Математическое дисконтирование и банковский учет по простым процентам. Наращение по учетной ставке простыми процентами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации"

Дзержинский филиал РАНХиГС

Специальность "Финансы и кредит"

Дисциплина "Финансовая математика"

Контрольная работа

на тему:

"Математическое дисконтирование и банковский учет по простым процентам. Наращение по учетной ставке простыми процентами"

Автор работы: Звягинцева Н.С.

Руководитель работы: Ляюина Альбина Николаевна

2014 г.

Содержание

Глава 1. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

1.1 Проценты, виды процентных ставок

1.2 Вычисление наращиваемых сумм на основе простых процентных ставок

1.3 Практика наращивания простых процентов

Глава 2. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по простым процентным ставкам

2.1 Сущность дисконтирования

2.2 Математическое дисконтирование

2.3 Банковский учет (учет векселей)

2.4 Наращение по учетной ставке

2.5 Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам

Список использованной литературы

Глава 1. Наращение и дисконтирование по простым процентным ставкам

1.1 Проценты, виды процентных ставок

Под процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны договариваются о размере процентной ставки - это отношение дохода к сумме долга, т.е. относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени. Ставка измеряется в процентах в виде десятичной или обыкновенной дроби с точностью до 1/16 или 1/32.

Интервал времени, к которому относиться процентная ставка называется периодом начисления. Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга.

Процесс увеличения долга в связи с присоединение к сумме долга называется наращением или ростом первоначальной суммы.

Сущность метода начисления по простым процентам - проценты начисляются в течение всего срока кредита на одну и ту же величину капитала, предоставленного в кредит.

Метод начисления по сложным процентам состоит в том, что в первом периоде начисления производятся на исходную сумму кредита, затем она суммируется с начисленными процентами и проценты начисляются на наращенную сумму (проценты на проценты).

Процентные ставки могут быть: постоянными (фиксированными) и переменными (плавающими). Во втором случае указывается изменяющейся во времени базовая ставка (база) и размер надбавки к ней (маржа). Размер маржи часто определяется сроком операции и финансовым положением заемщика, как правило, изменяется от 0,5% до 5%. При последовательном погашении задолженности возможны 2 способа начисления процентов:

1. процентная ставка (как простая, так и сложная) применяется к фактической сумме долга.

2. простые проценты начисляются сразу на всю сумму долга без учета последовательного его погашения.

В практических расчетах применяется так называемые дискретные - начисления за фиксированные интервалы времени. В некоторых случаях (аналитических финансовых расчетах) используют непрерывные проценты, когда наращение производится за бесконечно малые промежутки времени.

1.2 Вычисление наращиваемых сумм на основе простых процентных ставок

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока начисления(date of maturity,dlue date). Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга(principal) на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. Расчетная формула зависит то вида применяемой процентной ставки и условий наращения.

К наращению по простым процентам обычно прибегают при выдаче краткосрочных ссуд (на срок до 1 год) или в случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются. Для записи формулы наращения простых процентов(simple interest) примем обозначения:

I - проценты за весь срок ссуды;

P - первоначальная сума долга;

S - наращенная сумма, т.е. сумма в конце срока;

i - ставка наращения процента (десятичная дробь);

n - срок суды.

Если срок измеряется в годах (как это обычно и бывает), то обозначает годовую процентную ставку. Соответственно каждый год приносит проценты в сумме . Начисленные за весь срок проценты составят

Наращенная сумма, таким образом, находится как

Выражение называют формулой наращения по простым процентам или кратко - формулой простых процентов, а множитель множителем наращения простых процентов.

Пример. Определить проценты и сумму накопительного долга, если ссуда равна 700 тыс. руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых (i = 0,2):

Увеличим теперь ставку в два раза. Сумма процентов при этом, естественно, удвоится. Однако наращенная сумма увеличится в

1.3 Практика наращивания простых процентов

Поскольку процентная ставка, как правило, устанавливается в расчете за год, то при сроке ссуды мене года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Аналогичная проблема возникает и в случаях, когда срок ссуды меньше периода начисления.

Рассмотрим наиболее распространенный в практике случай - с годовыми периодами начисления. Очевидно, что срок ссуды необязательно равен целому числу лет. Выразим срок n в виде дроби

(2.3)

где t - число дней ссуды, K - число дней в году, или временная база начисления процентов (time basis).

В этом случае формула 2.3 примет вид

(2.4)

При расчете процентов применяют две временные базы: дней (1 месяцев по 30 дней) или дней. Если , то получают обыкновенные или коммерческие проценты (ordinary interest), а при использовании действительной продолжительности года (365,366 дней) рассчитывают точные проценты (exact interest).

