Размещено на http://www.allbest.ru/

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ МЧС РОССИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ

для слушателей заочного и дистанционного обучения

направление подготовки 080200.62 - Менеджмент

профиль - Тыловое обеспечение

квалификация (степень) - бакалавр

Калинина Е.С.,

Крюкова М.С.

Санкт-Петербург - 2013

Содержание

• 1. Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе №1
• 1.1 Предел функции
• 1.2 Производная функции
• 1.3 Дифференциал функции
• 1.4 Исследование функций
• 1.5 Неопределенный интеграл
• 2. Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе №2
• 2.1 Теория вероятностей
• 2.2 Случайные величины
• 2.3 Нормальное распределение
• 2.4 Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения
• 2.5 Регрессионный анализ
• 2.6 Проверка статистических гипотез
• Рекомендуемая литература

1. Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе №1

1.1 Предел функции

Число называется пределом числовой последовательности , ,…, ,…, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство: .

Предел числовой последовательности обозначается или при . Последовательность, имеющая предел, называется сходящийся, в противном случае - расходящейся.

Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от; ), что для всех таких, что , верно неравенство: .

Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от; ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .

Теоремы о пределах:

1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

.

2. Предел произведений конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

.

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

.

Пример 1.1 Найти следующие пределы: а) , б) , в) , г) .

Решение.

а) Так как , то числитель дроби стремиться к числу , а знаменатель - к числу . Следовательно, .

б) Числитель и знаменатель дроби при стремиться к нулю (неопределенность вида ). Разложим на множители числитель дроби: .

в) Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму : .

г) Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получаем , так как при каждая из дробей , , стремиться к нулю.

Первым замечательным пределом называется , вторым замечательным пределом

.

Пример 1.2 Используя первый замечательный предел вычислить: а) , б) .

Решение.

а) Используя первый замечательный предел, имеем: .

б) .

Пример 1.3 Используя второй замечательный предел вычислить .

Решение.

.

1.2 Производная функции

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Производная функции имеет несколько обозначений: , , . Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Таблица производных основных элементарных функций

Пример 2.1 Найти производные функций: а) , б) .

Решение.

а) - степенная функция. Используя формулу производной для степенной функции, получим

.

б) - показательная функция. Используя формулу производной для показательной функции, получим

.

Основные правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. .

2. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

.

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной .

4. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

/

Пример 2.2. Найти производные функций: а) , б) , в) .

Решение.

а) По правилу дифференцирования суммы двух функций, получим

.

б) По правилу дифференцирования произведения двух функций, получим

.

в) По правилу дифференцирования частного двух функций, получим

.

Пусть переменная есть функция от переменной , а переменная в свою очередь есть функция от независимой переменной , т.е. задана сложная функция .

Теорема. Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е.

.

Пример 2.3. Найти производные функций: а) , б) , в) .

Решение.

а) Функцию можно представить в виде , где , тогда

.

б) Имеем , где , тогда

.

в) Имеем , где , тогда

.

Производная сама является функцией, которая также может иметь производную. Производной порядка называется производная от производной порядка.

Пример 2.4. Найти производную второго порядка от функции

.

Решение. Дифференцируя данную функцию, получим

.

Дифференцируя производную , найдем вторую производную

.

1.3 Дифференциал функции

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде:

,

.

Пример 3.1. Найти дифференциал функции .

Решение. Дифференциал функции:

.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е. .

Аналогичного дифференциалом порядка (или дифференциалом) называется дифференциал от дифференциала порядка этой функции, т.е. .

Итак, по определению . Найдем выражение второго дифференциала функции . Так как не зависит от , то при дифференцировании считаем постоянным:

, .

Аналогично, выражение дифференциала функции имеет вид:

.

Пример 3.2. Найти , если .

Решение. производная дифференциал вероятность случайная

, , .

1.4 Исследование функций

Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если для любых , , верно неравенство .

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка , то она возрастает на этом промежутке.

Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка , то она убывает на этом промежутке.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Для того чтобы дифференцируемая функция имела в точке экстремум, необходимо, чтобы и достаточно, чтобы при переходе через точку происходила смена знака первой производной.

