Метод координат на плоскости. Декартовы прямоугольные, полярные координаты, основные задачи метода координат

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Волгоградской области

Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования

«Еланский аграрный колледж»

Курсовая работа по высшей математике

На тему: «Метод координат на плоскости. Декартовы прямоугольные, полярные координаты, основные задачи метода координат»

Выполнил: студент группы 1-ТО

Килячков Виктор Владимирович

Проверил: преподаватель Невежина С.И

Р.П Елань 2013 год

Введение

В геометрии применяются различные методы решения задач - это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: решение задач во многом алгоритмизировано, что в большинстве случаев упрощает поиск и само решение задачи.

Метод координат -- способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Система координат -- комплекс определений, реализующий метод координат, т.е. способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры - единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений.



Декартова прямоугольная система координат

Построение Декартовой прямоугольной системы координат

Построение Декартовой прямоугольной системы координат на плоскости

Декартова прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX₁ и OX₂, которые пересекаются в точке O, называемой началом координат (рис.1). На каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OX₂ вверх, ось OX₁ смотрела направо. OX₁ -- ось абсцисс, OX₂ -- ось ординат. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX₁ и OX₂, называются координатными углами или квадрантами.

Точка B - ортогональная проекция точки A на координатную ось OX₁;

Точка C - ортогональная проекция точки A на координатную ось OX₂;

Рис.1

Построение Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX -- ось абсцисс, OY  -- ось ординат,OZ  -- ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный - за направление Y а средний - за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (рис.2). Точка F - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OXY; Точка E - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OYZ; Точка G - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OX_Z;

Рис.2

Макетное представление Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве показано на рисунках 3, 4 и 5.

Рис.3

Рис.4

Определение координат точки в Декартовой прямоугольной системе координат

Главным вопросом любой системы координат является вопрос определения координат точки, находящейся в ее плоскости или пространстве. 

Определение координат точки на плоскости Декартовой системы координат

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами - x и y (рис.5). Координата x равна длине отрезка OB, координата y  -- длине отрезка OCв выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям OY и OX соответственно. Координата x называется абсциссой (лат. abscissa - отрезок), координата y -- ординатой (лат. ordinates - расположенный в порядке) точки A. Записывают так:

A (x_, y)

Если точка A лежит в координатном углу I, то она имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то - отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то она имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то - положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Так определяются координаты в Декартовой системе координат на плоскости.

Рис.5

Определение координат точки в пространстве Декартовой прямоугольной системы координат

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами - x, y и z (рис.6). Координата x равна длине отрезка OC, координата y-- длине отрезкаOB, координата z -- длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OC, OB и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки Aпараллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой (лат. abscissa - отрезок), координата y -- ординатой (лат.ordinates - расположенный в порядке), координата z  -- аппликатой (лат. applicata - буквально приложенная) точки A.



Записывают так: 

A (x_, y_, z)

Рис.6

В канонических правилах определения координат точки в пространстве Декартовой прямоугольной системы координат прямо не указана причинно-следственная связь между точкой и ее координатами, т.е. не вполне ясно, по расположению ли точки указываются ее координаты или, наоборот, по известным координатам точки осуществляется указание на ее местоположение. Поэтому напрашивается заголовок (вместо “Определение координат точки в пространстве  Декартовой прямоугольной системы координат”) “Соответствие местоположения точки … и её координат”. Такой заголовок как раз и свободен от показа причинно-следственной связи.

Конечно, фраза “Определение координат точки …” располагает к тому, что мы должны воспринять ее как определение координат точки в пространстве по ее местонахождению напрямую. Но в этом случае возникают некоторые “неудобства” в практическом воплощении этого действия, т.е. в отсутствии инструмента привязки, без которого определить однозначно координаты точки в пространстве нет возможности. (На рисунках 7 и 8 видно, что при отсутствии инструмента привязки одна и та же точка - точка A - может иметь неоднозначные координаты.) 

Рис.7

Рис.8

К примеру, в геодезии для определения координат точки на местности инструментом привязки является ближайшая реперная точка (репер) с её известными координатами. В математике же инструментом привязки могут служить исходные данные задачи (на рис.9 точка лежит в плоскости с известными параметрами ее расположения). В этом случае координаты точки будут определены однозначно. 

