Дискретная математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Теория групп

Конечной целью собственно теории Г. является описание всех возможных групповых композиций. Теория Г. распадается на ряд больших разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую композицию или внесением в Г. дополнительных структур, связанных определённым образом с групповой композицией. Перечислим важнейшие разделы теории групп.

а) Теория конечных Г. Основная проблема этой старейшей ветви теории Г. -- классификация т. н. простых конечных Г., играющих роль кирпичей при построении произвольной конечной Г. Одним из наиболее глубоких фактов, установленных в этой теории, является теорема о том, что всякая не абелева простая конечная Г. состоит из чётного числа элементов.

б) Теория абелевых Г. Отправной точкой многих исследований в этой области служит основная теорема о конечно-порождённых абелевых Г., полностью выясняющая их строение.

в) Теория разрешимых и нильпотентных Г. Понятие разрешимой Г. является обобщением понятия абелевой Г. Оно по существу идёт от Галуа и тесно связано с разрешимостью уравнений в радикалах. Для конечных Г. это понятие может быть определено многими равносильными способами, которые перестают быть равносильными при отказе от конечности Г. Изучение возникающих при этом классов Г. составляет предмет теории обобщённо разрешимых и обобщённо нильпотентных Г.

г) Теория Г. преобразований. Понятие Г. возникло исторически именно как понятие Г. преобразований, но в дальнейшем было освобождено от этой конкретной оболочки. Тем не менее теория Г. преобразований осталась важной частью общей теории. Типичный вопрос в ней: какими абстрактными свойствами обладает Г., заданная как Г. преобразований некоторого множества? Особое внимание привлекают, в частности, Г. подстановок и Г. матриц.

д) Теория представлений Г. -- важное орудие изучения абстрактных Г. Представление абстрактной Г. в виде некоторой конкретной Г. (например, в виде Г. подстановок или матриц) позволяет проводить тонкие вычисления и с их помощью обнаруживать важные абстрактные свойства. Особенно велики успехи теории представлений в теории конечных Г., где с её помощью получен ряд результатов, недоступных пока абстрактным методам.

е) Из разделов теории групп, выделяемых внесением в Г. дополнительных структур, согласованных с групповой композицией, отметим теорию топологических Г. (в них групповая композиция в некотором смысле непрерывна), в частности её старейшую ветвь -- теорию групп Ли. группа абелева теорема доказательство

Теория Г. является одной из самых развитых областей алгебры и имеет многочисленные применения как в самой математике, так и за её пределами. Например, с помощью теории Г. русский учёный Е. С. Федоров (1890) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Это был исторически первый случай применения теории Г. непосредственно в естествознании. Большую роль играет теория Г. в физике, например в квантовой механике, где широко используются соображения симметрии и теория представлений Г. линейными преобразованиями.

2. Абелевы группы по сложению

Представим каждую из таких групп в виде таблиц Кэли. Для группы элементы представим числами от 0 до 7. Элементы для групп и обозначим следующим образом:



Таким образом, группы будут иметь следующий вид:

Затем, для каждой такой группы, мы будем строить полугруппы по умножению, пользуясь также таблицами Кэли. Для группы таких полугрупп будет всего 8, так как нам достаточно определить чему равно произведение 11. На место этого произведения мы можем поставить один из 8 элементов (от 0 до 7), а все остальные элементы будут определяться однозначно, согласно дистрибутивному закону. Ассоциативность умножения будет выполнятся, так как умножение сводится к сложению. Кроме того, умножение будет коммутативно. Таким образом, после вычеркивания изоморфных, мы получим 4 кольца с абелевой группой по сложению :

В случае с группой в полугруппе по умножению уже будет 4 независимых произведения, т.е. это такие элементы в таблице Кэли для полугруппы по умножению, на которые мы можем поставить любой из элементов от 0 до 7. Соответственно всего различных колец без учета ассоциативности и вычеркивания изоморфных будет 84. Проверка ассоциативности умножения и выделение изоморфных колец осуществляется программным способом. Чтобы найти кольцо, изоморфное данному, нужно сначала найти все автоморфизмы абелевой группы по сложению, а потом этими преобразованиями подействовать на полугруппы по умножению, и соответственно получившиеся одинаковые кольца вычеркнуть. Автоморфизмы группы будем искать вручную. Выделим в данной группе элементы 1, 3, 5, 7 - элементы четвертого порядка. Остальные элементы будут выражаться через них: 4=1+7, 6=1+5, 2=4+6 - это элементы второго порядка. Пары элементов 1(1,0), 3(3,0) и 5(1,1), 7(3,1) - противоположные друг другу элементы. Нам достаточно посмотреть, как будут вести себя элементы четвертого порядка при автоморфизмах. Это будут 6 взаимнооднозначных отображений, в том числе и тождественное, которые переводят данную группу в себя:

Колец с абелевой группой по сложению будет 89, так как независимых элементов в полугруппе по умножению будет 9. Нужные нам кольца, мы будем искать аналогично предыдущему случаю. Только автоморфизмы данной группы мы будем искать другим способом. Заметим, что группа является трехмерным векторным пространством над полем Z2 и базисом группы мы назовем любой ее базис, как векторное пространство над Z2. Данная группа задается некоторыми тремя элементами - базисом группы, а остальные элементы выражаются через данный базис. К примеру начальный базис: (1,2,3). Соответственно: 4=1+2, 5=1+3, 6=2+3, 7=1+2+3. Таким образом, количество всех базисов - это количество всевозможных упорядоченных троек из данных семи элементов, за исключением таких троек, которые базис не образуют, на пример: (1,2,4), так как 4=1+2. Количество всех базисов - это и будет количество всех автоморфизмов данной группы. Сначала найдем всевозможные неупорядоченные тройки из 7 элементов, которые образуют базис. Получим 28 таких троек. Чтобы найти все базисы, нужно каждую найденную тройку, упорядочить, т.е. 286. Таким образом получаем 168 различных базисов.

3. Конечные абелевы группы

Лемма 1. Пусть A--конечная абелева p-группа, a ? A--элемент с максимальным порядком O(a) = pr в группе A. Тогда A = ?a? ? H для некоторой подгруппы H (другими словами, циклическая подгруппа ?a?, порожденная элементом a, является прямым слагаемым группы A). В качестве непосредственного следствия леммы получаем теорему о строении конечной абелевой p-группы.

Теорема 1. 1) Каждая конечная абелева p-группа A, |A| = pr, r ? 1, разлагается в прямую сумму p-примарных циклических групп (далее неразложимых в прямую сумму)

A = A1 ? . . . ? Ak, Ai = ?ai?, O(ai) = pci

i , 1 ? c1 ? . . . ? ck,

|A| = pr = pc1+c2+:::+ck , r = c1 + c2 + . . . + ck,

A ?= Zpc1 ? . . . ? Zpck



2) последовательность элементарных делителей

pc1 , . . . , pck , c1 ? c2 ? . . . ? ck

(совпадающая в этом случае с последовательностью инвариантных множителей 1 ? d1 = pc1 | d2 = pc2 | . . . | dk = pck) определена однозначно, а

именно: если

1 ? c1 ? c2 ? . . . ? ck, 1 ? c?1 ? c?2 ? . . . ? c?l, то k = l, c1 = c?1,. . . , ck = c?k.

Доказательство.

1) В силу доказанной леммы: A = ?a? ? H, a ? A, O(a)--максимальный порядок элементов группы A. Проведем индукцию по |A|. Пусть, в силу индуктивного предположения,

H = A1 ? . . . ? Ak?1, Ai = ?ai?, O(ai) = pci , 1 ? c1 ? . . . ? ck?1,

при этом pck?1 ? O(a). Полагая ak = a, pck = O(a), Ak = ?a?, получаем, что

A = A1 ? . . . ? Ak?1 ? Ak,

Ai = ?ai?, O(ai) = pci , 1 ? c1 ? c2 ? . . . ? ck?1 ? ck,

и следовательно,

|A| = pr = pc1+c2+:::+ck , r = c1 + . . . + ck,

A ?= Zpc1 ? . . . ? Zpck .

Как мы отмечали, прямые слагаемые Ai ?= Zpci , являющиеся примарными циклическими группами, далее в нетривиальную прямую сумму уже не разлагаются.

2а) Пусть

1 ? c1 ? c2 ? . . . ? ck, 1 ? c?1 ? c?2 ? . . . ? c?l.

Для доказательства равенства k = l вычислим, используя эти два прямых разложения, подгруппу A[p] = {x ? A | px = 0} группы A, зная, что

Поэтому |A[p]| = pk = pl, и следовательно, k = l.

