Проверка статистических гипотез

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Самостоятельное выполнение студентами заданий является одним из важнейших условий усвоения математической статистики.

Предлагаемые методические указания составлены таким образом, чтобы студент, пользуясь ими, решил самостоятельно поставленные перед ним задачи.

Методические указания включают четыре задания по математической статистике: «Статистическое распределение», «Проверка статистических гипотез», «Корреляция», «Метод наименьших квадратов».

Построение каждого задания следующее. Вначале сформулировано само задание. Затем дается решение типового примера на конкретных данных выборки объема 100. Приведены формулы, расчеты, чертежи. Сделаны соответствующие выводы.

Выполнение задания «Метод наименьших квадратов» предполагается на ЭВМ. Дана программа и образец распечатки результатов для отчетности студента.

В приложениях кроме таблиц функции Лапласа и критерия согласия Пирсона (приложения 1,2) даны таблицы данных эффективности сельскохозяйственного производства для выполнения заданий, по которым можно выдать необходимое количество вариантов.

Приложение 3 содержит практический материал для заданий 1-3, приложение 4 - для задания 4.

Методические указания составлены для студентов экономических специальностей, однако могут быть использованы студентами всех факультетов.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Сборник индивидуальных заданий по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие/ А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть; под общ. ред. А.П. Рябушко. Минск: Выш.шк., 1992.

2. М а ц к е в и ч И.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид. Минск: Выш.шк., 1993.

3. К р а с с М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник / М.С.Красс, Б.П.Чупрынов. 2-е изд., испр. М.: Дело, 2001.

4. Г у с а к А.А. Высшая математика. Т. 2 / А.А. Гусак. Минск: Тетра Системс, 2000.

5. Б е л ь к о И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи: учеб. пособие/ И.В. Белько, Г.П. Свирид; под ред. К.К.Кузьмича. 2-е изд., стер. Минск: Новое знание, 2004.

6. П и с ь м е н н ы й Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т.Письменный. М.: Айрис - пресс, 2004.

7. Г р и н б е р г А.С. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций/ А.С. Гринберг, О.Б. Плющ, Б.В. Новыш . 3-е изд. доп. Минск: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2005.

ЗАДАНИЕ 1. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

По статистическим данным случайных величин (СВ) Х и У требуется:

1) составить интервальные статистические ряды распределения частот и частостей;

2) построить гистограмму и полигон частостей;

3) составить эмпирические функции распределения F*(x) и F*(y), поcтроить их графики;

4) вычислить числовые характеристики выборки: среднюю выборочную , дисперсию выборочную (, среднее квадратическое выборочное отклонение (, асимметрию и эксцесс Аs(Х) (Аs(У)), выборочный коэффициент вариации V(Х) (V(У)).

Решение типового варианта

Методику выполнения этого задания покажем на примере статистических данных (табл. 1) , где СВ Х - стоимость основных производственных фондов ( y.е/га) , СВ У - стоимость валовой продукции (y.е/га).

1. Изучение непрерывной случайной величины ( НСВ) начинается с группировки статистического материала, т.е. с разбиения интервала наблюденных значений СВ Х на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания наблюденных значений СВ Х в частичные интервалы. Количество интервалов можно выбирать произвольно, их число обычно бывает не менее 5 и не более 15. Можно для определения числа интервалов использовать формулу

где n - объем выборочной совокупности. При объеме выборки n = 100 имеем Далее определяют размах вариации R, длину интервала наблюденных СВ Х, , где - наименьшее значение СВ Х, - наибольшее ее значение.

Определив размах вариации, определяют ширину частичного интервала. Ширина частичного интервала должна способствовать выявлению основных черт распределения и сглаживанию случайных колебаний признака в выборочной совокупности.

Т а б л и ц а 1. Статистические данные

№ п.п.	X	У	№ п.п.	X	У	№ п.п.	X	У
1	0,73	0,60	36	1,48	1,50	71	0,68	0,53
2	0,82	0,61	37	1,39	1,48	72	0,89	0,82
3	0,89	0,95	38	0,96	0,89	73	1,27	1,40
4	1,79	1,22	39	1,29	1,25	74	1,33	1,29
5	1,41	0,88	40	0,96	0,81	75	0,92	0,65
6	0,80	0,58	41	1,28	1,17	76	0,93	0,58
7	0,83	0,50	42	1,53	1,42	77	1,16	0,80
8	0,57	0,70	43	1,68	1,81	78	1,04	0,93
9	1,15	0,77	44	1,43	1,51	79	0,98	0,62
10	1,41	1,41	45	0,99	1,17	80	0,88	1,09
11	1,35	0,92	46	1,19	0,95	81	1,39	1,44
12	0,97	0,56	47	1,05	0,98	82	1,21	1,12
13	0,92	0,67	48	0,94	0,79	83	1,06	1,33
14	0,78	0,58	49	0,87	0,91	84	0,80	0,90
15	0,97	0,87	50	1,22	1,10	85	0,92	0,61
16	1,13	1,25	51	1,29	1,23	86	1,08	0,63
17	1,16	1,05	52	1,10	0,99	87	0,98	0,89
18	1,27	1,01	53	1,07	0,87	88	1,10	1,02
19	0,93	0,94	54	1,20	1,11	89	0,74	0,68
20	1,12	0,88	55	0,97	1,10	90	1,12	0,75
21	1,24	1,15	56	1,34	1,08	91	0,95	0,89
22	1,04	0,93	57	1,54	1,40	92	1,06	0,92
23	0,95	0,60	58	1,28	1,51	93	0,72	0,58
24	0,96	0,69	59	1,20	0,86	94	1,21	1,13
25	1,08	0,69	60	0,99	0,62	95	0,83	0,67
26	1,27	0,84	61	0,85	0,56	96	0,91	0,78
27	1,81	1,04	62	0,80	0,83	97	0,98	0,66
28	1,79	1,13	63	1,07	0,75	98	1,20	0,94
29	1,33	1,20	64	0,94	0,88	99	0,94	0,59
30	1,05	1,10	65	0,88	0,93	100	1,02	0,86
31	0,85	0,70	66	1,36	1,16
32	0,99	0,75	67	1,24	1,39
33	1,12	0,99	68	0,89	0,77
34	0,89	0,58	69	0,77	0,83
35	0,85	0,67	70	1,10	0,74

При построении частичных интервалов рекомендуется за начало первого интервала х0 взять , где h - ширина частичного интервала, определяемая по формуле , тогда границы частичных интервалов находятся следующим образом:

хо= хmin- , х1=хо + h, х2=х1 + h, …,

В нашем случае, как определили ранее, k = 7, xmin=0,57, xmax=1,81, тогда R = xmax - xmin= 1,81- 0,57 = 1,24 и ширина частичного интервала есть . Если при нахождении h деление не выполняется нацело, то результат округляют в большую сторону.