Примечание

Математики либо мало, либо совсем не обращали внимание на существование по крайней мере двух способов определения координат точки, находящейся в Декартовой системе координат. Первый из них, привычный, показан на рис.6 и описан на стр. 9-10. Можно назвать его плоскостным (посредством секущих плоскостей). Второй, менее привлекаемый для этих целей, показан на рисунке 10. Его можно назвать лучевым (посредством “отраженных” лучей) Как видно из рисунков, координаты точки A в обоих случаях, независимо от метода их определения, идентичны, значит оба эти методы правомочны.

Рис.9 Определение координат точки A плоскостным методом

На рис.9 секущие плоскости AFCG, AEBG и AEDF, проходящие параллельно соответствующим координатным плоскостям и пересекающие при этом определенные координатные оси X, Y и Z, указывают тем самым на координаты x = OC, y = OB и z  = OD соответственно.

На рис.10 параллельно отрезкам GO, NO и PO отраженных лучей KGO, MNO и LPO проведены отрезки AB, FC и AD, указывающие на точно такие же, как и на рис.9, координаты x = OC, y = OB и z  = OD соответственно.

Такими двумя способами можно определять координаты точки в Декартовой прямоугольной трехмерной системе координат.

Рис.10 Определение координат точки A лучевым методом

Развивая Декартову прямоугольную систему координат в пространстве, введем понятие “вектора направленности”, т.е. вектора V, проходящего из точки начала координат (т. О) через точку А, координаты которой x_1, x₂ и x₃ равны друг другу (рис.11). 

В результате несложных вычислений, которые здесь не приводятся, видно, что все три координатные плоскости Декартовой системы координат по отношению к вектору V расположены под одинаковыми углами, равными 30 градусам.

Рис.11

Графическое решение систем алгебраических линейных уравнений и задач линейного программирования с помощью Декартовой прямоугольной системы координат. 

Размещение этого раздела в данной книге обусловлено необходимостью:

- облегчить показ развития Декартовой трехмерной прямоугольной системы координат,

- попутно, отталкиваясь от существующих особенностей графического решения систем уравнений с помощью Декартовой системы координат, представить в ее рамках такую разработанную автором методику решения систем уравнений, которая бы не только подтвердила преемственность описываемой ниже многомерной произвольно - угольной системы координат по отношению к Декартовой, но и была бы применима и для нее.



Графическое решение систем алгебраических линейных уравнений и задач линейного программирования с помощью Декартовой прямоугольной системы координат на плоскости 

В курсе элементарной алгебры изучается один способ графического исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений второго порядка, который можно применить к системам с двумя неизвестными независимо от числа уравнений. По этому способу мы строим прямые, соответствующие уравнениям системы, т.е. строим образы уравнений системы. Эти прямые могут:

- пересекаться в единственной точке; cистема определенная, решением служит совокупность координат точки пересечения;

- не иметь ни одной общей точки для всех прямых (в случае двух прямых это имеет место при их параллельности); cистема несовместна;

- иметь бесконечно много общих для всех прямых точек (если прямые сливаются); cистема - неопределенная, совокупность координат любой общей точки всех прямых даст частное решение системы.

Существует достаточно много учебных источников, описывающих графическое решение линейных уравнений второго порядка, т.е. систем с двумя неизвестными независимо от числа уравнений. Поэтому в данной работе приводится лишь два примера решения таких линейных систем уравнений с помощью Декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. 

Предваряя описание особенностей поименования осей координат в многомерной произвольно-угольной системе координат, обозначим и в данном случае их привычные имена X, Y и Z как X₁, X₂ и X₃ соответственно.

Пример 1. Решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными с помощью Декартовой прямоугольной системы координат графическим методом (рис.12).

3x₁ - 2 x₂ = 6, красная прямая

2x₁ + 4 x₂ = 8. зеленая прямая

Для этого построим Декартову прямоугольную систему координат на плоскости OX₁X₂, проведем прямые (красную и зеленую), характеризующие первое и второе уравнения соответственно (т.е. построим образы уравнений), в результате чего получим точку их пересечения - точку А и ее координаты x₁ = 2.5, x₂= 0.75 Они и явятся решением данной системы уравнений. 