2б) Допустим противное, т. е. что последовательности (c1, . . . , ck) и (c?1, . . . , c?k), k = l, различны. Пусть u--такой индекс, что c1 = c?1,. . . , cu?1 = c?u?1, cu ?= c?u, скажем cu < c?u. Так как pcuZpci = 0 для ci ? cu, то, используя первое разложение, получаем

где cu+1 ? cu ? cu+2 ? cu ? . . . ? ck ? cu

(здесь k ? u ненулевых прямых слагаемых). Поскольку ci = c?i для i < u и cu < c?u, то, используя второе разложение, получаем

где 1 ? c?u ? cu ? c?u+1 ? cu ? . . . ? c?k ? cu, k = l

(здесь k ? (u ? 1) = (k ? u) + 1 ненулевых прямых слагаемых).

Таким образом, для конечной абелевой p-группы pcuA получили два разложения в прямую сумму ненулевых p-примарных циклических групп, содержащих разное число слагаемых (k?u и (k?u)+1 соответственно), что невозможно в силу уже доказанного утверждения 2а). Тем самым мы пришли к противоречию, что завершает доказательство.

Теперь мы готовы собрать вместе все полученные факты, сформулировать и доказать основную теорему о конечных абелевых группах.

Теорема 2 (о строении и классификации конечных абелевых групп).

1) Конечная абелева группа A порядка где

{p1, p2, . . . , pt}--все различные простые делители числа n, ri ? 1, 1 ? i ? t, разлагается в прямую сумму

примарных циклических групп

где

Таким образом,

2) Таблица элементарных делителей

прямого разложения в п. 1) определена однозначно и однозначно определяет конечную абелеву группу A (с точностью до изоморфизма).

Доказательство.

1) В силу теоремы о разложении конечной абелевой группы A, |A| = имеем

Применяя к каждой конечной абелевой pi-группе Api теорему 1 о строении конечных абелевых p-групп, получаем

,

где

поэтому

r1 = c11 + . . . + c1k1 , . . . , rt = ct1 + . . . + ctkt .

Отсюда следует, что

2) Пусть таблица элементарных делителей другого разложения конечной абелевой группы A в прямую сумму примарных циклических групп,



Для каждого простого числа pi ? {p1, . . . , pt} вычислим однозначно определенную pi-примарную компоненту Api конечной абелевой группы Ai по первому и второму разложениям (см. теорему о единственности разложения в сумму примарных абелевых групп по разным простым числам):

К pi-примарной конечной абелевой группе Api применим теорему о единственности последовательности элементарных делителей):

Таким образом, таблица элементарных делителей, определяющая разложение конечной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических групп, определена однозначно. Ясно, что две прямые суммы примарных циклических групп с одной и той же таблицей элементарных делителей изоморфны.

4. Свободные абелевы группы

Совокупность элементов {e1, . . . , em} абелевой группы F называется базисом, если:

1) любой элемент a ? F является целочисленной линейной комбинацией



2) совокупность элементов {e1, . . . , em} линейно независима над Z:

то

Замечание 1. а) Из условий 1) и 2) следует:

Если

то

Действительно,

в силу 2)

б) Из 1) и 2?) следует 2). Действительно,

в силу 2?)

в) Таким образом, системы условий {1), 2)} и {1), 2?)} равносильны, при этом отображение

является изоморфизмом,

Если абелева группа F обладает базисом {e1, . . . , en}, то она называется свободной абелевой группой.

Лемма 2. Если {e1, . . . , em} и {f1, . . . , fn}--два базиса свободной абелевой группы F, то m = n (это число n называется рангом свободной абелевой группы F, обозначение: m = n = rk (F), F = Fn).

Доказательство. Если f : G > G? --изоморфизм абелевых групп, то

f(2G) = 2f(G) = 2G?, и поэтому отображение

f : G/2G > G?/2G?, x + 2G 7> f(x) + 2G?, является изоморфизмом групп.

Так как

То

и поэтому

Таким образом, 2m = 2n, следовательно, m = n.

Лемма 3. Пусть {e1, . . . , en}--один из базисов свободной абелевой группы Fn ранга n, A--абелева группа, f, g : Fn > A--два гомоморфизма такие, что

Доказательство. Для любого x ? Fn имеем

поэтому

Итак, f = g.

Лемма 4. F = Fm ? Fn ?= Fm+n.

Доказательство. Пусть {e1, . . . , em}, {f1, . . . , fn}--базисы свободных абелевых групп Fm и Fn соответственно. Тогда {e1, . . . , em, f1, . . . , fn}--базис абелевой группы Fm ? Fn.

Действительно, если a ? Fm ? Fn, то a = b + c, где b ? Fm, c ? Fn.

