Аналитическая геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа №1

вектор аффинный инвариантный фокальный

1. Найдите угол между единичными векторами и , если известно, что векторы

взаимноортогональны.

2. Найдите синус угла между векторами и , если , , .

3. Найдите площадь треугольника, построенного на векторах

где и взаимноортогональные векторы и .

4. Найдите вектор , удовлетворяющий условиям

.

5. Можно ли в качестве базиса взять векторы ?

6. Найдите длину высоты параллелепипеда , проведенной из вершины на грань , если , , , .

Решения

1. Находим скалярное произведение векторов:

.

.

Векторы и - единичные, т.е.

.

Имеем

;

.

Но

Угол между векторами и равен 180°,

2. Найдем

.

Пусть - это угол между векторами и .



.

Вычислим

, , . , .

3. Векторы и удовлетворяют условиям

, .

.

,

.

где - угол между векторами и . А так как векторы и образуют ортогональный базис, то и , а их векторное произведение

;

; (ед.кв.).

4. Пусть вектор имеет координаты . Условие

дает нам (т.к. )

.

Отсюда . Ответ: .

5. Векторы можно взять в качестве базиса, если они не компланарны, т.е. их смешанное произведение . Вычислим смешанное произведение

.

Значит эти векторы компланарны и их нельзя взять в качестве базиса в пространстве.

6. Найдем объем параллелепипеда построенного на векторах , и . Он равен модулю смешанного произведения этих векторов: . Найдем

.

(ед.куб.) Находим площадь основания

.

. .

(ед.кв.). (ед.лин.)

Контрольная работа №2

1. Две стороны квадрата лежат на прямых

Вычислить его площадь.

2. Через точку провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между двумя данными прямыми

делился в точке пополам.

3. Через точку провести две плоскости: одна из них содержит ось Ох, а другая - ось Oy. Вычислить угол между этими плоскостями.

4. Написать уравнение перпендикуляра, проведенного из точки на прямую

5. Найти ортогональную проекцию прямой

на плоскость

Решения

1. На прямой

возьмем любую точку. Ее расстояние до прямой

и даст длину стороны искомого квадрата.

Такой точкой является . Расстояние от А до второй прямой находим по формуле:

.

В нашем случае . (ед.кв.).

2. Пусть искомая прямая пересекает прямую

в точке , а прямую

в точке . Тогда для нахождения координат точек А и В у нас есть четыре уравнения:

Точка А лежит на прямой

.

Аналогично про точку В:

.

Известно середина отрезка АВ, это точка , значит

.

Итак имеем систему уравнений.

.

Решение этой системы: .

Проведем через точки и прямую

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Плоскость, которая проходит через точку и ось Ох. На оси Ох лежит точка и вектор . Значит уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно векторам и имеет вид

.

Вектор нормали этой плоскости . Уравнение второй плоскости

,

для нее . Угол между этими плоскостями - это угол между их нормалями.

; .

4. Напишем уравнение плоскости, перпендикулярной данной прямой и проходящей через точку . Вектором нормали этой плоскости будет направляющий вектор прямой . Её уравнение ищем в виде

.

Подставляем координаты точки и получаем . Искомая плоскость имеет уравнение

.

Напишем уравнение плоскости, которая проходит через точку А и данную прямую. В ней лежат точки А и начальная точка прямой . Вектор и уравнение этой плоскости будет

,

,

.

Искомая прямая получена в виде пересечения двух плоскостей

5. Напишем уравнение проектирующей плоскости. Она проходит через данную прямую

,

параллельно вектору нормали данной плоскости

, т.е. .

Искомая проекция задается в виде пересечения плоскостей (данной и проектирующей)

Нетрудно написать и параметрические уравнения этой прямой. Ее направляющим вектором будет

,

где и векторы нормалей плоскостей.

.

В качестве начальной точки можно взять любую точку на прямой, т.е. любое решение системы. Точка удовлетворяет эту систему уравнений. Параметрические уравнения проекции:

.

Экзаменационная работа по аналитической геометрии для 1 курса научно-педагогического направления

I. (5 б). Даны вершины треугольника и .

1. Напишите уравнения прямых, на которых лежат стороны .

2. Найдите координаты основания высоты, проведенной из вершины к стороне АС.

3. Напишите уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине А.