 

Рис.12 

Графическое решение систем алгебраических линейных уравнений и задач линейного программирования с помощью Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве 

Автору пришлось потратить много усилий в поисках внятного примера графического решения системы линейных уравнений третьего порядка, т.е. когда количество уравнений и количество неизвестных равны трем, с помощью Декартовой прямоугольной системы координат. Эти усилия не увенчались успехом. Только в Интернете скромно прозвучало одно утверждение: “К сожалению, этот удобный и наглядный способ исследования и решения систем линейных уравнений (см. стр.14 - автор) не может быть применен к системам уравнений, содержащим более двух неизвестных, т.к. на плоскости нет геометрического образа, который соответствовал бы уравнению с числом неизвестных, равным трем”. Этот же источник лишь утверждает, что результатом графического решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными с помощью Декартовой прямоугольной системы координат являются координаты точки пересечения трех плоскостей, построенных в ее пространстве, исходя из содержания уравнений, входящих в эту систему, и приводит для наглядности и подтверждения этого утверждения соответствующий рисунок (рис.13). 

Рис.13

В соответствии с рисунком систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными определяет набор трех плоскостей. Точка пересечения этих плоскостей принадлежит каждой из них и является решением.

Авторское развитие решения системы из двух и трех алгебраических линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью Декартовой прямоугольной системы координат

Перекрестный метод решения

Приведем алгоритм этого метода решения подобных систем уравнений с помощью Декартовой (попутно сказать - и многомерной произвольно-угольной) прямоугольной системы координат.

Алгоритм решения 

Решение систем алгебраических линейных уравнений с помощью Декартовой прямоугольной системы координат может выполняться в двух вариантах её изображений - аксонометрии и планиметрии. Но алгоритм решения в обоих вариантах остается тот же.

1. Построение аксонометрии пространства Декартовой прямоугольной системы координат. При этом умозрительно принимается соглашение, что осям координат кроме привычных имен-обозначений X₁, X₂ и X₃ присваиваются и альтернативные имена 1, 2 и 3 соответственно. Эти, цифровые, имена при графическом решении задач имеют большую наглядность и менее “засоряют рисунок”, если не говорить, что без них обойтись нельзя.

2. Градуировка осей координат в относительных единицах измерения.

3. Построение образов исходных уравнений, т.е. нанесение стяжек в соответствии с видом уравнений и присвоение им имен. Имена стяжек имеют двузначный цифровой вид. Первая цифра номера всегда соответствует младшему номеру из двух координатных осей, которые она стягивает. Например, номер стяжки 12 означает, что она стягивает оси координат X₁ и X₂. Здесь же точку пересечения двух одноименных стяжек будем называть перекрестком, присваивая ему номер, аналогичный номеру одноименных перекрещивающихся в нём стяжек. 

4. Выяление перекрестков и присвоение им имен. 

5. Трассировка перекрестков, т.е. проведение прямолинейных трасс через разноименные перекрестки.

6. Выявление точки пересечения трасс (точки сходимости) и определение ее координат как результатов решения системы уравнений. 

Подтвердим правомерность этого алгоритма путем решения нескольких примеров.

Пример 2. Решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью Декартовой прямоугольной системы координат графическим методом:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 5,

x₁ + x₂ + x₃ = 2,

x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 4.

x_j >= 0, j = 1, 2, 3. 

Решение. Построим в аксонометрии Декартову прямоугольную систему координат OX₁X₂X₃ (рис.14) и цветными линиями нанесем образы исходных уравнений. 

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 5, - синий контур

x₁ + x₂ + x₃ = 2, - зелёный контур

x₁ + 2x₂ + 6x₃ = 4. - красный контур

x_j >= 0, j = 1, 2, 3.

На рис. 14 перекрёстки обозначены A(12), F(12), B(23), D(23), F₁(23), C(13), G(13), M(13) - всего восемь. Причем, перекрестки F(12) и F₁(23) совпадают. Проведём через каждые три разноименных перекрёстка трассы. 

