Сингулярні інтегральні рівняння та нові класи дискретних систем типу Вінера-Хопфа

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім. І.І. МЕЧНИКОВА

УДК 519.642

Сингулярні інтегральні рівняння та нові класи

дискретних систем типу Вінера - Хопфа

01.01.02-диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Яковлєва Ольга Миколаївна

Одеса - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та геометрії Південноукраїнського державного педагогічного університету імені К.Д. Ушинського.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент НЄЧАЄВ Анатолій Петрович, Одеська державна академія холоду, доцент кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ЛУЧКА Антон Юрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань;

доктор фізико-математичних наук, професор ЧЕРСЬКИЙ Юрій Йосипович, Одеська академія будівництва та архітектури, професор кафедри вищої математики.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка. дискретний сингулярний інтегральний рівняння

Захист дисертації відбудеться 27.04.2007 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K41.051.05 при Одеському національному університеті імені І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2, аудиторія 73.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного універсітету імені І.І. Мечнікова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Преображенська, 24.

Автореферат розісланий 23.03.2007 року

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Кореновський А.О.

АНОТАЦІЇ

Яковлєва О.М. Сингулярні інтегральні рівняння та нові класи дискретних систем типу Вінера - Хопфа. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, Одеса, 2007.

В дисертаційній роботі розглянуті нові класи дискретних систем типу Вінера - Хопфа, а саме нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами, нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими і степенево-сумарними індексами, нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами та комплексно-спряженими значеннями невідомих та їх узагальнення. Встановлено еквівалентність розглянутих систем диференціальним крайовим задачам на одиничному колі при заданих початкових умовах систем. На основі теорії сингулярних інтегральних рівнянь побудовано теорію розв'язності нових класів систем Вінера - Хопфа, тобто встановлено умови нетеровості систем та властивості їх розв'язків у нормальному та винятковому випадках. Визначено оцінки швидкостей спадання розв'язків при зростанні їх індексів.

Отримані в роботі твердження і методи дослідження доповнюють теорію дискретних систем Вінера - Хопфа.

Ключові слова: дискретні системи Вінера - Хопфа, сингулярні інтегральні рівняння, умови нетеровості.

Яковлева О.Н. Сингулярные интегральные уравнения и новые классы дискретных систем типа Винера - Хопфа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова, Одесса, 2007.

Диссертация посвящена разработке метода, с помощью которого строится теория разрешимости новых классов дискретных систем типа Винера - Хопфа.

В работе рассматриваются ранее не изученные классы дискретных систем типа Винера - Хопфа: бесконечные системы алгебраических уравнений с степенно-разностными, с степенно-разностными и степенно-суммарными индексами, с степенно-разностными индексами и комплексно-сопряженными значениями неизвестных, а также их обобщения. Установлена эквивалентность рассмотренных систем дифференциальным краевым задачам на единичной окружности, а также связь между их решениями. Исследование дифференциальной краевой задачи проводится на основе исследования эквивалентного сингулярного интегрального уравнения при задании начальных условий системы.

Новый способ исследования позволил построить теорию разрешимости рассмотренных дискретных систем типа Винера - Хопфа, а именно установлены условия нетеровости систем, определено число линейно независимых решений однородных и количество условий разрешимости неоднородных систем, определены оценки скоростей убывания компонент решений систем при возрастании индексов. Изучен исключительный случай, когда условия нетеровости системы не выполняются.

Построена теория разрешимости для матричных аналогов бесконечных систем алгебраических уравнений с степенно-разностными, с степенно-разностными и степенно-суммарными индексами, с степенно-разностными индексами и комплексно-сопряженными значениями неизвестных, как в нормальном, так и в исключительном случаях.

Полученные в диссертации утверждения и методы исследования дополняют теорию дискретных систем Винера - Хопфа.

Ключевые слова: дискретные системы Винера - Хопфа, сингулярные интегральные уравнения, условия нетеровости.

Yakovleva O. N. Singular Integral Equations and New Discreet Systems Classes of Winner - Hopf Type. - Manuscript.

