Основы теории вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Из 30 экзаменационных билетов студент выучил 23. На экзамене он берет билет первым. Какова вероятность, что ему попадется билет, который он знает? Какова будет эта вероятность, если студент пришел на экзамен последним и тянет последний оставшийся билет?

Решение: Пространство всех возможных исходов состоит из n=30 элементов.

Благоприятные исходы - студенту попался билет, который он знает - m=23 элементов.

Вероятность того, что студенту попадется билет, который он знает, составляет .

Если студент пришел на экзамен последним, то вероятность того, что ему попадется билет, который он знает, все равно равна 0,767.

Ответ: 0,767

2. В первой из двух студенческих групп учатся а юношей и в девушек, во второй с юношей и d девушек. Из каждой группы наугад вызывается по одному студенту. Какова вероятность, что это будут юноши?

Решение: Вероятность того, что студент из первой группы - юноша, равна . Вероятность того, что студент из второй группы окажется юношей, равна .

Найдем вероятность того, что оба студента - юноши, воспользовавшись теоремой умножения вероятностей

Ответ:

3. В организацию внедрились три секретных агента, работающие независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение года секретный агент будет разоблачен, для первого агента равна 0,9, для 2-го равна 0,8, для 3-го агента равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение года будет выявлен хотя бы один секретный агент.

Решение: А - в течение года первый агент будет разоблачен,

В-в течение года второй агент будет разоблачен,

С - в течение года третий агент будет разоблачен.

- в течение года первый агент не будет разоблачен,

- в течение года второй агент не будет разоблачен,

- в течение года третий агент не будет разоблачен.

Вероятность того, что ни один агент не будет в течение года разоблачен, .

Вероятность того, что в течение года будет выявлен хотя бы один секретный агент, .

Ответ: 0,997

4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 12 новорожденных будет 10 девочек.

Решение: n=12, k=10, p=1-0,515=0,485.

По формуле Бернулли находим вероятность того, что среди 12 новорожденных будет 10 девочек

Ответ: 0,0126

5. Поручик Ржевский знакомится только с блондинками. Но в среднем только 20% блондинок натуральные, остальные - крашеные. Из 25 знакомых блондинок поручик случайным образом выбирает трех, с которыми идет вечером в театр. Найти вероятность того, что две из них окажутся натуральными, а одна - крашеной.

Решение: Найдем вероятность этого события по классическому определению вероятности:

,

где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

- число способов выбрать любых 3 блондинок из имеющихся 25 блондинок.

- число способов выбрать 2 натуральных блондинок из 5 (20% от 25 блондинок) и 1 крашенную блондинку из 20=25-5 блондинок.

Ответ: 0,087

математический вероятность случайный

6. Изделия некоторого завода содержит 5% брака. Составить закон распределения случайной величины Х - числа бракованных изделий среди пяти взятых на удачу. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины

Решение: Случайная величина Х распределена по биноминальному закону с параметрами n=5 (число изделий), p=0,05 (вероятность того, что изделие бракованное) и может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5. Найдем соответствующие вероятности по формуле Бернулли: .

Получаем:

Закон распределения Х=(Число бракованных изделий) имеет вид:

Математическое ожидание

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

7. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (б, в). Построить графики функций F(X) и f(X)

Решение: График функции F(X)

Плотность вероятности найдем, продифференцировав функцию распределения:

Математическое ожидание

Дисперсия

Вероятность попадания случайной величины в интервал (-0,5; 2):

Размещено на Allbest.ru