Исследование функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Математический анализ

Вариант 7

Исполнитель: студент Сычёва А.Н.

Группа: ЭПБ 14 СР

Преподаватель: Коржавина Н.В.

Серов 2014

Задание 1. Пределы функций

Вычислить пределы:

а) =*=

=== = =1

b)= = = 0

c)= = = ^х ==

Задание 2. Исследование функций

Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график: у=

1 Найдем область определения функции.

х²-4=0 х²=4 х=

2 Исследуем функцию на четность.

f(-х)== =f(х)

Функция четная значит ее график симметричен относительно оси ординат.

3 Находим вертикальные асимптоты к графику функции.

При х>2 слева =-

При х>2 справа =+

х=2 Вертикальная асимптота, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат, то прямая х=-2 тоже будет вертикальной асимптотой.

4 Исследуем поведение функции на бесконечность.

Прямая у=0 является горизонтальной асимптотой.

5 Найдем экстремум и интервалы монотонности.

у^'='==

у^'=0 х=0

Производная не существует в точках х=2 и х=-2, но эти токи не входят в область определения.

На (- у^'>0 следовательно функция на промежутке не возрастает.

На (0;+?) у следовательно функция на промежутке убывает.

у^'

+ - х=0 точка максимума

у 0

6 Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

у^''== =-==

Точек в которых вторая производная обращается в 0, нет, следовательно нет точек перегиба.

3х²+4>0 следовательно знак у^'' зависит от знака (х²-4)³ следовательно на (-2;2)

у^'', на (-?;-2) у^''>0

у^'' -2 2

+ - +

7 Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Пусть х=0 у=

Точка пересечения графика функции с осью ординат (0;-0,5)

Пусть у=0 то таких значений х нет.

Рисунок 1 График функции у=

Задание 3 Неопределенный интеграл

Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:

а) - непосредственное интегрирование;

б) - замены переменной;

в) - интегрирования по частям.

а) = =+2 = + 2* + +C

б)dx== = =+C=+С

в) = ln x* -

Задание 4 Определенный интеграл

4.1 Вычислить определенный интеграл:

==

ln x*=ln 2 *(6+4)-ln 1

4.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

y=x²+3 x=0 y=x-1 x=2

Рисунок 2 чертех фигуры ограниченной кривыми

Задание 5 Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость:

а)

= = ln x

Интеграл сходящийся.

б)

Особая точка х=0

Этот интеграл расходящийся.

Задание 6 Ряды

6.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость

u_n= u_n+1=

6.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда

С_n=3ⁿ(x-2)ⁿ С_n+1=3ⁿ⁺¹(x-2)ⁿ⁺¹

- ¹

Область сходимости:(

Задание 7 Функции нескольких переменных

Исследовать функцию двух переменных на экстремум.

z=

z'_x=-4x z'_y=y³

x=0 y=0 A=-4 B=0 C=0

функция ряд интеграл дифференциальный

x=0 y=0 не является точкой экстремума.

Задание 8 Решение дифференциальных уравнений

8.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:

y²y'=3-2x y(0)=1

y²

Общее решение

y(0)=1 1³/3 = 0 - 0 + С С = 1/3

y³/3 = 3x - x² + 1/3

y³ = 9x - 3x² + 1 Частное решение

8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y''- 6y' + 9y = 0 y(0) = 1 y'(0) = -1

k² - 6k+9=0 Характеристическое уравнение

k₁ = k₂ = 3

y_общ = е ^3x ( C₁+C₂ x ) Общее решение

y^/ _общ = 3e ^3x ( C₁ + C₂ x ) + C₂ e ^3x

y(0) = 1 e ^3*0 ( C₁+C₂*0 ) = 1 C₁ = 1

y^/ (0) = -1 3*e ^3*0 ( C₁+C₂*0 ) + C₂* e ^3*0 = -1 3*C₁+C₂ = -1 3+C₂ = -1

C₂ = -4 y_част = е^3x ( 1-4x )

Список использованных источников

1. Аксёнов. Математический анализ.

2. Натанзон С.М. Краткий курс математического анализа. 2004 год.

3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.

4. Фомин В.И. Учебное пособие по математике. 2007 год.

Размещено на Allbest.ru