Пример 4.1. Найти экстремумы функции .

Решение.

1. Дифференцируя данную функцию, находим .

2. Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции , . Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет - определена на всей числовой оси.

3. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знак производной на каждом интервале.

	+	-	+
	-2	2

Согласно достаточному условию точка является точкой максимума, точка - точкой минимума.

4. Находим , .

График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) любой касательной к графику функции на этом интервале.

Достаточное условие существования точки перегиба. Пусть график функции определяется уравнением . Если или не существует, и при переходе через значение вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.

Пример 4.2. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба график функции

Решение. 1. Дифференцируя данную функцию дважды, находим:

, .

2. Приравнивая вторую производную к нулю, и находим точки, в которых вторая производная равна нулю , .

3. Нанесем точки на числовую прямую и определим знак второй производной на каждом интервале.

	+	-	+
	-1	1

4. Функция выпукла вниз на интервалах , , вверх - . Точки , являются точками перегиба.

Асимптотой графика функции называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на графике функции, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат вдоль графика.

Для нахождения асимптот пользуются следующими положениями:

1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции (слева) или при (справа) равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

3. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечные пределы:

и .

Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Пример. 4.3. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Решение. Точка - точка разрыва II рода. Так как , , то прямая является вертикальной асимптотой.

Пример 4.4. Найти горизонтальные асимптоты графика функции .

Решение. Так как , то прямая является горизонтальной асимптотой.

Пример 4.5. Найти наклонные асимптоты графика функции .

Решение. Так как

,

,

то прямая является наклонной асимптотой.

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Пример 4.6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции: .

2. Функция общего вида, так как

.

3. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точке . Так как

, ,

то прямая является вертикальной асимптотой.

4. Поведение функции в бесконечности. Вычислим:

.

Функция горизонтальных асимптот не имеет. Так как:

,

,

то прямая является наклонной асимптотой.

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции. Дифференцируя данную функцию, находим

.

Приравнивая производную к нулю, находим критические точки функции . В точке производная не существует. Определим знак производной на каждом интервале.

	-	+	-
	-1	0

Функция возрастает на интервале , убывает - , . Точка является точкой минимума .

6. Определим интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Найдем производную второго порядка:

.

Приравнивая вторую производную к нулю, и находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует . Знаки производной второго порядка указаны на рисунке.

	+	+
	0

Функция выпукла вниз на интервалах , . Точек перегиба нет.

7. Точка является точкой пересечения функции с осью абсцисс.

				4
				3
				2
				1
-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
				-1
				-2
				-3

1.5 Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Например, является первообразной для функции , так как .

Если для данной функции найдена какая-нибудь одна первообразная , то любая другая первообразная для имеет вид , где .

Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Знак - называется знаком интеграла; - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением.

Если является какой-либо первообразной для функции , то неопределенный интеграл равен , где .

Таблица основных интегралов

,

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

,

где - некоторое число.

4. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

.

Пример 5.1. Найти интегралы: а) , б) , в) .

Решение.

а) .

б) .

в) .

Если не может быть вычислен непосредственно по формулам таблицы основных неопределенных интегралов, то во многих случаях введение новой переменной позволяет преобразовать подынтегральное выражение к такому виду, интегрирование которого можно провести либо по таблице, либо известным приемом.

Независимую переменную заменим по формуле , где - дифференцируемая функция. Затем определим

и .

Полученная формула носит название формулы замены переменной (подстановки) в неопределенном интеграле.

Пример 5.2. Найти интегралы: а) , б) , в) .

Решение.

а) Пусть , , , тогда .

б) Пусть , , , тогда .

в) Пусть , , , тогда .

Интегрирование по частям называется нахождение интеграла по формуле , где , - непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводиться к отыс.канию другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще или может быть найден.

Пример 5.3. Найти интегралы: а) , б)

Решение.

а) Пусть , , , , тогда .

б) Пусть , , , , тогда . Пусть , , , , тогда . Итак, .

1.6 Определенный интеграл

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю, т.е. .

Основные свойства определенного интеграла. 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

.

