Розділяюче перетворення і квадратичні диференціали в геометричній теорії функцій комплексної змінної

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.5

РОЗДІЛЯЮЧЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ І КВАДРАТИЧНІ ДИФЕРЕНЦІАЛИ

В ГЕОМЕТРИЧНІЙ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

В'юн Вікторія Євгенівна

Київ - 2007



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук БАХТІН Олександр Костянтинович, Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор КОНДРАТЮК Андрій Андрійович, Львівський національний університет імені І. Франка, завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу;

кандидат фізико-математичних наук ТАРГОНСЬКИЙ Андрій Леонідович, Житомирський державний університет імені І. Франка, старший викладач кафедри математичного аналізу.

Захист відбудеться 12 лютого 2008 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 25 грудня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради А.С. РОМАНЮК



АНОТАЦІЇ

В'юн В.Є. Розділяюче перетворення і квадратичні диференціали в геометричній теорії функцій комплексної змінної. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2007. множина функціонал геометричний

Дисертаційна робота присвячена розробці нових і вдосконаленню вже існуючих методів для розв'язання класу екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної, пов'язаних з отриманням точних оцінок зверху функціоналів на класах неперетинних областей або відкритих множин. Для дослідження таких екстремальних задач використовуються метод розділяючого перетворення і метод "керуючих" функціоналів. За допомогою поняття променевих систем точок вдалося розширити класи екстремальних задач, для яких отримано повний розв'язок. Важливим досягненням роботи є те, що за рахунок введених кутових параметрів і коефіцієнтів зміщення отримано оцінки, які певним чином враховують відхилення не екстремальної конфігурації від екстремальної.

Представлено подальший розвиток методу, що дозволяє послабити вимоги щодо геометрії взаємного розташування вільних полюсів квадратичних диференціалів, які відповідають досліджуваним екстремальним задачам.

Введено класи відкритих множин, які задовольняють певні умови ненакладання відносно заданої системи точок, що дозволило узагальнити отримані результати (а також і відомі раніше) для неперетинних областей на випадок відкритих множин (що істотно розширює об'єкт дослідження). Узагальнено та посилено класичні результати В.М. Дубініна, Г.В. Кузьміної, Є.Г. Ємельянова.

Ключові слова: квадратичні диференціали, внутрішній радіус області, неперетинні області, відкрита множина, функція Гріна, логарифмічна ємність, екстремальні задачі на класах голоморфних функцій, променеві системи точок, розділяюче перетворення, "керуючий" функціонал.



Вьюн В.Е. Разделяющее преобразование и квадратичне дифференциалы в геометрической теории функций комплексного переменного. - Ркопись. - Дссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - мтематический анализ. - Иститут математики НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена разработке новых и усовершенствованию уже существующих методов для решения класса экстремальных задач геометрической теории функций комплексного переменного, связанных с получением точных оценок сверху функционалов на классах непересекающихся областей или открытых множеств. Основным объектом исследования являются экстремальные задачи об оценке сверху произведения степеней внутренних радиусов непересекающихся областей или открытых множеств, которым соответствуют квадратичные дифференциалы, полюсы которых не фиксированы (т.е. со свободными полюсами). Возникновение в теории однолистных функций этого направления связано с классической работой М.А. Лаврентьева 1934 года, в которой была впервые поставлена и решена задача о произведении конформных радиусов двух взаимно непересекающихся односвязных областей. В 1968 году П.М. Тамразов заметил, что представляет интерес исследование экстремальных задач, полюсы соответствующих квадратичных дифференциалов которых не фиксированы, а владеют некоторой степенью "свободы". Первые экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами были сформулированы и частично решены в работах Г.П. Бахтиной в 1974 - 75 годах. В последующем интерес к задачам о неналегающих областях со свободными полюсами значительно возрос. За период с 1978 года В.Н. Дубинин разработал ряд новых, сильных методов исследования, среди которых особо отметим метод кусочно-разделяющего преобразования. На основе этого метода он получил решения нескольких открытых проблем. В течение последнего десятилетия А.К. Бахтин, на основе метода кусочно-разделяющего преобразования, разработал метод "управляющих" функционалов, при помощи которого удается значительно ослабить условия на геометрию взаимного размещения свободных полюсов. В данной работе при помощи понятия (n, m)-лучевых систем точек на плоскости комплексных чисел (n и m - натуральные числа) удалось расширить классы изучаемых экстремальных задач, для которых получено полное решение. Важным достижением работы является то, что за счет описанных угловых параметров и коэффициентов смещения получены новые оценки, которые определенным способом учитывают отклонение неэкстремальной конфигурации от экстремальной. Представлено дальнейшее развитие метода, позволяющего ослабить требования к геометрии взаимного размещения свободных полюсов квадратичних дифференциалов, соответствующих исследуемым экстремальным задачам. Для (n, m)-лучевых систем точек рассмотрены три типа экстремальных задач о точных оценках сверху указанных выше функционалов. Решена достаточно общая экстремальная задача третьего типа о произведении произвольных степеней внутренних радиусов непересекающихся областей. Описаны классы открытых множеств, удовлетворяющих определенным (в зависимости от типа задачи) условиям неналегания относительно заданной системы точек, что позволило обобщить полученные результаты (а также и известные ранее) для непересекающихся областей на случай открытых множеств. За счет коэффициентов смещения, угловых параметров и перехода к новому объекту исследования (от неналегающих областей к открытым множествам) удалось обобщить и усилить некоторые классические результаты В.Н. Дубинина, Г.В. Кузьминой, Е.Г. Емельянова.

