Математика Средних веков

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

на тему: Математика средних веков

Математика в Китае

Обзор математики Китая показывает, что она развивалась до XIV в. преимущественно как совокупность вычислительных алгоритмов, предназначенных для решения на счетной доске некоторых классов задач арифметики, алгебры и геометрии. Наиболее значительными из этих алгоритмов являются метод фан-чэн решения систем линейных уравнений и метод тянь-юань решения алгебраических уравнений высших степеней.

Метод фан-чэн - это регулярный алгоритм решения системы п линейных уравнений с п неизвестными. Используя современную терминологию, можно сказать, что китайский вычислитель применял матрицу, столбцы которой представляют уравнения, а строки -- коэффициенты при неизвестных и свободные члены. Слово «фан-чэн» буквально означает выстраивание чисел по клеткам. Правильное расположение чисел на счетной доске заменяло китайскому математику буквы и индексы нашей символики. А в словесном описании систем применялся условный язык специальных знаков десятиричного или двенадцатиричного календарного цикла, который мы передаем буквами А, Б, В и т.д.

Метод фан-чэн близок к методу определителей, идею которого в Европе впервые высказал Лейбниц и которую развил Крамер (1750). Однако он отличается от метода определителей принципиально. Хотя китайский вычислитель оперировал на доске с отвлеченными числами, связь таблицы с уравнениями еще очень сильна. Для создания определителей нужно было отделить от расширенной таблицы свободные члены, сделать столбцы и строки равноправными и т. д. Все это и было сделано европейскими математиками Нового времени.

Тем не менее следует заметить, что крупному японскому математику Секи Кова удалось довести метод фан-чэн до метода определителей еще в 1683 г. Однако его работа, так же как и сам метод фан-чэн, оставалась неизвестной в Европе до XIX в.

Необходимым условием применения метода фан-чэн было введение отрицательных чисел, которым они дали простейшее толкование.

Развитие и завершение разработки другого важнейшего достижения -метода тянь-юань - в общем виде принадлежит трем крупнейшим алгебраистам XIII--XIV вв. -- Цинь Цзю-шао, Ли Е, Чжу Ши-цзе, олицетворявшим расцвет китайской математики в начале монгольского владычества в Китае.

С календарными и астрономическими расчетами была связана разработка в Китае интерполяционных приемов, позволяющих приближенно находить по небольшому числу эмпирических данных значения функций, заданных таблицами, между точками задания табличных значений. Около 600 г. астроном и математик Лю Чжо применил с этой целью квадратный трехчлен.

Математики Китая широко пользовались алгебраическими и геометрическими преобразованиями, располагали доказательствами ряда тождеств и геометрических теорем, хотя китайская наука имела мало общего с дедуктивной наукой греческого образца.

Китайским математикам были известны такие геометрические факты, как перпендикулярность радиусов в точках касания касательным, равенство отрезков касательных от точки касания до точки пересечения и т. д. В одной задаче рассматривается вписанный в круг прямоугольный треугольник, причем используется то, что угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Комментатор «Математики в девяти книгах» Лю Хуэй в «Трактате о морском острове» определял расстояния до недоступных предметов и размеры этих предметов (высоту морского острова, глубину оврага, ширину реки и т. д.), используя пропорциональность соответственных сторон подобных фигур.

Китайская математика не была изолирована от развития математики в других странах. Есть ряд несомненных фактов взаимного влияния математики Китая, Индии и стран ислама. Появление отрицательных чисел, доказательства теоремы Пифагора и некоторых характерных задач в Индии через несколько столетий после их появления в Китае указывает на культурный обмен между этими странами в первые столетия нашей эры; об этом же свидетельствует близость китайской и индийской нумераций. О культурном обмене между Китаем и Средней Азией свидетельствует появление в Средней Азии правила двух ложных положений, метода Горнера для извлечения корней любой степени и десятичных дробей после их появления в Китае. Несомненен факт взаимных посещений ученых Китая и стран ислама в XIII--XV вв. Через Индию и страны ислама математика Китая оказывала влияние на математику Европы, хотя многие важные открытия математиков Китая стали известны в Европе значительно позже того, как европейские ученые пришли к этим открытиям самостоятельно.

Математика в Индии

В VI веке н.э. расцвела самобытная математическая школа в Индии. Расцвет индийской математики относится к V--XII вв. (наиболее известны индийские математики Ариабхата (конец V в.), Брамагуита (VII в.), Бхаскора (XII в.)). Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной системы нумерации и систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда (лишь в некоторых случаях аналогичный знак в шестидесятиричной системе встречается в поздних вавилонских текстах) и разработка на этой основе более совершенной вычислительной техники, включая близкие к современным приемы деления многозначных чисел (эта операция не представляла, конечно, для математиков древнего мира принципиальной трудности, но осуществлялась более сложным образом). Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь «арабскими», не вполне выяснено. Второй, еще более важной основной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.