Поэтому



и следовательно,

Если же

то

и поэтому

Таким образом, rk (F) = m + n, F ?= Fm+n.

Теорема 3. Свободная абелева группа F (в частности, свободная абелева группа конечного ранга F = Fn) является группой без кручения, т. е. T(F) = 0.

Доказательство. Пусть {e1, . . . , en}--базис свободной абелевой группы F = Fn и

Если ra = 0 для 0 < r ? Z, то

Следовательно,

Так как r > 0, то k1 = . . . = kn = 0. Таким образом,

Итак, мы показали, что T(Fn) = 0.

В общем случае надо отметить лишь, что если 0 ?= a ? F, то a ? Fn ? F.

На самом деле для свободной абелевой группы Fn конечного ранга верно и обратное утверждение.

Теорема 4 (о свободе конечно порожденной абелевой группы без кручения). Конечно порожденная абелева группа A является свободной абелевой группой тогда и только тогда, когда A--абелева группа без кручения (другими словами, когда ее периодическая часть равна нулю, T(A) = 0).

Доказательство. 1) Мы отмечали выше, что свободная абелева группа A не имеет кручения (T(A) = 0).

2) Пусть A = ?a1, . . . , an?--конечно порожденная абелева группа и T(A) = 0. Проведем доказательство свободы группы A индукцией по n.

Начало индукции: n = 1, A = ?a1? ?= Z = F1, поскольку O(a1) = ?.

Пусть n > 1. Если {a1, . . . , an}--базис абелевой группы A, то A = Fn, и наше утверждение доказано.

Допустим теперь, что система образующих {a1, . . . , an} линейно зависима над Z и



нетривиальное линейное соотношение между элементами a1, . . . , an (это означает, что хотя бы один из коэффициентов ki ненулевой). Пусть d =

Так как d ?= 0 и A--абелева группа без кручения, то

Итак, можно считать, что

и поэтому в силу индуктивного предположения абелева группа A = ?a2, . . . , an? свободна. Аналогично, A--свободная абелева группа, если k1 = ?1.

Далее, мы будем менять систему образующих с целью получить в соотношении между новыми образующими один из коэффициентов равным ±1.

Если k2 = . . . = kn = 0, то k1a1 = 0, k1 ?= 0, и так как A--группа без кручения, то a1 = 0, и поэтому, в силу индуктивного предположения, A = ?a2, . . . , an?--свободная абелева группа.

Итак, допустим, что |k1| ? |k2| > 0, и в этом случае заменим образующий a2 на a?2 = a2 + ka1, k ? Z (a2 = a?2 ? ka1). В новой системе образующих {a1, a?2, a3, . . . , an} наше соотношение имеет вид

В силу алгоритма деления в евклидовом кольце целых чисел Z выберем k ? Z так, чтобы |k1 ?kk2| < |k2|, строго уменьшив модуль коэффициента при a1. Продолжая этот процесс, мы приходим к рассмотренному случаю, когда k1 = ±1, что завершает доказательство.

Теорема 5 (универсальное свойство свободной абелевой груп-пы конечного ранга). Пусть F = Fn --свободная абелева группа, rk (F) = n, {e1, . . . , en}--один из базисов в F = Fn.

Если A--абелева группа, ц: {e1, . . . , en} > A--отображение множеств (т. е. заданы элементы a1 = ц(e1), . . . , an = ц(en) ? A), то существует и единственный гомоморфизм групп f : Fn > A такой, что f(ei) = ц(ei) для всех 1 ? i ? n.

Доказательство. Для элемента

положим

Если

то



Таким образом, f --гомоморфизм групп. Ясно, что f(ei) = ai = ц(ei) для всех 1 ? i ? n.

Так как любой гомоморфизм g : Fn > A однозначно определяется значениями g(e1), . . . , g(en), то условием условием f(ei) = ц(ei) для всех 1 ? i ? n гомоморфизм f определен однозначно.

Теорема 6 (накрывающее свойство свободной абелевой группы конечного ранга). Пусть A = ?a1, a2, . . . , an?--конечно порожденная абелева группа, {a1, a2, . . . , an}--одна из ее систем образующих.

Тогда:

1) существует сюръективный гомоморфизм f : Fn > A;

2) группа A изоморфна фактор-группе Fn/ ker f.