Ключевые слова: квадратичные дифференциалы, внутренний радиус области, непересекающиеся области, открытое множество, функция Грина, логарифмическая емкость, экстремальные задачи на классах голоморфных функций, лучевые системы точек, разделяющее преобразование, "управляющий" функционал.



Vjun V.E. Separate transformation and quadratic differentials in geometric theory of complex variable functions. - Manuscript. - The thesis is presented for the scientific degree of the candidate of physics and mathematics by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv 2007.

The thesis is devoted to development of new and improvement of already existent methods for solving of class of extreme problems of geometrical theory of complex variable functions, connected with upper estimate of the product of inner radii of disjoint domains or an open set. Important achievement of work is that due to the described angular parameters and coefficients of displacement estimations which by a certain method take into account deviation of not extreme configuration from extreme are got. Further development of method, allowing to weaken requirement to geometry of the mutual placing of free poles of quadratic differentials, proper the probed extreme problems is presented. The classes of the open sets, satisfying the certain conditions of unapplying in relation to the input system of points are described, that allowed to generalize the got results (and also known before) for disjoint domains in case of the open sets. Generalized and increased some classic results of V.N. Dubinin, G.V. Kuz'mina and E.G. Emel'anov.

Key words: quadratic differentials, inner radius of domain, disjoint domain, open set, Green function, logarithmic capacity, extremal problems on holomorphic function class, ray point system, separate transformation, "control" functional.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Робота присвячена розробці нових, а також вдосконаленню вже існуючих, методів розв'язання класу екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної, пов'язаних з оцінками добутку степенів внутрішніх радіусів неперетинних областей та відкритих множин. Виникнення в теорії однолистих функцій екстремальних задач про неперетинні області пов'язано з роботою М.О. Лаврентьєва (1934 р.). В цій роботі була вперше поставлена і розв'язана задача про добуток конформних радіусів двох взаємно неперетинних однозв'язних областей. В подальшому ця задача викликала цілий потік результатів багатьох авторів, що узагальнювали та посилювали її в різних напрямках.

Розглянемо наступну задачу про неперетинні області. На площині w дано n різних скінченних точок a₁, a₂, …, a_n, n ? 2. Функції w = f_k(z), k = 1, 2, ..., n, регулярні в крузі |z| < 1, однолисто відображають круг |z| < 1 на не перетинні одна з одною області B_k, які містять відповідно точки a_k, k = 1, 2, ..., n, і причому так, що f_k(0) = a_k, k = 1, 2, ..., n. Ставиться питання: що можна сказати про максимум добутку

відносно найрізноманітніших функцій f_k(z), k = 1, 2, ..., n?

У випадку n = 2 відповідь на це питання була дана М.О. Лаврентьєвим (1934 р.): якщо G₀, G₁ - довільні неперетинні області, які містять фіксовані точки z_i ? G_i, і F_i: G_i ? {|w|<1}, F_i(z_i) = 0, - конформні відображення цих областей на одиничний круг, то |F'(z₀) F'(z₁)| ? |z₀ - z₁|^-2, причому рівність досягається тоді і лише тоді, коли ці області є півплощинами, поділеними прямою |z-z₀| = |z-z₁|. Наступний відчутний крок у розв'язанні цієї задачі для трьох різних точок комплексної площини (у випадку n = 3) був зроблений Г.М. Голузіним лише через 20 років. І до теперішнього часу поставлена задача викликає інтерес багатьох дослідників.