Далее имеем и получаем

Если бы выражалось десятичной дробью с двумя знаками после запятой, то границы частичных интервалов имели бы такой же вид, и тогда при подсчете частот в каждый интервал включаются те значения СВ Х, которые больше нижней границы и меньше или равны верхней границе соответствующего частичного интервала. Сумма всех частот должна быть равна объему выборки, т.е. .

Шкала интервалов и группировка исходных статистических данных сведены в табл. 2. В результате получили статистический ряд распределения частот.

Т а б л и ц а 2. Подсчет частот СВ Х

Интервалы наблюден- ных значе- ний СВ Х	0,465- 0,675	0,675- 0,885	0,885- 1,095	1,095- 1,305	1,305- 1,515	1,515- 1,725	1,725- 1,935
Подсчет частот	I	IIIIIIIII IIIIIIIII	IIIIIIIIII IIIIIIIIII IIIIIIIIII IIIIIIII	IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIII	IIIIIIIII II	III	III
Частоты mi	1	18	38	26	11	3	3

Контроль:

Для получения статистического ряда частостей разделим частоты на объем выборки. В результате получаем интервальный статистический ряд распределения частостей. В табл. 3 представлен интервальный статистический ряд распределения частот и частостей СВ Х.

Т а б л и ц а 3. Интервальный статистический ряд распределения СВ Х

Интервалы наблюден- ных значе- ний СВ Х	0,465- 0,675	0,675- 0,885	0,885- 1,095	1,095- 1,305	1,305- 1,515	1,515- 1,725	1,725- 1,935
Частоты	1	18	38	26	11	3	3
Частости	0,01	0,18	0,38	0,26	0,11	0,03	0,03
-накопленные частости	0,01	0,19	0,57	0,83	0,94	0,97	1,00
	0,05	0,86	1,80	1,24	0,52	0,14	0,14

Контроль:

2. Для построения гистограммы частостей на оси ОХ откладывают частичные интервалы, на каждом из которых строят прямоугольник, площадь которого равна частости соответствующего частичного интервала. Полученная при этом ступенчатая фигура называется гистограммой частостей. Если частости отнести к серединам частичных интервалов, то полученная ломаная линия образует полигон частостей.

На рис.1 изображены гистограмма и полигон частостей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.

3. Значения эмпирической функции распределения F*(x) записаны в соответствующей строке табл. 3. Составим аналитическое выражение для эмпирической функции распределения F*(x).

Замечание. При построении графика эмпирической функции распределения ее значения относят к верхней границе частичного интервала. График эмпирической функции изображен на рис.2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.

4. Числовые характеристики выборки найдем по формулам:

- средняя выборочная,

- дисперсия выборочная,

- выборочное среднее квадратическое отклонение,

-асимметрия,

- эксцесс,

- выборочный коэффициент вариации,

где хi и mi - соответственно середина и частота i-го интервала.

Составим табл. 4 для вычисления числовых характеристик СВ Х.

Т а б л и ц а 4. Вычисление числовых характеристик СВ Х

Интервалы наблюденных значений СВ Х	Середины интервалов хi	Частоты
0,465-0,675	0,57	1	0,57	- 0,5229	- 0,5229	0,2734	- 0,1429	0,0748
0,675-0,885	0,78	18	14,04	- 0,3129	- 5,6322	1,7622	- 0,6534	0,1728
0,885-1,095	0,99	38	37,62	- 0,1029	- 3,9102	0,4028	- 0,0418	0,0038
1,095-1,305	1,20	26	31,20	0,1071	2,7846	0,2990	0,0312	0,0026
1,305-1,515	1,41	11	15,51	0,3171	3,4881	1,1066	0,3509	0,1111
1,515-1,725	1,62	3	4,86	0,5271	1,5813	0,8334	0,4392	0,2316
1,725-1,935	1,83	3	5,49	0,7331	2,2113	1,6299	1,2015	0,8856
Cумма		100	109,29		0	6,3073	1,1847	1,4823

Аналогичным образом выполним это задание для СВ У - стоимость валовой продукции (у. е/га).

1. Составим интервальный статистический ряд частот и частостей СВ У (табл. 5, 6).

.

.

Т а б л и ц а 5. Подсчет частот СВ У

Интервалы наблюден- ных значе- ний СВ У	0,39-0,61	0,61-0,83	0,83-1,05	1,05-1,27	1,27-1,49	1,49-1,71	1,71-1,93
Подсчет частот	IIIIIII IIIIIII	IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIII	IIIIIIIII IIIIIIIII IIIIIIIII II	IIIIIIIII IIIIIIIII	IIIIIIIII	III	I
Частоты mi	14	26	29	18	9	3	1

Контроль: .

Т а б л и ц а 6. Интервальный статистический ряд распределения СВ У

Интервалы наблюден- ных значе- ний СВ У	0,39-0,61	0,61-0,83	0,83-1,05	1,05-1,27	1,27-1,49	1,49-1,71	1,71-1,93
Частоты	14	26	29	18	9	3	1
Частости	0,14	0,26	0,29	0,18	0,09	0,03	0,01
-накопленные частости	0,14	0,40	0,69	0,87	0,96	0,99	1,00
	0,64	1,2	1,3	0,82	0,4	0,14	0,05

Контроль:

2. Построим гистограмму и полигон частостей СВ У (рис.3).

Рис. 3.

3. Составим эмпирическую функцию распределения и построим ее график (рис. 4).

Рис. 4.

4. Вычислим числовые характеристики выборки (табл.7) (

ЗАДАНИЕ 2. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

1. По результатам задания 1 по виду гистограммы и полигона частостей, а также по значению выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса сделать предварительный выбор закона распределения

СВ Х и У.

2. Найти точечные оценки параметров нормального распределения, записать для него функцию плотности вероятности f(x) (f(y)) и функцию распределения F(x) (F(y)).

3. Найти теоретические частоты нормального распределения. Проверить согласие эмпирической функции распределения с теоретической, используя критерий согласия Пирсона для СВ Х и У. Построить эмпирические и теоретические кривые распределения.

Т а б л и ц а 7. Вычисление числовых характеристик СВ У

Интервалы наблюденных значений СВ У	Середины интервалов yi	Частоты mi
0,39-0,61	0,50	14	7	- 0,429	- 6,006	2,5760	- 1,1051	0,4732
0,61-0,83	0,72	26	18,72	- 0,209	- 5,434	1,1362	- 0,2374	0,0494
0,83-1,05	0,94	29	27,26	0,011	0,319	0,0029	0,0000	0,0000
1,05-1,27	1,16	18	20,88	0,231	4,158	0,9612	0,2214	0,0504
1,27-1,49	1,38	9	12,42	0,451	4,059	1,8306	0,8253	0,3726
1,49-1,71	1,60	3	4,8	0,671	2,013	1,3506	0,9060	0,6078
1,71-1,93	1,82	1	1,82	0,891	0,891	0,7939	0,7074	0,6303
Сумма		100	92,9		0	8,6514	1,3176	2,1837

4. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения (доверительную вероятность принять 1-=0,95).

