Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Нормальный закон распределения и его основные параметры

2. Кривая нормального закона распределения

3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения

4. Построение гистограммы с помощью пакета MathCad

4.1 Гистограмма с произвольными интервалами

4.2 Гистограмма с равными интервалами

Заключение

Список литературы

Введение

Нормальное (Гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А.Муавр в 1733 г. Через некоторое время нормальное распределение снова открыли и изучили К.Гаусс (1809 г.) и -П.Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с работой по теории ошибок наблюдений. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых весьма нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т.д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых - элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль.

1. Нормальный закон распределения и его основные параметры

Нормальное (Гауссовское) распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это - наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

(1)

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и у .

Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков:

а - математическое ожидание; у - среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины

(2)

Введем новую переменную z =(x-a)/ у. Отсюда х= уz + a, dx = у dz.

Заметив, что новые пределы интегрирования равны старым, получим

(3)

Первое из слагаемых равно нулю ( под знаком интеграла нечетная функция и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых равно а.

Итак, М(Х) = а , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что М(Х) = а, имеем

(4)

Введем новую переменную z= (x - a)/ у. Отсюда x-a = уz, dx= у dz.

Заметим, что пределы интегрирования не изменились и получим

(5)

Интегрируя по частям получим

(6)

Следовательно,

(7)

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру у.

2. Кривая нормального закона распределения

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид, которая показана на следующем рисунке:

Максимальная ордината кривой, равная соответствует точке х = m; по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

Параметр у характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна у; при увеличении у максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении у кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении у кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной.

Иногда в курсах теории вероятностей в качестве характеристики рассеивания для нормального закона вместо среднего квадратического отклонения применяется так называемая мера точности.

Мерой точности называется величина, обратно пропорциональная среднему квадратическому отклонению у:

Размерность меры точности обратная размерности случайной величины.

3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону с параметрами (m, у) на участок от a до Я.

Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой:

(8)

где F(X) - функция распределения величины Х. Найдем функцию распределения F(X) случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами m, у. распределение ордината гистограмма

Плотность распределения величины Х равна:

(9)

Отсюда находим функцию распределения

(10)

Сделаем в интеграле (10) замену переменной и приведем его к виду:

(13)

Интеграл (13) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения для которого составлены специальные таблицы.

Существует много разновидностей таких функций, например:

Заметим, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами m = 0 и у=1

Условимся называть функцию - нормальной функцией распределения.

Выразим функцию распределения (6.3.3) величины Х с параметрами и через нормальную функцию распределения . Очевидно,

(14)

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины Х на участок от до .

Согласно формуле

(15)

Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины , распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения , соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1.

4. Построение гистограммы с помощью пакета MathCad

Гистограмма - это приближение плотности вероятности некоторой случайной величины, построенное по выборке ее распределения.

При построении гистограммы область значений случайной величины (а,b) разбивается на некоторое количество h сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в Mathcad имеется несколько встроенных функций.

Рассмотрим гистограммы с произвольными интервалами и гистограммы с разными интервалами.

4.1 Гистограмма с произвольным интервалом

· hist (intvls,x) -- вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы:

· intvls -- вектор, элементы которого задают сегменты построения гистограммы в порядке возрастания a<intvls_i<b;

х -- вектор случайных данных.

Если вектор intvls имеет n элементов, то и результат hist имеет столько же элементов.

Код программы построения гистограммы на MathCad:

N:=1000; n:=30;

x:=rnorm(N,0,1)

a:=floor(min(x))

b:=ceil(max(x))

k:=

j:=0..h

int_j:=b + k(j + 0.5)

f:= hist(int,x)

Для анализа взято N=1000 данных с нормальным законом распределения, созданных генератором случайных чисел (третья строка листинга). Далее определяются границы интервала (a, b), содержащего внутри себя все случайные значения, и осуществляется его разбиение на количество h одинаковых сегментов, начальные точки которых записываются в вектор int (предпоследняя строка листинга).

Обратите внимание, что в последней строке листинга осуществлена нормировка значений гистограммы, с тем чтобы она правильно аппроксимировала плотность вероятности, также показанную на графике.

4.2 Гистограмма с равными интервалами

Если нет необходимости задавать сегменты гистограммы разной ширины, то удобнее воспользоваться упрощенным вариантом функции hist:

· hist (bin, х) -- вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы:

· bin -- количество сегментов построения гистограммы;

· х -- вектор случайных данных.

Для того чтобы использовать этот вариант функции hist вместо предыдущего, достаточно заменить первый из ее аргументов следующим образом:

Недостаток упрощенной формы функции hist в том, что по-прежнему необходимо

дополнительно определять вектор сегментов построения гистограммы.

От этого недостатка свободна функция histogram:

· histogram (bin, х) -- матрица гистограммы размера binx2, состоящая из столбца сегментов разбиения и столбца частоты попадания в них данных:

· bin -- количество сегментов построения гистограммы;

· х -- вектор случайных данных.

Пример использования функции histogram:

N:=1000: h:=1000; x:=rnorm(N,0,1) f:=histogram(bin,x)

Заключение

В работе рассмотрены вопросы о нормальном законе распределения, кривой нормального закона распределения, а также вопрос о вероятности попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Приведены примеры построения гистограммы с помощью пакета прикладных программ MathCad.

Список литературы

1) Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для студ. вузов / В. Е. Гмурман. -- М.: Высш. шк., 2004. -- 480 с.

2)Белько, И. В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи: учеб. пособие для вузов / И. В. Белько, Г. П. Свирид; под ред. К. К. Кузьмина. -- Мн.: Новое знание, 2002. -- 250 с.

3)Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие для студ. вузов / В. Е. Гмурман. -- М.: Высш. шк., 2004. -- 400 с.

Размещено на Allbest.ru