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т.е.

.

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный, т.е.

.

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е. .

5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

.

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , используют формулу Ньютона-Лейбница.

Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулу Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции , на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница - находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений

.

Пример 6.1. Вычислить .

Решение. .

При вычислении определенного интеграла способом замены переменной данный интеграл с помощью подстановки преобразуется в другой определенный интеграл с новой переменной интегрирования , причем старые пределы интегрирования и заменяются новыми пределами

и : .

Здесь предполагается, что функции и непрерывны на отрезке , а функция определена и непрерывна на отрезке .

Пример 6.2. Найти интегралы: а) ; б) .

Решение.

а) Пусть , , , , тогда .

б) Пусть , , , , тогда .

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

, где .

Формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 6.3. Вычислить: а) , б) .

Решение.

а) Пусть , , , , тогда:

.

б) Пусть , , , , тогда

.

Пусть , , тогда:

, ,

.

2. Рекомендации по решению типовых задач по контрольной работе №2

2.1 Теория вероятностей

Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление этого комплекса условий будем называть опытом или испытанием.

Событие называется достоверным, если оно в результате опыта (испытания) обязательно произойдет.

Событие называется невозможным, если оно в результате опыта (испытания) заведомо не произойдет.

Событие, которое в результате опыта (испытания) может либо произойти, либо не произойти, называется случайным (возможным).

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого события в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления. Вероятность невозможного события равна 0, достоверного - 1, а вероятность случайного события заключено, между нулем и единицей, т.е. .

Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Пример 7.1. В коробке 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 6 красных и 4 черных. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется красным?

Решение. Обозначим за событие, состоящее в том, что извлеченный шар красный. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию . В соответствии с классическим определением вероятности получаем .

Пример 7.2. Все натуральные числа от 1 до 15 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, число на взятой карточке окажется кратным 5?

Решение. Обозначим за событие, состоящее в том, что число на взятой карточке кратно 5. В данном испытании имеется 15 равновозможных элементарных исходов, из которых событию благоприятствует 3 исхода (числа 5, 10, 15). Следовательно, .

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребляемые из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок определяют по формуле:

Размещениями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений определяют по формуле:

.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний можно определяют по формуле:

.

Пример 7.3. В партии из 8 деталей 5 стандартных. Найти вероятность того, что среди 4 взятых наудачу деталей 3 стандартных.

Решение. Обозначим за - событие, состоящее в том, что среди 5 взятых деталей 3 стандартных.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 4 деталей из 8, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов: .

Число исходов, благоприятствующих событию - "среди 4 взятых деталей 3 стандартные", 3 стандартные детали из 5 можно взять способами, при этом остальные (1 деталь) должны быть нестандартными; взять же 1 нестандартную деталь можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: .

Суммой двух событий и называется событие, состоящее в том, что в результате опыта появится хотя бы одно из них (или , или , или оба вместе, если это возможно). Сумма двух событий и обозначается .

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Следствие 1. Если несовместные события , , …, образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице, т.е. .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. .

Пример 7.4. В урне находятся 20 черных, 15 белых и 25 красных шаров. Найти вероятность того, что вытащенный шар будет не красный.

Решение. Рассмотрим следующие события: - "вынутый шар черный"; - "вынутый шар белый"; - "вынутый шар красный".

Пусть событие, состоящее в том, что вынутый шар не красный. Интересующее нас событие можно представить . Вероятность события , равна .

Пример 7.5. При стрельбе из пистолета вероятность попадания в "десятку" равна 0,25, в "девятку" - 0,30, в "восьмерку" - 0,15, в "семерку" - 0,12. Какова вероятность того, что стрелок, сделав один выстрел, выбьет: а) не менее 8 очков; б) не более 8 очков.

Решение. Рассмотрим следующие события: - попадание в "десятку"; - попадание в "девятку"; - попадание в "восьмерку"; - попадание в "семерку" и т.д.