Существует несколько вариантов расчета процентов различным выбором временной базы и способом измерения срока сделки: "Германская практика" - год делиться на 12 месяцев по 30 дней в каждом (). Проценты, рассчитываемые с временной базой в 360 дней называют обыкновенными или коммерческими.

"Французская практика" Продолжительность года - 360 дней, а продолжительность месяца в днях соответствует календарю.

"Английская практика" Продолжительность года - 365 дней, а продолжительность месяца в днях соответствует календарю.

Расчет числа дней сделки может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляется фактическое число дней между двумя датами. Во втором случае продолжительность сделки определяется числом с месяцев и дней ссуды, при этом продолжительность всех месяцев полагается равным 30 дням. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения считается за 1 день.

Возможны применения на практике три варианта расчета простых процентов.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. Этот вариант, естественно, дает самые точные результаты. Данный способ применяется центральными банками многих стран и крупными коммерческими банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих документах он обозначается как 365/365 или АСТ/АСТ.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Этот метод, иногда называемый банковским (Bankers Rule), распространен вмежстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых - во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается, как 365/360 или АСТ/360. Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов. Заметим. Что при числе дней ссуды, превышающим 360,данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, если t = 364, то n = 364/360 = 1,01111. Множитель наращения за год при условии, что i = 20%, составит 1,20222.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности. Например при промежуточных расчетах. Он принят в практике коммерческих банков Германии, Швейцарии, Дании. Метод условно обозначается как 360/360.

Очевидно, что вариант расчета с точными процентами и приближенным числом дней ссуды лишен смысла и не применяется.

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев, но разумеется, не всегда. Больше приближенного (в чем легко убедиться, определив среднее за год, число дней в месяце, которое равно 30,58), то метод начисления процентов с точным числом дней ссуды обычно дает больший рост, чем с приближенным.

Между величиной процентного дохода рассчитанного с использованием различной временной базы при равной продолжительности ссуды существует следующее соответствие:

(2.5)

Эти соотношения могут быть использованы при определении эквивалентных ставок, т.е. ставок, приносящих одинаковые процентные доходы при различных временных базах и равных первоначальных капиталов.

(2.6)

Если общий срок ссуды захватывает 2 смежных календарных года и есть необходимость в делении суммы процентов между ними, то общая сумма начисленных простых процентов составит сумму процентов за каждый год (срок)

,

- части срока, приходящиеся на разные годы.

Пример. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдан 20.01 до 05.10 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применим все три метода. Предварительно определим число дней ссуды: точное - 258, приближенное - 255.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/360)

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

Глава 2. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по простым процентным ставкам

2.1 Сущность дисконтирования

Основными видами кредита является коммерческий и банковский кредит.

Коммерческий кредит - это представление товаров и услуг одним субъектом сделки другому с оплатой через определенное время. Одним из институтов кредита является коммерческий вексель.

Вексель - это особый вид письменного долгового обязательства, дающий его владельцу право требовать по истечению указанного срока уплаты денег с должника. процентный ставка математический

При этом различают:

Простой вексель - это долговое обязательство, выдающееся заемщикам на имя кредитора и содержащая указание места и времени выдачи долгового обязательства, его сумма, место и время платежа и наименование лица, которому заемщик обязан произвести платеж.

Переводной вексель (тратта) - это письменный приказ одного лица (кредитора) другому лицу (заемщику) об уплате суммы, обозначенной в векселе 3-у лицу.

Банковский кредит - это кредит, предоставленный одним субъектом сделки другому в виде денежной ссуды. Механизм оформления банковской ссуды предусматривает и выписку векселей.

Векселедержатель, в случае необходимости получения денег ранее указанного в нем срока, может продать его банку или другому субъекту по пониженной цене. Такая сделка носит название учета векселя или дисконтирования.

Сумма, полученная владельцем векселя в результате этой сделки, называется дисконтированной величиной.

Дисконтом называется разность между номинальной стоимостью долгового обязательства и суммой, полученной в результате учета векселя.

Дисконтирование является формой кредитования векселедержателя. Путем долгосрочной выплаты ему обозначенной в векселе суммы за минусом определенных процентов. Дисконт рассчитывается на основе учетной ставки, величина которой зависит от срока, остающегося до оплаты обязательства и существующих банковских процентных ставок.

Под дисконтирование в узком смысле может пониматься способ нахождения величины П на некоторый момент времени, при условии, что в будущем при начислении на нее процентов она могла бы составить наращенную сумму S. Величину П найденную с помощью дисконтирования называют современной стоимостью (величиной) будущего платежа, иногда капитализированной стоимостью.

