Алгебра событий

Размещено на http://www.allbest.ru

ПустьW- пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Определим набор подмножеств W, которые будут называться событиями, и зададим вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

Введем понятие алгебры множеств:

Множество A,элементами которого являются подмножества множества W, называетсяалгеброй, если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1) WA (алгебра A содержит достоверное событие W);

(A2) еслиAA, тоA(вместе с любым множествомA алгебраAтакже содержит противоположное к немумножество);

(A3) если AAи BA,то ABA(вместе с любыми двумямножествами Aи Bалгебра A также содержит их объединениеAB).

Из (A1) и (A2) следует, что пустое множество = также содержится в A, т.е. алгебраA содержит и невозможное событие.

Из условия (A3) следует, что вместе с любым конечным набором множеств алгебраAтакже содержит их объединение:для любого nNи для любых A₁,...,A_nAвыполнено:A₁...A_nA.

Вместо замкнутости относительнообъединения можно требоватьзамкнутость относительно пересечения, т.е. условие (A3) можно заменитьна

(A4) еслиAAиBA, тоABA.

Пусть, например,W = {¦, ¦, ¦, ¦}-пространствоэлементарных исходов.Следующиенаборы подмножеств Wявляются алгебрами:

a) A = {W, } = {{¦, ¦, ¦, ¦},} -тривиальнаяалгебра;

б) A = {{¦, ¦, ¦, ¦},,{¦}, {¦, ¦, ¦}};

в) A = 2^W= {, {¦}, {¦}, {¦}, {¦}, {¦, ¦}, {¦, ¦}, {¦, ¦}, {¦, ¦}, {¦, ¦}, {¦, ¦}, {¦, ¦, ¦},{¦, ¦, ¦},{¦, ¦, ¦},{¦, ¦, ¦},W} - множество всех подмножествW(содержит 2⁴ = 16 элементов).

В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счетные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счетной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий. алгебра событие множество функция

Множество F,элементамикоторого являются подмножества множества W называетсяs-алгеброй (сигма-алгеброй событий), если выполнены следующие условия:

(S1) WF(s-алгебра событий содержит достоверное событие);

(S2) если AF,то F(вместе с любым событиемs-алгебрасодержит противоположное событие);

(S3) еслиA₁, A₂,...F, тоA₁A₂... F(вместе с любым счетным набором событий s-алгебра содержит их объединение).

Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества Fотносительно счетного числа любых других операций над событиями. В частности, условие (S3)можно заменить на (S4):

(S4) еслиA₁, A₂,...F, тоA₁A₂... F.

Всякая s-алгебра являетсяалгеброй, но обратное в общем случае не верно. Приведем пример алгебры, не являющейсяs-алгеброй.

Пусть W = R, и пусть A- множество, содержащее любые конечные подмножества R (т.е. состоящие из конечного числа точеки включающие, в том числе, пустое множество ) и их дополнения. Так, множество{0, 2,p} принадлежитA,множество (-?;-7,2)(-7,2; 5)(5, +?) принадлежит A.

Легко проверить, что множество A является алгеброй (т.е. удовлетворяют условиям (A1)-(A3)). Действительно, пустое множество и само W = R содержатсяв A, дополнение к любомуконечному подмножеству множества вещественных чисел также содержится в Aпо определению, дополнение к множеству вида R\Aдля конечных A совпадает с A и также принадлежит A по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит A. Объединение конечного множества смножеством вида R\A, где A конечно, есть снова множество вида R\B,гдеBконечно (или пусто) и т.д.

Однако алгебра Aне содержит ни одного счетного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный рядN не принадлежит A. Поэтому A не являетсяs-алгеброй: для бесконечной, но счетной последовательности одноточечных множеств A_i = {i} изAих объединение N = A₁A₂... не принадлежит A.

Задача

Для СВXи Y заданы ряды распределения в виде:

Сравнить F_X(F_Y(1/2))и F_Y(F_X(1/2)).

Решение

На основе рядов распределения составим функции распределения:

1) F_X(x) = P(X<x) = :

F_X(x) =

2) F_Y(y) = P(Y<y) = :

F_Y(y) =

Тогда получаем:

1) F_Y(1/2) = 1/2; F_X(F_Y(1/2)) = F_X(1/2) = 1.

2) F_X(1/2) = 1; F_Y(F_X(1/2)) = F_Y(1) = 1/2.

Таким образом,

F_X(F_Y(1/2)) = 1,

F_Y(F_X(1/2)) = 1/2,

Откуда

F_Y(F_X(1/2))<F_X(F_Y(1/2)).

Ответ: F_Y(F_X(1/2))<F_X(F_Y(1/2)).Размещено на Allbest.ru