Решение типового варианта

Методику выполнения этого задания покажем на результатах задания 1.

1. По виду гистограммы и полигона частостей (напоминают нормальную кривую), а также по значению выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса (Аs(X)=0,749, , они близки к нулю), предполагая, что СВ Х - стоимость основных производственных фондов изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе влияния, можно выдвинуть гипотезу о том, что закон распределения СВ Х является нормальным.

2. Плотность вероятности нормального закона распределения имеет вид , или

Точечными оценками параметров а и нормального закона распределения служат средняя выборочная и среднее выборочное квадратическое отклонение , вычисленные ранее, т.е. , =0,251. Следовательно, плотность вероятности предполагаемого нормального закона распределения имеет вид

, или

.

Функция распределения предполагаемого нормального закона

.

Используя нормированную функцию Лапласа , функцию распределения нормального закона записывают в виде , в нашем случае эта функция есть , ее называют теоретической функцией распределения.

3. Проведем проверку гипотезы о нормальном законе распределения СВ Х, используя критерий согласия Пирсона . Для удобства вычислений интервалы наблюденных значений нормируют, т.е. выражают их в единицах среднего квадратического отклонения : , причем наименьшее значение ui полагают равным , а наибольшее - , эта замена производится для того, чтобы сумма теоретических частот была равной объему выборки. Далее вычисляют вероятность попадания СВ Х, распределенной по нормальному закону с параметрами и , в частичные интервалы по формуле

После того как будут найдены находим теоретические частоты для каждого частичного интервала по формуле , где - теоретическая частота i-го интервала. Между теоретическими и эмпирическими частотами могут быть расхождения. Замену эмпирических частот теоретическими называют выравниванием частот статистического ряда.

Составим табл. 8 для вычисления теоретических частот СВ Х.

Для примера вычислений найдем вероятность того , что СВ Х попадет в первый частичный интервал , эта вероятность равна

. Аналогично находим

и т.д. Для вычисления значений функции Ф использовано приложение 1. После этого вычисляют теоретические частоты , например, и т.д. Сумма теоретических частот должно быть равна объему выборки, т.е. . Далее находим значение выборочной статистики или это есть наблюдаемое значение критерия . Затем по таблицам квантилей распределения , по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы (где k - число частичных интервалов, r - число параметров предполагаемого закона распределения СВ X) находят критическое значение , удовлетворяющее условию . При использовании критерия необходимо, чтобы в каждом частичном интервале было не менее 5 элементов. Если же число элементов менее 5, рекомендуется соседние интервалы объединять в один (как это сделано в табл.9). Уменьшенное число частичных интервалов учитывается при нахождении числа степеней свободы .

Составим табл. 9 для вычисления .

Т а б л и ц а 9. Вычисление выборочной статистики CВ Х

Интервалы наблюдаемых значе- ний СВ Х	Эмпирические частоты	Теоретические частоты
0,465-0,675 0,675-0,885 0,885-1,095 1,095-1,305 1,305-1,515 1,515-1,725 1,725-1,935	1 19 18 38 26 11 3 17 3	4,75 20,33 15,58 30,07 29,55 15,40 4,06 20,05 0,59	- 1,33 7,93 - 3,55 - 3,05	1,7689 62,8849 12,6025 9,3025	0,0870 2,0913 0,4264 0,4640
Сумма	100	100

Т а б л и ц а 8. Вычисление теоретических частот СВ Х

Интервалы наблюденных значений СВ Х	Частоты mi	Начало интервала	Конец интервала						Теоретические частоты
0,465-0,675	1	0,465	0,675	-	- 1,67	- 0,5	-0,4525	0,0475	4,75
0,675-0,885	18	0,675	0,885	- 1,67	- 0,83	- 0,4525	-0,2967	0,1558	15,58
0,885-1,095	38	0,885	1,095	- 0,83	0,01	- 0,2967	-0,0040	0,3007	30,07
1,095-1,305	26	1,095	1,305	0,01	0,84	0,0040	0,2995	0,2955	29,55
1,305-1,515	11	1,305	1,515	0,84	1,68	0,2995	0,4535	0,1540	15,40
1,515-1,725	3	1,515	1,725	1,68	2,52	0,4535	0,4941	0,0406	4,06
1,725-1,935	3	1,725	1,935	2,52	+	0,4941	0,5	0,0059	0,59
Сумма	100							1	100

Число степеней свободы По таблице квантилей (приложение 2) по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическое значение Так как то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном законе распределения СВХ. Другими словами расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами являются незначительными, т.е. случайными и предположение о распределении СВ Х по нормальному закону вполне согласуется с эмпирическим распределением выборки.

На рис.5 построены нормальная кривая по найденным теоретическим частотам и полигон эмпирических (наблюдаемых) частот.

4. Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, (при n30) находят по формуле

где квантили нормального распределения находят по таблицам функции Лапласа (приложение 1) из условия - доверительная вероятность, в нашем случае или и Точность оценки математического ожидания (предельная погрешность) есть . Вычислим предельную погрешность Искомый доверительный интервал, накрывающий математическое ожидания СВ Х, равен

Рис. 5.

Смысл полученного результата таков: если будет произведено достаточно большое число выборок по 100 значений СВ Х - стоимости основных производственных фондов, то в 95% из них доверительный интервал накроет математическое ожидание СВ Х и только в 5% случаев математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.

Аналогичным образом выполним это задание для СВ У - стоимость валовой продукции (у. е /га).

1. По виду гистограммы и полигона частостей, а также по значению выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса ( выдвигаем гипотезу о том, что закон распределения СВ У является нормальным.

2. Плотность вероятности предполагаемого нормального закона распределения имеет вид

Функция распределения нормального закона для СВ У есть

3. Вычислим теоретические частоты нормального распределения СВ У для проверки согласия эмпирической функции распределения с теоретической (табл.10).

Далее составим табл. 11 для нахождения выборочной статистики СВ У.

Число степеней свободы . По таблице (приложение 2 ) по уровню значимости находим критическое значение . Так, как , то нет оснований для отклонения гипотезы о нормальном законе распределения СВ У.

На рис. 6 построены эмпирическая и теоретическая кривые распределения.

4. Для нахождения доверительного интервала для оценки математического ожидания СВ У вычислим предельную погрешность , тогда доверительный интервал равен или .

Рис. 6.

Т а б л и ц а 11. Вычисление выборочной статистики СВ У

Интервалы наблюдаемых значе- ний СВ У	Эмпирические частоты	Теоретические частоты
0,39-0,61 0,61-0,83 0,83-1,05 1,05-1,27 1,27-1,49 1,49-1,71 1,71-1,93	14 26 29 18 9 3 13 1	14,01 22,68 29,22 21,79 9,49 2,42 12,3 0,39	- 0,1 3,32 - 0,22 - 3,79 0,7	0,01 11,0224 0,0484 14,3641 0,49	0,0007 0,4860 0,0017 0,6592 0,0398
Cумма	100	100

ЗАДАНИЕ 3. КОРРЕЛЯЦИЯ

1. По результатам задания 1 составить корреляционную таблицу.