В 1939 році О. Тейхмюллером була вперше відмічена фундаментальна роль квадратичних диференціалів як універсального засобу для розв'язання екстремальних задач геометричної теорії функцій. Він сформулював принцип, за яким розв'язок кожної такої задачі пов'язаний з деяким квадратичним диференціалом. Цей принцип знайшов своє обґрунтування у вигляді так званої "загальної теореми про коефіцієнти", сформульованої і доведеної пізніше Дж. Дженкінсом (1962 р.). Пізніше П.М. Тамразов отримав значний розвиток методу квадратичних диференціалів і його застосування.

У 30-х - 60-х роках ХХ століття переважна кількість розглянутих задач про неперетинні області були такими, яким відповідають квадратичні диференціали з фіксованими полюсами. В 1968 році П.М. Тамразов привернув увагу до дослідження екстремальних задач, полюси відповідних квадратичних диференціалів яких не фіксовані, а мають певну "свободу". Такі задачі отримали назву екстремальних задач з вільними полюсами. Перші задачі з вільними полюсами про неперетинні області були сформульовані і частково розв'язані Г.П. Бахтіною в 1974 - 1975 рр. Починаючи з 1978 р. В.Н. Дубінін розробив кілька нових потужних методів дослідження і за їх допомогою розв'язав низку нових екстремальних задач про неперетинні області з вільними полюсами. Зокрема, відмітимо метод кусково-розділяючого перетворення, що відіграє важливу роль для нашої роботи.

Зараз такі екстремальні задачі складають добре відомий напрям геометричної теорії функцій комплексної змінної. Фундаментальні результати тут отримано в роботах М.О. Лаврентьєва, О. Тейхмюллера, Г.М. Голузіна, П.П. Куфарева, Дж.А. Дженкінса, Н.А. Лєбєдєва, П.М. Тамразова, З. Нехарі, Ю.Є. Аленіцина, І.А. Александрова, І.П. Мітюка, В.Я. Гутлянського, Г.В. Кузьміної, В.М. Дубініна, Д.В. Прохорова, А.Ю. Солиніна, Є.Г. Ємельянова та інших.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в Інституті математики НАН України в рамках наукових тем "Дослідження з комплексного аналізу, теорії потенціалу, диференціальних та топологічних властивостей відображень і множин" (номер держреєстрації 0101U000700), "Аналітичні і геометричні проблеми в комплексному аналізі" (номер держреєстрації 0106U000156).

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження є функціонали, які задані або на класах однолистих функцій, або на класах відкритих множин розширеної комплексної площини. Предметом дослідження є знаходження максимумів вказаних функціоналів і опис екстремальних конфігурацій. Метою дослідження є розробка нових та вдосконалення вже існуючих методів для розв'язання класів екстремальних задач, посилення та узагальнення відомих результатів. Для досягнення мети використано методи розділяючого перетворення, варіаційний метод, метод квадратичних диференціалів, метод симетризації, методи теорії потенціалу, метод "керуючих" функціоналів.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, які виносяться до захисту, є новими. В дисертації введено деякі нові поняття, за допомогою яких вдалося сформулювати та повністю розв'язати цілий клас нових достатньо загальних екстремальних задач. І порівнюючи з раніше відомими результатами, можна сказати, що в роботі представлено подальший розвиток методу, який дозволяє послабити вимоги щодо геометрії розташування вільних полюсів квадратичних диференціалів, асоційованих з екстремальними задачами. Зазначимо, що навіть наслідки отриманих в дисертації загальних теорем є узагальненням раніше відомих з цього напрямку результатів. Визначено класи відкритих множин, які задовольняють певні умови ненакладання. Для класів таких множин за допомогою методу "керуючих" функціоналів отримано результати, які є узагальненням раніше відомих.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Отримані результати можуть знайти застосування в подальшому розвитку геометричної теорії функцій комплексної змінної і, можливо, в голоморфній динаміці.

