Теория вероятностей и математическая статистика

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ, СТАТИСТИКИ И ИНФОРМАТИКИ (МЭСИ)

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Кафедра «Экономика»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «___________МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

ВАРИАНТ 8

Контрольная работа 1

Задача 1.12

По данным задачи 1.7 вычислить коэффициент вариации (), приняв .

Заработная плата (руб.)	211+i -213+i	213+i -215+i	215+i -217+i	217+i -219+i	219+i -221+i
Число рабочих	7	10+2i	11+i	9	3+2i

Ряд распределения заработной платы рабочих механического цеха приведен в таблице. Требуется вычислить коэффициент вариации , приняв .

Заработная плата (руб.)	214 -216	216-218	218 -220	220 -222	222 -224
Число рабочих	7	15	14	9	9

коэффициент квадратический отклонение интервал

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	|x - xср|*f	(x - xср)2*f
214 - 216	215	7	1505	27.48	107.89
216 - 218	217	15	3255	28.89	55.64
218 - 220	219	14	3066	1.04	0.0768
220 - 222	221	9	1989	18.67	38.72
222 - 224	223	9	2007	36.67	149.38
Итого		54	11822	112.74	351.7

Средняя взвешенная



Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v ? 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.

Задача 2.38

По результатам статистического контроля получен вариационный ряд числа партий из деталей по числу дефектных в них:

Число дефектных изделий в партии из N деталей	0	1	2	3	4
Число партий	4+3i	62+3i	70+2i	32+i	22+i

Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по биномиальному закону, определить вероятность появления среди случайно отобранных изделий дефектных, приняв .

Решение.

Число дефектных изделий в партии из N деталей	0	1	2	3	4
Число партий	4	62	70	32	22

Ряд распределения относительных частот:

Число дефектных изделий в партии из N деталей	0	1	2	3	4
Относительные частоты	0,02	0,33	0,37	0,17	0,11

Математическое ожидание:

.

Для биномиального распределения

.

Искомая вероятность по формуле Бернулли:

.

Задача 3.5

В результате измерения длины стержня прибором без систематической ошибки получены следующие результаты: 94 103 92 106 105 мм. Найти несмещенную оценку среднего квадратического отклонения генеральной совокупности.

Средняя выборочная

Дисперсия

Среднее квадратичное отклонение

Задача 3.17

На контрольных испытаниях n = 17 ламп было определено 3000 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально с 21 ч., определить ширину доверительного интервала для генеральной средней с надежностью 0,98.

n = 17

Интервал:

найдем из условия:



получим

.

Задача 3.67

По данным контрольных испытаний n = 7 ламп были получены оценки 330 ч. и

S = 23 ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью 0,8.

n = 7

S = 23

Нижняя граница для средней равна:

.

Задача 3.89

Для определения максимальной скорости самолета было проведено n = 7 испытаний, в результате которых были вычислены 700 м/сек. и S = 12 м/сек. Предполагая, что рассеяние скорости подчинено нормальному закону, определить с надежностью 0,9 ширину доверительного интервала для оценки дисперсии генеральной совокупности.

n = 7

S = 12

в нашем случае

.

Задача 3.121

По результатам n = 50 измерений диаметров валиков было получено 150 мм.иS = 4,1 мм. Определить вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149; 151).

Решение.

,

сравнивая заданный интервал (149; 151) с формулой имеем:

,

по таблице находим .

Задача 3.144

На основании выборочных наблюдений за производительностью труда n = 37 рабочих вычислено 400 м/час и S = 12 м/час. В предположении о нормальном распределении найти вероятность того, что среднее квадратическое отклонение будет находиться внутри интервала (11; 13).

n = 37 рабочих

S = 12 м/ч

t = 1,57

.

Контрольная работа 2

Задача 4.3

С помощью критерия Пирсона на уровне значимости 0,025 проверить гипотезу о нормальном законе распределения на основании следующих данных:

	5	17	13	9	6
	6	11	19	9	3

xi	Кол-во, fi	xi * fi	|x - xср|*f	(x - xср)2*f
5	6	30	40.37	271.69
17	11	187	57.98	305.6
13	19	247	24.15	30.69
9	9	81	24.56	67.04
6	3	18	17.19	98.47
Итого	48	563	164.25	773.48

Средняя взвешенная

Дисперсия



Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где n*i - теоретические частоты:

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:

n = 48, h=12 (ширина интервала), у = 4.01, xср = 11.73

i	xi	ui	цi	n*i
1	5	-1.68	0,0973	13.96
2	17	1.31	0,1669	23.95
3	13	0.32	0,379	54.38
4	9	-0.68	0,3166	45.43
5	6	-1.43	0,1435	20.59

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:



i	ni	n*i	ni-n*i	(ni-n*i)2	(ni-n*i)2/n*i
1	6	13.96	7.96	63.39	4.54
2	11	23.95	12.95	167.66	7
3	19	54.38	35.38	1251.91	23.02
4	9	45.43	36.43	1327.05	29.21
5	3	20.59	17.59	309.43	15.03
?	48	48			78.8

границу Kkp = ч2(k-r-1;б) находим по таблицам распределения ч2 и заданным значениям у, k = 5, r=2 (параметры xcp и у оценены по выборке).

