Математическое моделирование в горном производстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Операторы преобразования переменных

2. Классы моделей

3. Способы построения моделей

4. Особенности структурных моделей систем управления

5. Примеры математических моделей объектов горной электромеханики

Заключение

Литература

Введение

Современное горное производство характеризуется достаточным арсеналом средств автоматизации и управления. Для их рационального использования необходимо определить и реализовать оптимальные параметры автоматических систем и регуляторов. Определение оптимальных параметров возможно на стадии проектирования путем изучения поведения моделей управляемых технологических установок, процессов.

В процессе изучения дисциплины «Математическое моделирование и расчет систем управления техническими объектами» анализируются функциональные схемы управления технологических процессов, определяются взаимосвязи между подсистемами, ограничения, критерии управления. Рассматриваются статические и динамические режимы работы машин, установок и их математическое описание. Изучаются особенности методов исследования математических моделей, имеющих нелинейные зависимости, трансцендентные уравнения.

математический модель оператор электромеханика

1. Операторы преобразования переменных

Рассмотрение причинно-следственного взаимодействия системы управления со средой связано с обособлением собственно системы S и выделением ее связей со средой через переменные входа f и выхода у.

Система оказывается звеном в искусственно разорванной цепи причинно-следственных отношений «среда - система - среда».

На содержательном уровне объекты и системы управления интерпретируются как устройства получения, передачи и обработки информации. С другой стороны, объекты и системы можно рассматривать как преобразователи сигналов - носителей этой информации. Преобразование сводится к изменению параметров, кодирующих информацию. Свойства системы как преобразователя характеризуются ее оператором, отображающим множество функций времени на входе системы на множество функций выхода:

Оператор линеен, если обладает свойствами однородности и аддитивности, т. е.

В общем случае линейной комбинации входных воздействий отвечает та же линейная комбинация соответствующих реакций:

Свойство линейности оператора, выраженное приведенной формулой, иногда называют принципом суперпозиции. Принцип суперпозиции дает возможность выражать реакцию линейной системы на любое воздействие через ее реакцию на определенный вид элементарных воздействий fi(t).

При построении моделей стремятся к их простоте при максимальной адекватности оригиналам. В частности, принимают гипотезу о линейности оператора, что принципиально упрощает анализ и синтез.

Если принцип суперпозиции не выполняется, то оператор называется нелинейным. Разумеется, класс нелинейных операторов много богаче класса линейных.

Оператор стационарен, если его характеристики инвариантны ко времени. Другими словами, при сдвиге во времени входного воздействия без изменения его формы реакция претерпевает такой же сдвиг во времени без изменения своей формы. В ряде случаев модели должны отражать изменение свойств объекта во времени, тогда вводятся в рассмотрение нестационарные операторы

Нестационарность оператора учитывает воздействие среды принципиально иного характера, чем сигнальный вход f(t). В простейшем случае нестационарность сводится к изменению параметров модели, например коэффициентов дифференциального уравнения. В общем случае влияние среды приводит к необходимости изменения структуры оператора, например порядка дифференциального уравнения.

Если вариации оператора происходят много медленнее основных процессов, то вместо нестационарного оператора рассматривают множество стационарных операторов, различающихся значениями параметров. Описание объекта множеством равновероятных операторов содержит неопределенность. Если параметры модели заданы с точностью до интервалов значений, то о таких системах говорят, что они интервальные.

Оператор может быть детерминированным или стохастичным. В случае стохастичных операторов параметры представляются как случайные величины и задаются их вероятностные характеристики.

Объекты управления могут быть с сосредоточенными или распределенными параметрами. В последнем случае они описываются уравнениями в частных производных (разностях).

2. Классы моделей

Модель объекта или системы управления принадлежит тому же классу, что и описывающий их оператор преобразования. Выделяют следующие признаки классов систем с непрерывным и дискретным временем:

* линейные Л или нелинейные Л;

* стационарные С или нестационарные С;

* детерминированные Д или стохастичные Д;

* сосредоточенные (конечномерные) К или распределенные (бесконечномерные) К.

Эти четыре независимых признака биальтернативны, поэтому можно насчитать всего 24 = 16 классов непрерывных и столько же дискретных систем.

Простейший класс - ЛСДК - линейные стационарные детерминированные конечномерные системы. Они имеют форму обыкновенных линейных дифференциальных (разностных) уравнений с постоянными детерминированными коэффициентами. Математика разработала весьма развитый аппарат анализа этого класса систем.

Операторы четвертого уровня сложности - ЛСДК - нелинейные нестационарные стохастичные бесконечномерные. Им соответствуют нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с переменными случайными параметрами.

Для систем, описываемых операторами второго и выше уровней сложности, имеется, как правило, только единственная возможность их анализа и синтеза путем вычислительных экспериментов.

Если модель системы образована элементами различных классов, то класс системы определяется классом элемента с максимальным числом отрицаний.

