Числа Бернуллі

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М.П.ДРАГОМАНОВА

Кафедра вищої математики

КУРСОВА РОБОТА

з алгебри

на тему:

Числа Бернуллі

Студентки 2 курсу 21 МЕІ групи

напряму підготовки «Математика»

спеціальності «Математика, економіка та інформатика»

Демчук Катерина Миколаївна

Керівник: канд.. фіз.-мат. наук

Нікіфоров Роман Олексійович

Київ - 2014 р.



Зміст

Розділ І. Многочлени Апеля

Розділ ІІ. Числа та многочлени Бернуллі

2.1 Многочлени та числа Бернуллі

2.2 Основна властивість многочленів Бернуллі

2.3 Зв'язок з простими числами

Висновки

Список використаної літератури



Розділ І. Многочлени Апеля

Означення 1. Многочленами Апеля, породженими послідовністю називається послідовність многочленів

,

де

Послідовність многочленів (1) ввів до розгляду французький математик Поль Апель (1855-1930).

Приклад 1. Нехай для всіх n. Тоді

Приклад 2. Нехай Тоді

Приклад 3. Нехай Тоді

(ми застосували правило винесення за знак біноміального коефіцієнта). Зробимо далі заміну індексу, поклавши k-1=r. Будемо мати



Теорема 1. Послідовність має таку властивість

Доведення: справді,

Теорема 2. Нехай F(t) -- експоненційна генератриса

-- експоненційна генератриса послідовності многочленів Апеля, породженої послідовністю ,

Тоді

Доведення. Маємо

Сума в праві частині рівності поширена по всіх точках (n,k) з області, зображеної на рис.1

Рис.1

Змінюючи порядок підсумовування в подвійній сумі, матимемо

Зробимо заміну індексу, поклавши n-k=r. Матимемо

Теорема 3. Нехай

Відомо, що

Тоді -- послідовність многочленів Апеля, породжена послідовністю .

Доведення. Припустимо, що є послідовністю многочленів Апеля для якоїсь послідовності , експоненційну генератрису якої позначимо . Тоді згідно теореми 2 . Але за умовою теореми

Отже,

Звідси випливає, що для всіх n



Розділ ІІ. Числа та многочлени Бернуллі

2.1 Многочлени та числа Бернуллі

Означення. Числами Бернуллі при називаються числа які задовольняють рівність

,

де

Означення. Експоненційна генератриса (твірна функція) -- це формальний степеневий ряд

Властивість. Послідовність чисел Бернуллі -- послідовність експоненційна генератриса якої дорівнює

Знайдемо декілька перших чисел Бернуллі, використовуючи рівність (6). Переходячи до границі в обох частинах рівності (6) при , матимемо Перепишемо рівність (6) у вигляді



Переходячи до границі в обох частинах рівності з використанням правила Лопіталя, матимемо

Означення 3. Послідовність многочленів Апеля, породжена послідовністю чисел Бернуллі , називається послідовністю многочленів Бернуллі.

Таким чином, многочлен Бернуллі степеня n має вигляд

Приклад 4. Згідно з (7)

многочлен апель число бернуллі

Теорема 4. При виконується рівність

Доведення. Згідно з теореми (2)

Покладемо в (11) x=1. Будемо мати



Порівнюючи коефіцієнти при в лівій та правій частинах рівності (12), отримаємо, що при всіх Отже, ми встановили таке твердження.

Теорема 5. При має місце рекурентне співвідношення

Використаємо (13) для знаходження ще декількох чисел Бернуллі та многочленів Бернуллі.

Приклад 5. Покладемо в (13) n=3. Матимемо

Звідки

Многочлен дорівнює

Приклад 6 Покладемо в (13) n=4. Матимемо рівність

Звідки

Отже, , а

Теорема 6. Всі числа Бернуллі з непарними номерами дорівнюють нулеві.

Доведення. Для доведення використаємо рівність

;

Застосуємо його до різниці

;

, де

Додаючи отримані результати, зліва отримаємо:

.

Справа отримаємо вираз:

(9)

Маємо,

.

