Определённый интеграл
Характеристика предела интегральной суммы функции, когда число частичных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю. Рассмотрение алгоритма вычисления определённого интеграла. Последствия замены переменной в интеграле.
| Рубрика | Математика |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.04.2015 |
| Размер файла | 41,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Определённый интеграл
Пусть на отрезке [a; b], (всюду ) определена непрерывная ограниченная функция f(x). Произвольным образом разобьем отрезок [a; b] на n отрезков точками . . Полученные отрезки , ,…, будем называть частичными. Длину k-го частичного отрезка , , обозначим . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку , (рис. 1) и вычислим значение функции в этой точке, т. е. .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.1
Для каждого k, , найдём произведение и составим сумму:
(1)
Сумма (1) называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a; b].
Определённым интегралом от функции f(x) в промежутке [a; b] называется предел её интегральной суммы, когда число частичных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:
.
интегральный переменный ноль отрезок
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования, отрезок [a; b] - отрезком интегрирования.
Функция f(x), для которой существует предел интегральной суммы, называется интегрируемой на отрезке.
Классы интегрируемых функций:
1) непрерывная на отрезке [a; b] функция интегрируема;
2) ограниченная на отрезке [a; b] функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва, интегрируема;
3) монотонная ограниченная функция интегрируема.
Свойства определенного интеграла.
1. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .
2. Определённый интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю: .
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак: .
4. свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула: .
5. свойство линейности: .
Вычисление определённого интеграла.
1. Формула Ньютона - Лейбница: , где F(x) - первообразная для f(x).
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. .
2. Замена переменной: пусть f(x) - непрерывная на отрезке [a;b] функция, а функция и ее производная непрерывны на отрезке , где , . Тогда справедлива формула:.
Вместе с заменой переменной в определенном интеграле заменяются пределы интегрирования.
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Используем метод замены переменной. Положим . Тогда .
Находим новые пределы интегрирования, используя равенство замены переменной: если , то ; если , то .
Получим:=.
3. Интегрирование по частям: пусть u(x) и v(x) - непрерывные функции, которые имеют непрерывные производные на отрезке [a;b]. Тогда справедлива формула интегрирования по частям: .
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение.
.
Задачи для самостоятельного решения.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ;
11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. .
Домашнее задание.
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. ; 7. .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Изучение понятия интегральной суммы. Верхний и нижний пределы интегрирования. Анализ свойств определенного интеграла. Доказательство теоремы о среднем. Замена переменной в определенном интеграле. Производная от интеграла по переменной верхней границе.
презентация [487,1 K], добавлен 11.04.2013Формула замены переменной в двойном интеграле. Понятие якобиана перехода и особенности его расчета. Анализ примеров вычисления двойного интеграла с ограниченной линиями (осью и верхней полуокружностью) интегральной областью. Введение новых переменных.
презентация [107,2 K], добавлен 17.09.2013Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.
контрольная работа [345,3 K], добавлен 22.08.2009Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, его компоненты, свойства. Вычисление определённого интеграла; формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения: площадь, длина дуги, объем тела вращения.
презентация [308,0 K], добавлен 30.05.2013Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования.
презентация [64,2 K], добавлен 18.09.2013Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат [576,4 K], добавлен 30.10.2010Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных f(x, y) по плоской кривой АВ. Ознакомление с понятием криволинейного интеграла первого рода. Представление формулы расчета криволинейного интеграла по пространственной кривой.
презентация [306,9 K], добавлен 17.09.2013Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009