а) Поскольку нас интересует вероятность того, что стрелок выбьет не менее 8 очков, это значит, что стрелок попадет либо в "десятку", либо в "девятку", либо в "восьмерку", то есть нас интересует вероятность суммы событий , и . События эти несовместны, поэтому следует воспользоваться формулой суммы вероятностей. Итак, искомая вероятность равна .

б) Если требуется вычислить вероятность того, что стрелок выбьет не более 8 очков, то это значит, что он попадет в "восьмерку", либо в "семерку", либо "шестерку" и т.д. Нам не известна вероятность попадания в "шестерку", "пятерку" и т.д. Поэтому можно воспользоваться первым следствием, т.е. вероятность событий, образующих полную группу, равна единице. Следовательно, искомую вероятность можно найти из соотношения .

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Пример 7.6. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели. Вероятности поражения ими цели соответственно равны 0,8 и 0,7. Какова вероятность поражения цели?

Решение. Рассмотрим следующие события: - поражение цели первым стрелком, - поражение цели вторым стрелком.

Применим формулу вероятности суммы двух событий, учитывая, что события и совместные, тогда .

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Пример 7.8. Вероятность поломки первого станка в течении смены равна 0,2, а второго - 0,13. Чему равна вероятность того, что оба станка потребуют наладки в течение смены?

Решение. Станки работают независимо друг от друга, поэтому событие (поломка первого станка) и событие (поломка второго станка) независимы. Тогда .

Событие называется зависимым от события , если вероятность события зависит от того, произошло событие или нет.

Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

.

Пример 7.9. Из урны, содержащей 15 белых и 10 черных шаров, наугад дважды вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что в первый раз появился белый шар, а во второй - черный?

Решение. Рассмотрим следующие события: - извлечен белый шар при первом испытании; - извлечен черный шар при втором испытании.

В задаче требуется определить вероятность сложного события, равного произведению событий и . Вероятность события и условная вероятность события соответственно равны: , . Поэтому искомая вероятность равна .

На практике часто возникают ситуации, когда требуется определить вероятность события, которое может произойти с одним из несовместных событий, образующих полную группу.

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , , …, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события , т.е.

.

Пример 7.10. На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 40 деталей, 2-го - 35 деталей, 3-го - 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5 % продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены на контроль взята деталь. Какова вероятность, что она нестандартная?

Решение. Обозначим за событие, состоящее в том, что взятая наудачу деталь имеет дефект. Возможны следующие предположения (гипотезы): - деталь изготовлена на 1-м станке, - деталь изготовлена на 2-м станке, - деталь изготовлена на 3-м станке.

Вероятность того, что деталь изготовлена на 1-м станке, равна , на 2-м станке - , на 3-м станке - . Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны , ,

.

По формуле полной вероятности имеем .

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность события по различным гипотезам, представляющим полную группу. Английский математик Байес (Бейес) в 1764 г. вывел формулы, которая позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

.

Пример 7.11. В трех одинаковых урнах лежат по 10 шаров. В первой находится 5 белых и 5 черных, во второй 7 белых и 3 черных, в третьей 9 белых и 1 черный. Наугад из одной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность, что он был взят из третьей урны.

Решение. Обозначим за событие, состоящее в том, что извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы): - шар извлечен из первой урны, - шар извлечен из второй урны, - шар извлечен из третьей урны.

Вероятности гипотез равны , , . Условные вероятности события при этих гипотезах соответственно равны , , .

По формуле полной вероятности имеем . Используя формулу Байеса, находим вероятность .

2.2 Случайные величины

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита , , ,..., а их возможные конкретные значения - соответствующими малыми буквами этого алфавита , , ,... Случайные величины различают на дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной (прерывной) называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенной вероятностью.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Любая случайная величина может быть задана законом распределения. Законом распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим, он неприменим для непрерывных случайных величин. Случайную величину можно задать с помощью функции распределения.

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию - первую производную от функции распределения : .

Возможные значения случайной величины могут быть сосредоточены вокруг некоторого центра. Этот центр является некоторым средним значением случайной величины, вокруг которого группируются остальные ее значения. Для характеристики такой особенности распределения случайной величины служит математическое ожидание, которое иногда называют центром распределения или средним значением случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности этих значений:

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл

.