Если современные геометрические курсы в значительной степени восходят к греческой математике, то наша арифметика имеет, несомненно, индийское происхождение. Именно от индийской позиционной нумерации происходит наша нумерация, индийцы же первые разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации.

Познакомившись с достижениями эллинов, индийцы были удивлены: какая совершенная у них геометрия, и какая неудобная арифметика! Хуже всего греческая система записи чисел: с помощью букв, без всякой связи с привычным счетом на пальцах. Надо связать обозначения чисел с процедурой счета! Индийские ученые сделали это, создав позиционную десятичную систему счисления.

Первый шаг к этой цели сделал около 500 года молодой математик Ариабхата из города Кусумапура. Он начал изображать каждый разряд в десятичной записи целого числа парой букв. Согласная обозначала цифру, а гласная - номер разряда, так что символ ВА означал В*10. Эти пары букв записывались по возрастанию степеней числа 10. Но различить такое слово-число в обычном тексте было не просто; поэтому вскоре начертания букв-цифр были изменены, и появились первые десятичные цифры. Нуля среди них еще не было - но вскоре пришлось его ввести, для удобства чтения десятичной записи. Через сто лет после Ариабхаты его соотечественник Брахмагупта уже свободно оперировал с отрицательными числами и нулем и решал целочисленные уравнения. Как только арабы покорили Иран и вторглись в Индию (в 660-е годы), они сразу оценили индийскую систему счета и переняли ее. Вскоре позиционная система счисления распространилась во всем арабском Халифате - от Индии до Андалузии (будущей Испании), от Египта до Поволжья. С тех пор во всем мире (кроме Индии) десятичные цифры называют "арабскими".

К основным арифметическим действиям индийцы относили сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического корней. Дроби в Индии были известны с древности. Правила действий над дробями почти не отличались от современных. математический китай арифметический арабский

В индийских сочинениях встречаются многочисленные задачи па простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, правило товарищества, правило смешения, простые и сложные проценты, прогрессии. Одни задачи имели непосредственное практическое значение, другие составлялись для упражнения и развлечения.

Широкое применение имело тройное правило («трай-рашика» -- буквально «три места»), состоящее в нахождении числа х, составляющего с тремя данными числами а, b, с пропорцию. Это правило было известно еще египтянам и грекам, но индийцы выделили его как специальный арифметический прием и разработали схемы, позволяющие применять его к задачам, содержащим несколько величин, связанных пропорциями. Итак, индийские ученые сделали большой шаг в создании символической алгебры.

Индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в. н. э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное -- как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Ему еще не была известна двузначность квадратного корня, но уже в 850 г. Магавира в своей книге «Ганита-сара-санграха» («Краткий курс математики») пишет: «Квадрат положительного или отрицательного -- числа положительные, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными. Так как отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не имеет квадратного корня». Последние слова Магавиры показывают, что он ставил вопрос и об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что эта операция невозможна. Не исключено, что об отрицательных числах индийские ученые узнали в результате контактов с китайской наукой.

Знания и открытия индийских математиков в области геометрии значительно уступают их знаниям и открытиям по арифметике, алгебре, теории чисел. Специальных сочинений по геометрии в Индии не было, геометрические сведения сообщались в арифметических трактатах или в арифметических разделах сочинений по астрономии.

Геометрические предложения приводились без доказательств. Часто все сводилось к чертежу со словом «смотри», который в редких случаях сопровождали краткие указания. По-видимому, доказательства сообщались учащимся устно. В геометрических задачах вопрос сводился к вычислению и никогда -- к построению. Однако многими видами построений индийцы владели и пользовались в строительном деле.

Суммирование числовых рядов интересовало многих индийских математиков. Отдельные примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются еще в «Ведах». Ариабхата приводит правила суммирования рядов треугольных чисел, натуральных квадратов и кубов, а Мага-вира -- правила суммирования геометрической прогрессии и таких рядов, как ряды квадратов и кубов членов арифметической прогрессии. В XVI в. Нарайана произвел еще более общие суммирования.

Наиболее замечательных успехов в области бесконечных рядов достигли южноиндийские математики в XVI в. Поводом к их исследованиям послужили, по-видимому, поиски приемов более точного вычисления числа р. Нилаканта приводит словесно, без доказательств, разложения дуги, равной четверти окружности, в виде бесконечных числовых рядов, получающихся из общего степенного ряда арктангенса. В анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений»), также написанном в Южной Индии в XV--XVI вв., приводятся не менее замечательные правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды, а также приближенные формулы для синуса и арксинуса.