Это - KC(12, 13, 23), KM(12, 13, 23) и KG( , 13, 23). При этом вследствие параллельности двух стяжек 12 трасса KG имеет только два перекрёстка. Эти три трассы сошлись в точке сходимости - точке K, указывая нам на единственное решение, дополнительные построения относительно которого показывают, что значения переменных таковы: K (- 4/3, 11/3, - 1/3).

Рис.14 

Примечание:

Проанализировав решение систем из трех уравнений с тремя неизвестными графическим методом с помощью Декартовой системы координат, можно заметить, что, осуществляя начертание рисунков для этого в аксонометрии, мы с помощью графических построений получаем в итоге значения всех неизвестных. Правда, аксонометрическое построение рисунков сложнее и менее обозреваемое. Планиметрическое же исполнение рисунков на много проще, но оно дает нам в качестве решения чаще всего значения не всех неизвестных. Остальные неизвестные приходится “добывать”, проверяя найденные неизвестные путем их подстановки в заданную систему уравнений. 

Пример 3. Решить задачу линейного программирования (систему из трех уравнений с тремя неизвестными) с помощью Декартовой прямоугольной системы координат графическим методом:

Z(X) = - 2x₁ - 3x₂ - 4x₃ min 

x₁ + x₂ + x₃ ? 3,

x₁ + 2x₂ + 2x₃ ? 4,

2x₁ + x₂ + 2x₃ ? 4.

x_j >= 0, j = 1, 2, 3. 

Решение. Построим в аксонометрии Декартову прямоугольную систему координат OX₁X₂X₃ (рис.15) и цветными линиями нанесем образы исходящих уравнений. 

x₁ + x₂ + x₃ = 3, - синий контур

x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 4, - зелёный контур

2x₁ + x₂ + 2x₃ = 4, - красный контур

x_j >= 0, j = 1, 2, 3.

Выявим и поименуем (имена - в скобках) перекрестки. Их всего семь вместо максимально возможного количества, равного девяти, т.к. стяжки красная(13) и синяя(13) , также зеленая(23) и синяя(23) параллельны в своих парах. Это видно из рисунка. Поэтому соответствующие перекрестки отсутствуют. 

Вот эти, обозначенные буквами, перекрестки: A(12), B(12), G(12), F(23), E(23) , D(13) и C(13). Координаты каждого из них дают свое решение. Проведя же трассы через точки F и A, C и B, D и G замечаем, что они, встречаются в точке схождения K, координаты которой также можно рассматривать как одно из решений.

Координаты всех этих восьми точек определяются известным графическим способом. Для наглядности сведем их в таблицу решений (табл.1. 3.1.)

Таблица 1. 3.1

Имя решения	Параметры решения	Значение целевой функции
	x1	x2	x3
A(12)	1	2	0	-8
B(12)	2	1	0	-7
G(12)	4/3	4/3	0	-20/3
F(23)	0	2	1	-10
E(23)	0	0	2	-8
D(13)	0	0	2	-8
C(13)	2	0	1	-8
K	2	2	-1	-6

Примечание: Координаты точек E(23) и D(13) совпадают. Решение K не подходит, т.к. в нем x₃ = -1, т.е. x₃ < 0, что не соответствует условиям задачи. Решение D(13) не подходит, т.к. не соответствует первому уравнению. 

Из оставшихся же решений наилучшим является решение G(12). Оно и будет являться решением данной задачи, т.е. 

Ответ: Max Z(X) = -20/3 при X^* = (4/3, 4/3, 0).

Рис.15

Полярная система координат

Определение полярных координат

Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Оp, называемым полярной осью, и единичным вектором e того же направления, что и луч Оp.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом ц, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (рис.1).

* Числа r и ц называются полярными координатами точки М, пишут

М(r, ц), при этом r называют полярным радиусом, ц - полярным углом. *

Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол ц ограничить промежутком [0;2р), а полярный радиус r - [0;?). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и ц. У точки О полярный радиус r=0, а полярный угол ц неопределен.

Пары чисел (r, ц+2рk), где k - любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки (рис.1).

