Решение дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Приближение табличных данных конкретной системой базисных функций по методу наименьших квадратов

1.1 Постановка задачи

Программой linfit приблизить таблично заданную функцию на указанном отрезке с заданным числом точек по методу наименьших квадратов для указанной системы базисных функций.

При выполнении данного задания необходимо, используя встроенную функцию linfit системы Mathcad, приблизить таблично заданную функцию на указанном отрезке с заданным числом точек по методу наименьших квадратов для указанной системы базисных функций. Построить графики функций. Проанализировать полученные результаты и сделать вывод.

1.2 Метод решения

Метод наименьших квадратов применяется для нахождения оценок параметров функциональной зависимости между переменными, значения которых определяются из опыта. Вид искомой функциональной зависимости предполагается известным.

Если на опыте получено n пар значений (x_i, y_i), где x_i - значения аргумента, а y_i - значения функции, то параметры аппроксимирующей функции F(x) выбираются так, чтобы обратилась в минимум сумма

Дифференцируя сумму по всем параметрам функции, получают систему нормальных уравнений. Решение системы нормальных уравнений и дает оценку параметров аппроксимирующей функции.

Критерием выбора наиболее подходящего уравнения из исходного набора является минимум оценки остаточной дисперсии:

где m - число коэффициентов аппроксимирующего выражения.

При использовании системы Mathcad можно выполнить аппроксимацию методом наименьших квадратов в явном виде. Такой расчет представляет определенный методический интерес. В системе Mathcad для аппроксимации таблично заданной функции по методу наименьших квадратов существует встроенная функция linfit. Синтаксис функции следующий - linfit(x,y,F). Где x и y координаты заданных точек, а F - набор функций, который будет использоваться для построения линейной комбинации. Исходя из условий данной задачи, F включает в себя набор функций .

1.3 Текст программы на Mathcad

В системе Mathcad решение поставленной задачи будет выглядеть следующим образом.

Таблица

1.4 Графики

Графики таблично заданной функции y_i(x_i) и эпирической функции f4(x_i) в одних осях.

График разности исходной (табличной) и аппроксимирующей функций - поточечная погрешность.

аппроксимирующий дифференциальный уравнение

Выводы

Полученная в ходе решения задачи эмпирическая функция достаточно точно приближена к табличной функции. Среднеквадратичное уклонение составило S4=0,009346. Максимальная абсолютная погрешность метода составила 0,03. Так как величина среднеквадратичного уклонения и абсолютной погрешности примерно равны (0,01?0,03), то можно считать, что построенная эмпирическая формула удачна, и ее можно использовать.

2. Численное решение задачи коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

2.1 Постановка задачи

Программой rkfixed численно решить указанную задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на отрезке [0; 1] с шагом h=0,001.

При выполнении данного задания необходимо выполнить решение указанной задачи Коши как аналитическим, так и численным методом. Построить в одних осях графики функций, найденных при помощи данных методов, а также график разности (погрешности) этих функций. Решение задачи численным методом и построение графиков функций необходимо выполнить в системе Mathcad. Проанализировать полученные результаты и сделать вывод.

2.2 Метод решения

Решим данную задачу Коши аналитическим методом. Данный метод состоит из двух этапов. Первый этап заключается в отыскании общего решения уравнения. На втором этапе в полученное общее решение подставляются начальные условия. В итоге приходят к обыкновенному уравнению, из которого определяют то значение постоянной интегрирования, при котором соответствующее частное решение удовлетворяет начальным условиям.

Найдем общее решение данного уравнения:

Подставим в полученное общее решение начальное условие y(0)=0 и определим значение постоянной интегрирования - C

Тогда точное решение данного уравнения будет иметь вид

Для решения поставленной задачи Коши численным способом воспользуемся методом Рунге-Кутта.

В практических вычислениях весьма распространены методы Рунге-Кутта второго и четвертого порядков точности. Для решения данного задания воспользуемся одним из методов четвертого порядка.

Суть метода в следующем.

Значения искомой функции (решения дифференциального уравнения) ищутся на рассматриваемом отрезке значений переменной по следующим формулам:

В методе Рунге-Кутта приращения Дy_i предлагается вычислять по формуле:

где коэффициенты k_i вычисляются по формулам:

Решение данным методом выполним в системе Mathcad. Для этого воспользуемся встроенной функцией rkfixed(y,a,b,n,D), которая возвращает таблицу значений переменной и функции. Только сначала необходимо задать интервал изменения переменной, шаг и начальные условия.

2.3 Текст программы на Mathcad

В системе Mathcad решение поставленной задачи будет выглядеть следующим образом.

Таблица

2.4 Графики

Графики функций yt(x) и y(x) в одних осях

График погрешности измерений

Выводы

Численный метод rkfixed дает очень хорошее приближение к точному решению для гладкой на интервале решения функции. Из полученных графиков видно, что использование метода Рунге-Кутта в данном случае себя полностью оправдало. Графики функций точного решения и решения методом Рунге-Кутта полностью совпадают на заданном отрезке. Максимальная погрешность метода составила 0 единиц.

Размещено на Allbest.ru