Kkp(0.025;2) = 7.37776; Kнабл = 78.8

Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Задача 4.40

На контрольных испытаниях n = 10 ламп было определено 291ч. Считая, что срок службы ламп распределен нормально с 26 ч. Проверить на уровне значимости 0,025 гипотезу 300 ч. против альтернативной гипотезы 290 ч. В ответе записать разность между фактическим и табличным значениями выборочной характеристики.

n = 10

Наблюдаемое значение критерия:

По таблице функции Лапласа

Тогда

Т.к.

То гипотеза принимается

Ответ: -1,094 - 2,01 = -3,104.

Задача 4.66

На основании контроля n = 16 деталей найдено, что 104мм., а 8 мм. В предположении о нормальном распределении вычислить мощность критерия при проверке на уровне значимости 0,005 гипотезы 110 мм.против конкурирующей гипотезы 100 мм.

n = 16

Наблюдаемое значение критерия:

По таблице функции Лапласа

Тогда

Т.к.

То гипотезу отвергаем

Задача 4.74

На основании контроля n = 9 измерений найдено, что 70мм., а 2 мм. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина вычислить мощность критерия при проверке на уровне значимости 0,05 гипотезы 5 мм2. против конкурирующей гипотезы 3 мм2.

Решение.

Вычисляем статистику критерия:

.

Конкурирующая гипотеза имеет вид

,

находим критическую точку

.

Так как , то нулевую гипотезу принимаем.

Задача 4.77

По результатам n = 7 независимых измерений найдено, что 82,48 мм, а S = 0,08 мм. Допустив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение проверить на уровне значимости б = 0,05 гипотезу H0: у2 = 0,01 мм2 против конкурирующей гипотезы H1: у2 = 0,005 мм2. В ответе записать разность между фактическим и табличным значениями выборочной характеристики.

Решение.

у22 < у12 - критическая область левосторонняя.

;

;

.

.

Гипотезу с полученным результатом принимаем..

Задача 4.97

Из двух партий взяты выборки объемом 10 и 15 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены 254 мм.и259 мм. Предварительным анализом установлено, что средние квадратические отклонения генеральных совокупностей равны 3 мм и 5 мм.в предположении о нормальном распределении проверить на уровне значимости 0,02 гипотезу против .

Решение.

Найдем наблюдаемое значение критерия

.

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид: , поэтому критическая область - односторонняя. Найдем критическую точку из равенства

.

Так как , то нулевую гипотезу отвергаем.

Задача 4.110

Выборочное обследование показало, что на изготовление одного изделия первая бригада затрачивала 40, 47, 43, 44 и 46 кг сырья, а вторая - 49, 47, 52 и 44 кг. В предположении о нормальном распределении проверить на уровне значимости 0,01 гипотезу о равенстве двух генеральных средних против конкурирующей гипотезы . Предполагается, что .

u=50-x; v=50-y

x	40	47	43	44	46
y	49	47	52	44
u	10	3	7	6	4
v	1	3	-2	6

нулевая гипотеза опровергается.

Нулевую гипотезу отвергаем.

Задача 4.119

Из 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили 162, а из 250 задач второго типа студенты решили 135 задач. Проверить на уровне значимости 0,01 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. .

Решение.

Конкурирующая гипотеза : . Критическая область двусторонняя. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Критическую точку из равенства . Так как , то нулевую гипотезу отвергаем.

Контрольная работа 3

Задача 3.2

На основе сгруппированных выборочных данных о производительности труда (), измеряемой в млн. рублей на человека, и фондовооруженности (), измеряемой в млн. рублей на человека, полученных от 100 однотипных предприятий за год, найти выборочный коэффициент корреляции между и :

	3-5	5-7	7-9
5-10	20	20	5
10-15	5	20	30

Корреляционная таблица

Y / X	4	6	8
7.5	20	20	5
12.5	5	20	30

Выборочные средние:

(4(20 + 5) + 6(20 + 20) + 8(5 + 30))/100 = 6.2

(7.5(20 + 20 + 5) + 12.5(5 + 20 + 30))/100 = 10.25

Дисперсии:

у2x = (42(20 + 5) + 62(20 + 20) + 82(5 + 30))/100 - 6.22 = 2.36

у2y = (7.52(20 + 20 + 5) + 12.52(5 + 20 + 30))/100 - 10.252 = 6.19

Откуда получаем среднеквадратические отклонения:

уx = 1.54 и уy = 2.49

и ковариация:

Cov(x,y) = (4*7.5*20 + 6*7.5*20 + 8*7.5*5 + 4*12.5*5 + 6*12.5*20 + 8*12.5*30)/100 - 6.2 * 10.25 = 1.95

Определим коэффициент корреляции:

Задача 4.8

На основе выборки объемом в 50 наблюдений из двумерной генеральной совокупности были получены выборочные коэффициенты регрессии . Проверить значимость генерального коэффициента корреляции с .

Решение.

.

Статистика критерия

.

Для уровня значимости и числа степеней свободы находим критическое значение статистики . Так как , коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Размещено на Allbest.ru