Застосування векторної алгебри при вивченні фізики

Размещено на http://allbest.ru

Червоноградський гірничо-економічний коледж

ЗАСТОСУВАННЯ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ ПРИ ВИВЧЕННІ ФІЗИКИ

Михайло Репецький

Викладач

Теоретична частина

Згідно означення, вектор - це напрямлений відрізок, який має модуль (довжину), точку прикладання та напрямок.

Завдяки таким властивостям вектор задається не одним числом - довжиною, а ще числами, які визначають координати початку вектора та його напрямок, а для вільних векторів - числами, які визначають модуль(довжину) та напрямок.

У фізиці багато величин є векторами, наприклад: переміщення, швидкість, прискорення, сила, напруженість та індукція магнітного і електричного полів і т.п.

Ці величини зв'язані законами фізики і відповідними векторними рівняннями, тому для практичних обчислень за цими законами потрібно вміти проектувати ці вектори на осі координат, використовуючи при цьому властивість: яким рівнянням зв'язані вектори, таким ж рівнянням зв'язані їх проекції на довільну вісь координат, а вже проекції можна виразити через відповідні модулі та кути у скалярній формі.

Нагадаємо, що при заданому векторі та куту між напрямком цього вектора та довільними осями ox та oy (див мал.1) відповідні проекції можна виразити через модулі так:

де: (1).

При цьому слід звернути увагу на те, що проекції мають знак, який визначається знаком косинуса кута між відповідним вектором та додатнім напрямком осі, але при використанні інших кутів слід ці знаки враховувати у формулах так для вектора (мал.1) маємо:

 (2)

Мал.1.

А для векторного рівняння:

(3),

яке зображене на малюнку 2 будуть справедливими такі рівняння:

c_x=a_x+ b_x,

c_y=a_y+ b_y,

або, якщо виразити проекції через відповідні кути та модулі векторів, одержимо:

c cosг = a cosб - b cosв ( 4 )

c sinг = a sinб - b sinв ( 5 )

Мал.2

Для того, щоб знайти із рівнянь (4) та (5) кут г, потрібно розділити почленно ці рівняння одне на друге, тоді одержимо:

tg г= (6)

а для визначення модуля вектора потрібно підняти ці рівняння до квадрату:

c² cos²г = a²cos² б -2ab cosб cosв +b²cos ²в

c²sin²г = a²sin²б -2absinб sinв + b²sin²в

потім додаємо почленно ці рівняння і одержуємо:

c²(cos²г+sin²г)=

=a²cos²б-2abcos²б²cos²в+b²cos²в+a²sin²б-2absinбsinв+ b²sin²в,

або: c²(cos²г+sin²г)=

=a²(cos²б +cos²в) +b² (cos²в+sin²в) -2ab(sinбsinв +cosб cosв)

і якщо врахувати те, що:

(cos²г+sin²г)=1;cos²в+sin²в =cos²б +cos²в=1;

(sinбsinв +cosб cosв)= cos(б-в)

одержимо:

c²=a² +b² -2abcos(б -в) (7)

Із мал.2 видно, що цей результат можна було одержати, застосувавши до ДABC теорему косинусів:

AB² =BC²+CD²-2 BC CD cos ACB,

врахувавши, що AB=c,BC=a,CD=b,ABC=(б-в).

Задача

Два точкові заряди перебувають на відстані Знайти напруженість поля, утвореного двома точковими зарядами q₁ і q₂ , які розташовані на відстані r один від одного у точці, яка розташована на відстані r₁ від першого та,r ₂ від другого заряду.

Дано: q₁, q₂ , r , r₁, r₂ .

Знайти: Е.

Розв'язання:

Мал.1.

Мал.2.

Мал.3.

векторний електростатичний скалярний

За принципом суперпозиції напруженість електростатичного поля системи зарядів дорівнює векторній сумі напруженостей полів, створених окремими частинами системи, тому:

(1),

де модулі напруженостей полів від точкових зарядів q₁ та q₂ визначаються за такими рівняннями:

(2)

(3)

Підставляти вирази (2) та (3) у рівняння (1) не можна, тому замість рівняння (1) потрібно записати скалярне рівняння. Векторне додавання векторів у рівнянні (1) - це геометрична побудова, де на векторах Е₁ Е₂ будується паралелограм, тому модулі цих векторів, тобто їх довжини, зв'язані рівняннями тригонометричними, значить до трикутників, утворених векторами можна застосувати теорему косинусів. Так для малюнка 1 маємо:

(4)

при цьому величина косинуса альфа визначається з просторового трикутника за формулою:

(5)

Так для малюнка 2 маємо:

(6)

при цьому величина косинуса альфа визначається з просторового трикутника за формулою:

(7)

Так для малюнка 3 маємо:

(8)

при цьому величина косинуса альфа визначається з просторового трикутника за формулою:

(9)

Таким чином підставляючи рівняння (3) та (2) для кожного випадку у відповідні рівняння (4), (6), (8), та враховуючи рівняння (5), (7), (9) виводимо остаточні формули

Для малюнка 1 та 2 :

Для малюнка 3 :

і розв'язуємо відповідні задачі.

Размещено на Allbest.ru