові умови. Метод сіток та представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді. Структура похибки розв'язку задачі, стійкість і коректність.
курсовая работа [986,6 K], добавлен 22.08.2010