4. Напишите уравнение медианы, проведенной из вершины С.

5. Вычислите площадь .

II. (5 б). Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, исследование формы, асимптоты гиперболы, эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы, фокальный параметр. Выполнить рисунок гиперболы

.

Найдите эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения директрисы и асимптот в системе .

III. (10 б). Даны две прямые:

.

1. Выясните их взаимное расположение.

2. Найдите кратчайшее расстояние между этими прямыми.

3. Напишите уравнения параллельных плоскостей, в которых лежат и .

4. Найдите точку, симметричную начальной точке первой прямой относительно второй прямой .

5. Напишите уравнение общего перпендикуляра прямых и .

Решения

I. Вершины треугольника , .

1. Уравнения прямых, на которых лежат стороны

.

.

.

2. Нормаль будет служить направляющим вектором высоты, проведенной из к стороне АС; уравнения высоты:

.

Основание высоты находится на пересечении прямых АС и

Отсюда и координаты .

3. . Значит равнобедренный и биссектриса, проведенная из угла А совпадает с медианой. Найдем середину отрезка ВС: , . Пишем уравнение прямой:

: ;

- уравнение биссектрисы внутреннего угла А.

4. Середина отрезка АВ . Уравнение прямой, на которой лежит

: , .

5. ,

,

,

(ед.кв.).

II. В ответе нужно изложить содержание §15.2 из [1]. Далее, упростить уравнение

.

,

, .

Совершим параллельный перенос по формулам

.

Имеем каноническое уравнение гиперболы.

.

Полуоси гиперболы Асимптоты

;

.

В старой системе координат асимптоты

,

;

.

Директрисы

;

. в системе .

III. (10 б). Даны две прямые:

.

1. Начальная точка и направляющий вектор первой прямой , . Они же для второй прямой , . Очевидно векторы и не коллинеарны. Значит прямые не параллельны и не совпадают. Остаются два варианта: 1) прямые пересекаются; 2) прямые скрещиваются.

Найдем координаты вектора-мостика . Чтобы прямые пересекались, векторы , и должны быть компланарны, т.е. смешанное произведение векторов . Проверим.

.

Значит прямые скрещиваются.

3. Напишем сначала уравнения параллельных плоскостей, в которых лежат данные прямые, а затем найдем расстояние между ними. Это и будет ответ на вопрос о кратчайшем расстоянии между скрещивающимися прямыми.

Пишем уравнение плоскости, которая проходит через прямую



параллельно вектору

.

Уравнение плоскости. Которая проходит через прямую

параллельно вектору

.

Найдем расстояние от начальной точки прямой до этой плоскости по формуле:

(ед.лин.).

Это и есть ответ на второй вопрос.

4. Напишем уравнение плоскости, проектирующей ортогонально точку на прямую . Вектор нормали этой плоскости - это направляющий вектор . Уравнение плоскости ищем в виде

.

Для определения подставим координаты точки .

.

Уравнение проектирующей плоскости

.

Решив систему уравнений

найдем координаты проекции точки на прямую :

.

Точка есть середина отрезка , где есть точка, симметричная относительно прямой . Пользуясь формулами отыскания середины отрезка, получим ответ .

5. Для нахождения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых, найдем его направляющий вектор.

, , .

Общий перпендикуляр есть пересечение двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую , параллельно вектору , а вторая - через прямую , параллельно .

Уравнения этих плоскостей

, ,

, .

Уравнение общего перпендикуляра

Любое решение этой системы можно взять в качестве начальной точки этого перпендикуляра. Оказывается начальная точка лежит на общем перпендикуляре. И тогда его можно записать в параметрической форме:

.

Контрольная работа №3

1. Написать уравнение цилиндра, зная направляющий вектор его образующих и уравнение направляющей

2. Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования

.

3. Дана квадрика

.

Определить: 1) тип; 2) центр; 3) асимптотические направления; 4) написать уравнения асимптот; 5) написать уравнение диаметра, параллельного оси и найти диаметр ему сопряженный.

Решения

1. Точка лежит на направляющей, значит ее координаты удовлетворяют системе уравнений

(1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

По условию вектор должен быть коллинеарен вектору , то есть

(2),

.

Так как , то из последнего равенства следует, что

.

Подставим и в первое уравнение системы (1):

.

После несложных преобразование получим уравнение искомой поверхности

.

