Принцип вычитания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники:

«Около школы посадили 8 деревьев- берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?»

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из 8 вычесть 3: 8-3=5. Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие? Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком.

Среди посаженных деревьев 3 березы - на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья - рябины. Их столько, сколько будет , если из 8 вычесть 3, т.е. 5.

Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого подмножества, т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнения подмножества.

Определение. Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется число элементов в дополнении множества B до множества А при условии, что n (A)= a, n (B)=b и B A:

a-b=n (A\B)

где a=n (A), b= n (B), B A

Пример: Объясним, используя данное определение, что 7-4=3. 7- это число элементов некоторого множества A, 4- элементов множества B, которое является подмножеством множества A. Возьмем, например, множества A= х, у, z, t, p, r, s , B= x, y, z, t . Найдем дополнение множества В до множества А: А p, r, s . Получаем, что n (А\В)=3. Следовательно, 7-4=3.

Очевидно, в качестве таких множеств А и В, что n (А)=7, n(В)=4 и В А, можно было выбрать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность a-b не зависит от выбора множеств А и В, удовлетворяющих условиям n(А)= a, n(В)=b и ВА.

Но всегда ли существует разность целых неотрицательных чисел?

Из того, что ВА, следует, что n(В) ? n(А). Значит, разноcть a-b целых неотрицательных чисел a и b, таких, что a=n(A), b=n(B) и ВА, существует только тогда, когда b ? a. вычитание сложение множество число

Действие, при помощи которого находят разность a-b, называется вычитанием, число а - уменьшаемым, число b - вычитаемым.

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обращаемся к сложению.

Почему? Очевидно потому, что существует связь между действиями вычитания и сложения.

Пусть даны целые неотрицательные числа a и b, такие, что a=n(A), b=n(B) и ВА, и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества В до множества А, т.е.

a - b=n(A\B).

На кругах Эйлера множества А, В, А\В изображаются так:

Известно, что

А=В ? (А\В)

n(A)=n(В ? (А\В)).

Так как В ? (А\В)= ш, то имеем

n(A)=n (B ?(A\B))=n (B)+n (A\B)=b+ (a-b).

Следовательно, получаем, что а=b+(a-b), т.е. разность а-b есть такое число, сумма которого и числа b равна числу а.

Установленный факт дает возможность по-другому дать определение разности.

Определение. Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа b равна а.

Мы показали, что из определения разности целых неотрицательных чисел как числа элементов дополнения одного множества до другого вытекает ее определение через сумму. Можно доказать и обратное утверждение.

Говорят, что действие вычитания является обратным сложению.

Докажем, исходя из второго определения разности, следующие теоремы:

Теорема. Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b ? a.

Доказательство. Если а = b, то а - b = 0, и, следовательно, разность а - b существует.

Если b<а, то по определению отношения «меньше» существует такое натуральное число с, что а = b+с. Тогда по определению разности с = а - b, т.е. разность а - b существует.

Если разность а - b существует, то по определению разности найдется такое целое неотрицательное число с, что а = b + с. Если с = 0, то а = b; если с>0, то b<а по определению «меньше». Итак, b?а.

Теорема. Ели разность целых неотрицательных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предложим, что существуют два значения разности а - b; а - b=c₁ и а - b=с₂ . Тогда по определению разности имеем

а = b+c₁ и а = b+с₂ .

b+с₁ = b+с₂ и, значит, с₁ = с₂ .

В начальном курсе математики первоначально вычитание целых неотрицательных чисел рассматривается на основе практических упражнений, связанных с выделением подмножества данного множества и образованием нового множества - дополнения выделенного подмножества. При этом теоретико-множественная терминология и символика не используется. Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла вычитания является решение простых задач.

Суть решения одной такой задачи проанализирована в начале пункта.

Связь вычитания со сложением устанавливается при изучении темы « Как найти неизвестное слагаемое». Определение понятия вычитания как действия, обратного сложению, в явном виде не дается, но подчеркивается, что «вычитание связано со сложением: вычесть из числа 40 число 16 - значит найти такое число, которое при сложении его с числом 16 дает в сумме 40. Это число 24. Значит, 40 - 16 = 24».

Размещено на Allbest.ru