Метод Монте-Карло

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

БФ ФГОБУ ВПО СибГУТИ

Доклад

на тему: «Метод Монте-Карло»

Выполнил: Жапова И.Т.

Проверил: Хогоева Л.Е.

г. Улан-Удэ 2012 г.

Среди многообразия численных методов в математических расчетах, в последнее время, можно говорить о возрождении такого метода - как метод Монте-Карло. Связано это в первую очередь с тем, что применение метода Монте-Карло требует больших вычислительных мощностей, что до поры до времени было весьма проблематично. Методы Монте-Карло - это общее название группы методов для решения различных задач с помощью случайных последовательностей. Эти методы (как и вся теория вероятностей) выросли из попыток людей улучшить свои шансы в азартных играх. Этим объясняется и тот факт, что название этой группе методов дал город Монте-Карло - столица европейского игорного бизнеса. (Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел.) Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Классическим примером такого моделирования является "игла Бюффона", т. е. получение числа p путём случайного бросания иглы на горизонтальную поверхность, расчерченную сеткой равноотстоящих параллельных линий.

Идея использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло была развита Уламом, который, раскладывая пасьянсы, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс «сложится». Ему в голову пришла идея, что вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, можно просто поставить «эксперимент» большое число раз и, таким образом, подсчитав число удачных исходов, оценить их вероятность.

Следует немного пояснить сам метод Монте-Карло. Идея очень проста, если требуется найти решение задачи, почему бы ни решить эту задачу случайным образом? С помощью монеты (орел или решка), с помощью игральных костей, с помощью рулетки казино. Всегда существует вероятность, что случайно выпавшее число или вариант решения будет правильным.

Конечно, трудно себе представить современного ученого, аспиранта, студента с рулеткой из казино на столе или с игральными костями, решающего уравнения термодинамики или вычисляющего объемный интеграл с их помощью, но существуют электронные вычислительные машины, программное обеспечение которых позволяет генерировать псевдослучайные последовательности чисел. Далее, на основании полученного «случайным» образом числового значения осуществляется выборка определяющего параметра из допустимого диапазона чисел, найденное значение подставляется в уравнение, которое решаем. В результате математических вычислений получаем значение f(x), которое необходимо проверить на так называемую допустимую погрешность вычислений - определяющую требуемую точность. Вот так коротко можно описать саму реализацию алгоритма вычислений с помощью метода Монте-Карло.

Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

Техника моделирования

Обычно метод Монте-Карло реализуют в виде программы на универсальной ЭВМ. Ранее применялись механические устройства, ныне всё чаще используют спец. моделирующие устройства с применением микропроцессоров. С помощью таких устройств получен ряд результатов в статистической физике и квантовой теории поля.

Для реализации случайной величины в методе Монте-Карло традиционно используют датчики, генерирующие случайную последовательность чисел, равномерно распределённых на интервале (0,1). Различают три типа случайных чисел. Истинно случайные числа можно вырабатывать, например, преобразуя случайные сигналы от радиоактивного источника или от шумового диода. Таким способом можно достаточно быстро получать большие последовательности случайных чисел. В расчётах на ЭВМ используют псевдослучайные числа, полученные с помощью некоторого алгоритма. Назначение такого алгоритма - генерировать числа, которые похожи на случайные.

Использование метода Монте-Карло базируется главным образом на возможности его применения для вычисления интегралов, решения интегральных уравнений и др.

В физике элементарных частиц одним из первых применений метода Монте-Карло было моделирование электронно-фотонных ливней. Успех метода в приложении к этой задаче определяется тем, что классическое описание процесса, хотя и не представляет принципиальных трудностей, практически бесполезно из-за чрезмерно большого числа переменных. Решение проблемы с помощью метода Монте-Карло сводится к моделированию судьбы каждой частицы (гамма-кванта, электрона или позитрона), участвующей в процессе, и моделированию соответственного элементарного акта взаимодействия. При этом возникают параметры вторичных частиц, судьбу которых прослеживают аналогично. Имеется ряд прикладных программ, работающих по этому принципу, однако для сверхвысоких энергий прослеживание всех частиц требует нереально большого машинного времени.

Метод Монте-Карло применяют также для исследования квантовых жидкостей и кристаллов. С помощью этого метода можно решать уравнения Шредингера и получать точные численные оценки для характеристик основных состояния бозонной системы.

Важное практическое применение метод Монте-Карло нашёл в ядерной геофизике. Широкое использование нейтронного и гамма-каротажа при поиске полезных ископаемых делает актуальными задачи переноса излучения в многокомпонентной среде и оценки функции отклика прибора с учётом реальных геологических и технических условий измерения. Решение этих задач основано на применении метода Монте-Карло.

В 1980-х гг. прямое статистическое моделирование стало применяться в аэро- и гидромеханике. Типичной задачей в этой области является обтекание тела произвольной геометрии высокоскоростной струёй разреженного газа. Процесс описывается нелинейным уравнением Больцмана, и оценки эксперимента величин (напр., распределение потоков импульса и энергии на поверхности тела) проще получаются с применением метода Монте-Карло.

математический случайный число моделирование

Интересные факты про рулетку

1.Рулетка занимает третье место по популярности среди азартных игр в казино.

2.Существует несколько видов игры в рулетку, среди них такие как американская, европейская, французская и другие менее известные. Наибольшие шансы выигрыша у игрока - при игре в европейский вариант.

3.Слышали ли Вы, что рулетку также называю «игрой дьявола»? Причиной этому служит не только то, что любая игра казино рискованна, но и то, что если сложить все числа на колесе рулетки в сумме Вы получите знаменитые три шестерки. Вторая причина основана на легенде о том, что двое братьев в казино из Монте Карло продали душу дьяволу за то, чтобы тот открыл им секрет этой азартной игры.

4.Свое название «рулетка» получила от французского слова, которое в прямом переводе звучит как «маленькое колесико»

5.Один англичанин по имени Эшли Ревелл однажды продал все свое имущество для того, чтобы съездить в Лас-Вегас и сыграть в рулетку. В этот вечер англичанин выиграл 135 тысяч 300 долларов, поставив все на красное.

Пример. Методы Монте-Карло (ММК) - это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла:

(1)

При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

(2.)

(3)

Здесь г_i - случайное число, равномерно распределенное на интервале [0, 1]. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.

Размещено на Allbest.ru