2. Найти условные средние , построить точки , и по характеру их расположения подобрать вид функций регрессии.

3. Найти выборочный коэффициент корреляции и сделать вывод о силе корреляционной связи.

4. Найти доверительный интервал, накрывающий коэффициент корреляции генеральной совокупности с заданной доверительной вероятностью .

5. Найти уравнения линий регрессии х на у и у на х и построить их.

Решение типового варианта

Методику выполнения этого задания покажем на примере статистических данных табл.1, где СВ Х - стоимость основных производственных фондов (у. е /га), СВ У - стоимость валовой продукции (у.е/га).

1. Для составления корреляционной таблицы воспользуемся разбиением СВ Х и У на частичные интервалы (табл. 2 и 5). Сделаем подсчет частот системы СВ Х и У, рассматривая каждую пару значений табл.1. Например, первая пара (0,73; 0,60) попадает во вторую строку и первый столбец табл.8 и отмечается черточкой. Вторая пара значений (0,82; 0,61) попадает также во вторую строку и первый столбец, причем, значение 0,61 совпадает с концами интервалов 0,39-0,61 и 0,61-0,83; будем относить это число к тому интервалу, где наблюдается совпадение с правым концом, т.е. к интервалу 0,39-0,61. Третья пара (0,89; 0,95) - третья строка и третий столбец. Таким образом просматриваем все 100 пар значений системы СВ Х и У. В результате получим табл. 12.

Т а б л и ц а 12 .Подсчет частот системы СВ Х и У

У Х	0,39-0,61	0,61-0,83	0,83-1,05	1,05-1,27	1,27-1,49	1,49-1,71	1,71-1,93
0,465-0,675		I 1						1
0,675-0,885	IIIIIIII 8	IIIIII 6	III 3	I 1				18
0,885-1,095	IIIIII 6	IIIIIIIII IIIIII 15	IIIIIIIII IIII 13	III 3	I 1			38
1,095-1,305		IIII 4	IIIIIIIIII 10	IIIIIIIII 9	II 2	I 1		26
1,305-1,515			II 2	III 3	IIII 4	II 2		11
1,515-1,725					II 2		I 1	3
1,725-1,935			I 1	II 2				3
	14	26	29	18	9	3	1	100

Для дальнейших расчетов нужны будут середины интервалов, которые запишем под частичными интервалами.

Т а б л и ц а 10. Вычисление теоретических частот СВ У

Интервалы наблюденных значений СВ У	Частоты mi	Начало ин- тервала	Конец интер-вала						Теоретичес кие час- тоты
0,39-0,61	14	0,39	0,61	-	- 1,8	-0,5	-0,3599	0,1401	14,01
0,61-0,83	26	0,61	0,83	- 1,08	- 0,34	-0,3599	-0,1331	0,2268	22,68
0,83-1,05	29	0,83	1,05	- 0,34	0,41	-0,1331	0,1591	0,2922	29,22
1,05-1,27	18	1,05	1,27	0,41	1,16	0,1591	0,3770	0,2179	21,79
1,27-1,49	9	1,27	1,49	1,16	1,91	0,3770	0,4719	0,0949	9,49
1,49-1,71	3	1,49	1,71	1,91	2,66	0,4719	0,4961	0,0242	2,42
1,71-1,93	1	1,71	1,93	2,66	+	0,4961	0,5	0,0039	0,39
Сумма	100							1	100

В столбце табл.13 записаны суммы частот по строкам, а в строке - суммы частот по столбцам. , где n - объем выборки.

2. Находим условные средние по формуле

;

;

;

Т а б л и ц а 13. Корреляционная таблица системы СВ Х и У

У Х	0,39- 0,61 0,50	0,61- 0,83 0,72	0,83- 1,05 0,94	1,05- 1,27 1,16	1,27- 1,49 1,38	1,49- 1,71 1,60	1,71-1,93 1,82
0,465-0,675 0,57		1						1
0,675-0,885 0,78	8	6	3	1				18
0,885-1,095 0,99	6	15	13	3	1			38
1,095-1,305 1,20		4	10	9	2	1		26
1,305-1,515 1,41			2	3	4	2		11
1,515-1,725 1,62					2		1	3
1,725-1,935 1,83			1	2				3
	14	26	29	18	9	3	1	100

;

;

;

;

.

Результаты вычислений заносим в табл. 14.

Т а б л и ц а 14 . Условные средние

	0,50	0,72	0,94	1,16	1,38	1,60	1,82
	0,87	0,96	1,10	1,25	1,36	1,34	1,62

Каждая пара значений представляет координаты точки. Построив эти точки в системе координат xoy, по их расположению делаем вывод о виде функции регрессии. Из чертежа видно, что расположение точек близко к прямой линии, поэтому можно считать, что зависимость х на у является линейной.

Аналогично находим условные средние по формуле

; ;

;

;

;

;

;

.

Результаты вычислений поместим в табл.15.

Т а б л и ц а 15. Условные средние

	0,57	0,78	0,99	1,20	1,41	1,62	1,83
	0,72	0,68	0,81	1,04	1,28	1,58	1,09

Точки построим на предыдущем чертеже и по их расположению делаем вывод о линейной зависимости у на х. Значит линии регрессии представляют собой прямые (рис.7).

3. Выборочный коэффициент корреляции находим по формуле

,

где из расчетов задания 1 известно, что , , , .

Остается найти . Воспользуемся корреляционной табл.13 и формулой

Рис. 7.

Выборочный коэффициент корреляции

По знаку и величине коэффициента корреляции делаем вывод о связи между СВ X и У: прямая линейная корреляционная зависимость, средняя связь.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает процент влияния СВ X на СВ У.

В нашем случае коэффициент детерминации равен

.

Вывод: примерно 42% составляет влияние стоимости основных производственных фондов на стоимость валовой продукции. Остальные 58% обусловлены влиянием других факторов.

4. Доверительный интервал для коэффициента корреляции генеральной совокупности с заданной доверительной вероятностью находится по формуле

где находится, используя функцию Лапласа: , т.е. 0,95=Ф(t0,95). По значению функции Лапласа 0,95, по приложению 1 находим значение t0,95 = 1,96.

Подставим имеющиеся данные в формулу доверительного интервала: имеем .

В результате вычислений получим доверительный интервал .

Вывод: если рассматривать большое число выборок системы СВ Х и У и для каждой из них найти коэффициент корреляции , то примерно в 95% из них доверительный интервал накроет коэффициент корреляции генеральной совокупности и только в 5% случаев может выйти за границы этого интервала.

5. Найдем линейные уравнения функций регрессии. Уравнение регрессии у на х имеет вид: Подставляем имеющиеся данные: имеем

преобразуя, получим

Аналогично составим уравнение регрессии x на y.