Особистий внесок здобувача. Визначення напряму досліджень, постановка основних задач належать науковому керівнику - Бахтіну О.К. Результати робіт [2], [5] отримано дисертантом спільно з О.К. Бахтіним, а результати роботи [4] - спільно з О.К. Бахтіним і членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком, причому внесок всіх співавторів однаковий (зазначені результати в дисертації наведено у вигляді теорем 3.1.1, 2.4.1). Всі інші результати, які виносяться до захисту, отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на: Міжнародній конференції з комплексного аналізу та теорії потенціалу, супровідної до Міжнародного конгресу математиків (Гебзе, Туреччина, 2006 рік); Міжнародній конференції з математичного аналізу і диференціальних рівнянь та їх застосувань (Ужгород, 2006 рік); Міжнародній конференції для студентів і аспірантів з сучасних проблем математики та її застосувань в природничих науках та інформаційних технологіях (Харків, 2007 рік); Міжнародній конференції з комплексного аналізу і хвильовим процесам в механіці (Житомир, 2007 рік).

Крім цього, результати дисертації були предметом доповідей та обговорень в Інституті математики НАН України на семінарах відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу (керівник - доктор фізико-математичних наук Ю.Б. Зелінський, 2005 - 2007 роки), на семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь і теорії нелінійних коливань (керівник - академік НАН України А.М. Самойленко, 2007 рік), на семінарі відділу теорії функцій (керівник - член-кореспондент НАН України О.І. Степанець, 2007 рік).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в статтях [1] - [5] в наукових спеціалізованих виданнях і в збірниках тез конференцій [6] - [9].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків і списку використаних джерел, який містить 97 найменувань. Повний обсяг дисертації - 140 сторінок машинописного тексту, об'єм основної частини - 130 сторінок машинописного тексту.

Подяки. Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук О.К. Бахтіну за увагу до роботи, корисні пропозиції та зауваження.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету дослідження, коротко викладено зміст основної частини роботи та показано наукову новизну одержаних результатів.

В першому розділі дається огляд наукових праць, проблематика яких тісно пов'язана із дослідженнями, які містяться в дисертаційній роботі. Обґрунтовано напрямки досліджень і показано місце результатів автора серед результатів попередників.

Другий розділ дисертації присвячено розв'язанню екстремальних задач третього та другого типів для рівнокутових (n, m)-променевих систем точок з урахуванням коефіцієнтів зміщення, кутових параметрів та керуючих функціоналів.

Нехай N, R - множини натуральних і дійсних чисел, відповідно, R⁺=(0,); = C {} - одноточкова компактифікація комплексної площини C; U_R:={z C: |z|<R}, U₁=:U; cap E позначає логарифмічну ємність множини E; (t)=1/2(t+t^-1).

Якщо B - довільна область в , для якої існує (взагалі кажучи, узагальнена) функція Гріна g_B(z,w) (z, w ? B, z ? w), z₀ - скінченна точка області B, то справедлива асимптотична формула



g_B(z,z₀)=log1/|z-z₀|++o(1), z z₀.

Величину e^? називають внутрішнім радіусом області B відносно точки z₀ і позначають r(B,z₀). Для областей гіперболічного типу внутрішній радіус співпадає з конформним. У випадку нескінченно віддаленої точки виконується співвідношення

g_B(z,) = log |z|+o(1)

Будемо дотримуватись означення внутрішнього радіусу області в нескінченно віддаленій точці, запропонованого В.М. Дубініним: r (B, )= e^?.

Нагадаємо тепер означення квадратичного диференціалу - одного із основних в даній роботі. Нехай - орієнтовна ріманова поверхня (відкрита або замкнена). Будемо говорити, що на заданий квадратичний диференціал, якщо кожному локальному параметру z поверхні відповідає функція Q(z), мероморфна у відповідному околі, і така, що задовольняє умову: якщо z^* - другий локальний параметр для і Q^*(z^*) - така ж функція для z^*, причому околи, які відповідають параметрам z і z^*, перетинаються, то в спільних точках цих околів має місце рівність Q*(z*)=Q(z)(dz/dz*)². Квадратичні диференціали будемо позначати символом Q(z)dz². Область називається круговою областю квадратичного диференціалу Q(z)dz², якщо а) будь-яка траєкторія диференціалу Q(z)dz², що перетинається з областю G, повністю належить G; б) G містить єдиний подвійний полюс a диференціалу Q(z)dz²; в) область G \ a заповнена траєкторіями диференціалу Q(z)dz², кожна з яких є жордановою кривою, що відокремлює точку a від границі області G; г) при певному виборі чисто уявної сталої c функція

w=exp{cQ(z)^1/2dz}



доозначена рівністю w(a) = 0, конформно відображає область G на круг |w| < r; д) G - максимальна (по включенню) область, що задовольняє умови а) - г).