2. Чтобы найти инвариантные точки аффинного преобразования

,

,

Положим

.

Имеем систему двух линейных уравнений

решением которой есть пара чисел . Итак инвариантная точка .

Инвариантную прямую ищем в виде

.

Подставим вместо и правые части преобразования. Получим

.

Условия совпадения прямых на плоскости

.

Из равенства

,

а из равенства

при условии имеем . Итак искомая прямая

.,

, .

3. 1) Определитель, составленный из коэффициентов квадратичной части уравнения квадрики , значит квадрика гиперболического типа.

2) Система линейных уравнений для определения центра

Решение этой системы и есть центр квадрики .

3) Уравнение для вычисления асимптотических направлений квадрики имеет вид:

.

Для данной квадрики имеем

; .

Значит есть 2 асимптотических направления , т.е. и , т.е. .

4) Асимптоты проходят через центр квадрики в асимптотических направлениях. Их уравнения:

Их общие уравнения:

.

5) Диаметр квадрики проходит через центр и его направляющий вектор . Уравнения диаметра

Общее уравнение .

Если направляющий вектор диаметра , то направляющий вектор диаметра, ему сопряженного, находится из уравнения

.

В нашем случае , , , . Имеем уравнение

, .

Координаты вектора удовлетворяют этому уравнению. Уравнение диаметра сопряженного диаметру

имеет вид

,

Или

.

Контрольная работа № 4

1. С помощью аффинных преобразований привести уравнение квадрики на плоскости

к нормальному виду и назвать аффинный класс квадрики.

2. Даны точки , , . Написать параметрические уравнения прямой , параметрические уравнения плоскости, которая проходит через точки А, В, С. Найти какую-либо систему линейных уравнений, которая задает эту плоскость.

3. Исследовать взаимное расположение двух двумерных плоскостей в , если первая плоскость задана системой линейных уравнений

,

,

а вторая параметрическими уравнениями:

,

,

,

,

.

4. Найти ортогональную проекцию точки на гиперплоскость

в .

Решения

1. ;

.

Совершим аффинное преобразование квадрики

,

.

Получим нормальное уравнение квадрики

.

Это парабола.

2. , , . Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой АВ, нужно иметь начальную точку и направляющий вектор. В качестве начальной точки возьмем , а направляющим вектором будет . И тогда нужные уравнения:

,

, ,

,

, .

Направляющими векторами плоскости, в которой лежат точки А, В, С могут быть векторы и и параметрические уравнения имеют вид:

.

2-мерную плоскость в можно задать системой трех независимых линейных уравнений. Исключим параметры и из параметрических уравнений и получим систему линейных уравнений:

3. Положив в уравнения первой плоскости

,

получим ее параметрические уравнения:

Отсюда легко найти координаты направляющих векторов и начальной точки этой плоскости: , , .

Направляющие векторы и начальная точка второй плоскости: , , . Выясним, пересекаются ли двумерные направляющие подпространства плоскостей. Для этого вычислим ранг матрицы, составленной из координат векторов

.

Элементарными преобразованиями матрица сводится к матрице:

.

Видно, что ранг матрицы А равен 4. Значит направляющие 2-мерные подпространства данных плоскостей не пересекаются, а плоскости не совпадают и не параллельны.

Чтобы плоскости пересекались вектор-мостик должен принадлежать сумме направляющих подпространств плоскостей, т.е. ранг матрицы А, дополненной строкой из координат вектора-мостика должен быть не больше четырех. Элементарными преобразованиями матрица

сводится к матрице .

Следовательно ранг матрицы В равен пяти, а это значит данные плоскости не пересекаются.

Ответ: плоскости скрещиваются.

4. Напишем уравнения прямой, перпендикулярной данной гиперплоскости, которая проходит через точку . Направляющим вектором этой прямой будет вектор нормали гиперплоскости . Параметрические уравнения прямой:

.

Искомая проекция точки А есть точка пересечения гиперплоскости

и проектирующей прямой. Решаем систему уравнений

,

и проекция точки А на гиперплоскость .

Экзаменационная работа по аналитической геометрии для студентов 1 курса научно-педагогического направления (2 семестр)

I. (3 б). Аффинные преобразования плоскости (определение, вывод формул аффинного преобразования, основные свойства).

II. (10 б). На общее уравнение квадрики имеет вид:

.