The dissertation is submitted for the scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.01.02 - differential equations. Odessa National University named after I. Mechnikov, Odessa, 2007.

Viewed in the dissertation, are the new discreet systems classes of Winner - Hopf type, i.e. infinite systems of algebraic equations with power difference indexes, infinite systems of algebraic equations with power difference , power summary indexes, infinite systems of algebraic equations with power difference indexes and complex conjugate values of the unknowns and properties of their generalization. The equivalence between the examined systems and differential boundary value problems on a unit circle under given initial conditions of the systems was set up. On the basis of the singular integral equations theory the resolvability theory of the new classes of the Winner - Hopf systems was constructed, i.e. the Noether's conditions of the systems and properties of their solutions in normal and exclusive cases were found out. The evaluations of reduction rate of solutions together with the increase of their indexes were defined.

The statements and methods obtained in the work enrich the theory of the Winner -Hopf discreet systems.

Key words: discreet systems of Winner - Hopf, singular integral equations, Noether's conditions.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена розробці методу, за допомогою якого побудовано теорію розв'язності деяких класів нескінчених систем алгебраїчних рівнянь.

Актуальність теми. Виникнення теорії сингулярних інтегральних рівнянь було обумовлено практичними задачами теорії приливів, теорії пружності, теорії фільтрів, прикладних задач дифракції та ін. Деякі з задач теорії фільтрів і антен привели до появи дискретних аналогів інтегральних рівнянь Вінера - Хопфа: нескінченних систем алгебраїчних рівнянь із різницевими індексами.

Початок систематичних досліджень нескінченних систем алгебраїчних рівнянь виду

, n=0,1,…,

де a_n, f_n - відомі, а - невідомі величини, поклали роботи Н. Вінера й Е. Хопфа. І.М. Рапопорт в 1948 році запропонував новий метод дослідження системи Вінера - Хопфа, що полягав в побудові теорії розв'язності еквівалентної їй задачі Рімана на одиничному колі із центром на початку координат

A(t)Ц⁺(t)-Ц^-(t)=F(t), ,

Де

,, ,

а Ц⁺(t), Ц^-(t) - невідомі функції, аналітично продовжувані відповідно у одиничний відкритий круг та його зовнішність .

І.М. Рапопорт отримав наступну умову нетеровості системи Вінера - Хопфа: , , формулу для обчислення її індексу , і показав його фундаментальну роль при дослідженні нормального випадку системи (). Ним було встановлено, що у випадку можливості розв'язання системи рівнянь Вінера - Хопфа її розв'язки виражаються через розв'язки задачі Рімана за формулою

, .

Далі цей метод дослідження дискретних систем Вінера - Хопфа був розвинений у роботах Ф.Д. Гахова і Ю.Й. Черського, Р.Д. Банцури, В.С. Рогожина, І.К. Хайрулліна та ін. У цих роботах була побудована теорія розв'язності в просторах і систем Вінера - Хопфа з різницевими індексами та їх узагальнень.

У роботах І.Ц. Гохберга і І.А. Фельдмана, М.Г. Крейна, З. Пресдорфа, Д.В. Дудучави, В.Д. Дибіна, М.К. Карапетянца та ін. були застосовані методи функціонального аналізу до дискретних систем Вінера - Хопфа з різницевими індексами й деяких їх узагальненнь, що дозволило побудувати теорію розв'язності в нормальному та винятковому випадках в більш широких просторах. Однак, застосовані методи не давали можливості будувати розв'язки розглянутих систем через розв'язки відповідної крайової задачі теорії аналітичних функцій, тому надалі дослідження дискретних систем Вінера - Хопфа та їх узагальнень проводилось на основі дослідження еквівалентної крайової задачі теорії аналітичних функцій (задача Маркушевича, задача типу Газемана, задача типу Карлемана та ін.).