Южноиндийские ученые предвосхитили многие результаты, которые были вновь получены в Европе в XVII -- XVIII вв. Так, ряд арктангенса был вновь найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г. Соотношением пользовался в 1739 г. Эйлер для разложения числа р. Ряды для синуса, косинуса и арксинуса были выведены И. Ньютоном около 1666 г.

Индийцы предвосхитили не только конечные результаты, но отчасти и методы, приводящие к ним.

Индийская математика оказала огромное влияние на развитие математики, как на Востоке, так и на Западе. Именно в Индии была разработана наша арифметика, основанная на десятичной позиционной нумерации, а также такие арифметические правила, как тройное правило и его обобщения. Наши термины «корень» и «синус» постоянно напоминают нам о роли индийских ученых в разработке алгебры и тригонометрии. Оказали влияние на Европу и их теоретико-числовые исследования. В значительной степени индийцам обязаны мы и введением отрицательных и иррациональных чисел. К сожалению, математические и астрономические труды индийцев, написанные в XV--XVII вв., и в частности такое замечательное открытие, как бесконечные ряды для арктангенса, синуса и косинуса, остались в свое время неизвестными за пределами Индии и были получены вновь европейцами.

Математика в странах арабского мира

В конце 8 века мировое научное первенство перешло из индийского мира в Исламский мир, центром которого стал Багдад. Основатель Багдада - халиф Мансур (707-775) - хотел, чтобы его столица превзошла великолепием и ученостью Александрию и Константинополь. Но ученых арабов в ту пору было еще мало. Ведущую роль в новом "Доме Мудрости" в Багдаде играли сирийцы и персы, согдийцы и греки, принявшие ислам.

В VIII -- X вв., в первый период развития математики стран ислама, на арабский язык были переведены индийские «сиддханты», получившие в переводе название «Синдхинд» (Хинд -- арабское название Индии), «Начала» Евклида, «Измерение круга», «О шаре и цилиндре» Архимеда, «Конические сечения» Аполлония, «Сферика» Феодосия, «Сферика» Менелая, «Алмагест» Птолемея, «Арифметики» Диофанта и ряд других сочинений. Наряду с этим в формировании математики в странах ислама большую роль сыграли местные традиции, веками складывавшиеся на территориях Египта, Сирии и Месопотамии, Средней Азии и Ирана, а также связи с Индией и далеким Китаем. Первоначально, естественно, преобладало усвоение культурного наследия прошлого, но очень быстро сложилась своеобразная собственная математическая культура. Среди других течений математической мысли Востока арабская математика выделяется глубоким синтезом устремлений, направленных на решение задач практической жизни и ведущей науки той эпохи -- астрономии, с интенсивной работой теоретической мысли, воспитанной на лучших греческих образцах. Последнее позволило поднять на весьма высокий уровень научную разработку вычислительно-алгоритмических проблем и методов, стоявших на первом плане во всей восточной математике, но развивавшихся в Индии и Китае менее мощными и менее строгими средствами. Эта тенденция, характерная уже для арабской математики IX в., усиливалась вплоть до XV столетия. Ее плодом явилось значительное развитие арифметики в широком смысле слова, от решения задач коммерческого характера до теории отношений и учения о действительном числе, геометрии, в частности, столь важной для дальнейшего прогресса точных наук теории параллельных, а особенно алгебры и тригонометрии, которые впервые формируются здесь в большие самостоятельные науки. Некоторое развитие получили и инфинитезимальные методы. Уже в середине IX в. арабские математики владели античным методом исчерпывания, который обогатили некоторыми приемами, позволившими им получить по-новому уже ранее известные, а также и совсем новые результаты.

С самого начала развития математики в арабских странах чрезвычайно большое место в ней занимают приближенные вычисления, необходимые для составления тригонометрических и астрономических таблиц, определения различных геометрических величин (длины окружности, элементов правильных многоугольников и многогранников и т. д.). Быстрое развитие числовой алгебры и ее геометрических приложений также вели к тому, что иррациональные числа все чаще и чаще входили в употребление и становились предметом исследований. Частое оперирование алгебраическими иррациональностями в их арифметической форме подготовляло почву для выделения понятия об иррациональном числе, равноправном с рациональными числами -- целыми и дробями. Иррациональное число начинает представляться более простым объектом, чем античные несоизмеримые отрезки.

Математика стран ислама оказала исключительное влияние на развитие математики как на Востоке, так и на Западе. В XIII в. в Ханбалыке (Пекин) появились исследования по сферической тригонометрии. Эти работы, несомненно, связаны с деятельностью Насвр ад-Дина ат-Туси. Известно, что в 1267 г. в Ханбалык прибыл сотрудник Марагинской обсерватории Джамал ад-Дин (по китайским источникам -- Чжа-ма-лу-тин), доставивший туда новые астрономические приборы, а также что в Мараге работал китайский астроном Фао Мун-чи. Крупный среднеазиатский ученый XI в. ал-Бируни прожил несколько лет в Индии. В своей «Индии» ал-Бируни писал, что он познакомил индийских ученых с «Началами» Евклида, «Алмагестом» Птолемея и некоторыми своими трактатами, переводя их на санскрит.

