Уравнение Бернулли

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕФЕРАТ

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Студента 2-го курса

5 группы

Абзимов И

Daniel Bernoulli, 1700-82

Швейцарский математик, физик и физиолог. Родился в Гронингене (Нидерланды) в семье потомственных математиков и интеллектуалов. Первоначально получил медицинское образование, и в 1725 году принял приглашение Петербургской академии наук и занял пост профессора кафедры физиологии. Обнаружив в этой области множество нерешенных задач из области теоретической физики и, в частности, динамики движения жидкости (крови) в сосудах, вернулся к математическому описанию физических процессов и в 1730 году возглавил кафедру чистой математики Петербургской академии. В 1733 году вернулся на родину в Базель, где возглавил кафедру анатомии и ботаники местного университета, а с 1750 года -- кафедру экспериментальной физики, которой и руководил до своей смерти. В результате изучения гидродинамических зависимостей сформулировал так называемый принцип Бернулли и на столетие предвосхитил зарождение молекулярно- кинетической теории газов

С юных лет увлёкся математикой, вначале учился у отца и брата Николая, параллельно изучая медицину. После возвращения в Швейцарию подружился с Эйлером.

1721 год: сдал экзамены на медика в Базеле, защитил диссертацию. Затем уехал в Италию, где набирался опыта в медицине.

1724 год: выпустил «Математические этюды», принесшие ему известность. бернулли биография математика уравнение

1725 год: вместе с братом Николаем уезжает по приглашению в Петербург, где по императорскому указу учреждена Петербургская академия наук. Занимается там медициной, но потом переходит на кафедру математики (1728), ставшую вакантной после смерти его брата Николая. Момент для приезда был чрезвычайно неудачным -- как раз скончался Пётр I, началась неразбериха. Приглашённые в Академию иностранцы частично рассеялись, но Даниил остался и даже уговорил приехать друга Эйлера (получил приглашение в 1726 году, прибыл в Санкт-Петербург в 1727 году). Но тут умерла императрица Екатерина I, и властям окончательно стало не до Академии. Вскоре Даниил вернулся в Базель (1733). Он остался почётным членом Петербургской академии, в её журнале опубликованы 47 из 75 трудов Даниила Бернулли. Во время пребывания в России он напечатал «Замечания о рекуррентных последовательностях» (1728) и подготовил свой главный труд: монографию «Гидродинамика» (опубликована в 1738 году).

1733: устроился профессором анатомии и ботаники в Базеле (других вакансий не было). Ведёт оживлённую, взаимно полезную переписку с Эйлером.

1738 год: как результат многолетних трудов выходит фундаментальный труд «Гидродинамика». Среди прочего, там содержится основополагающий «закон Бернулли». Дифференциальных уравнений движения жидкости в книге ещё нет (их установил Эйлер в 1750-е годы).

1747--1753 годы: важная серия работ о колебаниях струны. Даниил Бернулли, исходя из физических соображений, догадался разложить решение в тригонометрический ряд и провозгласил, что этот ряд -- не менее общий, чем степенной. Эйлер и Д'Аламбервыступили с возражениями; вопрос был решён только в XIX веке, и Бернулли оказался прав.

1748 год: избран иностранным членом Парижской Академии наук.

1750 год: перешёл на кафедру физики Базельского университета, где и трудился до кончины в 1782 году. Дважды был избран ректором. Умер за рабочим столом весной 1782 года.

Женат не был. Отношения с отцом колебались от натянутых до враждебных, споры между ними о приоритете не утихали.

Научная деятельность

Более всего Даниил Бернулли прославился трудами в области математической физики и теории дифференциальных уравнений -- его считают, наряду с Д'Аламбером и Эйлером, основателем математической физики.

Физик-универсал, он основательно обогатил кинетическую теорию газов, гидродинамику и аэродинамику, теорию упругости и т. д. Он первый выступил с утверждением, что причиной давления газа является тепловое движение молекул. В своей классической «Гидродинамике» Даниил Бернулли вывел уравнение стационарного течения несжимаемой жидкости (закон Бернулли), лежащее в основе динамики жидкостей и газов. С точки зрения молекулярной теории он объяснил закон Бойля -- Мариотта.

Даниилу Бернулли принадлежит одна из первых формулировок закона сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили), а также (одновременно с Эйлером) первая формулировка закона сохранения момента количества движения (1746). Он много лет изучал и математически моделировал упругие колебания, ввёл понятие гармонического колебания, сформулировал принцип суперпозиции колебаний.

В 1746 впервые показал, что центробежная сила не является реальной силой, а зависит от выбора системы отсчета.

В математике опубликовал ряд исследований по теории вероятностей, теории рядов, численным методам и дифференциальным уравнениям. Он первый применил математический анализ к задачам теории вероятностей (1768), до этого в ней использовался только комбинаторный подход. Бернулли продвинул также математическую статистику, рассмотрев с применением вероятностных методов ряд практически важных задач.