Система называется автономной, если на нее не действуют внешние силы, в том числе параметрического типа. Автономные системы, таким образом, стационарны. Изменение их состояния происходит в силу накопленной ранее энергии. На рис.2 модель среды представлена в виде автономной системы, имеющей выходы, но не имеющей входов. Движения автономной системы называют свободными.

Среда на входе системы моделируется автономными системами - генераторами воздействий или преобразователями типовых воздействий - фильтрами. Распространенными типовыми сигналами, моделирующими детерминированное воздействие, являются единичные импульсная и ступенчатая функции. Примером типового случайного воздействия является так называемый «белый шум». Среда может моделироваться динамической системой того же класса, что и сама система управления. Однако часто рассматриваются детерминированные системы со случайными воздействиями на входе.

3. Способы построения моделей

В зависимости от характера и объема априорной информации об объекте исследования выделяют два способа построения моделей систем управления в формах, принятых в теории управления: аналитический и экспериментальный.

Аналитический способ применяется для построения моделей объектов хорошо изученной природы. В этом случае имеется вся необходимая информация о свойствах объекта, но она представлена в другой форме. В результате идеализации физических объектов появляются структурные модели в виде схем с сосредоточенными компонентами (рис.2, а). Типичными представителями физических систем, допускающих такое представление, являются электрические и механические объекты. На рис.2, б изображена электрическая схема; рис.2, в представляет собой пример механической поступательной системы.

Подобные схемы являются моделями, в которых информация об интересующих свойствах объекта представлена в наглядной форме с использованием графических образов, отражающих физическую природу явлений, устройство и параметры объектов. На таких моделях базируются соответствующие дисциплины, например, теоретическая электротехника и теоретическая механика. Принципиальные схемы - стационарные линейные модели с сосредоточенными компонентами.

Методы теории управления абстрагируются от конкретной природы объектов и оперируют более общими - математическими (символьными) моделями.

Аналитический способ моделирования складывается из этапа построения схемы объекта и ее дальнейшего преобразования в математическое описание требуемой формы. При этом принципиальные проблемы моделирования решаются на первом - неформальном этапе. Второй этап оказывается процедурой преобразования форм представления моделей. Это дает возможность разработать различные компьютерные программы, позволяющие автоматизировать составление уравнений по схемам.

Рассмотрим примеры составления дифференциальных уравнений электрического и механического объектов. Ограничимся классом линейных стационарных моделей.

Существуют три типа пассивных электрических двухполюсников - сопротивление R, емкость С и индуктивность L, описываемые следующими уравнениями для токов i(t) и напряжений u(t):

Активными двухполюсниками электрических схем являются источник напряжения и источник тока.

Уравнения связи двухполюсников в конкретной схеме выражаются законами Кирхгофа, представляющими собой условия непрерывности токов и равновесия напряжений:

· первый закон - сумма токов в любом узле равна нулю;

· второй закон - сумма напряжений в любом контуре равна нулю.

Рассмотрим пример электрической схемы, изображенной на рис.2, б. Пусть выходом схемы является напряжение на емкости . В соответствии с первым законом имеем:

Второй закон для единственного контура запишется так:

Выражая напряжения через :

получим дифференциальное уравнение второго порядка

Идеальными источниками механической энергии являются источник скорости и источник силы. Уравнения связей механических двухполюсников выражают условия равновесия сил и непрерывности перемещений (скоростей). В соответствии с приведенными ранее уравнениями механических двухполюсников и уравнениями связей записывают дифференциальное уравнение для перемещений:

В этом однородном уравнении отсутствует правая часть, описывающая внешнее воздействие на механическую систему, т. е. она автономна. Свободные движения автономной системы являются следствием ненулевых начальных условий, например начального смещения х(0) от равновесного состояния.

При моделировании объектов различной природы - электрической, механической поступательной и вращательной, гидравлической или пневматической и др., а также смешанной природы, например электромеханической (двигатели, генераторы), могут быть выделены аналогичные пассивные и активные компоненты. Дальнейшей абстракцией при построении моделей физических объектов с сосредоточенными компонентами является полюсный граф. Эти универсальные топологические модели позволяют унифицировать составление уравнений. Специфика предметной области проявляется только на этапе построения схемы и полюсного графа, а также на заключительном этапе интерпретации результатов анализа и синтеза.

Практически об идентифицируемом объекте всегда имеется какая-то априорная информация, т. е. он не является «черным ящиком». Это дает возможность комбинировать оба способа - вначале аналитически строить структуру модели и определять начальные приближенные значения параметров, а далее обработкой экспериментальных данных уточнять их значения.

4. Особенности структурных моделей систем управления

Особенностью математических моделей систем управления является то, что они не только содержат априорную информацию о ее динамических свойствах, необходимую для изучения поведения системы в целом, но также отражают процессы получения и обработки текущей информации о цели системы, состоянии объекта и воздействиях среды для принятия решения по оказанию на объект надлежащего управляющего воздействия. Поскольку модели элементов и систем являются основным материалом в задачах анализа и синтеза (исходными данными и результатами), то им и алгоритмам их преобразования в теории управления отводят важное место.