Нехай далі n, m N. Систему точок A_n,m ={a_k,pС} будемо називати (n, m)-променевою, якщо при всіх і виконуються співвідношення: 0<|a_k,1|<|a_k,2|<…<|a_k,m|<?; arg a_k,1=arg a_k,2=…=arg У випадку m = 1, (n, 1)-променеву систему точок будемо називати n-променевою і розглянемо більш прості позначення: a_k,1=:a_k (), A_n,1=:A_n. Довільній (n, m)-променевій системі точок A_n,m поставимо у відповідність набір областей. Розглянемо величини

_k:=_k(A_n,m):=1/[_k+1-_k] ()

Величини _k(A_n,m) () будемо називати кутовими параметрами системи A_n,m. Легко бачити, що . Якщо (n, m)-променева система точок A_n,m володіє властивістю _k=2/n при всіх , то її будемо називати рівнокутовою.

Для фіксованого R ? R⁺ і довільної (n, m)-променевої системи точок A_n,m розглянемо "керуючий" функціонал

. (1)

Далі, нехай T_n - довільний набір із n різних точок одиничного кола U. Легко бачити, що U \ T_n складається із об'єднання n неперетинних дуг з довжинами, причому . Позначимо величину



.

При кожному k = 1, 2, …, n позначимо через _k(w) ту вітку багатозначної аналітичної функції

яка реалізує однолисте і конформне відображення області _k на праву півплощину Re > 0. Тоді функція

(2)

однолисто і конформно відображає область _k на одиничний круг U, при всіх . Позначимо тепер

, , , (, ).

При заданому R визначимо величини, які будемо називати коефіцієнтами зміщення системи A_n,m. Нехай

(3)

(4)

Далі, розглянемо систему взаємно неперетинних областей . При кожному k = 1, 2, …, n лише скінченна кількість компонент зв'язності множини можуть містити всередині себе якусь із областей B_j, , j k; такі компоненти називають суттєвими. Область, отриману викиданням із всіх суттєвих компонент зв'язності множини , будемо позначати . Ясно, що при всіх і є системою скінченнозв'язних взаємно неперетинних областей без ізольованих граничних точок. Перехід від системи до називається операцією заповнення несуттєвих граничних компонент.

Розглянемо довільну відкриту множину D, і a D. Тоді D(a) позначає зв'язну компоненту множини D, що містить точку a. Нехай задана довільна (n, m)-променева система точок A_n,m = {a_k,p} і відкрита множина D така, що A_n,m D. Позначимо через D_k(a_k,p) зв'язну компоненту множини , що містить точку a_k,p, а через D_k(a_k+1,p) - зв'язну компоненту множини , що містить точку a_k+1,p, , . Далі позначимо через D_k(0) зв'язну компоненту множини , що містить точку w = 0, а через D - зв'язну компоненту множини , що містить точку w = ?. Будемо говорити, що відкрита множина D, A_n,m D, задовольняє першу умову ненакладання відносно заданої (n, m)-променевої системи точок A_n,m, якщо відкрита множина D, {0, } A_n,m D, задовольняє третю умову ненакладання відносно (n, m)-променевої системи точок A_n,m, якщо виконується умова (5) і, крім того, при кожному фіксованому і для всіх різних точок a_p,l і a_q,s, що належать . Внутрішній радіус відкритої множини D відносно точки a, a D, визначається співвідношенням: r (D, a) := r (D(a), a); введемо ще одне означення



Сформулюємо основні результати другого розділу дисертації.

Теорема 2.2.1. Нехай n, m N, n 2, R R⁺. Тоді, для будь-якої рівнокутової (n, m)-променевої системи точок A_n,m={a_k,p} і для довільного набору взаємно неперетинних областей B₀, B_k,p, B_? таких, що 0 B₀, a_k,p B_k,p, B_?, справедлива нерівність

,

знак рівності в якій досягається в тому і лише в тому випадку, коли точки a_k,p і області є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціала

(6)

і (, ).

Для екстремальної задачі загального вигляду справедлива наступна теорема.

Нехай R⁺ і нехай області G₁, G₂, G₃, G₄ є круговими областями квадратичного диференціала

з полюсами 1, i, - 1, - i.