Математика в Европе

Для западноевропейской математики XII--XV вв. являются по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот период, не приведший еще к открытию особенно значительных новых математических фактов, общий характер европейской математической культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремительного развития математики в последующие века. Высокий уровень требований быстро развивающегося общества привел к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в XII в. первых латинских переводов греческих и арабских математических сочинений итальянский математик Леонардо Ливанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои «Книгу об абаке» (1202) и «Практику геометрии» (1220), излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Он был первым самостоятельным математиком Западной Европы, полностью осветившим все достижения математиков стран ислама и продвинувшимся дальше их. Основной труд Леонардо -- «Книга абака» (Liber abaci) -- написан им в 1202 г. и переработан в 1228 г. Под словом «абак» Леонардо подразумевает не счетную доску, а арифметику вообще. Эта замечательная книга послужила одним из важных средств распространения новой арифметики и других математических знаний в Европе. Леонардо систематизировал в ней огромное количество сведений, почерпнутых из арабских трудов, добавил, как он выражается сам, кое-что из геометрического искусства Евклида, а по существу -- из античного наследия вообще, а также присоединил ко всему этому собственные задачи и методы. Арифметику и алгебру линейных и квадратных уравнений Леонардо изложил с непревзойденной ни ранее, ни долгое время спустя полнотой и глубиной, что относится и к латинской и к арабской литературе.

С первых строк Леонардо выступает решительным сторонником методов, которые называет индийскими, в сравнении с которыми «дуги Пифагора», т. е. приемы абацистов, представляются ему отклонением от верного пути.

На протяжении XIII и XIV вв. в английских и французских университетах видное место заняла разработка вопросов физики, причем отправным пунктом служили натурфилософские сочинения Аристотеля и его последователей на арабском Востоке. Особенное внимание привлекали механика, с одной стороны, и некоторые свойства тепловых, оптических и иных явлений -- с другой.

Одним из пионеров этого движения был английский философ и ученый Роберт Гроссетест (ок. 1175--1253) (grosseteste -- большеголовый), епископ Линкольнский. Роберт получил образование в Оксфорде и, быть может, в Париже, а затем был лектором и первым канцлером Оксфордского университета. Другим, еще более прославленным лидером явился ученик Гроссетеста Роджер Бекон (ок. 1214--1294), воспитывавшийся в Оксфорде и Париже и преподававший в обоих университетах. Оба они обладали огромной эрудицией, почерпнутой главным образом из сочинений греческих и арабских авторов, и были знатоками Аристотеля. Деятельность Гроссетеста и Бекона обняла всю совокупность знаний. Они писали по астрономии, по оптике, бывшей тогда важнейшей из физических наук, о календаре, подчеркивая необходимость его реформы, которая, впрочем, была произведена гораздо позднее. «Главный труд» (Opus majus) (1266--1267) Бекона представлял собой вместе с двумя приложениями подлинную энциклопедию наук XIII в., включая географию, алхимию и т. д.

В середине XIV в. возникло еще одно замечательное направление средневековой математики, выступавшее под различными названиями: учение о конфигурациях качества, или о широтах форм, или равномерности и неравномерности интенсивностей и т. д. В этом учении содержатся прообразы идей функциональной зависимости и ее графического изображения,-- кристаллизация соответствующих понятий и методов произошла только в XVII столетии.

Наряду с этим практическим направлением, основными центрами теоретической научной мысли становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретической дисциплины, а не только собрания практических правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин (английский математик Т. Брадвардин (1-я половина XIV в.) и французский математик Оресм (середина XIV в.)) и особенно во введении дробных (Н. Оресм), отрицательных и нулевых (французский математик И. Шоке (конец XV в.)) показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых величинах (Т. Брадвардин и итальянский математик Николай Кузанский (1-я половина 15 в.)), о характере изменения функций вблизи максимумов и минимумов (Н. Оресм) и т. п. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашел отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных тригонометрических таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака немецким математиком И. Региомонтаном (И. Мюллером), являющимся также автором руководства по тригонометрии «Пять книг о всевозможных треугольниках» (1461, опубликовано в 1533). Значительно совершенствуется математическая символика.

Однако решающий прорыв из Средневековья в Новое время европейцы совершили, когда изобрели печатный станок с подвижным металлическим шрифтом. В 1482 году в Венеции была впервые напечатана (по латыни) книга Евклида "Начала". С этого момента для математиков кончилось Средневековье и началось Новое время.

Размещено на Allbest.ru