Дискретні системи типу Вінера - Хопфа зі степенево-різницевими індексами вивчені значно менше, хоча такі системи виникали при розв'язані практичних задач теорії фільтрів, антен, супутникового зв'язку. Тому дослідження нових класів систем типу Вінера - Хопфа є актуальними і важливими.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження виконувалося в межах наукової теми кафедри алгебри та геометрії “Дослідження деяких типів дифеоморфізмів афіннозв'язних та ріманових просторів” (затверджена на засіданні вченої ради ПДПУ ім. К.Д. Ушинського, протокол № 5 від 21 грудня 2000р.), яка входить до тематичного плану науково-дослідних робіт Південноукраїнського державного університету ім. К.Д. Ушинського у відповідності з науковим напрямом НАН України “Геометричні та аналітичні методи у математиці та їх застосування”.

Мета і задачі дослідження. Об'єкт дослідження - дискретні системи типу Вінера - Хопфа зі степенево-різницевими індексами, зі степенево-різницевими та степенево-сумарними індексами, зі степенево-різницевими та комплексно-спряженими значеннями невідомих, а також їх матричні аналоги.

Предмет дослідження - теорія розв'язності нових класів дискретних систем типу Вінера -Хопфа.

Мета роботи - розробка методу, за допомогою якого можна побудувати теорію Нетера та дослідити властивості нових класів дискретних систем типу Вінера - Хопфа на основі теорії сингулярних інтегральних рівнянь та їх систем.

Методи дослідження. У дисертації використовуються сучасні ефективні методи теорії рядів Фур'є, теорії сингулярних інтегральних і інтегро-диференціальних рівнянь та їх систем, методи теорії функції комплексної змінної.

Наукова новизна отриманих результатів. Основні результати роботи є новими і полягають у наступному.

1.Розроблено метод, що дозволяє на основі відповідного сингулярного інтегро-диференціального рівняння або відповідної диференціальної крайової задачі на одиничному колі при заданих початкових умовах дослідити нові класи дискретних систем типу Вінера - Хопфа, а саме: нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами, нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими і степенево-сумарними індексами, нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами та комплексно-спряженими значеннями невідомих та їх узагальнення.

2.На основі дослідження еквівалентних сингулярних інтегральних рівнянь побудовано теорію розв'язності розглянутих систем.

3.Встановлено умови нетеровості нових класів дискретних систем типу Вінера - Хопфа зі степенево-різницевими індексами, зі степенево-різницевими та степенево-сумарними індексами, зі степенево-різницевими індексами та з комплексно-спряженими значеннями невідомих, отримано оцінку кількості лінійно незалежних розв'язків однорідних та кількості умов розв'язності неоднорідних систем у їх нормальному й винятковому випадках.

4.Визначено порядки швидкості спадання розв'язків розглянутих систем при зростанні індексів.

5.Встановлено важливі проміжні результати про еквівалентність розглянутих систем деяким класам диференціальних крайових задач.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані в ній результати й розроблений метод дослідження можуть бути використані при вивченні більш загальних класів дискретних систем типу Вінера - Хопфа і застосовані для розв'язку низки прикладних задач теорії фільтрів, антен, супутникового зв'язку та ін. Також у ході дослідження знайдені нові застосування для диференціальних крайових задач теорії аналітичних функцій.

Особистий внесок здобувача. Науковий керівник А.П. Нєчаєв привернув увагу здобувача до дискретних систем Вінера - Хопфа, на їх зв'язок з крайовими задачами теорії аналітичних функцій і, таким чином, визначив науковий напрямок роботи. Автором роботи запропоновано новий спосіб дослідження деяких спеціальних дискретних систем типу Вінера - Хопфа на основі теорії сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) та сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь (СІДР). Це дозволило побудувати теорію розв'язності розглянутих систем і отримати цілу низку нових результатів, які опубліковані автором в його самостійних роботах.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на наступних наукових конференціях, семінарах та симпозіумах:

-Міжнародна наукова конференція "Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння" (Одеса, 2000);

-X Міжнародний симпозіум "Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики" (Херсон, 2001);

-Міжнародна наукова конференція "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" (Чернівці, 2001);

-Міжнародна наукова конференція "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь" (Дрогобич, 2001);