Построим эти прямые на чертеже (рис.7), учитывая, что они проходят через точку

ЗАДАНИЕ 4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

На основании опытных данных х и у требуется:

1) построить точки и по точечной диаграмме определить вид эмпирической функции;

2) найти параметры эмпирической функции методом наименьших квадратов;

3) построить график эмпирической функции на точечной диаграмме;

4) выполнить эту работу на ЭВМ.

Решение типового варианта

Методику выполнения этого задания покажем на примере опытных данных, приведенных в табл. 16, где х- количество внесенных удобрений определенного вида на 1 га; у - урожайность ячменя, ц/га.

Т а б л и ц а 16. Опытные данные урожайности ячменя и количества внесенных удобрений

№ п. п.	Хі	Уі
1	0	21,5
2	0	22,3
3	0,3	24,5
4	0,3	25,7
5	0,6	28,7
6	0,6	27,5
7	0,9	28,3
8	0,9	29,5
9	1,2	30,8
10	1,2	31,6
11	1,5	32,3
12	1,5	33,7

1. Опытные данные представляют собой пары чисел , которые являются координатами точек на плоскости . Построив их, получим точечную диаграмму (рис.8).

По расположению точек на плоскости делаем вывод, что зависимость между количеством внесенных удобрений и урожайностью ячменя линейная и эмпирическую функцию будем искать в виде , где а и b - неизвестные параметры.

2. Находим параметры а и b методом наименьших квадратов. Для этого заполняем расчетную табл. 17.

Т а б л и ц а 17. Расчетные данные для определения параметров а и b

№ п.п.	хі	уі	хі2	хі уі	ур	Контроль
1	0	21,5	0	0	22,7	1,20	1,44
2	0	22,3	0	0	22,7	0,40	0,16
3	0,3	24,5	0,09	7,35	24,83	0,33	0.1089
4	0,3	25,7	0,09	7,71	24,83	-0,87	0,7569
5	0,6	28,7	0,36	17,22	26,96	-1,74	3,0276
6	0,6	27,5	0,36	16,50	26,96	-0,54	0,2916
7	0,9	28,3	0,81	25,47	29,09	0,79	0,6241
8	0,9	29,5	0,81	26,55	29,09	-0,41	0,1681
9	1,2	30,8	1,44	36,96	31,22	0,42	0,1764
10	1,2	31,6	1,44	37,92	31,22	-0,38	0,1444
11	1,5	32,3	2,25	48,45	33,35	1,05	1,1025
12	1,5	33,7	2,25	50,55	33,35	-0,35	0,1225
	9,0	336,4	9,9	274,68		-0,1	8,123

Результаты вычислений табл. 17 подставим в нормальную систему

и получим систему .

Решив ее, найдем параметры a и b, а=7,1, b=22,7. Подставим эти значения в уравнение и получим уравнение эмпирической функции

3. Строим график полученной прямой на точечной диаграмме (рис. 8).

Рис. 8.

Для выполнения этой работы на ЭВМ параметры а и b линейной эмпирической функции можно находить по следующим формулам:

Расчет по методу наименьших квадратов в Excel может быть выполнен в следующей последовательности:

1) в ячейки А5:А16 ввести значения х, а в ячейки В5:В16 - значения

у;

2) в ячейку С5 ввести формулу =А5Л2 и копировать ее в ячейки C6.CI6;

3) в ячейку D5 ввести формулу =А5*В5 и копировать ее в ячейки D6:D16;

4) в ячейку AI8 ввести формулу =СРЗНАЧ(А5:А16) и копировать ее в ячейки D18:D18;

5) в ячейку В19 ввести формулу =(DI8-A18*B18)/(C18-AI8A2), а в ячейку В20 формулу =В 18-В 19*А18;

6) в ячейку Е5 ввести формулу ~"В$19*А5+В$20 и копировать ее в ячейки E6:EI6;

7) в ячейку F5 ввести формулу =Е5-В5 и копировать ее в ячейки F6:F16, а в ячейку G5 формулу =F5A2 и копировать ее в ячейки G6:G16.

Для построения графика с помощью Мастера диаграмм выбрать точечную диаграмму и указать данные в ячейках А5:В16, Е5:Е16. На построенном графике можно указать заголовок и другие надписи.