Связь прямоугольных координат с полярными

Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за начало координат в этой прямоугольной системе берём начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с её направлением ). Так как в определение полярной системы координат входит и направление положительного вращения плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось, в которую перейдёт ось абсцисс при повороте её на угол в положительном направлении. Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой определённой данной полярной системой ( рис.2).

Обратно, если дана какая-нибудь прямоугольная система координат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя в ней начало данной прямоугольной системы и требуя, чтобы полярная полуось совпадала с положительной полуосью абсцисс, а положительное направление вращения было тем вращением, которая переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом на угол . *Каждой полярной системе координат соответствует вполне определённая прямоугольная система, и обратно. *

Как же связаны между собою координаты x, y и ,r?

Если наряду с полярными координатами (r,ц) точки плоскости (например, точки М) ввести также ее прямоугольные координаты, как это показано на рис. 2, то связь между ними выразится очевидными формулами:

Они позволяют перейти от полярных координат точки M к прямоугольным. Обратный переход, от прямоугольных координат к полярным, осуществляется по формулам:

Из двух последних равенств вытекает:

(2.3)

Из множества углов , предлагаемых формулой (2.3), нужно выбрать один - тот, который соответствует четверти плоскости, в которой находится рассматриваемая точка. Это делается с помощью подбора подходящего значения целого числа n при учете того, что ? <2 р.

Уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Уравнение прямой

Поместим полюс полярной системы координат в начало прямоугольной системы координат, полярную ось совместим с положительной полуосью абсцисс (рис.3).

Рис. 3

Возьмем уравнение прямой в нормальном виде:

(3.1)

- длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси абцисс.

Ранее мы выявили связь между полярными и декартовыми координатами точки:

Подставив эти значения x и y в уравнение прямой (3.1), получим

,

или

И, окончательно:

(3.2)

В этом уравнении постоянными величинами являются и б, величины же r и ц- переменные: это текущие полярные координаты точки на прямой (последняя формула может быть получена также из чертежа (рис. 3)).

Уравнение окружности

Составим уравнение в полярных координатах окружности, проходящей через полюс, с центром на полярной оси и радиусом R. Из прямоугольного треугольника OAA получаем OA= OA (рис. 4).

Отсюда уравнение окружности: с

Уравнение эллипса, гиперболы и параболы

Фокальный параметр находит своё применение и при выводе уравнений эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.

Начало полярной системы координат помещаем в фокус F (левый в случае эллипса, правый в случае гиперболы и в единственный фокус в случае параболы). Полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную от соответствующей директрисы d. Для любой точки M нашей кривой обозначаем через r расстояние от M до фокуса F , через - расстояние от M до d.

Наша кривая C есть геометрическое место точек M, для которых , откуда

(3.3)

Но r есть полярный радиус точки M. Вычислим . Обозначая через D точку пересечения директрисы d с фокальной осью, а через M проекцию точки M на эту ось, видим, что есть длина вектора , лежащего на оси абсцисс. Для алгебраических значений векторов на этой оси имеем:

(3.4)

где -- угол наклона вектора FM к полярной оси, т.е. полярный угол точки M на кривой C (в случае гиперболы на первой её ветви) (DM_x)=DM_x=.

Подставляя в равенство (3.4) найденные значения входящих в него

величин, получаем:

Наконец, подставляя это значение в (3.3), имеем

Это и есть уравнение параболы, эллипса и (ветви) гиперболы в полярных координатах.

Для параболы получаем:

Здесь принимает все значения 0?<2; значение не годится, что и естественно, так как ему не соответствует никакая точка параболы.

В случае эллипса все значения 0?<2 хороши (так как всегда ).

Для гиперболы можно брать значения , для которых

,

где -- острый угол между асимптотой и фокальной осью гиперболы;

у всех точек правой ветви гиперболы полярный угол заключён в пределах , так что

Кривые в полярных координатах: Кохлеоида, Строфоида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль и др.

Кохлеоида

Кохлеоида - трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах:

Кохлеоида имеет бесчисленное множество завитков, проходящих через полюс и касающихся полярной оси (рис.7).

Рис. 7

Опишем способ построения дуги Кохлеоиды.