-Міжнародна наукова конференція "Теорiя еволюцiйних рiвнянь" (Кам'янець-Подільський, 2002);

-Міжнародна наукова конференція "Шостi Боголюбовськi читання" (Чернівці, 2003);

-Міжнародна конференція "Інтегральні рівняння та їх застосування" (Одеса, 2005);

-загальноміський семінар "Рівняння типу згортки" (Одеса, 2004-2006); науковий керівник - проф. Ю.Й Черський;

-загальноміський семінар "Крайові задачі теорії аналітичних функцій та сингулярні інтегральні рівняння" (Одеса, 2002-2006); науковий керівник - доц. А.П. Нєчаєв;

-семінар відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань Інституту математики НАН України (Київ, 2006); науковий керівник - академікА.М. Самойленко;

-семінар кафедри диференціальних рівнянь ІМЕМ Одеського національного універсітету імені І.І. Мечникова (Одеса, 2005-2006); науковий керівник - проф. В.М. Євтухов;

-науковий семінар факультету прикладної математики Чернівецького національного університетуімені Юрія Федьковича (Чернівці, 2006); науковий керівник - проф. Р.І. Петрішин;

-щорічна наукова конференція професорсько-викладацького складу Південноукраїнського державного педагогічного університету імені К.Д. Ушинського (Одеса, 2002-2006).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 6 статтях, з яких 5 - в наукових виданнях з переліку ВАК України, а також у 5 тезах доповідей міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, які розбиті на параграфи, списку цитованої літератури, що нараховує 53 найменування, та становить 148 сторінок друкованого тексту.

Висловлюю подяку науковому керівнику за вибір теми дисертації та обговорення отриманих результатів.

Основний зміст роботи. У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначено об'єкт і предмет дослідження, сформульовано мету і задачі дослідження, вказано наукову новизну, теоретичне і практичне значення результатів.

У першому розділі зроблено огляд літератури до теми дисертації, розроблених методів досліджень, виділено нові класи дискретних систем типу Вінера - Хопфа та визначено основні напрямки досліджень.

У другому розділі побудовано теорію розв'язності дискретних систем типу Вінера - Хопфа зі степенево-різницевими індексами та їх узагальнень.

§ 2.1 носить допоміжний характер. У ньому викладені деякі відомі властивості дискретного перетворення Фур'є - Лорана. § 2.2 присвячений побудові теорії розв'язності систем виду

, . (1)

де , , - відомі, а - невідомі величини. Розв'язком системи рівнянь (1) і систем рівнянь, що розглядаються надалі, будемо називати нескінченновимірний вектор з компонентами , тобто , який задовольняє систему. При цьому вектор , 0<б?1, r?0, , якщо , , де тут і нижче - сталі, що не залежать від n. Вектор , , r?0, , якщо .

Застосуємо до системи (1) перетворення Фур'є - Лорана і позначимо

,;,;, . (2)

Ряди (2) є збіжними в наслідок умов, накладених на вектори , та . Отримуємо диференціальну задачу на одиничному колі

, ,

де ц⁺(z) і ц^-(z) - крайові значення на невідомих функцій ц⁺(z) і ц^-(z), аналітичних в областях та відповідно. Доведено, що в силу тотожних перетворень система (1) і диференціальна крайова задача еквівалентні, при цьому компоненти розв'язків системи рівнянь (1) виражаються через розв'язок диференціальної крайової задачі за формулою

, .

Дослідження диференціальної крайової задачі проводиться на основі дослідження наступного СІР

, (3)

Де

,,

а регулярне ядро виражається відомим чином через функції , , і , , а функція - через функції , , і невідомі величини , . Встановлюється зв'язок між розв'язками диференціальної крайової задачі та відповідним СІР

, ,

, ,

де функція однозначно визначається за функціями та , а функція має вигляд

.

При цьому функція , , якщо функції , , p?2, та функція , 0<б?1, якщо , , 0<б?1. Функції , визначені, їх часткові похідні по порядку , відповідно неперервні в областях , і задовольняють на контурі умові Гьольдера за двома змінними.