Доказательство. Пусть F = Fn --свободная абелева группа с базисом {e1, . . . , en}. В силу предыдущей теоремы существует гомоморфизм f : Fn > A, для которого f(ei) = ai, 1 ? i ? n. Так как {a1, . . . , an}--система образующих группы A, A = Za1 + . . . + Zan, то Im f = A. В силу теоремы о гомоморфизме Fn/ ker f ?= A.

Теорема 7 (расщепляющее свойство свободной абелевой группы). Пусть A--абелева группа, Fn --свободная абелева группа ранга n, f : A > Fn --сюръективный гомоморфизм. Тогда:

1) существует гомоморфизм , для которого fh = 1 (т. е. имеем ретракт

2) для некоторой подгруппы

Доказательство. Пусть {e1, . . . , en}--один из базисов свободной абелевой группы Fn, n = rk (Fn). Так как f : A > Fn --сюръективное отображение, то выберем такие элементы {a1, . . . , an} в A, что f(ai) = ei,

1 ? i ? n. Отображение {e1, . . . , en} > {a1, . . . , an}, ei > ai, продолжается до гомоморфизма h: Fn > A, для которого h(ei) = ai. Так как для (fh) : Fn > Fn имеем

(fh)(ei) = f(h(ei))= f(ai) = ei = 1Fn(ei),

то fh = 1Fn. Итак, получили ретракт, fh = 1Fn.

В силу леммы о ретракте A = Im h ? ker f. Полагая B = Im h = ?a1, . . . , an?, получаем A = B ? ker f.

Так как f(B) = f(A) = Fn, то f|B --сюръективное отображение, при этом

ker(f|B) = ker f ? B = ker f ? Im h = 0.

Итак, f|B : B > Fn --изоморфизм групп, B ?= Fn.

Рассмотрим теперь подгруппы свободной абелевой группы конечного ранга (это расширяет нашу информацию о подгруппах бесконечной

циклической группы).

Теорема 8. Ненулевая подгруппа B свободной абелевой группы Fn конечного ранга n является свободной абелевой группой ранга m, B ?= Fm, где 1 ? m ? n.

Доказательство. Проведем индукцией по n.

Случай n = 1: F1 ?= Z; ненулевая подгруппа B в Z имеет вид Zk, 0 ?= k ? Z, поэтому B ?= Z, и следовательно, B является свободной абелевой группой ранга m = 1 = n.

Пусть наше утверждение верно для всех рангов n? < n, n > 1, B -- ненулевая подгруппа группы Fn = Ze1 ? . . . ? Zen?1 ? Zen, где {e1, . . . , en}--один из базисов свободной абелевой группы Fn. Рассмотрим короткую точную последовательность абелевых групп

где i--естественное вложение,

(т. е. р --естественная проекция на прямое слагаемое

Рассмотрим ограничение р|B : B > Zen гомоморфизма р на подгруппу B. Так как

ker(р|B) = B ? ker р = B ? (Ze1 ? . . . ? Zen?1), то короткая точная последовательность абелевых групп

является точной.

В силу индуктивного предположения для подгруппы B ? (Ze1 ?. . .? Zen?1) группы Fn?1 = Ze1 ? . . . ? Zen?1 имеем B ? (Ze1 ? . . . ? Zen?1) ?= Fl,

где l ? n ? 1.

и в силу нашего индуктивного предположения для n? = n ? 1 < n: B ?= Fm, m ? n ? 1 < n.

Если 0 ?= р(B) ? Zen ?= Z = F1, то р(B) ?= Zt ? Z, 0 ?= t ? Z, и поэтому р(B) ?= Z = F1 --свободная абелева группа ранга 1. В силу расщепляющего свойства свободной абелевой группы:

B = C ? (B ? (Ze1 ? . . . ? Zen?1)), где C ?= р(B) ?= F1. Итак, B ?= F1?Fl = Fl+1, где l+1 ? (n?1)+1 = n.

5. Структурная теорема

Теорема 9. Пусть A--конечно порожденная абелева группа.

1) Тогда имеет место прямое разложение A = T(A) ? A?,где периодическая часть T(A) является конечной абелевой группой, |T(A)| < ?, и T(A) выделяется в A прямым слагаемым, подгруппа A? является свободной абелевой группой конечного ранга r <? и определена однозначно (с точностью до изоморфизма), A? ?= A/T(A) ?=Fr, r = rk (A/T(A))--инвариант группы A.

Таким образом, конечно порожденная абелева группа A является прямой суммой конечной абелевой группы T(A) и свободной абелевой группы A? ?= Fr конечного ранга r; если A = T(A) ? A? = T(A) ? A??, то A? ?= A??.