Обрахуємо коефіцієнт при у виразах, отриманих в правій і лівій частинах. У виразі зліва коефіцієнт дорівнює (очевидно).

Отримати вид коефіцієнта в правій частині складніше: для цього у формулі (9) замінити суми числами Бернуллі з тими ж номерами. Значить має місце тотожність:

,

Але так як , а , тоді повинно бути :

,

І враховуючи, що , при , отримаємо

.

Доведено.

Приклад 7. Покладемо в (13) n=5. Будемо мати рівність

Звідси . Многочлен має вигляд

Приклад 8. Покладемо в (13) n=7. Матимемо

Звідси

Подамо таблицю перших десяти чисел Бернуллі

тn	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	/…
BBn	1			0		0		0		0		…

2.2 Основна властивість многочленів Бернуллі

Теорема 7. При всіх цілих невід'ємних n виконується рівність

Доведення. Використаємо для доведення експоненційну генератрису послідовності .

Згідно з теоремою 2

Таким чином,

У правій частині рівності проведемо заміну індексу підсумовування, поклавши k+1=n. Матимемо рівність

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях t, отримаємо рівність

Звідси й випливає (14).

Сума степенів чисел натурального ряду. Розглянемо суму

Ми знаємо, що

Приклад 9. Обчислимо

Розглянемо для цього рівність

Покладемо в (19) k=1,2,…,n послідовно і випишемо отримані рівності

…………………….

Додавши почленно ці рівності, отримаємо

,

,

,

,

,

Звідси отримуємо формулу

Встановимо загальну формулу.

Теорема 8. Має місце рівність

Доведення. Запишемо рівність

яка випливає з рівності (14). Покладемо в ній послідовно

…………………………

Додавши почленно всі ці рівності, отримаємо

Оскільки звідси випливає (21).

Приклад 10. Застосуємо формулу (21) до обчислення . Нехай m=3

Маємо

Отже,

2.3 Зв'язок з простими числами

Крістіан Штаудт (1798-1867), досліджуючи числа Бернуллі, отримав гарний і глибокий результат, який розкриває арифметичну природу цих чисел. Нехай задано число Bk. Розглянемо всі прості числа p, які не перевищують , і такі, що ділять без остачі (тобто номер даного числа Бернуллі).

З усіма такими складемо скінченну суму виду - назвемо її сумою, яка відповідає даному числу Бернуллі (Розглядом і дослідженням таких сум і займався Штаудт). Виявилось, що число і йому відповідна сума взаємно доповнюють один одного до цілого числа. Тобто, - завжди ціле число!

Наведемо приклад, який дозволить оцінити важливість цього результату Штаудта. Нехай нам відомо, що таке, що . Ми хочемо знайти його точне значення; виявляється, що тепер це зробити легко.

Саме так, дільниками 6 є числа 1,2,3,6. Збільшимо їх на одиницю і отримаємо числа 2,3,4,7 із них простими є числа 2,3,7. Підрахуємо суму

Таким чином, за теоремо Штаудта повинно бути цілим числом, але за умовою , то єдиним цілим задовольняючим числом є 1. Тому.



Висновки

Дана курсова робота є узагальнюючою роботою з теорії чисел Бернуллі. У ній ми вивчали властивості чисел Бернуллі, досліджували структури деяких послідовностей та рядів.

Курсова присвячена вивченню властивостей послідовностей чисел, які пов'язані з виникненням чисел Бернуллі у відповідних формулюваннях та результатах теорем.

Досліджено властивості деяких послідовностей сум. Тому робота буде корисною для студентів, пошукачів та обдарованих учнів на позакласних уроках з математики.



Список використаної літератури

1. М.Й.Ядренко Дискретна математика: навчальний посібник. -- К.: МП "ТВіМС", 2004. - 245 с.;

2. Абрамович В. Числа Бернулли, Квант, № 6, 1974;

3. Бернуллиевы числа // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). -- СПб., 1890--1907;

4. Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научных работников и инженеров";

5. Цегелик Г.Г. Чисельні методи. - Львів: Видавничий центр Львівського національного університету, 2004. - 408 с;

6. Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. pp. 495-519. ISBN 0-521-84903-9.

Размещено на Allbest.ru