Теория вероятности

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Сколько можно составить шестизначных телефонных номеров, если номер не может начинаться с цифры 0?

Решение.

Первую цифру можно выбрать 9 способами, остальные пять десятью значит 10*10*10*10*10*9=900 000 номеров

2. Из 20 отделений Сбербанка 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 отделений. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется три отделения в черте города?

Решение.

А - событие состоящее в том, что среди отобранных окажется три отделения в черте города

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать 5 отделений среди 20 отделений Сбербанка.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных окажется три отделения в черте города): 3 отделения можно отобрать из 10 расположенных в черте города, и оставшихся 2 отделения можно отобрать среди 10 отделений расположенных за чертой города, тогда

3. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первой ящике 23 белых шара, во втором - 9 белых и 14 черных шаров, в третьем - 23 черных шара. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

Решение.

Пусть A - событие, состоящее в том, что взятый шар окажется белым, а - гипотезы, что он был взят из 1-го и 2-го ящика. (Третий ящик рассматривать не будем, т.к. там только черные шары, а из условий известно, что вынут именно белый шар.)

Вероятности указанных гипотез соответственно равны:

здесь N=23+9+14=46 - количество шаров в 1-м и 2-м ящиках

Из условия задачи следует, что:

Найдем , т.е. вероятность того, что вынутый белый шар был взят из 2-го ящика.

4. Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?

Решение.

= {первый счет оформлен верно, а второй нет}

= {первый счет оформлен верно}

= {второй счет оформлен неверно}

= {первый счет оформлен неверно, а второй - верно}

= {первый счет оформлен неверно}

= {второй счет оформлен верно}

5. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нам периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Решение.

А - вероятность того, что товар будет иметь успех

Введем гипотезы:

Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нам периода

Вероятность того, что конкурирующая фирма не выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нам периода

Из условия задачи следует, что:

По формуле полной вероятности найдем:

6. Вероятность того, что товаром некоторой фирмы заинтересуются инвесторы после участия в выставке, равна 0,6. Фирма участвует поочередно в выставках до привлечения инвесторов. В этом году ожидается 3 выставки. Составьте закон распределения СВ Х - числа проведенных выставок. Найти МХ и DХ числа проведенных выставок.

Решение.

Пусть X - дискретная случайная величина, равная числу проведенных выставок, она может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Проверим:

Все верно

Составим таблицу:

Найдем математическое ожидание и дисперсию

7. Случайная величина Х имеет плотность вероятности

Найти параметр С, функцию распределения вероятностей и дисперсию этой СВ.

Решение.

Найдем параметр С из условия нормировки

Получаем:

Тогда:

Найдем функцию распределения F (x) по определению . Получаем:

Пусть тогда тогда

Пусть тогда , тогда

Пусть , тогда , тогда

Таким образом:

Найдем математическое ожидание и дисперсию

8. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением у = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12 439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц?

Решение.

По условию задачи Используем формулу расчета вероятности попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины Х

По таблице функции Лапласа найдем, при каком

Функция

Отсюда

Ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц составляет 13158,6

9. В таблице представлены данные о числе сделок на фондовой бирже за квартал для 400 инвесторов.

Построить полигон и график эмпирической функции распределения. Вычислить основные числовые характеристики.

Решение.

Построим полигон

теория вероятность дисперсия математический

Таблица для расчета показателей.

Эмпирическая функция распределения

Построим график

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

Мода

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Максимальное значение повторений при x = 0 (f = 146). Следовательно, мода равна 0

Медиана

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим x_i, при котором накопленная частота S будет больше ?f/2 = 201. Это значение x_i = 1. Таким образом, медиана равна 1

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 1.38

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 1.54 в среднем на 1.84

10. Данные о производстве зерна в России в 1996-2002 гг. представлены в таблице.

Построить доверительные интервалы для среднего и для следующего наблюдения с надежностью 95%, использую нормальное приближение.

Решение.

В этом случае 2Ф (t_kp) = г

Ф (t_kp) = г/2 = 0.95/2 = 0.475

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф (t_kp) = 0.475

t_kp (г) = (0.475) = 1.96

(71.11 - 12.05; 71.11 + 12.05) = (59.06; 83.16)

С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

11. Средний дневной объем продаж в магазине составлял 500 единиц. После реорганизации выборочный средний дневной объем продаж за 25 рабочих дней составил 520 единиц с выборочным средним квадратическим отклонением (исправленным) 40 единиц. Можно ли утверждать (на уровне значимости 10%), что реорганизация привела к увеличению среднего дохода?

Решение.

Итак, дано:

По таблице Стьюдента найдем t по уровню значимости и числу степеней свободы

Найдем средний доход:

Можно утверждать, что реорганизация привела к увеличению среднего дохода

12. Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в регионе А составило 26·10⁴ у. е., в регионе В на 100 филиалов пришлось 18·10⁴ у. е. Дисперсия величины страховых взносов в регионе А равна 39·10⁸ (у. е.) ², в регионе В - 25·10⁸ (у. е.) ². На уровне значимости б= 0,05 определите, существенно ли различается средняя величина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1 филиал.

Решение.

По условию нам известны следующие данные:

Для региона A: ,

Для региона B: , ,

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу : о равенстве математических ожиданий двух нормально распределенных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

И по таблице функции Лапласа найти критическую точку из равенства

Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Вычислим :

Сначала определим средние и

Тогда:

из равенства ,

используя таблицу Лапласа определим критическую точку :

Сравнивая и , получаем:

Значит, нет оснований отвергать гипотезу о равенстве математических ожиданий данных распределений.

Гипотезу : принимаем.

Значит, различие средних величин поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1 филиал не существенны.

Ответ: средние величины поступления страховых взносов различаются не существенно

Размещено на Allbest.ru