Оптимизационные задачи. Метод Бокса

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ

Расчетно-графическая работа

Математическое моделирование

Оптимизационные задачи. Метод Бокса.

Выполнил: Студент 333группы

Яковлев Д.В.

Проверил: Храмешин А. В.

Ижевск 2013

1. Математическая формулировка комплексного метода Бокса

Этот метод представляет модификацию симплексного метода и предназначен для решения задачи нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами. Для минимизации функции n переменных f(x) в n-мерном пространстве строят многогранники, содержащие q п+1 вершин. Эти многогранники называют комплексами, что и определило наименование метода.

2. Понятие целевой функции. Разновидности целевых функций

Понятие целевой функции относится к важнейшим понятиям системного анализа. Целевой функцией называется скалярное описание системы, которое используется для принятия решения. Если, например, единственным требованием к системе является ее стоимость, то целевая функция - это стоимость осуществления проекта и требуется выбрать вариант решения, при котором достигается минимальная стоимость системы, т.е. ее максимальная полезность. Если, например, требования к системе включают и стоимость, и время, то целевая функция должна включать обе эти характеристики. Таким образом, целевая функция используется для оценки системы, а именно, ее эффективности.

Свойства систем могут быть подразделены на следующие:

- общесистемные: целостность, устойчивость, наблюдаемость, управляемость, детерминированность, открытость, динамичность;

- структурные: состав, связность, организация, сложность, централизованность, объем;

- функциональные: результативность, ресурсоемкость, оперативность, активность, мощность, мобильность, производительность, быстродействие, готовность, работоспособность, экономичность и т.п.

3. Понятие системы граничных условий, разновидности систем граничных условий

комплексный целевой функция бокс

Граничные условия - дополнение к основному дифференциальному уравнению, задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассмотренной области соответственно. Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием. Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений. Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные. Главные условия обычно имеют вид , где -- граница области ?. Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

4. Условная и безусловная оптимизация, области применения

Оптимизация - процесс нахождения экстремума (глобального максимума или минимума) определённой функции или выбора наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных. Наиболее надёжным способом нахождения наилучшего варианта является сравнительная оценка всех возможных вариантов (альтернатив). Если число альтернатив велико, при поиске наилучшей обычно используют методы математического программирования. Применить эти методы можно, если есть строгая постановка задачи: задан набор переменных, установлена область их возможного изменения (заданы ограничения) и определён вид целевой функции (функции, экстремум которой нужно найти) от этих переменных. Последняя представляет собой количественную меру (критерий) оценки степени достижения поставленной цели.

Задача безусловной оптимизации состоит в нахождении минимума или максимума функции в отсутствие каких-либо ограничений. Несмотря на то что большинство практических задач оптимизации содержит ограничения, изучение методов безусловной оптимизации важно с нескольких точек зрения. Многие алгоритмы решения задачи с ограничениями предполагают сведение ее к последовательности задач безусловной оптимизации. Другой класс методов основан на поиске подходящего направления и последующей минимизации вдоль этого направления. Обоснование методов безусловной оптимизации может быть естественным образом распространено на обоснование процедур решения задач с ограничениями.

Задача условной оптимизации заключается в поиске минимального или максимального значения скалярной функции f(x) n-мерного векторного аргументах. Решение задачи основывается на линейной или квадратичной аппроксимации целевой функции для определения приращений x1, …,xn на каждой итерации. Существуют также приближенные методы решения нелинейных задач. Это методы основанные на методе кусочно-линейной аппроксимации. Точность нахождения решений зависит от количества интервалов, на которых мы находим решение линейной задачи, максимально приближенной к нелинейной. Такой метод позволяет производить расчеты с помощью симплекс-метода. Обычно в линейных моделях коэффициенты целевой функции постоянны и не зависят от значения переменных. Однако существует ряд задач, где затраты зависят от объема нелинейно.

Алгоритм решения:

1. Работа начинается с построения регулярного симплекса в пространстве независимых переменных и оценивая значения целевой функции в каждой из вершин симплекса.