Рассмотрим окружности радиуса , касающиеся данной прямой в точке О. Отложим на каждой из них от точки О против часовой стрелки дугу длины . Множество точек М ( концов этих дуг) -- дуга кохлеоиды. и (рис.8), то (O₁ - центр большей окружности).

Получаем

Рис.8

Строфоида

Строфоида (от греч. уфспцЮ -- поворот) -- алгебраическая кривая 3-порядка. Строится так (рис.9): даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии ОА = а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую в переменной точке В. Строфоида - множество точек М_i, i = 1, 2, таких, что BМ₁ = BМ₂ = AB.

Рис. 9

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

Спираль Архимеда

Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра 0 по равномерно-вращающемуся радиусу. Поместим точку на секундную стрелку часов и будем перемешать точку вдоль секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую, называемую спиралью Архимеда. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед. Ему (Архимеду), в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2р (рис. 10).

Пусть а>0. Будем задавать углу всевозможные значения . Множество всех точек с полярными координатами и (т.е. множество всех точек с координатами, где пробегает все значения ), образует кривую, называемую спиралью Архимеда.

Рис. 10

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

Форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на грампластинке и одна из деталей швейных машин - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку.

Логарифмическая спираль

Логарифмимческая спирамль или изогональная спираль -- особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, "удивительная спираль".

В полярных координатах кривая может быть записана как

или ,

что и объясняет название "логарифмическая" (рис.11).

Рис. 11

Логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной стрелке не с постоянной скоростью (как в случае архимедовой спирали), а с возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств:

*расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию;

*последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляет геометрическую прогрессию;

*образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу.

Далее рассмотрим несколько примеров кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции. Построение этих кривых можно выполнить по точкам, где принимает значения от 0 до 2р.

Семейство роз Гранди

,

где k - положительная постоянная.

Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как , то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.

Рис. 12

Наиболее красивые "цветы" получаются при k = 2 (четырехлепестковая роза) и при k = 3 (трехлепестковая роза) (рис.12).

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли -- одна из самых замечательных алгебраических линий. Из уравнения следует, что кривая состоит из двух симметричных лепестков (по внешнему виду эта кривая напоминает перевернутую восьмерку или бантик). Для точек лемнискаты должно выполняться неравенство , поэтому она расположена между прямыми . Отметим также, что при .

Лемниската Бернулли обладает рядом оригинальных геометрических и механических свойств:

* угол, составленный касательной к лемнискате в произвольной точке с радиус-вектором точки касания равен ;

* перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо ее точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;

* эта кривая (в переводе с латинского lemniscatus -- украшенный лентами) есть множество точек М, произведение расстояний которых r₁, и r₂ до двух данных точек F₁, и F₂ (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния (рис.13).

Рис. 13

В качестве примера применения лемнискаты в области физики можно указать, что линия поля, создаваемого двумя параллельными токами, текущими по бесконечно длинным проводникам в плоскости, к ним перпендикулярной, является лемнискатой.

Кардиоида

Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности такого же радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. По мнению математиков, придумавших название кривой, она отдаленно напоминает форму сердца (в переводе с греческого kardieidos -- сердцеобразная) (рис. 14).

Рис. 14

Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков.

Построение графиков функции в полярной системе координат

В полярной системе координат так же, как и в декартовой , по графику функции можно построить график функции .

Это построение сводится к простым геометрическим преобразованиям графика функции согласно перечисленным ниже свойствам.

Основные свойства графиков функции в полярной системы координат.

1. График функции симметричен графику функции относительно полюса.

2. График функции симметричен графику функции относительно полярной оси.

3. График функции , где m>0, - это растянутый или сжатый вдоль полярной оси в m раз график функции .

4. График функции - это график, полученный из графика функции с помощью поворота последнего на угол .

5. График функции - это график функции параллельно перенесенный вдоль полярной оси на величину b.

Исследование графиков функции в полярной системе координат

Общий вид функции, заданной уравнением в полярных координатах: а в неявном виде Функцию можно исследовать в полярной системе координат путём сравнения её с функцией в декартовой системе координат,

которую получаем из первой, меняя в ней на , а на . Тогда естественно, что исследование функции можно выполнять по схеме исследования функции.

