Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. В ящике 10 белых и 6 красных карандашей. Вынимается наудачу два карандаша. Какова вероятность того, что оба карандаша одного цвета?

РЕШЕНИЕ

Вероятность события по классической формуле определяется так:

,

где n - число всех элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А. Число всех карандашей 16. Вынимают два карандаша (по условию). Таким образом, элементарным исходом является любой набор двух карандашей из 16. Любые два элементарных исхода отличаются хотя бы одним карандашом, значит, элементарный исход является сочетанием. Следовательно, число всех элементарных исходов равно числу сочетаний из 16 по 2. Итак,

По условию задачи оба вынутых карандаша одного цвета: ,

где - число элементарных исходов, когда оба карандаша белые;

- число элементарных исходов, когда оба карандаша красные;

Найдем значения этих чисел:

Итак, ; .

2. В группе из 20 стрелков пять отличных, девять хороших и шесть посредственных. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, хороший -- с вероятностью 0,8 и посредственный -- с вероятностью 0,6. Наугад выбранный стрелок выстрелил дважды; отмечено одно попадание и один промах. Каким, вероятнее всего, был этот стрелок: отличным, хорошим или посредственным?

РЕШЕНИЕ

Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1), Р(Н2) и Р(Н3), а в результате опыта наступило событие А, то «новые» (уточненные) вероятности при условии, что событие А произошло, определяются по формуле Байеса.

Пусть А -- один промах при выстреле, Н1 -- предположение состоящее в том, что стрелял отличный стрелок, Н2 -- предположение состоящее в том, что что стрелял хороший стрелок, Н3 -- предположение состоящее в том, что что стрелял посредственный стрелок. Тогда Р(Н1) = 0,25; Р(Н2) = 0,45, Р(Н3) = 0,3. Из условия задачи следует, что Р(А|Н1) = 0,18; Р(А|Н2) = 0,32; Р(А|Н3) = 0,48. Значит полная вероятность

в условиях задачи будет равна

Уточненная вероятность гипотезы о том, что стрелял первый стрелок:

Уточненная вероятность гипотезы о том, что стрелял второй стрелок:

Уточненная вероятность гипотезы о том, что стрелял третий стрелок:

Видно, что с равной вероятностью это скорее всего было либо хороший либо посредственный стрелки.

3. Игрок набрасывает кольца на колышек, вероятность удачи при этом равна 0,1. Найти вероятность того, что из шести колец на колышек попадут хотя бы два.

РЕШЕНИЕ

Вычислим вероятность того, что игрок не попал ни разу

Вычислим вероятность того, что игрок попал только один раз

Тогда вероятность того, что игрок попал два или более раз

4. Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше четырех выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Случайная величина X -- число произведенных выстрелов, б = 1; в = 2; k = 4; b = -3.

РЕШЕНИЕ

Для заданной случайной величины Х:

1) составить закон распределения, функцию распределения F(x) и построить ее график;

2) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение;

3) определить ; M(Y) и D(Y) если Y=k*x+b (б, в, k, b -- данные числа);

4) вычислить асимметрию A(X) и эксцесс Эх.

Закон распределения представим в виде таблицы значений случайной величины Х и соответствующих вероятностей. Заметим, что возможные значения дискретной случайной величины Х равны 1, 2, 3, 4. Определим соответствующие этим значениям вероятности:

вероятность байес эксцесс распределение

Теперь можно записать таблицу распределения:

Далее найдем функцию распределения вероятностей F(x) =P(X<x):

если x ? 1, то F(x) = 0;

если 1 < x ? 2, то F(x) = P(X=1) = 0.8

если 2 < x ? 3, то F(x) = P(X=1) + P(X=2) = 0.96;

если 3 < x ? 4, то F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.992;

если 4 < x ? 5, то F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.9984;

если x > 4, то F(x) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 1;

Построим график этой функции:

Теперь определим числовые характеристики заданной случайной величины, исходя из соответствующих формул:

Далее, P(1< X ? 2) = 0.8.

По условию задачи Y=4*x-3. Следовательно:

Ассиметрия

Эксцесс

5. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти:

1) значения неопределенных коэффициентов; плотность распределения f(х); построить графики F(x) и f(x);

2) вероятность того, что значения данной случайной величины находятся на интервале (a, b);

3) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

4) моду, медиану, асимметрию и эксцесс заданной случайной величины.

РЕШЕНИЕ

Коэффициент A определяется из условия

Плотность вероятности распределения

Графики

Вероятность того, что значения данной случайной величины находятся на интервале

Математическое ожидание

Дисперсия

Мода находится из условия максимума функции плотности вероятности. Производная

нулю нигде не равна, значит максимум достигается в точке

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Me , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Me. Для нахождения медианы решим уравнение

Ассиметрия

Эксцесс

6. Задана функция плотности f(x) непрерывной случайной величины Х. Найти:

1) функцию распределения F(x), вычислив сначала неопределенные коэффициенты; построить графики f(x) и F(x);

2) вероятность того, что заданная случайная величина находится в интервале (a; b);

3) математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины Х;

4) моду, медиану, асимметрию и эксцесс заданной случайной величины.

РЕШЕНИЕ

Коэффициент A вычислим из условия нормировки.

Функция F(x) находится как интеграл от f(x)

Графики функций

Вероятность того, что случайная величина лежит в интервале (1;4) находится как

Математическое ожидание

Дисперсия и среднеквадратичное отклонение

Мода находится из условия максимума функции плотности вероятности. Производная

нулю нигде не равна, значит максимум достигается в точке

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Me , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Me. Для нахождения медианы решим уравнение

Ассиметрия

Эксцесс

Размещено на Allbest.ru