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида: называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

Задача:

По трубопроводу переменного сечения, состоящему из I, II, III участников, протекает жидкость. Давление в начале трубопровода Р_изб. Расход Q. Трубопровод горизонтальный. Построить графики скоростного и пьезометрического напоров в масштабе, выбранном самостоятельно.

Дано:

1. = 8 мм = 0,008 м

2. = 3мм = 0,003 м

3. = 15 мм = 0,015 м

4. = 2 мм = 0,002 м

5. = 6 мм = 0,006 м

6. = 4 мм = 0,004 м

7. Р = 3 атм = 19,806710⁴ = 29,4210⁴ Па

8. Q = 0,3 л/с= 0,310^-3 м³/с

9. = 800 кг/м³

Решение:

1.Из уравнения объёмного расхода, который вычисляется по формуле:

2.Определяем скорости в характерных сечениях:

3. Из уравнения Бернулли для произвольных сечений потока идеальной жидкости:

т.к. трубопровод симметричен, и линия симметрии совпадает с линией отсчёта АА₁, то

,,

Умножив все части уравнения на ускорение свободного падения g, получаем:

,

Т.к. из условия известно , то значения и определяется уравнением:

,

;

;

;

Пьезометрическая высота (пьезометрический напор) для характерных участков:

м

м

м

Д. Бернулли предложил свой метод решения уравнений без обоснования, которое дано было впоследствии Л. Эйлером. Рассмотрим уравнение

a₀xⁿ +a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n=0 (1)

и предположим, что оно имеет действительные различные корни x₁, x₂,…, x_n. Составим конечно-разностное уравнение

a₀y_n+i+a₁y_n+i+…+a_ny_i=0 (i = 0, 1, 2,…), (2)

в которое войдут коэффициенты а_k (k=0; 1; 2;...) уравнения (1). Уравнение (2) представляет собой рекуррентное соотношение для последовательности

y₀,y₁,y₂,…у_i,…. (3)

Эта последовательность определяет решение конечноразностного уравнения (2). Для нахождения решения у₁ нужно задать п начальных значений y₀, y₁,..., y_n-1;

остальные у_n, y_n+1,…можно определить из уравнения (2).

В теории конечных разностей доказывается, что если корни x₁, x₂,…,x_n уравнения (1) различны, то решения, конечно-разностного уравнения (2) имеют вид

y_i=C₁x₁ⁱ+C₂x₂ⁱ+…+C_nx_nⁱ (i=0, 1, 2,…), (4)

где C₁, С₂,…, С_n -- произвольные постоянные, которые можно определить из начальных условий:

y₀=C₁+C₂+...+C_n, (5)

y₁=C₁x₁+C₂x₂+…+C_nx_n,

y_n-1=C₁x₁^n-1C₂x₂^n-2+…+C_nx_n^n-1.

Докажем теорему: если алгебраическое уравнение (1) имеет единственный наибольший по модулю корень x₁, то отношение двух последовательных членов y_i+1 и y₁, решения конечно-разностного, уравнения (2) стремится при i к пределу, равному x₁

y_i+1

lim ------ = x₁.

ⁱ y_i

Предположим, что |x₁|>|x₂|?…?|x_n|. Если корни х_k (k=1, 2,..., n) различны, то из (4) получим

y_i=x₁ⁱ[C₁+C₂(x₂/x₁)ⁱ+…+C_n(x_n/x₁)ⁱ],

y_i+1=x₁ⁱ⁺¹[C₁+C₂(x₂/x₁)ⁱ⁺¹+…+C_n(x_n/x₁)ⁱ⁺¹],

Найдем теперь

y_i+1/y_i=x₁ (C₁+C₂(x₂/x₁)ⁱ+…+C_n(x_n/x₁)ⁱ)/( C₁+C₂(x₂/x₁)ⁱ⁺¹+…+C_n(x_n/x₁)ⁱ⁺¹)

Пусть С=0. Перейдем в последнем равенстве к пределу при i и учтем, что (x₂/x₁)ⁱ>0; (х₃ /х₂)ⁱ>0;…;(x₄/x₁)ⁱ>0. Получим то, что и требовалось доказать. Может быть так, что C₁=0, но С₂?0. Тогда указанный предел будет равен другому, наибольшему по абсолютной величине, корню уравнения.

В случае, когда отношение y_i+1/y_i, колеблется и не стремится к определенному пределу, предполагается, что у уравнения есть наибольшие по модулю комплексные корни. Сделаем в уравнении замену x=1/z. После этого по методу Бернулли найдется наименьший по модулю отличный от нуля корень.

Реализация метода Бернулли производится так. Сначала задаются произвольные числа y₀; y₁,...,y_n-1, затем по формуле

y_n+1=-(a_ny_i+a_n-1y_i-1+…+a₁y_n+i-1)/a₀ (i=0, 1, 2, …)

находятся числа у_n, y_n+1, y_n+2,... и отношения y_n/y_n-1, y_n+1/y_n,… Если отношение y_n+1/ y_n+i-1 при возрастании i стремится к некоторому числу, то его принимают за наибольший по модулю корень уравнения (1). Если же отношение с ростом i к пределу не стремится, то уравнение может иметь несколько наибольших по модулю корней или же это будет свидетельством того, что для выбранных y₀, y₁,… значение C₁=0.