2. Определяется вершина - наибольшее значение функции.

3. Вершина проецируется через центр тяжести остальных вершин в новую точку, которая используется в качестве вершины нового симплекса.

4. Если функция убывает достаточно плавно, итерации продолжаются до тех пор, пока либо не будет накрыта точка min, либо не начнется циклическое движение по 2 или более симплексам.

5. Поиск завершается, когда или размеры симплекса, или разности между значениями функции в вершинах останутся достаточно малыми.

Задача: оптимизация емкостей. Добиться минимальных затрат на изготовление емкости объёмом 2750 литров для хранения песка.

Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 + C5X5 min;

где: X1 - количество необходимого металла, кг;

C1 - стоимость металла, руб/кг;

X2 - масса требующихся электродов, кг;

C2 - стоимость электродов, руб/кг;

X3 - количество затраченной электроэнергии, кВт ч;

C3 - стоимость электроэнергии, руб/кВт ч;

X4 - время работы сварщика, ч;

C4 - тарифная ставка сварщика, руб/ч;

X5 - время работы подъемника, ч;

C5 - оплата подъемника, руб/ч.

1. Найдем оптимальную поверхностную площадь емкости:

F = 2ab+2bh+2ah min (1)

где V=2750 литров.

x1=16,331; x2=10,99

Минимум функции получен в процессе оптимизации по методу Бокса- 1196,065 дм2

В соответствие с ГОСТ 19903 - 74, примем:

h=16,50 дм, b=10,00 дм.

Выразим a из (1) и получим:

Рассчитаем оптимальную толщину листа металла

Выберем углеродистую обыкновенную сталь Ст2сп

Для этой стали 320 МПа, ;

Масса песка .

Нагрузка на стенку емкости наибольшей площади:

Высчитаем нагрузку на 1 погонный сантиметр листа шириной 100 см:

Определим толщину стенки, исходя из условия:

где: l - длина листа (желательно наибольшая, чтобы оставить дополнительный запас прочности);

q - нагрузка на 1 погонный сантиметр, кг/см;

- толщина листа металла, м

- максимально допустимое напряжение металла, Н/мм2.

Выразим из (2) толщину стенки:

Учитывая, что 320 МПа = 3263 кг/см2,

Масса металла

(4)

где: F - площадь поверхности емкости, м2 ;

- толщина стенки металла, м;

- плотность металла, кг/м3.

Цена на сталь Ст2сп составляет около 38 руб/кг.

2. Длина сварного шва:

(5)

;

При толщине листа 10 мм, рекомендуют использовать электроды диаметром поперечного сечения d = 4 мм.

Воспользуемся электродами для нержавеющей стали «УОНИ-13/45»

Цена 88,66 руб/кг;

(6)

где: Sшва - поперечная площадь сечения сварного шва, м2;

l - длина сварного шва, м;

- плотность наплавленного металла, кг/м3.

3. Время сварки:

где l - длина сварного шва, м;

v - скорость сварки, м/ч.

Суммарная потребляемая мощность:

Pcум = P t

Рсум = 5 17 = 85 кВт ч;

Стоимость электроэнергии 5,7 руб/ кВт ч.

4. Для ручной дуговой сварки затраты вспомогательного, подготовительно-заключительного времени и времени на обслуживание рабочего места составляют в среднем 40 - 60%. Воспользуемся средним значением в 50%.

Общее время:

Оплата сварщика VI разряда - 270 руб/час.

Плюс тарифный коэффициент 17% за работу в замкнутом плохо проветриваемом пространстве:

лей,

Оплата помощника составит 60% от оплаты сварщика:

8055 0,6 = 4833 руб.

Итого: 8055+4833 = 12888 рублей.

5. Кран понадобиться для того, чтобы держать листы металла во время сварки, погрузки и выгрузки листов металла и непосредственно готовой емкости.

Чтобы «прихватить» всю конструкцию, сварщику необходимо наложить около 30% швов.

Оплата крана - 1000 руб/час.

Общая стоимость емкости:

Z =

Размещено на Allbest.ur