Отметим некоторые особенности графика функции , сравнивая его с графиком соответствующей функции .

Область определения функции соответствует области определения функции . Особым точкам функции соответствуют особые точки функции.

Симметрия

а) Пусть - чётная функция. Вследствие равенства имеем, что точкам A(x;y) и B(-x;y) кривой соответствуют точки и (рис. 15) кривой , а точкам A(x;-y) и B(-x;-y) (рис.16) -- точки и .

б) Пусть - нечётная функция. Тогда точкам A(x;y) и B(-x;-y), симметричным относительно начала координат в декартовой системе координат, соответствуют точки и , симметричные относительно полюса в полярной системе координат (рис .17), а точкам A(-x;y) и B(x;-y) в декартовой системе координат соответствуют точки и в полярной системе координат (рис.18) .

Рис. 17

Рис. 18

в) Если кривая симметрична относительно оси абсцисс при x>0, то точкам A(x;y) и B(x-;y) этой кривой в декартовой системе координат соответствуют точки и кривой в полярной системе координат (рис.19).

система декартовый прямоугольный координаты

Рис. 19

г) Если кривая симметрична относительно оси абсцисс при x<0, то точкам A(-x;y) и B(-x;-y) этой кривой в декартовой системе координат соответствуют точки и (рис.20).

Рис. 20

Период функции такой же, как и период функции . Отсюда следует, что достаточно построить график функции в секторе с углом при вершине, равным периоду, а затем с помощью постепенного поворота на углы, кратные периоду, построить искомый график.

Если функция ограничена (), то, как известно, график этой функции располагается между прямыми y=M и y=N.

Для соответствующей функции справедливо неравенство , и график функции располагается в кольце, внутренний радиус которого равен М, а внешний - N.

Если функция имеет экстремум при , то функция имеет экстремум при . Если функция убывает в некотором промежутке, то в полярной системе координат для функции при движении по часовой стрелке радиус уменьшается, а при движении против часовой стрелки -- увеличивается.

Горизонтальная асимптота y=c кривой в декартовой системе координат переходит в асимптотическую окружность в полярной системе координат. В частности, если с = О, то окружность вырождается в точку.

Вертикальная асимптота х = b кривой в декартовой системе координат переходит в общем случае в луч в полярной системе координат. В частности, если b = 0 , то асимптота х = 0 переходит в полярную ось в полярной системе координат; если и , где k - некоторое целое число, то асимптота х = b переходит в вертикальный луч .

Наклонная асимптота кривой в декартовой системе координат переходит в спираль Архимеда в полярной системе координат. В частности, асимптота у = ах кривой переходит в спираль Архимеда .

Замечание. Для построения графика функции при значениях , соответствующих таким значениям x , при которых f(x) < 0, достаточно построить график функции. Затем по этому графику строят кривую в полярной системе координат и поворачивают ее вокруг полюса на угол . Получают кривую, соответствующую отрицательным значениям функции .

Следовательно, построение кривой надо вначале выполнить для , соответствующих значениям х, при которых , а затем строить кривую для , соответствующих значениям х, при которых .



Список используемой литературы

1. П.С. Александров. "Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры". Из-во "Наука", главная редакция физико-математической литературы. Москва 1968.

2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.Н. "Графики функций. Справочник". Киев 1979.

3. Д. В. Клетеник. "Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. "Аналитическая геометрия." М.: Наука. Физматлит, 1999.

5. Полозюк О.Е. "Конспект лекций по высшей математике". Пособие для вузов . Донецк , 2001 .

6. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 2-е изд. - М., 2004.

7. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. - 2-е изд. - М., 2007.

8. Бугров Я.С. Высшая математика. Задачник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - 2-е изд. - М., 2010.

9. Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - 2-е изд. - М., 2004.

10. Декарт Р. Избранные произведения. ? М., 1950.

11. Кривич М., Ольгин О. Мастерские науки. - 2-е изд. - М., 2004.

12. Кузнецов Б.Т. От Галилея до Эйнштейна. - 2-е изд. - М., 2006.

13. Лятоер Д.А. Декарт. ? М., 1975.

Размещено на Allbest.ru