Фракталы. Окружности Форда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Специализированный учебно-научный центр - факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

школа им. А.Н. Колмогорова

Творческая работа

по теме: Фракталы. Окружности Форда.

Выполнил ученик 10 Г класса

Хальзов Ян Павлович

Научный руководитель:

Курышова Юлия Владимировна

2014

Фрактал (лат. fractus -- дроблёный, сломанный, разбитый) -- математическое множество, обладающее свойством самоподобия, то есть однородности в различных шкалах измерения -- любая часть фрактала подобна всему множеству целиком.

Окружности Форда

Пусть даны 2 касающиеся окружности с радиусами R₀ и R₁, и их общей касательной. Тогда в образовавшийся криволинейный треугольник можно будет вписать окружность. Её радиус R₂ и координаты центра можно найти используя теорему Пифагора из соотношения

,

.

Откуда

(1)

(2)

В результате образуется 2 криволинейных треугольника в которые тоже можно вписать окружности, и так далее. Для того чтобы найти радиус и координату центра любой из получившихся окружностей сначала необходимо установить удобную нумерацию. Назовём поколением все окружности, получившиеся вписыванием во все криволинейные треугольники на одном конкретном шаге. Будем слева направо нумеровать окружности поочерёдно из каждого поколения. Будем считать, что первая полученная окружность является 1 поколением. Тогда на n поколении будут окружности с по . Будем называть две окружности предками 3-ей, если они вместе с прямой образуют криволинейный треугольник, в который она вписана. Для того, чтобы найти индексы окружностей, которые образуют произвольную выбранную окружность, нарисуем граф взаимосвязей между окружностями.

Из графа видно одним из предков окружности с индексом i будет окружность с индексом , а индекс второго предка лишь косвенно зависит от индекса нашей окружности. Поэтому индексы лучше находить не аналитической формулой, а рекуррентно. Пусть k индекс искомой окружности, x индекс левого предка, y индекс правого предка, тогда методы поиска индексов предков будут зависеть от четности k. Если к четно то

x:=k div 2; y:=x;

while y mod 2 =0 do begin

y:=y div 2; end;

y:=(y+1) div 2;

if k=2 then x:=0;

Если k нечетно то

x:=(k+1) div 2; y:=x;

while x mod 2=1 do

x:=(x+1) div 2;

x:=x div 2;

if x=1 then x:=0;

Поэтому проблему нахождения радиуса и координаты центра произвольной окружности можно решить лишь компьютерными методами. Радиус можно посчитать рекуррентно, зная радиусы предков по формуле (1), а координату центра можно найти прибавив к координате левого предка значение формулы (2). Следующая программа выводит радиусы первых 9 окружностей.

Program Ford;

const n=8;

type mas = array [0..n] of real;

var r1,r2:real; i:longint; a,c:mas;

function rs(m,n:real):real;

begin rs:=m*n/sqr((sqrt(m)+sqrt(n))) end;

function cord(q,w:real):real;

begin cord:=2*sqrt(q*w) end;

procedure radius(var b,d:mas; k:integer);

var x,y:integer;

begin

if k mod 2 = 0 then

begin

x:=k div 2; y:=x;

while y mod 2 =0 do begin

y:=y div 2; end;

y:=(y+1) div 2;

if k=2 then x:=0;

end

else

begin

x:=(k+1) div 2; y:=x;

while x mod 2=1 do

x:=(x+1) div 2;

x:=x div 2;

if x=1 then x:=0;

end;

b[k]:=rs(b[x],b[y]);

d[k]:=d[x]+cord(b[x],b[k]);

end;

begin

readln(r1,r2);

a[0]:=r1; a[1]:=r2; c[0]:=0; c[1]:=cord(r1,r2);

for i:=2 to n do

radius(a,c,i);

for i:=0 to n do begin

write('R',i,'=',a[i]:4:6,' C',i,'=',c[i]:4:6,' '); end;

writeln;

end. фрактал математический множество окружность

Используя эти данные, можно построить первые n поколений фрактала в графическом модуле. Из-за округления данных, и дискретности представления изображения при выведении на экран картинки, при большом приближении заметны некоторые неточности.

Размещено на Allbest.ru