1. Определите тип квадрики.

2. Найдите центр квадрики, если он есть.

3. Лежит ли точка на квадрике. Найдите точку , симметричную Р относительно квадрики.

4. Найдите асимптотические направления квадрики, если они существуют.

5. Найдите на квадрике точки, абсциссы которых равны -2.

6. Напишите уравнения диаметров квадрики, которые проходят через точки, полученные в предыдущей задаче.

7. Напишите диаметры квадрики, параллельных прямым

.

8. Напишите уравнения диаметров квадрики, сопряженных диаметрам предыдущей задачи.

9. Найдите координаты точек пересечения квадрик с осями координат.

10. Определите аффинный класс квадрики.

III. (2 б). Найдите взаимное расположение двух плоскостей в .

;

.

IV. (5 б). Пользуясь ортогональными преобразованиями определить форму и размеры поверхности второго порядка, заданной в общим уравнением

.

Решения

I. Изложить содержание § 25.7 из [2] применительно к плоскости .

1. Матрица из коэффициентов квадратичной части квадрики . , следовательно, квадрика эллиптического типа

2. Система уравнений для отыскания центра

,

3. Подставим координаты точки в уравнение квадрики. Имеем . Точка Р не лежит на квадрике.

4. Если , то уравнение для отыскания асимптотических направлений данной квадрики:

.

Пусть

,

Тогда

,

и вещественных корней нет. Значит и нет асимптотических направлений (вещественных).

5. . Подставим в уравнение квадрики, имеем

. .

Искомые точки , .

6. Диаметры проходят через центр квадрики . Напишем уравнения прямых, которые проходят через точки и , и через точки и . Их уравнения

, .

7. Уравнения диаметров, параллельных прямым

или ищем в виде:

,

.

Для отыскания и подставляем координаты центра . Получим . Уравнения диаметров

,

.

8. Направляющие векторы диаметров предыдущей задачи , .Направления, сопряженные и относительно квадрики находим из условия

,

где координаты направления, сопряженного направлению .

В нашем случае для :

Итак и диаметр квадрики, сопряженный диаметру

,

Направление, сопряженное направлению относительно квадрики находим из условия

.

Уравнение диаметра сопряженного диаметру

,

9. Точки пересечения квадрики с осью ОХ: . , , с осью , , .

10. Перепишем уравнение квадрики в виде

Для выделения полных квадратов воспользуемся методом Лагранжа

.

,

,

.

Совершим аффинное преобразование по формулам

,

.

Получим нормальное уравнение квадрики

.

Это эллипс.

III. Начальная точка плоскости , ее направляющие векторы , . То же для плоскости : , , . Очевидно , . Размерности их направляющих подпространств и тоже равны 2. Найдем

.

Известна формула

>

где - размерность суммы подпространств, и - размерности этих подпространств и - размерность пересечения подпространств. В нашем случае . Выясним, пересекаются ли плоскости, то есть принадлежит ли вектор-мостик сумме направляющих подпространств.

Для этого надо вычислить ранг матрицы, составленной из координат векторов , , , , . Ранг этой матрицы равен 4, значит плоскости не пересекаются. Характеристика этой пары плоскостей , значит плоскости 1 раз параллельны.

IV. Матрицы из коэффициентов квадрики

.

Найдем корни характеристического многочлена

.

.

И тогда остальные корни находим, решая квадратное уравнение

.

Находим ортогональный репер, в котором квадратичная часть квадрики приводится к виду

.

Координаты векторов этого репера являются решениями систем линейных однородных уравнений

относительно неизвестных . В нашем случае эта система для примет вид

Решением этой системы является вектор . Нормируем вектор

. .

В случае система уравнений для отыскания соответствующего вектора имеет вид

Решение этой системы . Соответствующий нормированный вектор . Для аналогичная система уравнений дает вектор и . Запишем формулы, с помощью которых квадратичная часть уравнений поверхности приведена к сумме квадратов неизвестных:

Преобразуем с их помощью линейную часть уравнения поверхности

.

Итак, преобразованное уравнение поверхности

,

.

Совершим параллельный перенос координатной системы по формулам

, ,

получим каноническое уравнений поверхности

.

Это трехосный эллипсоид с полуосями , , .

Размещено на Allbest.ru