В широком смысле дисконтирование определяется как средство нахождения любой стоимостной величины относящаяся к будущему на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому моменту времени.

Принимают два вида дисконтирования:

- математическое (ставка наращения);

- банковское (учетная ставка).

2.2 Математическое дисконтирование

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача, в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i? Решив (2.1) относительно P, находим

 (2.20)

n - срок ссуды;

P - современная величина суммы S.

- дисконтирующий множитель, показывающий, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращиваемой. Напомним, что

срок ссуды в годах.

Эффективная годовая процентная ставка отражающая реальный доход, т.e. ставка по которой фактически начисляются проценты на первоначальную сумму.

(2.21)

где k - временная база,

t - срок ссуды в днях.

т.е. что бы получить 213,592 через 270 дней, нужно вложить в банк 200 тыс. руб. по ставке 9,1% годовых.

Кроме того, используется ставка по векселю, определенная по формуле:

где i -проценты дисконта в виде десятичной дроби,

P - цена, уплачиваемая за 100 денежных единиц номинала векселя,

t - количество дней до погашения.

Пример. Цена продажи векселя в момент его выпуска - 95,210 ден. ед. за вексель номиналом 100 ден. ед. со сроком погашения 91 день. Определить ставку по векселю.

2.3 Банковский учет (учет векселей)

Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа (date of maturity) по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, однако, ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (maturity value). При этом применяется учетная ставка d.

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен ; если d - годовая учетная ставка, то n измеряется в годах. Таким образом,

где - дисконтированная величина,

S - наращенная сумма долга,

d - учетная ставка в десятичных дробях,

n - временной интервал от момента учета векселя до даты уплаты по нему в годах,

(1 - nd) - дисконтный множитель.

при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или отрицательной сумме. Что не имеет смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляется при временной базе дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

Банковское дисконтирование фактор времени учитывает более строго. В некоторых случаях может возникнуть ситуация, когда совмещаются начисления процентов по ставке i и дисконтирование по ставке D, при этом наращенная сумма определяется

(2.23)

где P - сумма, предоставленная в кредит,n - общий срок службы, - срок от момента учета до даты погашения,

S - сумма, полученная при учете обязательства.

Если известна номинальная стоимость долгового обязательства дисконт можно определить по формуле:

 (2.24)

Если известна дисконтируемая величина долгового обязательства, а величина дисконта и номинальная величина неизвестны, то дисконт определяется по формуле.

Дисконт:

(2.25)

Номинальная стоимость:

(2.26)

Пример. Вексель, номинальной стоимостью 50 тыс. руб. учтен за 15 дней до срока погашения по учетной ставке 18% годовых. Определить дисконт и дисконтированную величину.

2.4 Наращение по учетной ставке

Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, которую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма долга. Наращенная сумма в этом случае:

(2.27)

Множитель наращения здесь равен . Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке, заметим, что при расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современная величина платежа больше нуля.

2.5 Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам

Как было показано выше, оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяется для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дисконтирования - по ставке наращения i и учетной ставке d - приводит к разным результатам даже тогда, когда i = d.

Ставка	Прямая задача	Обратная задача
I d	S = P(1 + ni) P = S(1 - nd)	P = S/(1 + ni) S = P/(1 - nd)

Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении величины ставки. В табл.2.1 приведены дисконтные множители (ДМ) для случая, когда i = d = 20%.

Таблица 2.1 Дисконтные множители, i = d = 20%

Вид ставки	Срок в годах
	1/12	1/4	1/2	1	2	10
i d	0,9836 0,9833	0,9524 0,9500	0,9091 0,9000	0,8333 0,8000	0,7143 0,6000	0,333 -

Сравнивая формулы (2.1) и (2.13), легко понять, что учетная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что i = d = 20%,показаны в таблице 2.2

Таблица 2.2 Множители наращения, i =d = 20%

Вид ставки	Срок в годах
	1/12	1/4	1/2	1	2	10
i d	1,0167 1,0169	1,0500 1,0526	1,1000 1,1111	1,2000 1,2500	1,4000 1,6667	3 ?

Из сказанного выше следует, что выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги операции. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми. Такие ставки называют эквивалентными.

Список использованной литературы

1. Балабанов И.Т. "Основы финансового менеджмента", М: "Финансы и статистика" 2011;

2. Жуленев С.В. "Финансовая математика" изд. МГУ 2012;

3. Комзолов А.А., Максимов А.К., Миловидов К.Н. "Финансово-математические модели" изд. "РГУНГ им. И.М. Губкина" 2010.

Размещено на Allbest.ru