Встановлено еквівалентність системи рівнянь (1) і СІР (3), якщо величини , , які називаються початковими умовами системи рівнянь (1), відомі або задані заздалегідь. У випадку нульових початкових умов (, ) функція , тобто однорідній системі рівнянь (1) відповідає однорідне СІР (3), і навпаки.

Основні результати даного параграфу складають наступні теореми.

Теорема 1. Якщо початкові умови системи рівнянь (1) нульові й вектори , , то система рівнянь (1) у просторах й , 1<q?2, є нетеровою тоді й тільки тоді, коли виконані умови

,,. (4)

За виконанням умов (4) індекс системи рівнянь (1) обчислюється за формулою, , де .

Теорема 2. Нехай початкові умови системи рівнянь (1) нульові, вектори , ; виконані умови (4) і вектор або , 1<q?2, тоді при k?0 кількість лінійно незалежних розв'язків системи рівнянь (1) у просторах й , 1<q?2, не менше ніж , а неоднорідна система рівнянь (1) у цих просторах розв'язна і її загальний розв'язок залежить не менше ніж від довільних постійних. Якщо ж к<0, то неоднорідна система рівнянь (1), взагалі кажучи, не розв'язна. Вона буде розв'язною, якщо будуть виконані не менше ніж наступних умов її розв'язності

(5)

де f(t) - права частина СІР (3), а - лінійно незалежні розв'язки однорідного СІР, союзного СІР (3).

Теорема 3. Нехай виконані умови теореми 2, система рівнянь (1) розв'язна і вектор , 1<q?2. Тоді компоненти розв'язку системи рівнянь (1) задовольняють умови

,,1<q?2.

Якщо ж вектор , то при 0<б?1 компоненти розв'язку системи рівнянь (1) задовольняють умови

|ц_k|?m₂k^-r-б-щ,k?щ,|ц_k|?m₃|k|^-r-б-m,k<0,

а при для будь-якого додатного компоненти розв'язку системи рівнянь (1) задовольняють умови

|ц_k|?m₄|k|^-r-1-m+r,k?щ,|ц_k|?m₅|k|^-r-1-m+r,k<0.

Далі розглядається випадок, коли умови (4) не виконані. Тоді функції й мають нулі на в точках ж₁, ж₂, …, ж_s і з₁, з₂, …, з_c цілих порядків н₁, н₂, …, н_s і м₁, м₂, …, м_c відповідно. У цьому випадку також проведене дослідження системи рівнянь (1), тобто отримано оцінки кількості лінійно незалежних розв'язків у просторах й , 1<q?2, однорідної й кількості умов розв'язання неоднорідної системи рівнянь (1), а також з'ясовані властивості її розв'язків. Зокрема, якщо вектори , , r?r₀, де , , ..., , , , ..., , і вектор , r?r₀, 1<q?2, і система рівнянь (1) розв'язна, то компоненти розв'язку системи рівнянь (1) задовольняють умови

,,1<q?2.

Якщо ж початкові умови системи рівнянь (1) ненульові, тобто існують , , то в цьому випадку дослідження системи рівнянь (1) зводиться до дослідження системи рівнянь виду (1) з нульовими початковими умовами.

Відмітимо, що спосіб дослідження системи (1) застосовувався надалі до інших систем, розглянутих у роботі. При цьому для кожного випадку встановлено зв'язки між системою та еквівалентною диференціальною крайовою задачею, між системою та відповідним СІР, на підставі якого виконується дослідження системи.

В § 2.3 розглядається нескінченна система рівнянь Вінера - Хопфа

, , (6)

де , - відомі, а - невідомі величини.

Дослідження системи рівнянь (6) проводиться на підставі дослідження СІР (3), де

,,

а регулярне ядро виражається відомим образом через обумовлені формулами (2) функції , , функція має колишній зміст, а . В роботі показано, що СІР (3) із зазначеними коефіцієнтами, регулярним ядром і правою частиною й система рівнянь (6) еквівалентні, якщо задані її початкові умови , . Побудована теорія системи рівнянь (6), тобто з'ясовано умову її нетеровості, отримано формулу для визначення її індексу, встановлено оцінки кількості лінійно незалежних розв'язків у просторах й , 1<q?2, однорідної й кількості умов розв'язності неоднорідної системи рівнянь (6) у її нормальному й винятковому випадках.