Понятие модели системы управления неотделимо от понятия структуры. Под структурой систем управления понимают причинно-следственные взаимосвязи элементов (подсистем) направленного действия. Именно ориентированность элементов и их взаимосвязей отличает модели систем управления от структурных моделей физических систем.

При построении моделей с раскрытой причинно-следственной структурой объект или систему предварительно расчленяют на элементы направленного действия и рассматривают их как преобразователи сигналов. Элементы выделяются, как правило, по функциональному признаку, причем сами эти функции понимаются в контексте операций управления: объект управления; измерительные, преобразовательные и усилительные элементы; управляющее устройство; исполнительный механизм; управляющий орган. Далее для каждой части строится своя модель, а затем модели частей связывают между собой таким же образом, как соединялись сами части.

Если части системы образуют контуры, то моделирование по частям встречается с принципиальной проблемой: не зная свойств частей, нельзя описать сигналы на их входах; не зная сигналов, нельзя правильно идентифицировать отдельные части. Достоинство моделирования по частям заключается в наглядности механизма преобразования входов в выходы.

5. Примеры математических моделей объектов горной электромеханики

Модель асинхронного электропривода резания угледобывающего комбайна

Уравнение моментов:

Где

Jэд - момент инерции ротора и приведенных к нему вращающихся частей; w - угловая частота тока в сети; s - скольжение двигателя; p - число пар полюсов электродвигателя; Qт - теоретическая производительность гидронасоса; Pо - давление в гидросистеме; wн - угловая скорость насоса (равная угловой скорости электродвигателя); Мо - момент резания при толщине срезаемой стружки h = 0; аў - коэффициент, зависящий от крепости разрушаемого угля.

Скольжение двигателя для устойчивой части механической характеристики приближенно можно определить по формуле

где sк, Мк - соответственно критическое скольжение и критический момент электродвигателя.

Окончательно получим

Где

Модель системы регулирования нагрузки на электропривод угледобывающего комбайна в зависимости от скорости подачи

Уравнение относительно момента сил сопротивления резанию в направлении подачи имеет вид:

где t - время пробега резцом расстояния между соседними резцами одной линии резания; - скорость подачи резца.

Модель управления скоростью вращения вала электродвигателя постоянного тока шахтной подъемной установки

Уравнение относительно скорости вращения W:

где Тэд = L/R - электромагнитная постоянная двигателя; Тм = JR/cecм - электромеханическая постоянная двигателя; kд = 1/сe - коэффициент усиления двигателя по управляющему воздействию; = R/cecм - коэффициент усиления двигателя по нагрузке; Uвх - напряжение якоря электродвигателя; W - частота вращения ротора; Мс - момент нагрузки на валу электродвигателя.

Передаточная функция по нагрузке (возмущению):

Заключение

Достоверную математическую модель объекта можно найти аналитическим путем. Для этого необходимо располагать всесторонними сведениями об объекте (конструкции, законах, описывающих протекающие в нем процессы, условиях функционирования и взаимодействия со средой). Однако часто из-за отсутствия достаточных данных получить решение задачи таким путем не удается. Трудности применения аналитических методов возникают и при описании реальных объектов, процессы в которых имеют сложный характер. Поэтому в подобных случаях эти методы дополняются экспериментальными исследованиями. Преимуществом моделей, полученных теоретическим путем, как правило, является их достаточно общий вид, позволяющий рассматривать поведение объектов в различных возможных режимах.

С практической точки зрения, более привлекательны экспериментальные методы, позволяющие находить модели объектов по результатам измерения их входных и выходных переменных. Хотя эти методы также предполагают наличие априорных сведений об изучаемом объекте, но их характер может быть не столь обстоятельным. Как правило, уровень априорных сведений должен быть достаточным лишь для выбора структуры модели и условий проведения эксперимента. Построение моделей объектов на основе такого подхода обычно называют идентификацией.

Литература

1. Алексеев А.А. Теория управления: Учебное пособие / А.А. Алексеев, Д.Х. Имаев, Н.Н. Кузьмин, В.Б. Яковлев; СПбГЭТУ, СПб, 1999. 435с.

2. Борисов Б.М., Математические модели и расчет систем управления техническими объектами: Учебное пособие / Б.М. Борисов, Н.В. Пальянова, В.И. Экгардт; СПГГИ, СПб, 1999. 45с.

3. Наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования: Справочник // Под редакцией А.С. Клюева. М.: Энергоатомиздат, 1989. 368с.

4. Толпежников Л.И. Автоматическое управление процессами шахт и рудников: Учебник для вузов. М.: Недра, 1985. 352с.

Размещено на Allbest.ru