Если возможные значения принадлежат всей оси , то

.

Математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину. Не всегда достаточно знать среднее значение случайной величины. Часто бывает необходимым знать "рассеяние" значений случайной величины относительно ее математического ожидания, то есть надо найти число, которое давало бы нам меру рассеяния, меру отклонений этой величины от ее среднего значения. К характеристикам рассеивания относятся: дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания называется дисперсией случайной величины .

Для дискретной случайной величины дисперсию можно определим по формуле:

,

для непрерывной случайной величины

.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

.

Пример 8.1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной следующим законом распределения:

	2	3	5
	0,1	0,6	0,3

Решение. Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности: . Найдем искомую дисперсию: . Искомое среднее квадратическое отклонение равно .

2.3 Нормальное распределение

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности имеет вид

,

где и - некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Для того, чтобы задать нормальное распределение достаточно знать параметры и . Эти параметры имеют вполне определенный физический смысл. Так, например, представляет собой математическое ожидание, а - среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины. Для вычисления вероятности попадания значения случайной величины, распределенной нормально, в заданный интервал , можно воспользоваться специальной функцией:

.

Эта функция называется функцией Лапласа или интегралом вероятности. Необходимо помнить, что - нечетная функция.

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность того, что она примет значение, принадлежащее интервалу равна

.

Пример 9.1. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Воспользуемся формулой:

.

Подставив , , и , получим . По таблице значений функции:

находим . Тогда искомая вероятность равна .

2.4 Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения

При изучении качественного и количественного признаков, характеризующих множество некоторых однородных объектов, не всегда имеется возможность обследовать каждый объект этого множества. Да и не всегда существует необходимость и целесообразность сплошного обследования. Поэтому обследуют только некоторую небольшую часть случайно отобранных объектов и на основании полученных данных делают вывод обо всем множестве объектов. Практика подтверждает, что сделанные выводы бывают достаточно объективными.

Множество всех объектов, подлежащих изучению, называется генеральной совокупностью.

Множество случайно отобранных объектов называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части (простой случайный бесповторный отбор, простой случайный повторный отбор).

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (типический отбор, механический отбор, серийный отбор).

Целью создания выборки является сбор статистических данных - сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак. Изучение статистических данных позволяет оценить параметры (характеристики) генеральной совокупности по данным выборки.

Собранные по полученной выборке статистические данные представляют собой исходный числовой материал, подлежащий дальнейшей обработке и анализу. Для изучения этих данных, прежде всего их группируют и представляют в виде вариационного, статистического и интервального рядов.

Пусть собранный и обработанный статистический материал представлен в виде ряда. Теперь результаты наблюдений над случайной величиной следует подвергнуть анализу и выявить характерные особенности поведения случайной величины. Для этого удобнее всего выделить некоторые постоянные, которые представляли бы вариационный или статистический ряд в целом и отражали присущие изучаемой совокупности закономерности.

Некоторые из этих постоянных отличаются тем, что вокруг них концентрируются остальные результаты наблюдений. Такие величины называются средними величинами. К ним относятся среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и т.д. Однако эти характеристики не отражают "величину изменчивости" наблюдаемых данных, например, величину разброса значений признака вокруг среднего арифметического. Другими словами, упомянутые средние величины не отражают вариацию.

Для характеристики изменчивости случайной величины, т.е. вариации, служат показатели вариации. К ним относятся размах варьирования, среднее квадратическое отклонение, дисперсия и т.д. Рассмотрим числовые характеристики вариационных рядов.

Средней арифметической вариационного ряда называется частное от деления суммы всех вариантов на их число, т.е.

.

Если данные наблюдений представлены в виде статистического ряда, где , , …, - наблюдаемые варианты, а , , …, - соответствующие им частоты, причем

, .

Выборочной дисперсий вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической

.

Если данные наблюдений представлены в виде статистического ряда, то выборочную дисперсию определяют по формуле:

.

