Главная Коллекция "Otherreferats" Математика Основные свойства функций

Основные свойства функций

Определение пределов последовательности и функции. Точки непрерывности и точки разрыва функции, производные и их приложения. Анализ примеров нахождения производных. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, ее исследование на экстремум.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	23.01.2015
Размер файла	153,0 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Пределы последовательности и функции
Непрерывность и разрывы функций
Точки непрерывности и точки разрыва функции
Производные функций и их приложения
Примеры нахождения производных
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Исследование функции на экстремум
2. Математический анализ
Пределы последовательностей и функций. Непрерывность и разрывы функций
Производные функций и их приложения

1. Пределы последовательности и функции

Альфа и бета - первое и второе числа из варианта по линейке.

Например, по линейке 19 вариант, следовательно альфа=1, бета=9.

Например, по линейке 8 (т.е.08) вариант, следовательно альфа=0, бета=8.

Непрерывность и разрывы функций

Пределы последовательностей и функций.

Справочный материал.

Необходимые формулы:

Рекомендации: неопределенность раскрывается с помощью деления числителя и знаменателя на старший член выражения и использования пределов:

неопределенность при х > а в алгебраических выражениях раскрывается разложением на множители числителя и знаменателя и сокращения множителей (х - а);

неопределенность в тригонометрических выражениях раскрывается с помощью первого замечательного предела ;

неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела .

Примеры решения задач.

Найти пределы последовательностей и функций:

а) / делим на числитель и знаменатель /

б)

, делим на числитель и знаменатель /

;

в) , разложим числитель и знаменатель на множители / ;

г)

;

д) , воспользуемся I замечательным пределом /

=

;

е) , сделаем замену / =

;

ж) , приведем к II замечательному пределу /

;

з)

Точки непрерывности и точки разрыва функции

Справочный материал.

Необходимые понятия:

левосторонний предел

правосторонний предел

функция непрерывна в точке х = а, если она в ней определена и

функция разрывная в точке х = а, если хоть одно из условий не выполняется;

функция имеет разрыв первого рода, если существуют оба односторонних предела, но (такой вид разрыва называется скачком), либо или не определена в х = а (такой вид разрыва называется устранимым);

функция имеет разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ?.

Примеры решения задач.

Найти возможные точки разрыва функций, определить их характер и изобразить на схематическом чертеже поведение функций в окрестности точек разрыва:

а)

В интервалах (? ?; 0), (0;

1) и (1; +?) как элементарная функция в своей области определения.

Исследуем возможные точки разрыва :

в точке х₁= 0 имеет разрыв I рода (скачок);

в точке х₂= 1 непрерывна.

Размещено на http://www.allbest.ru/

б)

не определена при х = 3, то есть имеет в этой точке разрыв.

в точке х = 3 имеет разрыв II рода.

Размещено на http://www.allbest.ru/

в)

не существует при х = 1 и при

- точки разрыва функции, исследуем их.

в точке х₁= 1 разрыв I рода.

в точке х₂= 2 разрыв II рода.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Производные функций и их приложения

Вычисления производных.

Справочный материал.

Таблица производных элементарных функций:

Правила дифференцирования:

Приемы дифференцирования:

логарифмическая производная: из дифференцируя получим

производная неявно заданной функции: если функция у = у (х) задана уравнением F (х, у) = 0 то при подстановке у = у (х) получим тождество F (х, у (х)) = 0. Дифференцируем это тождество и выражаем у? (х); производная функции, заданной параметрически: если у = у (х) задана системой

то

Примеры нахождения производных

Найти производные у? (х) функций:

а)

б)

в) ;

г)

д) . Прологарифмируем функцию

;

е) . Логарифмируем функцию

;

ж) . Дифференцируем, предполагая, что у = у (х)

. Выразим

;

з) .

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Справочный материал:

если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения ;

для нахождения M и m достаточно найти критические точки х₁, х₂, … внутри отрезка [a, b] и выбрать M и m сравнением значений , ,… и , ;

критические точки находятся из уравнения или из условий не существования и непрерывности в этих точках.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на не существует при х₁= 0 - это критическая точка так как при х = 0 непрерывна. ,

. Найдем значения:

.

Исследование функции на экстремум

Справочный материал:

из необходимых условий экстремума и не существует, но непрерывна, находятся критические точки х₁, х₂, …;

с помощью знака производной устанавливается наличие и вид экстремума:

Размещено на http://www.allbest.ru/

в в , в нет экстремума.

Примеры.

а) исследовать функцию на экстремумы. Область определения . не критическая так как в ней не существует. критическая точка.

Знак

.

б) Из квадратного листа картона изготавливается коробка без крышки следующим образом:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Найти наибольший объем и соответствующие размеры коробки, если длина стороны заготовки равна 60 см.

Объем коробки . Пусть a = x, тогда .

Исследуем V (х) на экстремумы.

знак

при этом a = 40 см,

h = 10 см.

функция предел производная экстремум

2. Математический анализ

Пределы последовательностей и функций. Непрерывность и разрывы функций

Найти пределы последовательностей и функций:

;

;

;

.

Определить характер точек разрыва x₁=0 и x₂=10-в функции

Изобразить на схематическом чертеже поведение функции в окрестности точек разрыва.

Производные функций и их приложения

Найти производные функций

а) ;

б) ;

в)

г)

Найти наименьшее и наибольшее значение функции

f (x) =2x³-3 (б-в) x²-6 (10-б) (10-в) x+б+в на отрезке [0; 10].

