Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО "Уральский государственный экономический университет"

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Математический анализ

Исполнитель: студент(ка)

Направление экономика

Группа ЭПБп-14Юг

Ганицева Алена Вадимовна

Югорск 2014

Содержание

• Задание 1. Пределы функций
• Задание 2. Исследование функций
• Задание 3. Неопределенный интеграл
• Задание 4. Определенный интеграл
• Задание 5. Несобственный интеграл
• Задание 6. Ряды
• Задание 7. Функции нескольких переменных
• Задание 8. Решение дифференциальных уравнений
• Список использованных источников

Задание 1. Пределы функций

а) ; b) ; c) .

Решение:

а) .

.

Непосредственная подстановка дает неопределенность вида . Для ее раскрытия, раскладываем знаменатель на множители по формуле

и сокращаем общий множитель:

.

b) .

.

Непосредственная подстановка дает неопределенность вида . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела и воспользуемся первым замечательным пределом :

.

c) .

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

.

Так как , то получаем неопределенность вида . Воспользуемся вторым замечательным пределом :

.

Ответ: а) ; b) ; с) .

Задание 2. Исследование функций

.

Решение:

1. Область определения функции ;

2. Пересечение с осью абсцисс (Ох):

Точки пересечения:

Пересечение с осью ординат (Оу):

.

Точка пересечения: .

3. Поведение функции на бесконечности:

4. Так как

,

то функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида.

5. Экстремумы функции.

.

Так как при и при , то функция возрастает при и убывает, при . Точка (3;-6) - точка максимума.

6. Выпуклость, вогнутость.

Так как на всей числовой прямой, то функция вогнута (выпукла вниз).

7. Асимптот нет.

8. График функции (рис.1)

Рис.1. График функции

Задание 3. Неопределенный интеграл

функция интеграл график дифференциальный

Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования:

а) непосредственное интегрирование;

б) замена переменной;

в) интегрирование по частям.

а) ; б) ; в)

Решение:

а)

.

б) .

в) Используем формулу интегрирования по частям:

.

.

Ответ: а) ; б) ; в) .

Задание 4. Определенный интеграл

1. Вычислить определенный интеграл: .

Решение: Используем формулу замены переменной в определенном интеграле:

.

Ответ: .

2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми, сделать чертеж. .

Решение: Сделаем чертеж (рис.2)

Рис.2. Чертеж к задаче

кв. ед.

Ответ: кв. ед.

Задание 5. Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость.

а) ; б) .

Решение:

а) .

Вычислим отдельно неопределенный интеграл:

.

Вычисляем теперь несобственный интеграл.

б) .

.

Интеграл сходится.

Ответ: а) сходится и равен ; б) сходится и равен 2.

Задание 6. Ряды

1. Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость .

Решение:

Данный ряд является знакопостоянным. Для исследования ряда на сходимость используем интегральный признак Коши.

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

Ответ: Ряд сходится.

2. Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда .

Решение:

Общий вид степенного ряда . Тогда для данного ряда

.

Область сходимости степенного ряда - интервал вида (-R;R), где R - радиус сходимости и

.

Найдем радиус сходимости:

.

Отсюда R = 3 и ряд сходится для всех x (-3;3).

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.

Пусть x = -3. Получаем ряд:

.

Это числовой знакочередующийся ряд вида

.

Исследуем его по признаку Лейбница.

Так как , то по признаку Лейбница ряд расходится.

Пусть теперь x = 3. Получаем числовой знакоположительный ряд вида

.

Так как , то не выполняется необходимый признак сходимости числового ряда. Следовательно, при x = 3 ряд так же расходится.

Отсюда область сходимости исходного степенного ряда есть интервал x (-3;3).

Ответ: x (-3;3).

Задание 7. Функции нескольких переменных

Исследовать функцию двух переменных на экстремум:

.

Решение:

Находим частные производные первого порядка:

, .

Найденные частные производные приравниваем к нулю и находим решение системы уравнений:

Отсюда получаем одну критическую точку .

Находим частные производные второго порядка:

, , .

Тогда дискриминант имеет вид:

.

Вычисляем значения дискриминанта в точке : , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Задание 8. Решение дифференциальных уравнений

1. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

.

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приведем его к уравнению с разделенными переменными:

,

.

Интегрируя обе части полученного равенства, находим

,

где С - произвольная константа.

Находим частное решение. Так как , то подставляем в общее решение и находим С.

.

Значит, частное решение имеет вид:

Ответ: , .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям :

.

Решение:

Заданное уравнение - это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем его характеристическое уравнение:

.

Находим корни характеристического уравнения. Так как дискриминант уравнения отрицательный ( - мнимая единица), то корни уравнения комплексные: .

Тогда общее решение однородного уравнения есть

.

Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям :

,

,

,

.

Значит и частное решение имеет вид:

.

Ответ: , .

Список использованных источников

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч. Ч.1: учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005. - 304 с.: ил.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в 2-х ч. Ч.2 : учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, 2005. - 416 с.: ил.

3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник для вузов/ М.С. Красс.- М.: Дело, 2003.

4. Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник для вузов/ М.С. Красс, Б.П. Чупрынов.- М., Дело, 2003.

5. Контрольные задания по общему курсу высшей математики / Ж.А. Черняк, А.А. Черняк,О.А. Федяня и др./Под общей ред. Ж.А. Черняк, А.А. Черняка.-СПб.:Питер, 2006.

6. Малыхин В.И. Математика в экономике: Учеб пособие.-М.:ИНФРА-М,2002.

7. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.1 часть.- 3-е изд.-М.:Айрис-пресс,2004.-288с.

8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.2 часть.- 2-е изд.-М.:Айрис-пресс,2004.-256с.

9. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2004.

10. Соболь Б.В. Практикум по высшей математике/ Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян. - Ростов н/ Д.: Феникс, 2004. - 640 с.

11. Соколов, Г.А. Математическая статистика: учебник для вузов / Г.А. Соколов, И.М. Гладких. - М.: Экзамен, 2004. - 432 с.

Размещено на Allbest.ru