ПРИЛОЖЕНИЯ

П р и л о ж е н и е 1

Значения функции

х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
0,00	0,0000	0,39	0,1517	0,78	0,2823	1,17	0,3790
0,01	0,0040	0,40	0,1554	0,79	0,2852	1,18	0,3810
0,02	0,0080	0,41	0,1591	0,80	0,2881	1,19	0,3830
0,03	0,0120	0,42	0,1628	0,81	0,2910	1,20	0,3849
0,04	0,0160	0,43	0,1664	0,82	0,2939	1,21	0,3869
0,05	0,0199	0,44	0,1700	0,83	0,2967	1,22	0,3883
0,06	0,0239	0,45	0,1736	0,84	0,2995	1,23	0,3907
0,07	0,0279	0,46	0,1772	0,85	0,3023	1,24	0,3925
0,08	0,0319	0,47	0,1808	0,86	0,3051	1,25	0,3944
0,09	0,0359	0,48	0,1884	0,87	0,3078	1,26	0,3962
0,10	0,0398	0,49	0,1879	0,88	0,3106	1,27	0,3980
0,11	0,0438	0,50	0,1915	0,89	0,3133	1,28	0,3839
0,12	0,0478	0,51	0,1950	0,90	0,3159	1,29	0,4015
0,13	0,0517	0,52	0,1985	0,91	0,3186	1,30	0,4032
0,14	0,0557	0,53	0,2019	0,92	0,3212	1,31	0,4049
0,15	0,0596	0,54	0,2954	0,93	0,3238	1,32	0,4066
0,16	0,0636	0,55	0,2088	0,94	0,3264	1,33	0,4082
0,17	0,0675	0,56	0,2123	0,95	0,3289	1,34	0,4099
0,18	0,0714	0,57	0,2157	0,96	0,3315	1,35	0,4115
0,19	0,0753	0,58	0,2190	0,97	0,3340	1,36	0,4131
0,20	0,0793	0,59	0,2224	0,98	0,3365	1,37	0,4147
0,21	0,0832	0,60	0,2257	0,99	0,3389	1,38	0,4162
0,22	0,0871	0,61	0,2291	1,00	0,3413	1,39	0,4177
0,23	0,0910	0,62	0,2324	1,01	0,3438	1,40	0,4192
0,24	0,0948	0,63	0,2357	1,02	0,3461	1,41	0,4207
0,25	0,0987	0,64	0,2389	1,03	0,3485	1,42	0,4222
0,26	0,1026	0,65	0,2422	1,04	0,3508	1,43	0,4236
0,27	0,1064	0,66	0,2454	1,05	0,3531	1,44	0,4251
0,28	0,1103	0,67	0,2486	1,06	0,3554	1,45	0,4265
0,29	0,1141	0,68	0,2517	1,07	0,3577	1,46	0,4279
0,30	0,1179	0,69	0,2549	1,08	0,3599	1,47	0,4292
0,31	0,1217	0,70	0,2580	1,09	0,3621	1,48	0,4306
0,32	0,1255	0,71	0,2611	1,10	0,3643	1,49	0,4313
0,33	0,1293	0,72	0,2642	1,11	0,3665	1,50	0,4332
0,34	0,1331	0,73	0,2673	1,12	0,3686	1,51	0,4335
0,35	0,1368	0,74	0,2703	1,13	0,3708	1,52	0,4357
0,36	0,1406	0,75	0,2734	1,14	0,3729	1,53	0,4370
0,37	0,1443	0,76	0,2764	1,15	0,3749	1,54	0,4382
0,38	0,1480	0,77	0,2794	1,16	0,3770	1,55	0,4394
х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)	х	Ф(х)
1,56	0,4406	1,82	0,4656	2,16	0,4846	2,68	0,4963
1,57	0,4418	1,83	0,4664	2,18	0,4854	2,70	0,4965
1,58	0,4429	1,84	0,4671	2,20	0,4861	2,72	0,4967
1,59	0,4441	1,85	0,4678	2,22	0,4868	2,74	0,4969
1,60	0,4452	1,86	0,4686	2,24	0,4875	2,76	0,4971
1,61	0,4463	1,87	0,4693	2,26	0,4881	2,78	0,4973
1,62	0,4474	1,88	0,4699	2,28	0,4887	2,80	0,4974
1,63	0,4484	1,89	0,4706	2,30	0,4893	2,82	0,4976
1,64	0,4495	1,90	0,4713	2,32	0,4898	2,84	0,4977
1,65	0,4505	1,91	0,4719	2,34	0,4904	2,86	0,4979
1,66	0,4515	1,92	0,4726	2,36	0,4909	2,88	0,4980
1,67	0,4525	1,93	0,4732	2,38	0,4913	2,90	0,4981
1,68	0,4535	1,94	0,4738	2,40	0,4918	2,92	0,4982
1,69	0,4545	1,95	0,4744	2,42	0,4922	2,94	0,4984
1,70	0,4554	1,96	0,4750	2,44	0,4927	2,96	0,4985
1,71	0,4564	1,97	0,4756	2,46	0,4931	2,98	0,4986
1,72	0,4573	1,98	0,4761	2,48	0,4934	3,00	0,49865
1,73	0,4582	1,99	0,4767	2,50	0,4938	3,20	0,49931
1,74	0,4591	2,00	0,4772	2,52	0,4941	3,40	0,49966
1,75	0,4599	2,02	0,4783	2,54	0,4945	3,60	0,499841
1,76	0,4608	2,04	0,4793	2,56	0,4948	3,80	0,499928
1,77	0,4616	2,06	0,4803	2,58	0,4951	4,00	0,499968
1,78	0,4625	2,08	0,4812	2,60	0,4953	4,50	0,499997
1,79	0,4633	2,10	0,4821	2,62	0,4956	5,00	0,499999
1,80	0,4641	2,12	0,4830	2,64	0,4959
1,81	0,4649	2,14	0,4838	2,66	0,4961

П р и л о ж е н и е 2

Критические точки распределения Пирсона (хи-квадрат)

Число степеней свободы	Уровень значимости
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,89
1	6,6	5,0	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
2	9,2	7,4	6,0	0,103	0,051	0,020
3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554
6	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
7	18,5	16,0	14,1	2,17	1,69	1,24
8	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
9	21,7	19,0	16,9	3,33	2,70	2,09
10	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
11	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
12	26,2	23,3	21,0	5,23	4,40	3,57
13	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
14	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
15	30,6	27,5	25,0	7,26	6,26	5,23
16	32,0	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
17	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
18	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
19	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
20	37,7	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
21	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,90
22	40,3	36,8	33,9	12,3	11,0	9,54
23	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
24	43,0	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
25	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
26	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
27	47,0	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
28	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
29	49,6	45,7	42,6	17,7	16,0	14,3
30	50,9	47,0	43,8	18,5	16,8	15,0

