Методи структурно-параметричної компараторної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання і вибору рішень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний аерокосмічний університет ім. М.Є.Жуковського

"Харківський авіаційний інститут"

УДК 519.81

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні

методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Методи структурно-параметричної компараторної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання і вибору рішень

Трофименко Інна Володимирівна

Харків - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор Петров Едуард Георгійович, Харківський національний університет радіоелектроніки, завідувач кафедри системотехніки.

Офіційні опоненти:

- доктор технічних наук, професор Любчик Леонід Михайлович, Національний технічний університет "Харківський політехнічний інститут", завідувач кафедри комп'ютерної математики і математичного моделювання;

- кандидат технічних наук, доцент Кузьомін Олександр Якович, Харківський національний університет радіоелектроніки, професор кафедри інформатики.

Провідна установа - Національна металургійна академія України (кафедра інформаційних технологій та систем), Міністерство освіти і науки України, м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться " 1 " червня 2007 р. о 12:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.062.01 Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського "Харківський авіаційний інститут" за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17.

З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічній бібліотеці Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського "Харківський авіаційний інститут" за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17.

Автореферат розісланий "28" квітня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.О. Латкін

Анотації

Трофименко І.В. Методи структурно-параметричної компараторної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання і вибору рішень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського "Харківський авіаційний інститут", Харків, 2007.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню науково-технічної задачі розробки комплексу ефективних математичних моделей, обчислювальних методів та інструментальних засобів для синтезу моделей багатофакторного оцінювання і вибору альтернатив. У роботі сформульовані постановки нових узагальнених задач структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання, що передбачають вибір виду і всього комплексу параметрів моделі у класах адитивних, мультиплікативних і змішаних схем компромісу. Запропоновано математичні моделі і методи розв'язання загальної задачі структурно-параметричної компараторної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання, а також виділення підмножин ефективних альтернатив, вибору параметрів функцій корисності, вагових і адаптаційних параметрів часткових критеріїв. Наведені оцінки складності розроблених методів і результати розв'язання експериментальних задач.

Ключові слова: прийняття рішень, багатофакторне оцінювання, модель, метод, ідентифікація.

Трофименко И.В. Методы структурно-параметрической компараторной идентификации моделей многофакторного оценивания и выбора решений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского "Харьковский авиационный институт", Харьков, 2007.

Диссертационная работа посвящена решению научно-технической задачи разработки комплекса эффективных математических моделей, вычислительных методов и инструментальных средств для синтеза моделей многофакторного оценивания и выбора альтернатив. Результатом исследования является дальнейшее развитие методологии компараторной идентификации.

В результате выполненного системологического анализа современного состояния проблемы многофакторного оценивания и выбора решений установлено, что актуальными становятся общие задачи структурно-параметрической идентификации моделей многофакторного оценивания на множестве аддитивных, мультипликативных и смешанных ФОП, предполагающих совместное определение векторов параметров ФПЧК и векторов весовых коэффициентов частных критериев. Комплексное решение задач позволит повысить адекватность моделей многофакторного оценивания и, на этой основе, повысить эффективность подсистем поддержки принятия решений в системах автоматизированного проектирования и управления объектами различного назначения.

Получили дальнейшее развитие математическая модель и метод идентификации весовых коэффициентов моделей многофакторного оценивания путем распространения их на классы мультипликативных и аддитивно-мультипликативных функций обобщенной полезности, что позволяет повысить точность и адекватность моделей, используемых для принятия решений.

Предложен новый метод идентификации весовых коэффициентов моделей многофакторного оценивания, основанный на идее оптимизации по парам координат, превосходящий существующие методы по комплексному показателю "точность-сложность" и позволяющий регулировать точность и время решения задачи.

Сформулирована постановка общей задачи параметрической идентификации моделей многофакторного оценивания, предполагающей совместное определение параметров функций полезности частных критериев и весовых коэффициентов, предложен метод ее решения. В рамках этой задачи без использования дополнительной информации становится возможным идентифицировать параметры функций полезности частных критериев и, таким образом, повысить адекватность моделей оценивания.

Сформулирована постановка задачи и разработан метод структурно-параметрической идентификации моделей многофакторного оценивания в классе аддитивных, мультипликативных и комбинированных аддитивно-мультипликативных функций обобщенной полезности. Это позволяет повысить точность (адекватность) моделей многофакторного оценивания и использовать для решения практических задач модели минимальной сложности.

Усовершенствован в направления снижения временной сложности метод формирования подмножеств эффективных вариантов для выпуклых множеств альтернатив на основе выделения приближенной области компромиссов. Его практическое применение позволяет снижать сложность процедур идентификации моделей многофакторного оценивания и выбора решений.

Показана возможность и целесообразность использования полученных результатов для решения практических задач идентификации моделей многофакторного оценивания и выбора решений. Приведены примеры решения задач выделения подмножества эффективных альтернатив, параметрической идентификации функции полезности частных критериев, идентификации весовых коэффициентов частных критериев, параметрической и структурно-параметрической идентификации модели многофакторного оценивания. Применение разработанных моделей и методов при решении контрольных задач позволило сократить время поиска решения и (или) получить варианты с лучшими значениями критериев эффективности.