2) Это прямое разложение единственно в следующем смысле: если

A = B ? C = B? ? C?,

где B и B? --конечные абелевы группы, C ?= Fr и C? ?= Fs --свободные абелевы группы конечных рангов r и s соответственно, то

B = B? = T(A), C ?= C? ?= Fr (r = s = rk (A/T(A))).

Доказательство.

1) Если A = ?a1, . . . , an?--конечно порожденная абелева группа, то A/T(A) = ?a1, . . . , an?, ai = ai + T(A) ? A/T(A), T(A/T(A))= 0, и поэтому A/T(A)--конечно порожденная абелева группа без кручения.

В силу теоремы A/T(A)--свободная абелева группа конечного ранга, A/T(A) ?= Fr, где r = rk (A/T(A)). В силу расщепляющего свойства свободной абелевой группы (см. теорему 7) имеем: A = T(A) ? A?, где A? --подгруппа в A, A? ?= A/T(A) ?= Fr (r < ?, поскольку A/T(A)-- конечно порожденная абелева группа).

Так как T(A) ?= A/A? --конечно порожденная периодическая абелева группа, то в силу теоремы прошлой лекции |T(A)| < ?. Итак, T(A)-- конечная абелева группа.

Если A = T(A) ? A? = T(A) ? A??, то A? ?= A/T(A) ?= A??.

2) Если

A = B ? C = B? ? C?, |B| < ?, |B?| < ?, C ?= Fr, C? ?= Fs,

то T(B) = B, T(C) = 0, T(B?) = B?, T(C?) = 0, и поэтому

B = T(B) = T(B) ? T(C) = T(B ? C) = T(A) = T(B? ? C?) = T(B?) ? T(C?) = T(B?) = B?.

Следовательно, B = T(A) = B?. Поэтому Fr ?= C ?= A/B = A/T(A) = A/B? ?= C? ?= Fs, и следовательно, r = s.

6. Решение задач

Задача 1.

Перечислить все абелевы группы порядка 16.

Через C_n условимся обозначать циклическую группу порядка n. Группа порядка 16=2⁴ может обладать следующими вариантами:

(2⁴), (2³,2), (2², 2²), (2²,2,2), (2,2,2,2), которым соответствуют следующие группы:

С₁₆,С₈ ЧС₂, С₄ЧС₄, С₄ЧС₂ЧС₂,

С₂Ч С₂Ч С₂Ч С₂

Таким образом, абелевы группы порядка 16 могут быть одного из пяти указанных видов.

Задача 2.

Перечислить все абелевы группы порядка 1000.

Так как 1000= 2³5³, то для силовских подгрупп возможны следующие ситуации. Силовская 2-подгруппа имеет порядок 2³, и она либо С₈, либо С₄ЧС₂, либо С₂ЧС₂ЧС₂.

Силовская 5-подгруппа имеет порядок 5³, и она либо С₁₂₅, либо С₂₅ЧС₅, либо С₅ЧС₅ЧС₅. Таким образом, абелева группа порядка 1000 может быть только одной из следующих групп:

С₈Ч С₁₂₅, С₈ЧС₂₅ЧС₅, С₈ЧС₅ЧС₅ЧС₅,

С₄ЧС₂ЧС₁₂₅, С₄ЧС₂ЧС₂₅ЧС₅, С₄ЧС₂ЧС₅ЧС₅,

С₂ЧС₂ЧС₂ЧС₁₂₅, С₂ЧС₂ЧС₂ЧС₂₅ЧС₅,

С₂ЧС₂ЧС₂ЧС₅ЧС₅ЧС₅.

Задача 3.

Начертите фигуры, изображающие множества А={(x,y)?R² | x²+y²<=1}, В={(x,y)?R² | x²+(y-1)²<=1}, где R² - вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества АUВ, А?В, R²\А?



Задача 4.

Доказать тождество AUB=AU(B\A).

Чтобы доказать это тождество, нужно показать, что каждый элемент первого множества принадлежит второму и наоборот, то есть эти множества совпадают.

Пусть x?AUB, то есть x?A или x?B. Если x?A, то x?AU(B\A). Если x?A, но x?B, то

x?B\A, следовательно, x?AU(B\A).

Пусть x?AU(B\A), то есть x?A или x?B\А. Если x?A, то x?AUB. Если x?В, но x?A

(x?B\А), то x?AUB.

Таким образом, тождество доказано.

Размещено на Allbest.ru