§ 2.4 присвячений дослідженню систем рівнянь виду

, . (7)

де , , - відомі сталі матриці розмірності ; - відомі сталі вектори, а - невідомі вектори розмірності l.

Через , позначимо нескінченновимірні вектори, компонентами яких є відповідні матриці , . Вектор , r?0, 0<б?1, , якщо його компоненти задовольняють умови , . Вектор , r?0,, 0<б?1, , якщо . Норми матриць , є погодженими з нормою, обраною в . Тоді вектор , r?0, 0<б?1, якщо , . Введемо позначення виду (2), у яких , ; , і f(t) відповідно матриці-функції (м. - ф.) розмірності й вектор-функція (в.- ф.) розмірності l. Дослідження системи рівнянь (7) проводиться на основі дослідження системи СІР

,, (8)

де м-ф. A(t) і B(t) мають такий вигляд

,,

регулярне ядро - м - ф. виражається відомим образом через м - ф. , , і , , а в.- ф. - через м.- ф. , , і невідомі величини , . Доведено, що система рівнянь (7) і система СІР (8) будуть еквівалентними, якщо визначені компоненти , , які називаються початковими умовами системи рівнянь (7). У випадку нульових початкових умов в.-ф. , тобто однорідній системі рівнянь (7) відповідає однорідна система СІР (8), і навпаки.

Основні результати даного параграфу складають наступні теореми.

Теорема 4. Якщо початкові умови системи рівнянь (7) нульові й вектори , , то система рівнянь (7) нетерова в просторах й , 1<q?2, тоді й тільки тоді, коли виконуються умови

,,. (9)

Якщо умови (9) виконані, то часткові індекси системи рівнянь (7) визначаються за формулою, , де - часткові індекси м.- ф. .

Введемо позначення

,. (10)

Теорема 5. Нехай початкові умови системи рівнянь (7) нульові, вектори , , виконані умови (9) і вектор або , 1<q?2. Тоді однорідна система рівнянь (7) у просторах й , 1<q?2, має не менше ніж Р лінійно незалежних розв'язків, а неоднорідна система рівнянь (7) у цих просторах розв'язна, якщо виконані не менше ніж Q умов розв'язності

,

де f(t) - права частина системи СІР (8), а - лінійно незалежні розв'язкі однорідної СІР, союзної системі СІР (8).

Теорема 6. Нехай виконані умови теореми 5, система рівнянь (7) розв'язна і вектор , 1<q?2. Тоді компоненти розв'язку системи рівнянь (7) задовольняють умови

,,1<q?2.

Якщо ж вектор , то при 0<б<1 компоненти розв'язку системи рівнянь (7) задовольняють умови

,k?щ,,k<0,

а при компоненти розв'язку системи рівнянь (7) задовольняють умови

,k?щ,,k<0.

Якщо ж умови (9) не виконуються, тобто й мають на нулі в точках , ж₁, ж₂, …, ж_s і з₁, з₂, …, з_c цілих порядків н₁, н₂, …, н_s і м₁, м₂, …, м_c відповідно. Відомо, що у цьому випадку

,,(11)

де , на , м.- ф. - поліноміальні відповідно по степенях зі сталими відмінними від нуля визначниками, а м.-ф. і мають відповідно вигляд

, (12)

.

Позначимо

, , ..., , , , ..., ,

, . (13)

В наступній теоремі визначаються оцінки кількості лінійно незалежних розв'язков однорідної та кількості умов розв'язності неоднорідної системи у винятковому випадку.

Теорема 7. Нехай початкові умови (7) нульові, вектори , , r?r₀, справедливі представлення (11) та вектор , r?r₀, 1<q?2 чи , r?r₀. Якщо , де числа і визначаються за формулами (13), то в просторах , 1<q?2 і однорідна система рівнянь (7) має не менш лінійно незалежних рішень, а неоднорідна система рівнянь (7) розв'язна, якщо будуть виконані не менш умов розв'язності.