Разработанные математические модели и методы многофакторного оценивания, принятия решений развивают методологическую основу создания эффективных инструментальных средств СППР для процессов проектирования, создания, планирования развития и управления антропогенными системами различного назначения. Все основные методы решения задач реализованы программно. Практическое значение результатов подтверждается их внедрением.

Полученные результаты могут быть использованы при решении практических задач проектирования, управления проектами создания, планирования развития, реинжиниринга и управления объектами различного назначения. Практическая значимость разработанных математических моделей, методов и средств проявляется в повышении обоснованности и оптимальности принимаемых решений за счет более полного и точного учета значимости частных критериев, их взаимосвязи, нелинейности и снижения на этой основе субъективизма, свойственного экспертному оцениванию.

Ключевые слова: принятие решений, многофакторное оценивание, модель, метод, идентификация.

Trofimenko I.V. Methods of structured-parametric comparator identifications of multifactor estimation and decision models. - Manuscript.

Thesis for a candidate of technical sciences degree by specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computing methods. - National aerospace university "Kharkiv aviation institute", Kharkiv, 2007.

The thesis is devoted to deciding a problem of raising efficiency processes of decision making in computer aided design systems and objects management.

Worded stating the new general problems structured-parametric identifications of multifactor models for estimation, expecting choice of type and the whole complex of parameters models in classes additive, multiplicative and mixed compromise schemes. Offered mathematical models and methods of deciding a common problem of structured-parametric comparator identifications the multifactor models for estimation and problems of shaping the subsets of efficient alternatives, choice of parameters of functions of usefulness, weight and adaptation parameters of locale criterions. Brought evaluations of difficulty of developing methods and results of deciding the experimental problems.

Keywords: making decision, multifactor estimation, model, method, identification.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Цілеспрямована людська діяльність у будь-якій сфері є послідовністю актів прийняття і реалізації рішень. Вважаючи, що процедура формування мети є зовнішньою по відношенню до процедури прийняття рішень, останню можна подати у вигляді послідовності задач формування множини допустимих розв'язків (шляхів досягнення мети), оцінювання (вибору метрики для порівняння) і вибору екстремального рішення.

Задача оцінювання має концептуальний характер. Це зумовлено тим, що у загальному випадку для характеристики рішень необхідно використовувати набір різнорідних за семантикою і шкалами вимірювання часткових критеріїв. У цьому випадку на множині суперечливих за Парето рішень екстремального за всіма частковими критеріями рішення не існує, тобто задача багатокритеріальної оптимізації є некоректною за Адамаром і потребує регуляризації. Найбільш конструктивним підходом до розв'язання цієї проблеми є формування на множині часткових критеріїв багатофакторної скалярної оцінки (функції корисності). Центральною задачею у рамках цього підходу є обґрунтування виду і структурно-параметрична ідентифікація математичної моделі функції корисності.

Теорія багатокритеріального оцінювання і вибору рішень створена та розвивається у роботах Дж. Неймана (J. Von Neumann), В. Парето (V. Pareto), Л. Заде (L. Zadeh), П. Фішберна (P. Fisburn), Р. Кіні (R. Kenney), О.І. Ларічева, В.В. Подіновського, Е.Й. Вілкаса, Е.З. Маймінаса, І.М. Макарова, Б.А. Березовського, Е.Г. Петрова та інших авторів.

Не зважаючи на численні роботи в області прийняття рішень, більшість із них присвячена окремим аспектам проблеми на основі інтроспективного аналізу методами експертного оцінювання. Постає необхідність у розвитку альтернативних підходів, які базуються на формалізованих процедурах ідентифікації, що відкриває нові шляхи для автоматизації процедур прийняття рішень і створення на цій основі інтелектуальних систем підтримки прийняття рішень (СППР) у різних областях людської діяльності. Виходячи з цього, актуальною є науково-технічна задача розробки комплексу ефективних математичних моделей, обчислювальних методів і інструментальних засобів для синтезу моделей багатофакторного оцінювання (МБФО) і вибору альтернатив.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до планів Міністерства освіти і науки України у Харківському національному університеті радіоелектроніки (ХНУРЕ) протягом 2001 - 2006 років у рамках науково-дослідних робіт: "Розробка теоретичних основ проектування систем підтримки прийняття рішень при управлінні соціально-економічним розвитком регіону" (№ ДР 0103U001564); "Розробка методів і інструментальних засобів структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання і багатокритеріальної оптимізації" (№ ДР 0106U003475). Здобувач брала участь у виконанні робіт за вказаними темами як виконавець.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є підвищення ефективності підсистем підтримки прийняття рішень для проблемно-орієнтованих автоматизованих інформаційних систем шляхом розробки ефективних засобів ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання.