Начальные значения y₀, y₁,…, y_n-1 выбираются произвольно; обычно полагают y₀=y₁=…=y_n-2=0,

y_n-1=1. Метод Бернулли применяют также для нахождения комплексных корней уравнения (1).

В публикации 1738 г. Д. Бернулли распространил метод рекуррентных последовательностей на случай рядов.

Как вдруг появились ряды? Дифференциальное и интегральное исчисления возникли в связи с необходимостью решать конкретные механические и геометрические задачи, не поддававшиеся средневековой и античной математике. А ряды? Они на первый взгляд кажутся крайне искусственными. Но это глубокое заблуждение. Ряды возникли одновременно с дифференциальным и интегральным исчислениями, и теория их строилась Ньютоном, Лейбницем, представителями семьи Бернулли и последующими математиками. И при изучении их деятельности рельефно выступают ее проблематика и методология.

С рядами дело обстояло так же естественно, как и с другими важнейшими разделами математики, получившими бурное развитие в XVIII в.: они применялись там, где другие средства исследования отказывали. Степенные ряды давали возможность приближенно решать уравнения, вычислять значения функций, вычислять интегралы, не выражающиеся через конечное число элементарных функций, решать дифференциальные уравнения, не интегрируемые в конечном виде.

В 1732 г. Парижской академией был объявлен конкурс с удвоенной премией на тему “О взаимном наклонении планет”. Премию получили Д. и И. Бернулли. Премированы также сочинения Д. Бернулли: “О лучшем способе устройства якорей” (1738), “О морском приливе и отливе” (1740), “О наилучшем способе устройства магнитных стрелок наклонения” (1743), “О лучшем способе определения времени в море” (1745-1746), “Теория магнита” (1742, 1744, 1746), “О теории течений и о лучшем способе их наблюдать” (1751 удвоенная премия), “О наиболее выгодном способе замены действия ветра на больших судах” (1753), “О наилучшем способе уменьшения боковой и килевой качки судна” (1757).

У семьи Бернулли есть также много других открытий в области высшей математики и физики. Вот несколько примеров таких открытий:

БЕРНУЛЛИ СХЕМА (назв. по имени Я. Бернулли), одна из основных математических моделей для описания независимых повторений опытов, используемых в теории вероятностей. Бернулли схема предполагает, что имеется некоторый опыт Х и связанное с ним случайное событие А (типичный пример: S-- бросание монеты, А - выпадение герба). Производят n независимых повторений S. При каждом осуществлении S событие А может наступить с вероятностью р (здесь р=1/2), или наступить неудача с вероятностью g=1-p. Таким образом схема Бернулли определяется двумя параметрами: п и р.

БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА, одна из важнейших теорем теории вероятностей; является простейшим случаем т. н. закона больших чисел. Бернулли теорема была впервые опубликована в труде Я. Бернулли “Искусство предположений”, изданном в 1713. Первые ее доказательства требовали сложных математических средств, лишь в сер. 19 в. П. Л. Чебышев нашёл необычайно изящное и краткое её доказательство. Точная формулировка теоремы Бернулли такова: если при каждом из п независимых испытаний вероятность некоторого события равна р, то вероятность того, что частота т/п появления события удовлетворяет неравенству |т/п--р|<е (е--произвольно малое положительное число), становится сколь угодно близкой к единице при достаточно большом числе п испытаний. Из доказательства Чебышева вытекает простая количественная оценка этой вероятности:

Р {|т/п--р|<е}>1--р(1--р)/пе². В. И. Битюцков.

БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ, дифференциальное уравнение 1-го порядка вида:

dy/dx + Py = Qy^a

где Р, Q -- заданные непрерывные функции от х, а -- постоянное число. Введением новой функции z=y^1-a. Уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению относительно z. Уравнение Бернулли было рассмотрено Я. Бернулли в 1695, метод решения опубликован И. Бернулли в 1697 г.

БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Уравнение Бернулли было выведено Д. Бернулли в 1738 г. для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности с, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:

v²/2+p/с + gh = const

где g - ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на с, то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объема жидкости, а другие два члена - его потенциальную энергию. Уравнение Бернулли в такой форме выражает закон сохранения энергии

Список использованной литературы

1. Н. Я. Виленкин “Великие математики Бернулли”

2. “Большая Советская Энциклопедия” (в 30 томах). Гл. редактор А. М. Прохоров. 3-е издание М.. “Советская Энциклопедия” 1970 г.

3. “ Энциклопедический словарь юного математика”

4. “Справочник по элементарной математике” М. Я. Выгодский

Размещено на Allbest.ru