Сооружается бассейн с квадратным дном объемом 4 (10-в) ³ м³. Найти наименьшее значение площади облицовываемой поверхности и соответствующие ей размеры бассейна.

Размещено на Allbest.ru

контрольная работа "Основные свойства функций" скачать

Подобные документы

Производные функций
Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.

контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014

Производная функции и ее приложения
Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.

контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016

Экстремумы функции
Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009

Функции и их производные
Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.

контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010

Наибольшее и наименьшее значение функции
Определение минимальной и максимальной точек для функции, имеющей на отрезке [a; b] конечное число критических точек. Ознакомление с примерами нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратической, кубической, логарифмической и иных функций.

презентация [355,9 K], добавлен 20.12.2011

Основы математического анализа
Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.

контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014

Математический анализ
Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.

контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015

Исследование функций и построение графиков
Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.

презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011

Предел функций
Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.

презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014

Исследование функций. Производные
Исследование функции на непрерывность. Определение производных показательной функции первого и второго порядков. Определение скорости и ускорения материальной точки, движущейся прямолинейно по закону. Построение графиков функций, интервалов выпуклости.

контрольная работа [180,3 K], добавлен 25.03.2014

Другие документы, подобные "Основные свойства функций"

главная

рубрики

по алфавиту

вернуться в начало страницы

вернуться к началу текста

вернуться к подобным работам

Рубрики

По алфавиту

Закачать файл

Заказать работу

весь список подобных работ

скачать работу можно здесь

сколько стоит заказать работу?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

Основные свойства функций

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

1. Пределы последовательности и функции

Непрерывность и разрывы функций

Пределы последовательностей и функций.

Справочный материал.

Необходимые формулы:

Рекомендации: неопределенность раскрывается с помощью деления числителя и знаменателя на старший член выражения и использования пределов:

неопределенность при х > а в алгебраических выражениях раскрывается разложением на множители числителя и знаменателя и сокращения множителей (х - а);

неопределенность в тригонометрических выражениях раскрывается с помощью первого замечательного предела ;

неопределенность раскрывается с помощью второго замечательного предела .

Примеры решения задач.

Найти пределы последовательностей и функций:

а) / делим на числитель и знаменатель /

б)

, делим на числитель и знаменатель /

в) , разложим числитель и знаменатель на множители / ;

г)

д) , воспользуемся I замечательным пределом /

=

е) , сделаем замену / =

ж) , приведем к II замечательному пределу /

з)

Точки непрерывности и точки разрыва функции

Справочный материал.

Необходимые понятия:

левосторонний предел

правосторонний предел

функция непрерывна в точке х = а, если она в ней определена и

функция разрывная в точке х = а, если хоть одно из условий не выполняется;

функция имеет разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ?.

Примеры решения задач.

Найти возможные точки разрыва функций, определить их характер и изобразить на схематическом чертеже поведение функций в окрестности точек разрыва:

а)

В интервалах (? ?; 0), (0;

1) и (1; +?) как элементарная функция в своей области определения.

Исследуем возможные точки разрыва :

в точке х1 = 0 имеет разрыв I рода (скачок);

в точке х2 = 1 непрерывна.

б)

не определена при х = 3, то есть имеет в этой точке разрыв.

в точке х = 3 имеет разрыв II рода.

в)

не существует при х = 1 и при

- точки разрыва функции, исследуем их.

в точке х1 = 1 разрыв I рода.

в точке х2 = 2 разрыв II рода.

Производные функций и их приложения

Вычисления производных.

Справочный материал.

Таблица производных элементарных функций:

Правила дифференцирования:

Приемы дифференцирования:

логарифмическая производная: из дифференцируя получим

то

Примеры нахождения производных

Найти производные у? (х) функций:

а)

б)

в) ;

г)

д) . Прологарифмируем функцию

е) . Логарифмируем функцию

ж) . Дифференцируем, предполагая, что у = у (х)

. Выразим

з) .

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Справочный материал:

если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения ;

для нахождения M и m достаточно найти критические точки х1, х2, … внутри отрезка [a, b] и выбрать M и m сравнением значений , ,… и , ;

критические точки находятся из уравнения или из условий не существования и непрерывности в этих точках.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на не существует при х1 = 0 - это критическая точка так как при х = 0 непрерывна. ,

. Найдем значения:

Исследование функции на экстремум

Справочный материал:

из необходимых условий экстремума и не существует, но непрерывна, находятся критические точки х1, х2, …;

с помощью знака производной устанавливается наличие и вид экстремума:

в в , в нет экстремума.

Примеры.

а) исследовать функцию на экстремумы. Область определения . не критическая так как в ней не существует. критическая точка.

в точке х₁= 0 имеет разрыв I рода (скачок);

в точке х₂= 1 непрерывна.

в точке х₁= 1 разрыв I рода.

в точке х₂= 2 разрыв II рода.

для нахождения M и m достаточно найти критические точки х₁, х₂, … внутри отрезка [a, b] и выбрать M и m сравнением значений , ,… и , ;

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на не существует при х₁= 0 - это критическая точка так как при х = 0 непрерывна. ,

из необходимых условий экстремума и не существует, но непрерывна, находятся критические точки х₁, х₂, …;

Определить характер точек разрыва x₁=0 и x₂=10-в функции

f (x) =2x³-3 (б-в) x²-6 (10-б) (10-в) x+б+в на отрезке [0; 10].

Сооружается бассейн с квадратным дном объемом 4 (10-в) ³ м³. Найти наименьшее значение площади облицовываемой поверхности и соответствующие ей размеры бассейна.