Для досягнення поставленої мети необхідно:

- проаналізувати існуючі підходи до розв'язання проблеми і задач моделювання процесів багатофакторного оцінювання і вибору рішень у цілому;

- розробити метод структурно-параметричної компараторної ідентифікації, що дозволяє здійснювати вибір моделі у класах адитивних, мультиплікативних і комбінованих функцій узагальненої корисності;

- підвищити ефективність існуючих методів компараторної параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання;

- розробити ефективні за показниками точності та складності методи параметричної компараторної ідентифікації для синтезу моделей у класах адитивних, мультиплікативних і комбінованих функцій узагальненої корисності;

- удосконалити методи і процедури виділення підмножин ефективних альтернатив у напрямі зменшення їх часової складності;

- провести аналіз ефективності й апробацію розроблених математичних моделей і методів при розв'язанні практичних задач.

Об'єктом дослідження є процеси прийняття багатофакторних рішень в автоматизованих інформаційних системах різного призначення.

Предмет дослідження складають засоби ідентифікації математичних моделей багатофакторного оцінювання і вибору рішень.

Методи дослідження. Дослідження базується на комплексному використанні методів багатофакторного оцінювання, ідентифікації, математичного програмування: для виділення підмножин ефективних альтернатив використовуються комбінаторний метод парних порівнянь і евристичний метод; для багатофакторного оцінювання і вибору альтернатив використовуються методи теорії корисності і прийняття рішень; при синтезі МБФО використовуються методи активної і пасивної ідентифікації, лінійного і нелінійного математичного програмування.

Наукова новизна одержаних результатів. Результатом дослідження є розвиток методології компараторної ідентифікації шляхом створення комплексу математичних моделей, обчислювальних методів та інструментальних засобів синтезу моделей багатофакторного оцінювання і вибору альтернатив для СППР при автоматизованому проектуванні і управлінні антропогенними об'єктами.

У результаті дослідження одержані такі нові наукові результати:

- вперше: розроблено метод ідентифікації вагових коефіцієнтів моделей багатофакторного оцінювання, заснований на ідеї оптимізації за парами координат, що перевершує існуючі методи за комплексним показником "точність-складність" та дозволяє регулювати точність і час розв'язання задачі; сформульовано постановку загальної задачі параметричної ідентифікації моделей оцінювання, що передбачає сумісне визначення параметрів функцій корисності часткових критеріїв і вагових коефіцієнтів та запропоновано метод її розв'язання; сформульовано постановку задачі та розроблено метод структурно-параметричної ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання у класі адитивних, мультиплікативних і комбінованих адитивно-мультиплікативних функцій узагальненої корисності;

- удосконалені у напрямі зниження часової складності метод формування ефективних підмножин варіантів для опуклої множини альтернатив, що використовує виділення наближеної області компромісів, і метод параметричної ідентифікації універсальної функції корисності часткових критеріїв;

- дістали подальший розвиток математична модель і метод ідентифікації вагових коефіцієнтів моделей багатофакторного оцінювання шляхом поширення їх на класи мультиплікативних і адитивно-мультиплікативних функцій узагальненої корисності, що дозволяє підвищити точність моделей, які використовуються для прийняття рішень.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені математичні моделі і методи багатофакторного оцінювання та прийняття рішень розвивають методологічну основу створення ефективних інструментальних засобів СППР для процесів проектування, створення, планування розвитку і управління антропогенними системами різного призначення. математичний модель синтез адитивний

Усі основні методи розв'язання задач реалізовані програмно. Вони апробовані, показали свою працездатність й ефективність при розв'язанні задач виділення підмножин ефективних альтернатив, параметричного і структурно-параметричного синтезу моделей багатофакторного оцінювання.

Практичне значення результатів підтверджується їх впровадженням. Результати дисертаційної роботи впроваджені або пройшли апробацію і рекомендовані до впровадження: у держбюджетні науково-дослідні роботи ХНУРЕ (акт від 07.12.2006 р.); у навчальний процес ХНУРЕ (акт від 26.12.2006 р.); на підприємстві ЗАТ "KGS&Co" (акт від 15.02.2007 р.); у Харківському РУ ВАТ КБ "Надра" (акт від 16.02.2007 р.); у ВАТ "Харківський машинобудівний завод "Світло шахтаря" (акт від 22.02.2007 р.); в АТ "Біомос" (акт №124 від 23.02.2007 р.).