Пример. 10.1. Имеются данные о выработке 50 рабочих механического цеха представленные статистическим рядом:

	90	100	110	120	130	140
	1	3	6	7	21	12

Найти среднюю выработку рабочего механического цеха, выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Среднюю выработку рабочего определим по формуле средней арифметической для статистического ряда, получим .

Для удобства и упрощения вычислений выборочной дисперсии все расчеты сведем в таблицу.

90	1	-36	1296	1296
100	3	-26	676	2028
110	6	-16	256	1536
120	7	-6	36	252
130	21	4	16	336
140	12	14	196	2352
				7800

Выборочная дисперсия распределения рабочих по выработке равна , среднее квадратическое отклонение - .

Пример 10.1. Дан статистический ряд:

	2	3	4	5	6
	1	2	5	3	1

Построить полигон распределения.

Решение. Построим полигон распределения, рис. 10.1.

6
5
4
3
2
1
0		1	2	3	4	5	6	7

Рис. 10.1. Полигон распределения

2.5 Регрессионный анализ

Практическое значение парной линейной регрессии состоит в том, что есть системы, в которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида . Построение данного уравнения сводится к оценке ее параметров - и , которые определяются по формулам:

, .

Пример 11.1. Администрация компании по продаже легковых автомобилей проводит анализ спроса на различные модели автомобилей марки в зависимости от их цены. Ниже приводятся данные о ценах и среднемесячных объемах продаж 12 моделей автомобилей данной марки:

Модель	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Цена, тыс. дол.	25	28	29	27	29	28	29	24	25	23	25	28
Количество проданных автомобилей в среднем за месяц, шт.	55	48	40	42	27	35	28	58	54	52	55	48

Определите параметры уравнения линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии .

Решение. Определим параметры уравнения линейной регрессии по формулам:

, ,

промежуточные результаты представим в таблице:

№
1	55	25	1375	3025
2	48	28	1344	2304
3	40	29	1160	1600
4	42	27	1134	1764
5	27	29	783	729
6	35	28	980	1225
7	28	29	812	784
8	58	24	1392	3364
9	54	25	1350	2916
10	52	23	1196	2704
11	55	25	1375	3025
12	48	28	1344	2304
	542	320	14245	25744

Так как , , то уравнение линейной регрессии имеет вид . Так как , то при увеличении на одну единицу количества машин, цена уменьшается на 0,17 тыс. руб.

2.6 Проверка статистических гипотез

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по опытному (эмпирическому) распределению.

Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения. Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто исходя из теоретических предпосылок, опыта аналогичных предшествующих исследований и, наконец, на основании графического изображения эмпирического распределения.

Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределениями неизбежны расхождения. Естественно, возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно. Для ответа на этот вопрос и служит критерии согласия.

Рассмотрим наиболее используемый критерий - критерий согласия Пирсона. Сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпирических и теоретических частот. Ясно, что эмпирические частоты находят из опыта. Как найти теоретические частоты, если предполагается, что генеральная совокупность распределена нормально? Ниже приведен один из способов решения этой задачи.

Для нахождения теоретических частот необходимо:

1. Пронормировать случайную величину , т.е. перейти к случайной величине , и вычислить концы интервалов:

, ,

причем наименьшее значение , т.е. полагают равным , а наибольшее, т.е. полагают равным .

2. Вычислить теоретические частоты:

,

- вероятности попадания в интервалы , - функция Лапласа.

Пример 12.1. В учебной группе из 30 курсантов измерили рост с точностью до 1 см. Результаты измерений представлены в таблице:

Интервалы
	1	1	2	11	10	4	1

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении.

Решение. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение. Для решения поставленной задачи дополним интервальный ряд средними значениями интервалов.

Интервалы
	165	169	173	177	181	185	189
	1	1	2	11	10	4	1

Среднее арифметическое равно:

.

Выборочную дисперсию определим по формуле

.

Для удобства и упрощения вычислений все расчеты сведем в таблицу.

165	1	-13,87	192,2844	192,2844
169	1	-9,87	97,3511	97,3511
173	2	-5,87	34,4178	68,8356
177	11	-1,87	3,4844	38,3289
181	10	2,13	4,5511	45,5111
185	4	6,13	37,6178	150,4711
189	1	10,13	102,6844	102,6844
	30			695,4667

Выборочная дисперсия составляет , выборочное среднее квадратическое отклонение - .