П р и л о ж е н и е 3

Некоторые показатели производства в колхозах

№ п.п.	Площадь пашни, га	Балл пашни	Стоимость валовой продук- ции, у.е/га	Стоимость основных производст- венных фондов, у.е/.га	Стои- мость оборот- ных фондов у.е/га	Средне- годовое число работни- ков, чел/га
1	3243	39	0,912	1,078	0,583	0,148
2	2203	44	0,982	1,031	0,687	0,122
3	1505	42	0,619	0,820	0,440	0,134
4	2400	45	1,459	1,879	1,301	0,166
5	2049	47	1,457	1,776	1,256	0,155
6	3048	46	0,988	1,185	0,756	0,146
7	3124	45	0,684	0,900	0,424	0,142
8	2910	41	0,470	0,620	0,363	0,135
9	2540	42	0,661	0,878	0,531	0,149
10	2246	44	0,526	0,797	0,603	0,131
11	1129	45	0,706	0,939	0,429	0,153
12	1172	45	0,640	0,778	0,567	0,149
13	1646	42	0,668	0,816	0,494	0,148
14	2356	43	0,628	0,794	0,362	0,124
15	2914	41	0,412	0,599	0,309	0,115
16	3621	38	0,599	0,672	0,426	0,106
17	2421	42	0,610	0,995	0,419	0,141
18	1155	50	1,580	1,513	1,341	0,202
19	1566	42	0,684	0,744	0,345	0,107
20	1938	42	0,486	0,867	0,349	0,096
21	2305	46	0,815	0,913	0,450	0,167
22	2057	51	1,074	1,279	0,686	0,275
23	1393	44	0,777	1,094	0,494	0,211
24	1333	46	1,136	1,556	0,714	0,224
25	1422	52	0,944	0,786	0,532	0,146
26	1240	44	1,233	1,452	1,004	0,217
27	2232	50	0,931	1,111	0,302	0,182
28	2110	48	0,938	1,178	0,577	0,182
29	2722	46	0,769	0,829	0,461	0,186
30	2379	41	0,813	1,167	0,751	0,201
31	3393	51	1,926	1,439	1,111	0,261
32	1730	49	0,831	0,928	0,426	0,141
33	2051	47	0,968	0,745	0,623	0,158
34	1834	44	0,886	1,013	0,786	0,204
35	3129	48	1,501	1,250	1,034	0,234
36	2597	52	1,642	1,489	0,946	0,164
37	1785	46	0,764	0,999	0,606	0,200
38	3216	46	0,775	0,853	0,525	0,145
39	2252	46	0,798	0,963	0,502	0,163
40	2415	49	0,600	0,800	0,469	0,172
41	1014	47	1,100	1,258	0,781	0,221
42	1625	48	0,598	0,733	0,378	0,127
43	2691	43	0,606	0,818	0,685	0,110
44	2041	51	0,952	0,889	0,508	0,195
45	3283	47	1,223	1,785	0,597	0,213
46	1835	46	0,875	1,412	0,599	0,161
47	1740	40	0,582	0,795	0,748	0,134
48	1018	31	0,498	0,832	0,652	0,240
49	2073	45	0,695	0,565	0,372	0,113
50	2533	47	0,773	1,150	0,530	0,184
51	2699	54	1,409	1,413	0,724	0,192
52	1134	49	0,915	1,345	1,099	0,229
53	1638	46	0,564	0,974	0,693	0,105
54	1964	46	0,671	0,924	0,486	0,114
55	2020	42	0,580	0,781	0,463	0,137
56	4367	53	0,866	0,974	0,352	0,092
57	3425	52	1,248	1,130	0,817	0,149
58	1234	46	1,048	1,159	0,925	0,152
59	1690	45	1,009	1,269	0,834	0,172
60	4341	46	0,944	0,927	0,516	0,141
61	1661	44	0,875	1,124	0,591	0,146
62	2215	46	1,148	1,244	0,632	0,202
63	2784	48	0,926	1,044	0,361	0,173
64	1788	47	0,601	0,952	0,444	0,167
65	1641	46	0,692	0,961	0,354	0,124
66	1684	40	0,685	1,078	0,461	0,135
67	2051	42	0,836	1,265	0,471	0,162
68	1190	46	1,042	1,808	0,701	0,187
69	1717	44	1,132	1,793	0,812	0,189
70	3648	46	1,204	1,325	0,823	0,227
71	3819	44	1,098	1,048	0,934	0,203
72	2745	48	0,695	0,854	0,564	0,152
73	2222	39	0,750	0,988	0,402	0,164
74	2904	47	0,985	1,115	0,615	0,149
75	2652	39	0,575	0,894	0,483	0,111
76	3758	46	0,666	0,854	0,569	0,122
77	2127	45	1,501	1,482	0,931	0,250
78	2805	49	1,482	1,389	0,805	0,235
79	2695	44	0,888	0,964	0,707	0,141
80	2330	50	1,250	1,285	0,842	0,268
81	3142	39	0,814	0,956	0,615	0,139
82	2103	43	1,169	1,281	0,871	0,208
83	1515	49	1,418	1,525	0,625	0,175
84	3453	55	1,812	1,682	0,894	0,191
85	2409	44	1,508	1,427	0,932	0,203
86	2149	53	1,167	0,994	0,634	0,233
87	3124	48	0,946	1,185	0,901	0,129
88	3048	50	0,981	1,047	0,731	0,162
89	2850	44	0,794	0,936	0,398	0,103
90	2504	45	0,911	0,872	0,556	0,141
91	2108	40	1,095	1,218	0,729	0,182
92	1131	45	1,225	1,289	0,670	0,114
93	1270	54	0,990	1,103	0,575	0,095
94	1184	48	0,869	1,073	0,625	0,114
95	1687	47	1,111	1,197	0,832	0,231
96	2358	52	1,108	0,971	0,592	0,197
97	2815	46	1,078	1,341	0,784	0,202
98	3609	50	1,395	1,538	1,256	0,204
99	2621	55	1,512	1,282	1,301	0,224
100	1189	41	0,864	1,209	0,865	0,142
101	1467	32	0,615	0,993	0,569	0,098
102	1839	37	0,562	0,853	0,440	0,119
103	2530	51	0,834	0,797	0,602	0.171
104	2075	43	0,752	1,068	0,587	0,194
105	1339	45	0,881	0,938	0,492	0,201
106	1242	49	0,926	0,876	0,462	0,125
107	1420	47	1,157	1,362	0,624	0,172
108	2322	54	1,389	1,243	1,134	0,221
109	2010	48	0,773	0,890	0,525	0,123
110	2272	50	0,826	0,769	0,494	0,132
111	2739	34	0,741	1,102	0,502	0,118
112	1370	33	0,525	0,679	0,425	0,109
113	2150	42	0,824	0,891	0,440	0,152
114	3933	55	1,404	1,272	0,781	0,178
115	1483	51	1,289	1.325	0,835	0,181
116	3219	38	0,648	0,918	0,474	0,110
117	1875	46	0,577	0,934	0,447	0,135
118	3126	49	0,803	1,161	0,745	0,158
119	2522	49	0,932	1,044	0,634	0,168
120	2145	42	0,621	0,981	0,415	0,142
121	1104	50	1,089	0,882	0,428	0,153
122	1265	49	1,440	1,392	0,905	0,149
123	2401	43	1,120	1,210	0,834	0,137
124	3183	51	1,325	1,055	0,792	0,179
125	1583	48	0,902	0,795	0,375	0,124
126	3142	40	0,608	0,924	0,724	0,156
127	2302	43	0,631	1,082	0,532	0,172
128	1505	43	0,894	0,975	0,615	0,142
129	2752	44	1,016	1,098	0,813	0,154
130	2094	48	0,682	0,737	0,546	0,147
131	3084	47	0,752	1,121	0,697	0,172
132	3142	46	0,894	0,952	0,749	0,143
133	2019	46	0,915	1,058	0,851	0,127
134	2405	43	0,578	0,723	0,482	0,114
135	2264	46	1,129	1,207	0,929	0,121
136	1291	47	0,667	0,831	0,475	0,195
137	1127	43	0,781	0,909	0,685	0,215
138	1464	44	0,656	0,975	0,565	0,174
139	2536	45	0,930	1,205	0,839	0,146
140	2419	40	0,594	0,935	1,034	0,085
141	3261	42	0,864	1,018	0,684	0,152
142	2241	41	0,543	0,833	0,453	0,163
143	1515	52	1,734	1,573	1,252	0,220
144	1615	40	0,724	1,085	0,605	0,135
145	1839	44	0,698	0,877	0,527	0,131
146	2509	44	0,491	0,656	0,511	0,127
147	2075	53	1,905	1,832	1,304	0,254
148	1402	42	1,156	1,243	1,003	0,183
149	1731	48	1,263	1,389	0,927	0,207
150	1248	44	0,871	1,187	0,718	0,134
151	1420	47	0,888	0,871	0,602	0,111
152	2184	48	0,935	1,405	0,753	0,108
153	2019	49	1,481	1,563	0,989	0,213
154	2272	46	0,965	1,218	0,781	0,152
155	2793	45	1,368	1,237	0,835	0,162
156	3180	51	1,097	1,034	0,653	0,149
157	1375	47	1,129	1,275	0,842	0,208
158	2105	46	0,865	1,043	0,836	0,087
159	1643	40	0,657	0,649	0,473	0,128
160	3219	32	0,624	0,817	0,524	0,143
161	2608	47	1,327	1,451	0,999	0,137
162	1874	45	0,639	0,789	0,537	0,152
163	3126	54	1,234	1,297	0,907	0,169
164	2514	49	0,791	0,981	0,652	0,195
165	1094	47	0,654	0,890	0,517	0,157
166	1568	45	0,684	0,777	0,534	0,135
167	2916	53	0,876	1,168	0,609	0,093
168	2140	52	1,134	1,241	0,917	0,179
169	3382	46	0,941	1,150	0,824	0,152
170	1798	39	0,781	0,848	0,608	0,157

П р и л о ж е н и е 4

гипотеза статистический квадрат наименьший

Опытные данные для метода наименьших квадратов

Даны результаты наблюдений: Х - количество внесенных азотных удобрений или норма полива; У- урожайность ячменя.