Практична значущість розроблених математичних моделей, методів і засобів виявляється у підвищенні обґрунтованості оптимальності рішень, що приймаються, за рахунок більш повного і точного врахування значущості часткових критеріїв, їхнього взаємозв'язку, нелінійності і виключення або зменшення на цій основі суб'єктивізму, характерного для експертного оцінювання.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати дисертаційної роботи отримані здобувачем особисто. У роботах, опублікованих із співавторами, здобувачу належить: у [1] - формалізація задачі вибору рішень з використанням інтервального аналізу; у [2] - метод ідентифікації коефіцієнтів для адитивно-мультиплікативних МБФО; у [3] - метод структурно-параметричної ідентифікації МБФО; у [4] - постановка загальної задачі параметричної ідентифікації МБФО і метод її розв'язання; у [5] - модифікація методу ідентифікації вагових коефіцієнтів мультиплікативних моделей для багатофакторного вибору рішень; у [6] - модифікація методу визначення підмножин ефективних варіантів; у [7] - модифікація методу розв'язання загальної задачі параметричної ідентифікації МБФО; у [10] - аналіз МБФО; у [13] - модифікація методу структурно-параметричної ідентифікації МБФО.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися і дістали схвалення на: 6-му, 9-му, 10-му Міжнародних молодіжних форумах "Радіоелектроніка і молодь у ХХІ столітті" (Харків, 2002, 2005, 2006); 8-ій Міжнародній конференції "Теорія і техніка передачі, прийому і обробки інформації" (Харків - Туапсе, 2002); науково-методичній конференції "Інформаційні технології в освіті і управлінні" (Нова Каховка, 2004); 3-му Міжнародному молодіжному форумі "Інформаційні технології у ХХІ столітті" (Дніпропетровськ, 2005); 1-ій Міжнародній науковій конференції "Глобальні інформаційні системи. Проблеми і тенденції розвитку" (Харків - Туапсе, 2006).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у 13 роботах, з них: 7 статей у виданнях, включених до переліків ВАК України, та 6 тез доповідей, опублікованих у матеріалах наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 124 найменувань (12 стор.), додатку (9 стор.), містить 14 рисунків (8 стор.), 27 таблиць (14 стор.). Загальний обсяг роботи - 174 стор.

Основний зміст роботи

Вступ містить загальну характеристику дисертаційної роботи: актуальність теми; зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами; формулювання мети і задач дослідження; перелік методів, що було використано у процесі дослідження; отримані нові наукові результати і характеристику їх практичного значення; декларацію особистого внеску здобувача у спільних публікаціях; відомості щодо апробації роботи і публікацій за її темою.

Перший розділ роботи присвячений аналізу предметної області, постановці мети і задач дослідження. У ньому наведені результати системологічного аналізу проблеми прийняття рішень і задач ідентифікації МБФО, виконаний огляд публікацій з досліджуваної проблеми, сформульовані постановки мети і задач дослідження.

Проблема подається у вигляді комплексу задач: формалізації мети; визначення універсальної множини альтернатив ; визначення множини допустимих альтернатив ; виділення підмножини ефективних альтернатив ; ранжування альтернатив ; вибору екстремальної альтернативи .

Для формалізації процесів ранжування і вибору екстремальної альтернативи потрібно визначити принцип оптимальності і синтез на його основі скалярної функції оцінювання , яка визначає метрику для впорядкування альтернатив. Синтез здійснюється шляхом розв'язання задачі структурно-параметричної ідентифікації.

Особливістю процесів ідентифікації МБФО є те, що вихідними сигналами у них виступають оцінки особи, що приймає рішення (ОПР), які мають якісний характер. Переваги ОПР виражаються за допомогою бінарних відношень еквівалентності, нестрогої або строгої переваги. Плідним у таких умовах є використання методології компараторної ідентифікації, у рамках якої задача зводиться до переведення якісних міркувань ОПР щодо переваг альтернатив , у кількісні, що задаються за допомогою функції узагальненої корисності (ФУК).

Наведений огляд літературних джерел показав, що основні результати отримані для окремих задач: виділення підмножин ефективних альтернатив ; формування функції корисності часткових критеріїв (ФКЧК); параметричної ідентифікації адитивних і адитивно-мультиплікативних моделей оцінювання. З урахуванням цього, актуальними стають загальні задачі структурно-параметричної ідентифікації МБФО на множині адитивних, мультиплікативних і змішаних ФУК, які припускають сумісне визначення векторів параметрів ФКЧК і векторів вагових коефіцієнтів часткових критеріїв.

Другий розділ роботи присвячений обґрунтуванню і розробці теоретико-методологічних основ ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання. Для розв'язання задачі структурно-параметричної ідентифікації обрані адитивна, мультиплікативна і адитивно-мультиплікативні МБФО:

; (1)

; (2)

; (3)

, (4)

де Р(х) - значення ФУК для варіанту х;

= - значення функції корисності і-го часткового критерію;

- ваговий коефіцієнт і-го часткового критерію,

; ; - вагові коефіцієнти добутку ФКЧК і , ;

- адаптаційний коефіцієнт, що визначає конкретний вид схеми, .

Як ФКЧК пропонується використовувати функції:

;(5)

(6)

де - значення i-го часткового критерію для варіанту х;

, - найкраще і найгірше значення -го критерію;

- параметр, що визначає вид залежності.

При реалізується лінійна, при - увігнута, а при - опукла залежності;

- нормоване значення i-го часткового критерію; ai,

- значення координат точки перегину функції,

; - нормоване значення координати ; - параметри, що визначають вид залежності (лінійна, увігнута, опукла) відповідно на початковому та кінцевому відрізках.

Для вибору рішень в умовах невизначеності цілей, вихідних даних і ризику запропоновано використовувати відомі моделі: універсальну адаптивну, інтервального аналізу, Лапласа, максимаксу, Вальда, Гурвиця, Севіджа. Показано, що моделі для ситуацій невизначеності можуть бути зведені до базових моделей багатофакторного оцінювання, а задача їх ідентифікації може бути зведена до визначення значень адаптаційних коефіцієнтів.