Определим теоретические частоты. Найдем интервалы , учитывая, что , . Для удобства и упрощения вычислений составим расчетную таблицу:

163	167	-	-11,87		-2,46
167	171	-11,87	-7,87	-2,46	-1,63
171	175	-7,87	-3,87	-1,63	-0,80
175	179	-3,87	0,13	-0,80	0,03
179	183	0,13	4,13	0,03	0,86
183	187	4,13	8,13	0,86	1,69
187	191	8,13	-	1,69

Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты . Для этого составим расчетную таблицу:

	-2,46	-0,5000	-0,4931	0,0069	0,21
-2,46	-1,63	-0,4931	-0,4484	0,0447	1,34
-1,63	-0,80	-0,4484	-0,2881	0,1603	4,81
-0,80	0,03	-0,2881	0,0120	0,3001	9,00
0,03	0,86	0,0120	0,3051	0,2931	8,79
0,86	1,69	0,3051	0,4545	0,1494	4,48
1,69		0,4545	0,5000	0,0455	1,37

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий согласия Пирсона.

1. признак распределен нормально.

2. Уровень значимости .

3. Критерий проверки - критерий согласия Пирсона.

4. Наблюдаемое значение критерия определяют по формуле

.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона, для удобства и упрощения вычислений все расчеты сведем в таблицу (малочисленные теоретические и эмпирическое частоты объединим).

4	6,36	-2,36	5,5554	0,8739
11	9,00	2,00	3,9880	0,4430
10	8,79	1,21	1,4568	0,1657
5	5,85	-0,85	0,7174	0,1227
				1,61

Наблюдаемое значение критерия равно .

5. По таблице критических точек распределения , по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку правосторонней критической области .

1,61	3,8

6. Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергаем.

Рекомендуемая литература

Основная литература:

Баврин И.И. Высшая математика: Учебник для вузов. - М.: "Академия", 2008. - 616 с.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов / В.Е. Гмурман. 9-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2004. - 479 с.

Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2006. - 408 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 1 / Н.С. Пискунов. - изд., стер. - М.: "Интеграл Пресс", 2009. - 416 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов. Т. 2 / Н.С. Пискунов. - изд., стер. - М.: "Интеграл Пресс", 2009. - 544 с.

Шипачёв В.С. Высшая математика: Учебник для вузов. - 10 изд., стер. - М.: Высшая школа, 2010. - 479 с.

Дополнительная литература:

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов. - 5-е изд. - М.: Наука, 1998. - 320 с.

2. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учебное пособие /Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович и др - М.: Наука, 1997. - 496 с.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. - СПб: Профессия, 2007. - 432 с.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. - 3-е изд. - М.: Наука, 1989. - 464 с.

5. Васин А.А. Исследование операций: Учебник для вузов / А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В. Морозов - изд. Центр "Академия", 2008. - 464 с.

6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - 10-е изд., стер. - М.: "Академия", 2005. - 576 с.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: Учебное пособие для вузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - 2-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2000. - 480 с.

8. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей. - М.: Издательский центр "Академия", 2005. - 448 с.

9. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике: Учебное пособие. - 9-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2004. - 404 с.

10. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу: Учебное пособие. /Г.И. Запорожец - 4-е изд. - М.: Высшая школа, 1998. - 460 с.

11. Кудрявцев А.В. Краткий курс математического анализа. Т.1 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. Ряды.: Учебник - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 400 с.

12. Кудрявцев А.В. Краткий курс математического анализа. Т.2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменной. Гармонический анализ.: Учебник - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 424 с.

13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 1. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. - 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003-680 с.

14. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 2. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. - 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003-864 с.

15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального исчисления: в 3-х томах. Т. 3. / Г.М. Фихтенгольц; ред. А.А. Флоринского. - 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ: Лаборатория знаний, 2003-728 с.

16. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/ В.С. Шипачев. - 3-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2003. - 304 с.

Размещено на Allbest.ru