Теорема 2.4.1. Нехай n,m,s N, n 3, R⁺. Тоді для будь-якої рівно кутової (n, m)-променевої системи точок A_n,m={a_k,p} такої, що m = 2s - 1, і для довільного набору взаємно неперетинних областей B₀, B_k,p, B_? таких, що 0 B₀, a_k,p B_k,p, B, справедлива нерівність

знак рівності в якій досягається в тому і лише в тому випадку, коли точки a_k,p і області є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціала

і (, ).

Теорема 2.3.1. Нехай n,m N, n 2, R R⁺. Тоді, для будь-якої рівнокутової (n, m)-променевої системи точок A_n,m={a_k,p} і для довільного набору взаємно неперетинних областей B₀, B_k,p таких, що 0 B₀, a_k,p B_k,p, справедлива нерівність

,

знак рівності в якій досягається в тому і лише в тому випадку, коли точки a_k,p і області є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціала



і (, ).

Також отримано узагальнення вище наведених теорем 2.2.1, 2.4.1 і 2.3.1 на випадок деяких класів відкритих множин. Ці результати представлені в теоремах 2.2.2, 2.4.2 і 2.3.2, відповідно. Щодо означення відкритих множин, які задовольняють першу (другу, третю) умову ненакладання, а також задач і функціоналів першого (другого, третього) типу дивись вище і п. 2.1. Наведемо тут лише один результат для відкритої множини.

Теорема 2.2.2. Нехай n,m N, n 2, R R⁺. Тоді для будь-якої рівнокутової (n, m)-променевої системи точок A_n,m={a_k,p} і для довільної відкритої множини D такої, що {0,} A_n,m D , яка задовольняє третю умову ненакладання відносно системи A_n,m, справедлива нерівність

,

знак рівності в якій досягається, коли точки a_k,p і множина D є, відповідно, полюсами і об'єднанням кругових областей квадратичного диференціала (6).

Для доведення вище вказаних теорем використовується метод "керуючих" функціоналів, за допомогою яких вдається отримати необхідні нерівності.

Із теорем другого розділу отримано наслідки, деякі з яких представляють собою узагальнення раніше відомих результатів.

Третій розділ присвячено дослідженню екстремальних задач для (n, m)-променевих систем точок при m = 2. В цьому випадку виявилось, що метод керуючих функціоналів дозволяє отримати більш загальні результати, ніж були відомі раніше. В цьому розділі розглядаються керуючі функціонали вигляду

.

Тут отримано узагальнення відомого результата Є.Г. Ємельянова (1987 р.) на деякий клас відкритих множин.

Теорема 3.1.1. Нехай n 2. Тоді, для будь-якої (n, 2)-променевої системи точок A_n,2 такої, що L(A_n,2)=1, і для довільної відкритої множини D, A_n,2 D C, яка задовольняє першу умову ненакладання відносно заданої A_n,2, має місце нерівність

,

знак рівності в якій досягається, коли точки a_k,p (, p = 1, 2) і множина D є, відповідно, полюсами і об'єднанням всіх кругових областей квадратичного диференціала

.

Таким чином, в даній теоремі система точок A_n,2 підкорена двом "керуючим" функціоналам L(A_n,2) і



,

причому набір величин однозначно визначається заданою системою точок: при кожному k = 1, 2, …, n існує єдиний конформний автоморфізм комплексної площини w = T(z) такий, що

, , ,

де функції ?_k(w) і величини ?_k () означені в другому розділі.

Із теореми 3.1.1 слідують твердження (наприклад, наслідки 3.2.5, 3.2.6), які суттєво узагальнюють результати Є.Г. Ємельянова і В.Н. Дубініна (1994 р.), відповідно, які розглядали випадок променевих систем, розташованих, відповідно, на двох і на одному колі.

Четвертий розділ присвячено дослідженню екстремальних задач з вільними полюсами на колі. Основні результати цього розділу сформульовані в теоремах 4.1.1 і 4.2.1. Позначимо U:={C: |z|=1}.

Нехай множина ? є об'єднання всіх кругових областей квадратичного диференціала

,

полюси якого є точки 1, i, - 1, - i.