Сформульована загальна задача структурно-параметричної ідентифікації МБФО у такій постановці. На множині альтернатив Х на основі часткових критеріїв , і бінарних відношень еквівалентності, строгої та нестрогої переваги

,

задана якісна корисність у вигляді порядку одного з видів:

; (7)

; (8)

. (9)

Необхідно для встановленого ОПР порядку (7), (8) або (9) вибрати вид МБФО на множині структур (1) - (4), визначити найкраще значення вектору параметрів (де - множина допустимих векторів параметрів моделі).

Вектор параметрів складається з трьох векторів

,

де - вектор параметрів ФКЧК;

- вектор параметрів ФУК;

- вектор адаптаційних параметрів ФУК.

Після декомпозиції загальної задачі , у ній виділені комплекси задач: структурної (вибір виду моделі ) і параметричної ідентифікації ФКЧК (визначення ) і ФУК (визначення та/або ).

Значення мінімізують похибку відновлення переваг ОПР:

,

де ; - відповідно порядкові номери альтернативи xj у перевазі ОПР і отриманій на підставі значень ФУК із вектором параметрів .

У такій постановці сформульована задача є некоректною за Адамаром. У загальному випадку вона може не мати жодного розв'язку або мати множину розв'язків. Для визначення єдиного розв'язку пропонується регуляризація вихідної задачі шляхом введення додаткових критеріїв:

- для переваги виду (7) на основі відношення :

; (10)

, (11)

де ; - значення ФУК виду із значеннями параметрів для альтернативи ;

- для переваги у вигляді відношення :

. (12)

На перевазі ОПР виду (8) необхідно заздалегідь виділити відношення и , а як критерій пропонується використовувати:

, (13)

де

;

.

Суть схеми параметричної компараторної ідентифікації для відомої структури моделі полягає у наступному. ОПР пред'являється пара альтернатив з оцінками за частковими критеріями . Значення оцінок і визначають у свідомості ОПР невимірюване уявлення щодо відносної цінності альтернатив і , на підставі чого формується одне з відношень: , або .

На основі сформованих відношень з урахуванням виду ФУК (1) - (4) можуть бути сформовані системи рівнянь і (або) нерівностей (СРН):

, ; (14)

, ; (15)

, . (16)

Отримані СРН доповнюються обмеженнями на значення параметрів . Для зниження розмірності СРН (обчислювальних витрат на її розв'язання) пропонується заздалегідь виділяти підмножину .

У процесі структурно-параметричної ідентифікації значення і використовуються для обчислення ФУК для всіх моделей-претендентів (1) - (4). Для кожної з моделей , на основі відношень (14) - (16) і обмежень формуються відповідні СРН. У результаті їх розв'язання знаходяться найкращі значення параметрів для всіх класів моделей (1) - (4) і відповідні їм значення критеріїв , (11) - (13) та визначається найкраща з моделей

.

Для спрощення задачі формування підмножин ефективних альтернатив (на опуклих множинах Х) заздалегідь виділяється наближена область компромісів (НОК) , . З цією метою на множині Х знайдемо найкращі за кожним критерієм варіанти

і відповідні їм значення інших критеріїв kj(), . Визначимо межі <, >, відображення підмножини ХP у простір критеріїв К:

, , якщо min і

, якщо max.

Для знайдених меж НОК <, >, знайдемо r опорних варіантів , ,…, , координати яких у просторі критеріїв , визначають точки, якомога більш рівномірно розподілені на . Побудуємо площини, які проходять через різні набори з т точок, що включають граничні точки

,

і точки , ,…, та відсікають від Х область .

Запропонована модифікація методу для кругової області Х з рівномірним розподілом рішень з r = 1 дозволяє скоротити НОК: щодо вихідної області у 40,1 разу; щодо методу сектора - у 10 разів; щодо базового методу - у 3,6 рази.

Основні результати цього розділу опубліковані у роботах [1 - 2, 5 - 7].

Третій розділ роботи присвячений розробці математичних моделей і методів ідентифікації моделей багатофакторного оцінювання.

При розв'язанні задачі параметричної ідентифікація адитивних моделей оцінювання (1) для сформованих відношень , або отримаємо підсистеми рівнянь і нерівностей (14), (15) або (16). Для визначення єдиного розв'язку перейдемо до регуляризованих задач (10) - (11). Для переваги на основі відношення еквівалентності перейдемо до регуляризованої задачі (12).

При використанні лінійних ФКЧК загальна задача параметричної ідентифікації адитивних моделей , (залежно від критерію ідентифікації) може розв'язуватися методами лінійного або нелінійного програмування. При використанні нелінійних ФКЧК для загальної задачі можуть бути знайдені тільки її наближені розв'язки.

При заданих значеннях параметрів ФКЧК приходимо до задачі ідентифікації вагових коефіцієнтів часткових критеріїв

.

Системи лінійних рівнянь і нерівностей (14) - (16) матимуть вигляд:

, (17)

(18)

(19)

, (20)

де m - кількість часткових критеріїв; nЕ, nS, nNS - відповідно потужності відношень , , у вихідному порядку ;

.