1. Ячмень сорта Мами, Р60, К60.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	22,0	24,0	29,0	28,0	37,0	39,0	42,0	44,0	40,0	42,0	47,0	45,0

2. Ячмень сорта Мами, Р60, К90.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	26,0	29,0	39,0	41,0	41,0	42,5	46,0	43,0	41,0	47,0	44,0	41,0

3. Ячмень сорта Московский 121, Р60, К60.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	35,0	34,0	40,0	41,0	49,0	51,0	48,0	50,0	51,0	54,0	54,0	53,0

4. Ячмень сорта Московский 121, Р60, К90.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	34,0	36,0	52,0	48,0	49,0	51,0	54,0	53,0	57,0	55,0	51,0	53,0

5. Ячмень сорта Московский 121, Р90, К120.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	37,0	38,0	53,0	50,0	55,0	53,0	51,0	53,0	54,0	52,0	52,0	55,0

6. Ячмень сорта Эльгина, Р60, К60.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	36,0	34,0	43,0	39,0	49,0	48,0	49,0	48,0	52,0	50,0	52,0	51,0

7. Ячмень сорта Эльгина, Р60, К90.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	35,0	34,0	41,0	42,0	52,0	49,0	49,0	51,0	51,0	52,0	54,0	56,0

8. Ячмень сорта Эльгина, Р90, К120.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	39,0	38,0	43,0	45,0	51,0	54,0	50,0	52,0	52,0	54,0	52,0	53,0

9. Ячмень сорта Мами, Р90, К120.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	30,0	29,0	44,0	41,0	43,0	42,0	45,0	47,0	44,0	46,0	47,0	46,0

10. Ячмень сорта Мами, Р60, К60.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	22,8	20,6	25,5	26,4	27,4	29,0	27,3	27,7	23,6	31,8	32,5	32,1

11. Ячмень сорта Мами, Р60, К90.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	23,6	22,0	24,5	27,8	27,5	29,8	28,3	29,5	30,8	32,4	32,4	33,9

12. Ячмень сорта Мами, Р90, К120.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	23,2	24,4	26,3	26,4	30,0	28,6	30,7	31,1	32,5	31,8	32,7	35,0

13. Ячмень сорта Эльгина, Р60, К60.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	24,5	21,4	25,4	26,4	26,9	28,4	27,5	28,5	33,5	30,5	33,4	31,4

14. Ячмень сорта Надя, Х- норма полива в % ППВ, N150, P150, К130.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	27,4	26,2	29,4	30,0	33,0	34,0	36,3	37,1	40,2	40,8	41,6	41,4

15. Ячмень сорта Эльгина, Р90, К120.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	24,2	26,0	26,8	27,0	29,5	26,7	30,4	29,2	34,5	31,5	33,7	33,9

16. Ячмень сорта Московский 121, Р0, К0.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	11,4	14,2	21,2	20,4	22,4	23,0	25,0	27,0	29,5	30,5	30,4	31,6

17. Ячмень сорта Московский 121, Р60, К60.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	22,3	22,5	26,3	28,1	28,6	28,2	29,3	30,7	31,6	31,0	32,5	31,5

18. Ячмень сорта Московский 121, Р60, К90.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	24,6	25,4	27,9	26,9	28,6	30,0	30,3	31,5	32,5	30,5	31,6	32,8

19. Ячмень сорта Московский 121, Р90, К120.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	26,3	24,5	26,5	28,4	28,8	31,2	31,4	31,8	32,4	33,0	34,2	33,2

20. Ячмень сорта Эльгина, Р0, К0.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	13,6	14,4	20,3	19,3	22,9	23,1	25,6	24,4	28,8	28,6	29,4	30,6

21. Ячмень сорта Мами, Р0, К0.

Х	0	0	30	30	60	60	90	90	120	120	150	150
У	11,4	13,2	20,3	22,7	24,6	23,0	25,0	26,0	30,1	32,3	33,5	32,1

22. Ячмень сорта Надя, Х- норма полива , % ППВ (полная полевая влагоемкость) , N90, P90, К90.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	23,0	21,6	25,6	24,8	27,2	28,0	31,0	30,2	31,6	32,0	34,6	34,2

23. Ячмень сорта Надя, Х- норма полива , % ППВ, N150, P150, К130.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	23,2	24,0	26,4	25,4	28,6	29,8	32,0	33,4	36,5	35,9	40,7	39,5

24. Ячмень сорта Надя, Х- норма полива , % ППВ, N250, P250, К210.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	26,2	24,4	27,0	28,4	31,2	32,6	34,2	36,4	37,1	39,5	40,0	42,4

25. Ячмень сорта Мами, Х- норма полива , % ППВ, N90, P90, К 90.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	20,2	20,8	24,0	24,4	27,3	28,9	31,5	31,3	33,8	34,2	34,4	34,6

26. Ячмень сорта Мами, Х- норма полива , % ППВ, N150, P150, К 130.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	22,9	24,9	26,0	26,6	30,8	29,6	32,8	33,6	36,7	36,5	39,1	39,5

27. Ячмень сорта Мами, Х- норма полива , % ППВ, N250, P250, К 250.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	25,2	26,4	28,0	28,4	29,2	33,0	34,5	35,3	37,1	38,1	39,5	40,1

28. Ячмень сорта Надя, Х- норма полива , % ППВ, N90, P90, К 90.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	25,6	24,4	27,5	28,1	30,2	30,6	32,6	33,4	35,2	34,8	36,8	36,4

29. Ячмень сорта Мами, Х- норма полива , % ППВ, N150, P130, К 90.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	22,1	24,2	23,8	25,6	27,1	28,3	29,8	31,9	32,4	35,7	36,5	40,1

30. Ячмень сорта Надя, Х- норма полива , % ППВ, N150, P150, К 150.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	24,3	22,5	26,1	27,3	26,8	29,5	30,4	32,8	31,5	36,0	40,3	39,1

31. Ячмень сорта Мами, Х- норма полива , % ППВ, N100, P100, К 100.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	23,5	24,0	25,1	24,8	26,9	27,3	28,0	27,8	30,4	32,8	31,5	33,0

32. Ячмень сорта Надя, Х- норма полива , % ППВ, N120, P100, К 120.

Х	0	0	15	15	30	30	45	45	60	60	75	75
У	25,1	26,2	24,3	27,8	29,7	30,1	28,4	29,8	32,0	33,4	32,8	35,0

Размещено на Allbest.ru