Якщо ж система рівнянь (7) має ненульові початкові умови, тобто існують , , то дослідження системи рівнянь (7) приводиться до дослідження системи рівнянь виду (7) з нульовими початковими умовами.

В § 2.5 будується теорія розв'язності матричної системи рівнянь Вінера - Хопфа

, ,

де , - відомі сталі матриці розмірності й вектори розмірності . На основі дослідження відповідної системи СІР встановлюються умови її нетеровості, отримуются оцінки кількості лінійно незалежних розв'язків однорідної й кількості умов розв'язності неоднорідної системи в її нормальному й винятковому випадках.

Третій розділ присвячений дослідженню дискретних систем типу Вінера - Хопфа зі степенево-різницевими й степенево-сумарними індексами та дискретних системам типу Вінера -Хопфа зі степенево-різницевими індексами й з комплексно-спряженими значеннями невідомих.

В § 3.1 розглядаються системи рівнянь виду

,, (14)

де , , , , - відомі величини, а - невідомі величини.

Позначимо

,,

,,

, . (15)

Дослідження системи рівнянь (14) проводиться на основі дослідження системи СІР

,, (16)

де м.- ф. виражається відомим образом через м.- ф. й ; в.- ф. виражається відомим образом через м.- ф. , і невідомі , , а

,.

Встановлено, що система рівнянь (14) і система СІР (16) є еквівалентними, якщо задані величини ,, які називаються початковими умовами системи рівнянь (14). У випадку нульових початкових умов в.- ф. , тобто однорідній системі рівнянь (14) відповідає однорідна система СІР (16), і навпаки. На підставі дослідження системи СІР (16) побудована теорія розв'язності системи рівнянь (16), а саме встановлено умову її нетеровості, отримано оцінки кількості лінійно незалежних розв'язків однорідної й умов розв'язності неоднорідної системи рівнянь (14) у її нормальному й винятковому випадках, а також визначені швидкості спадання компонент її розв'язків при зростанні їх індексів. Зокрема, умова нетеровості системи встановлюється в наступній теоремі, яка складає один з основних результатів даного розділу.

Теорема 8 Нехай початкові умови системи рівнянь (14) нульові й вектори , , , . Система рівнянь (14) у просторах й , 1<q?2, нетерова тоді й тільки тоді, коли виконується умова

, .(17)

При цьому часткові індекси системи рівнянь (14) співпадають із частковими індексами м.- ф. .

Якщо ж початкові умови системи рівнянь ненульові, тобто існують , , то її дослідження проводиться на підставі системи рівнянь виду (14) з нульовими початковими умовами.

В § 3.2 над полем дійсних чисел будується теорія розв'язності нескінченних систем виду

, (18)

Позначимо

,

, .

Система рівнянь (18) еквівалентна системі СІР виду (16), якщо задані величини ,, які називаються початковими умовами системи рівнянь (18). В роботі проведено дослідження нормального й виняткового випадків системи рівнянь (18), тобто з'ясовано умову її нетеровості, отримано оцінки кількості лінійно незалежних розв'язків однорідної й кількості умов розв'язності неоднорідної системи рівнянь (18), а також визначено оцінки швидкості спадання компонент розв'язків системи при зростанні їх індексів.

Зокрема, умови нетеровості системи встановлюється в наступній теоремі, яка складає один з основних результатів даного розділу.

Теорема 9. Якщо початкові умови системи рівнянь (18) нульові та вектори , , , , то система рівнянь (18) у просторах й , 1<q?2, нетерова тоді й тільки тоді, коли виконуються умови

, (19)

, .

При цьому часткові індекси к₁?к₂?к₃?к₄ системи рівнянь (18) співпадають із частковими індексами м. - ф. .