Рівняння і нерівності систем (17) - (19) є однорідними і задають множини площин, що проходять через початок координат. Нормуючі умови (20) визначають січну. Системи (17) - (20) можуть бути як сумісними, так і несумісними. Одним із шляхів їхньої регуляризації є пошук так званої чебишевської точки. Він дозволяє звести пошук єдиного розв'язку задачі до задачі лінійного програмування.

Як альтернативу рішенням у вигляді чебишевської точки пропонується використовувати узагальнені розв'язки систем (17) - (20), що враховують віддалення (або ухилення) від усієї множини обмежень:

,

де - норма вектора відхилу;

- матриця коефіцієнтів для об'єднаної СРН (17) - (20).

При розв'язанні загальної задачі параметричної ідентифікації мультиплікативних моделей (2) для сформованих відношень , або отримаємо підсистеми нелінійних рівнянь і нерівностей (14) - (16). Для них можуть бути знайдені тільки наближені розв'язки. При заданих параметрах ФКЧК , (5) або (6) отримані СРН пропонується лінеаризувати шляхом логарифмування, що дозволить розв'язувати їх за допомогою методів ідентифікації адитивних ФУК.

Загальна задача параметричної ідентифікації змішаних адитивно-мультиплікативних моделей (3) - (4) належить до задач нелінійного математичного програмування. Для неї можуть бути знайдені тільки наближені розв'язки. При заданих значеннях параметрів ФКЧК (5) або (6) СРН задачі ідентифікації вагових коефіцієнтів

для моделі на основі полінома Колмогорова-Габора (3) можуть бути приведені до адитивного вигляду. Позначимо:

, , , , ... .

З урахуванням цього, модель (3) прийме адитивну форму:

, (21)

де - вектор параметрів (вагових коефіцієнтів) моделі (3), поданої у вигляді (21);

- кількість доданків у ФУК на основі полінома Колмогорова-Габора n-го ступеня;

- кількість часткових критеріїв.

У задачі параметричної ідентифікації універсальної ФКЧК для ряду з значень i-го критерію , і заданих значень їх корисності необхідно визначити найкращі значення параметрів ФКЧК виду (6)

.

Після нормування часткового критерію

,

за схемою (5) при отримаємо

, .

Вибір найкращих значень параметрів ФКЧК може бути проведений за показниками мінімуму: суми квадратів відхилень; максимальної похибки; суми модулів похибок. Якщо характер даних , , , свідчить про опуклість (увігнутість) ФКЧК, то з цього виходить, що = 0 і = 0 (або = 1 і =1). У цьому випадку задача зводиться до визначення значення тільки одного параметру або .

З урахуванням того, що вихідні дані визначаються експертним шляхом з невисокою точністю, а цільова функція є багатоекстремальною, для розв'язання задачі пропонується використовувати модифікований метод сіток MN. Суть першої із запропонованих модифікацій методу MN-1 полягає у зменшенні області пошуку параметрів на основі виявлених властивостей ФКЧК. ФКЧК завжди проходить між заданими точками (), або через них, тобто вона відхиляється від лінійної ФКЧК на кожному з відрізків , не більше, ніж функція, побудована для самої віддаленої точки відрізку , . Для кожної точки відрізків , значення параметрів вибираються за умов:

;

;

;

,

а найкращі значення параметрів нелінійності знаходяться у діапазонах:

: ,

і : ; ,

де - кількість точок, для яких (точки впорядковані за збільшенням критерію).

Точка перегину функції (6) не може бути віддалена від лінійної ФКЧК далі, ніж максимально віддалена точка вихідних даних , . З урахуванням цього, область раціональних значень її координат обмежується лініями, що проходять через максимально віддалені від лінійної ФКЧК точки.

У другій модифікації методу MN-2 за найкращі координати пропонується вибирати середні значення координат сусідніх точок

і ,

(при и ), а у визначеній області знаходити тільки і .

Часова складність складає: базового методу сіток MN - (де - кількість значень, що апроксимуються, ; - відносний розмір кроку сітки); модифікації MN-1 - ; модифікації MN-2 - .

Задача ідентифікації вагових коефіцієнтів часткових критеріїв розглядалася у такій постановці. Задані: множина альтернатив , кожна з яких оцінюється за множиною часткових критеріїв , ; вигляд і параметри ФКЧК; вид ФУК; якісна корисність альтернатив у вигляді . Потрібно визначити найкращі значення коефіцієнтів

,

що задовольняють встановленій перевазі ОПР (7), (8) або (9).

Область допустимих значень вагових коефіцієнтів є гіперплощиною

, .

Як критерії ідентифікації, залежно від виду переваги, використовуються (10) - (13).

Для вирішення цієї задачі були використані методи сіток MN, випадкового пошуку, генетичної селекції, а також запропонований метод на основі схеми оптимізації за парами координат MOPC. Суть його може бути подана наступним чином. Формується вихідне значення координат вектора, що задовольняє умові

, .

Для заданого значення кроку на площині виконується екстремізація за парами координат ; ; …; при фіксованих значеннях інших координат. Процедура повторюється до тих пір, поки послідовних спроб поліпшити значення критерію за парами координат , не стануть безуспішними. Для підвищення точності методу можуть бути використані зменшення кроку зміни координат і багатократні розв'язання задачі (модифікація MOPC-М).