Теорема 4.1.1. Нехай n 3, (0, 1). Тоді, для будь-якої 2n-променевої системи точок A_2n={a_k} такої, що a_k U для кожного , і для довільного набору попарно неперетинних областей B_k таких, що a_k B_k, має місце нерівність



,

знак рівності в якій досягається тоді і лише тоді, коли точки a_k і області є, відповідно, полюсами і круговими областями квадратичного диференціала

(7)

і ().

Теорема 4.2.1. Нехай n 3,(0, 1). Тоді для будь-якої 2n-променевої системи точок A_2n={a_k} такої, що a_k U при всіх , і для довільної відкритої множини D такої, що A_2n D C, яка задовольняє умову часткового ненакладання відносно заданої A_2n, має місце нерівність

,

.

Знак рівності в цій нерівності досягається, коли точки a_k () і множина D є, відповідно, полюсами і об'єднанням кругових областей квадратичного диференціала (7).

Щодо означення відкритої множини, що задовольняє умову часткового ненакладання див. в п. 4.2. Відмітимо, що ці теореми вдалося довести завдяки використанню оригінального прийому Л.В. Ковальова (2000 р.).

Теорема 4.1.1 містить в собі нерівність, яка була встановлена Г.В. Кузьміною (2003 р.) у випадку однозв'язних областей B_k. А теорема 4.2.1 є узагальненням результату Г.В. Кузьміної на випадок деякого класу відкритих множин.



ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розвитку нових та вдосконаленню вже існуючих методів для розв'язання класів екстремальних задач геометричної теорії функцій комплексної змінної, пов'язаних з оцінками добутку степенів внутрішніх радіусів неперетинних областей та відкритих множин.

За допомогою (n, m)-променевих систем точок вдалося розширити класи екстремальних задач, для яких отримано повний розв'язок. На основі поєднання розділяючого перетворення і методу "керуючих" функціоналів вдалося розв'язати низку нових екстремальних задач про неперетинні області. Введені класи відкритих множин, які задовольняють певним умовам ненакладання відносно заданої системи точок, дозволили узагальнити отримані результати (а також і відомі раніше) для неперетинних областей на випадок відкритих множин (що розширює об'єкт дослідження).

В роботі представлено подальший розвиток методу, який дозволяє послабити вимоги щодо геометрії розташування вільних полюсів квадратичних диференціалів, асоційованих з екстремальними задачами. За рахунок введених кутових параметрів та коефіцієнтів зміщення досліджуваної (n, m)-променевої системи точок вдалося отримати оцінки функціоналів (першого, другого та третього типів), які певним чином враховують відхилення не екстремальної конфігурації від екстремальної. Все зазначене вище дозволило узагальнити та посилити деякі відомі результати В.М. Дубініна, Г.В. Кузьміної, Є.Г. Ємельянова, О.К. Бахтіна.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1). Вьюн В.Е. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на лучах // Комплексний аналіз і течії з вільними границями: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, № 4. - С. 335 - 346.

2). Бахтин А.К., Вьюн В.Е. Разделяющее преобразование и неравенства для открытых множеств // Доп. НАН України. - 2007. - № 4. - С. 7 - 11.

3). Вьюн В.Е. Разделяющее преобразование в экстремальных задачах о неналегающих областях и для открытых множеств // Доп. НАН України. - 2007. - № 5. - С. 13 - 16.

4). Бахтин А.К., Вьюн В.Е., Трохимчук Ю.Ю. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей // Доп. НАН України. - 2007. - № 8. - С. 7 - 10.

5). Бахтин А.К., Вьюн В.Е. Применение разделяющего преобразования к оценкам внутренних радиусов открытых множеств // Укр. мат. журн. - 2007. - т. 59, № 10. - С. 1314 - 1322.

6). Vjun V.E. Extremal problem on non-overlapping domains with free poles on rays // International Conference on Complex Analysis and Potential Theory: Satellite to the International Congress of Mathematicians : Abstracts. - Gebze, Turkey: Gebze Institute of Technology, 2006. - С. 81.

7). Вьюн В.Е. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на лучах // Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування: Тези доповідей. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2006. - С. 19 - 20.

8). Вьюн В.Е. Экстремальные задачи для открытых множеств и разделяющее преобразование // Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях: Сб. материалов междунар. науч. конфер. - Харьков: Харьков. нац. ун-т, 2007. - С. 82 - 85.

9). Vjun V.E. On one estimate for inner radii of disjoint domains // Bogolyubov readings 2007: Program and Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 2007. - P. 55 - 57.

Размещено на Allbest.ru