В § 3.3 й § 3.4 розглядаються матричні аналоги систем рівнянь (14) і (18). На підставі дослідження відповідної системи СІР з'ясовані умови їх нетеровості, отримано оцінки кількості лінійно незалежних розв'язків однорідних і кількості умов розв'язності неоднорідних систем как у нормальному, так і у винятковому випадках.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано наступні основні результати:

1.На основі теорії сингулярних інтегральних рівнянь і інтегро-диференціальних рівнянь та їх систем розроблено метод, що дозволяє побудувати теорію розв'язності нових класів дискретних систем типу Вінера - Хопфа, зокрема: нескінчених систем алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами, нескінчених систем алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими й степенево-сумарними індексами, нескінчених систем алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами й з комплексно-спряженими значеннями невідомих та їхніх узагальнень.

2.Встановлено умови нетеровості розглянутих систем типу Вінера - Хопфа, отримано оцінки кількості лінійно незалежних розв'язків однорідних і кількостей умов розв'язності неоднорідних систем у їх нормальному й винятковому випадках на підставі дослідження еквівалентних сингулярних інтегральних рівнянь або їх систем.

3.Встановлено оцінки швидкостей спадання розв'язків розглянутих систем при зростанні їх індексів.

4.Знайдено нові застосування диференціальних крайових задач теорії аналітичних функцій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Яковлева О.Н. Разрешимость и свойства решений бесконечных алгебраических систем со степенно-разностными индексами // Дифференц. уравн. - 2001.- Т.37, № 10. - С. 1425-1431.

2. Яковлева О.Н. Исследование бесконечных систем со степенно-разностными и степенно-суммарными индексами // Вісник Харківського національного університету. Серія: Математичне моделювання. - 2003. - № 590, Вип. 1. - С. 249-254.

3. Яковлєва О.М. До теорії Нетера матричних нескінчених систем рівнянь Вінера - Хопфа зі степенево-різницевими індексами // Науковий вісник Чернівецького університету. Математика. - 2005. - Вип. 239. - С. 118-121.

4. Яковлева О.Н. О разрешимости и свойствах решений бесконечных систем Вінера - Хопфа со степенно-разностными индексами // Известия вузов. Математика. - 2005. - № 11. - С. 66-73.

5. Яковлєва О.М. До теорії Нетера нескінчених систем рівнянь зі степенево-різницевими та степенево-сумарними індексами // Математичні студії. - 2006.- Т.25, №1. - С. 87-96.

6. Яковлева О.Н. Разрешимость и свойства решений матричных бесконечных систем со степенно-разностными индексами // Труды X Междун. симпоз. "Методы дискретных особенностей в задах математической физики". - Херсон: Изд-во ХГПУ. 2001. - С. 382-386.

7. Яковлева О.Н. К теории Нетера обобщенных алгебраических систем с разностными индексами // Тез. доповідей Міжн. наук. конференції "Диференціальні та інтегральні рівняння". - Одесса: Астропринт. - 2000. - С. 307-308.

8. Яковлева О.Н. К теории Нетера бесконечных систем со степенно-разностными и степенно-суммарными индексами // Тез. доповідей Міжн. наук. конф. "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання". - Чернівці: Інст. матем. НАН України. - 2001. - C. 173.

9. Яковлева О.М. До теорії Нетера нескінчених систем зі степенево-різницевими індексами та з комплексно спряженими значеннями невідомих // Тез. доп. Міжн. наук. конф. "Нові підходи до розв'язання диференціальних рівнянь". - Дрогобич: Інст. Матем. НАН України. - 2001. - C.163.

10. Яковлева О.Н. Применение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений к исследованию бесконечных систем // Тез. доп. Міжн. наук. конф. "Теорія еволюційних рівнянь". - Кам'янець-Подільськ. - Інст. матем. НАН Укр. - 2002. - C. 185.

11. Яковлева О.Н. К разрешимости бесконечных систем алгебраических уравнений специального вида // Тез. доп. Міжн. наук. конф. "Шості Боголюбовські читання". - Чернівці: - Інст. матем. НАН України. - 2003. - C. 255.

Размещено на Allbest.ru