Проведено експериментальне дослідження запропонованих методів. Завдання розв'язувалися на ПЕОМ з процесором 2 ГГц для і . Результати дослідження показують, що метод MOPC має поліноміальну часову складність

та .

Суть запропонованих методів для вирішення загальної задачі параметричної ідентифікації МБФО полягає у реалізації схем екстремізації по парах координат MOPC, випадкового пошуку MRS, еволюційного пошуку MES з вибором на кожному кроці значень параметрів ФКЧК , модифікованим методом сіток.

Основні результати цього розділу опубліковані у роботах [2 - 3, 5 - 7].

Четвертий розділ роботи присвячений експериментальному дослідженню розроблених методів шляхом розв'язання тестових задач. Експерименти проводились на ПЕОМ з процесором 2 ГГц.

Задача виділення підмножини ефективних альтернатив розв'язувалась для і запропонованим модифікованим методом парних порівнянь, що передбачає попереднє виділення наближеної області компромісів. Одержаний розв'язок збігається з розв'язком, одержаним базовим методом парних порівнянь. Час розв'язання склав: запропонованим методом - менше за 1 мс; методами Карліна і Гермейера для значень кроку - відповідно: 1.043 і 1.196 с.

Розв'язання задачі параметричної ідентифікація ФКЧК (6) проводилося для з використанням базового методу сіток MN, його модифікацій MN-1, MN-2 а також методу випадкового пошуку MRS. Час розв'язання методом MN (50 кроків по кожній координаті) склав 7.793 с. За той же час методом MRS було проаналізовано 5117698 варіантів, кращий з яких поступається розв'язку, отриманому методом сіток MN, за різними критеріями від 37.3 % до 89.5 %. Зменшення часу розв'язання методом MN-1 склало 68.8 %.

Задача ідентифікації вагових коефіцієнтів часткових критеріїв розв'язувалася для і методами випадкового пошуку MRS, оптимізації за парами координат МОРС і еволюційного пошуку MES. Всіма методами вдалося відновити вихідний порядок альтернатив . Кращим за комплексним показником "точність - час розв'язання" виявився модифікований метод оптимізації за парами координат MOPC-М.

При розв'язанні задачі структурно-параметричної ідентифікації МБФО вибір здійснювався для і між адитивною, мультиплікативною і змішаними ФУК (1) - (4). Усі моделі виявилися адекватними. Мінімальну складність виявила адитивна модель (1), максимальне значення критерію сили переваги отримано для моделі на основі полінома Колмогорова-Габора (3). Проте, вона значно перевершує всі інші моделі за складністю. Кращою за комплексним показником "точність - складність" виявилась адитивно-мультиплікативна модель (4). Вона поступилася моделі на основі полінома Колмогорова-Габора (3) за критерієм сили переваг на 2.78 %, проте потребує у 7.79 рази менше часу на розв'язання задачі ідентифікації.

Основні результати цього розділу одержані на основі моделей і методів із [2 - 7] і опубліковані у роботах [12 - 13].

Висновки

У дисертаційній роботі отримано розв'язання важливої науково-технічної задачі розробки комплексу ефективних математичних моделей, обчислювальних методів та інструментальних засобів для синтезу моделей багатофакторного оцінювання і вибору альтернатив. При цьому було отримано ряд наукових і практичних результатів, що мають переваги перед існуючими.

1. У роботі виконано системологічний аналіз сучасного стану проблеми багатофакторного оцінювання і вибору рішень, у результаті якого встановлено, що для неї характерні, зокрема: тісний взаємозв'язок проблемно пов'язаних задач; висока складність сумісного розв'язання задач; складність існуючих методів розв'язання часткових задач; непридатність для розв'язання задач класичних методів ідентифікації.

2. Одержали подальший розвиток математична модель і метод ідентифікації вагових коефіцієнтів МБФО шляхом поширення їх на класи мультиплікативних і адитивно-мультиплікативних ФУК, що дозволяє підвищити точність і адекватність моделей, які використовуються для прийняття рішень.

3. Запропоновано метод ідентифікації вагових коефіцієнтів МБФО, заснований на ідеї оптимізації за парами координат, що перевершує існуючі методи за комплексним показником "точність-складність" і дозволяє регулювати точність і час розв'язання задачі.

4. Сформульовано постановку загальної задачі параметричної ідентифікації МБФО, що передбачає сумісне визначення параметрів ФКЧК і вагових коефіцієнтів ФУК, запропонований метод її розв'язання. У рамках цієї задачі без використання додаткової інформації стає можливим ідентифікувати параметри ФКЧК і, таким чином, підвищити адекватність моделей оцінювання.

5. Сформульовано постановку задачі і розроблено метод структурно-параметричної ідентифікації МБФО у класі адитивних, мультиплікативних і комбінованих адитивно-мультиплікативних ФУК. Це дозволяє підвищити точність (адекватність) МБФО і використовувати для вирішення практичних завдань моделі мінімальної складності.

6. Удосконалено у напрямі зниження часової складності метод формування підмножин ефективних варіантів для опуклої множини альтернатив на основі виділення наближеної області компромісів. Його практичне застосування дозволяє знижувати складність процедур ідентифікації МБФО і вибору рішень.

7. Показана можливість і доцільність використання отриманих результатів для розв'язання задач ідентифікації МБФО. Наведені результати розв'язання задач виділення підмножини ефективних альтернатив, параметричної ідентифікації ФКЧК, ідентифікації вагових коефіцієнтів часткових критеріїв, параметричної і структурно-параметричної ідентифікації МБФО. Застосування розроблених моделей і методів при розв'язанні контрольних задач дозволило зменшити час пошуку розв'язків на 61.2 - 68.8 % і (або) отримати варіанти з кращими на 18.9 - 25.8 % значеннями критеріїв.

8. Розроблені математичні моделі і методи багатофакторного оцінювання, прийняття рішень розвивають методологічну основу створення ефективних інструментальних засобів СППР для процесів проектування, створення, планування розвитку і управління антропогенними системами різного призначення. Всі основні методи розв'язання задач реалізовані програмно. Практичне значення результатів підтверджується їх впровадженням.

9. Одержані результати можуть бути використані при розв'язанні практичних задач проектування, управління проектами створення, планування розвитку, реінжинірингу і управління об'єктами різного призначення. Їх практична значимість виявляється у підвищенні обґрунтованості оптимальності рішень, що приймаються, за рахунок більш повного і точного врахування значущості часткових критеріїв, їхнього взаємозв'язку, нелінійності і виключення або пом'якшення на цій основі суб'єктивізму, що характерний для експертного оцінювання.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Бескоровайный В.В., Трофименко И.В. Структурный синтез территориально распределенных объектов в условиях неопределенности исходных данных // Вестник Херсонского государственного технического университета. - 2004. - № 1 (19). - С. 245 - 249.

Бескоровайный В.В., Трофименко И.В. Параметрическая идентификация аддитивно-мультипликативных моделей многофакторного оценивания // Радиоэлектроника и информатика. - 2005. - № 4. - С. 41 - 46.

Бескоровайный В.В., Трофименко И.В. Структурно-параметрична ідентифікація моделей багатофакторного оцінювання // Системи озброєння і військова техніка. - 2006. - № 3 (7). - С. 56 - 59.

Бескоровайный В.В., Петров Э.Г., Трофименко И.В. Метод решения общей задачи компараторной идентификации моделей многофакторного оценивания // Бионика интеллекта. - 2006. - № 2 (65). - С. 3 - 7.

Бескоровайный В.В., Трофименко И.В. Параметрическая идентификация мультипликативных моделей для многофакторного выбора решений // Збірник наукових праць Харківського університету повітряних сил. - Харків: ХУ ПС, 2005. - Вип. 5 (5). - С. 74 - 77.

Бескоровайный В.В., Трофименко И.В. Определение подмножеств эффективных вариантов в задачах многофакторного выбора решений // Автоматизированные системы управления и приборы автоматики. - 2005. - Вып. 132. - С. 4 - 11.

Бескоровайный В.В., Трофименко И.В. Параметрическая идентификация функции общей полезности для многофакторного оценивания и выбора решений // Збірник наукових праць Харківського університету повітряних сил. - Харків: ХУ ПС, 2006. - Вип. 6 (12). - С. 63 - 66.

Бескоровайная И.В. Многофакторное оценивание и формирование обобщенных оценок // Тезисы докладов 6-го Междунар. молод. форума "Радиоэлектроника и молодежь в ХХІ веке". - Харьков: ХТУРЭ. - 2002. - С. 396 - 397.

Бескоровайная И.В. Выбор оптимальных решений на основе теории размытых множеств // 8-я Междунар. конф. "Теория и техника передачи, приема и обработки информации" ("Интегрированные информационные системы, сети и технологии") "ИИСТ-2002": Сб. научн. тр. - Харьков: ХНУРЭ, 2002. - С. 516 - 517.

Трофименко И.В., Петров Э.Г. Определение структуры функции полезности в моделях индивидуального многофакторного оценивания // Сборник докладов и тезисов III-го Междунар. молод. форума "Информационные технологии в ХХІ веке". - Днепропетровск: УГХТУ. - 2005. - С. 193 - 194.

Трофименко И.В. Решение задачи параметрической идентификации модели индивидуального многофакторного оценивания // 9-й Міжнародний молодіжний форум "Радіоелектроніка і молодь в ХХІ ст.": Зб. матеріалів форуму. - Харків: ХНУРЕ, 2005. - С. 392 - 393.

Трофименко И.В. Исследование моделей многофакторного оценивания и выбора решений // 10-й Ювілейний міжнародний молодіжний форум "Радіоелектроніка і молодь в ХХІ ст.": Зб. матеріалів форуму. - Харків: ХНУРЕ, 2006. - С. 400.

Бескоровайный В.В., Трофименко И.В. Структурно-параметрическая идентификация моделей многофакторного оценивания и выбора решений // 1-а Міжнар. конф. "Глобальні інформаційні системи. Проблеми та тенденції розвитку". - Харків: ХНУРЕ, 2006. - С. 109 - 110.

Размещено на Allbest.ru